hrw15

Přetlakp
p
jepřímoúměrnývýšceh.
Přetlakmůžebýtkladný,resp.zápornýdletoho,zda
p>p
0
,resp.pS
i
,jakodpovídápřípaduznázorněnému
naobr.15.9.
S
i
d
i
F
i
vstup
výstup
d
o
S
o
F
o
olej
Obr.15.9 Hydraulickézařízení,kteréseužívákpřevodusílyF
i
navyššíhodnotu F
o
.Vykonanáprácesevšakzvětšitnedáaje
stejnáprooběsíly,vstupníivýstupní.
Jestližeposunemevstupnípístovzdálenostd
i
,posune
sevýstupnípístovzdálenostd
o
.Přitomsemusívokolíobou
pístůpřesunoutstejnýobjemV nestlačitelnékapaliny.Platí
tedyrovnice
V = S
i
d
i
= S
o
d
o
,
odkuddáleplyne
d
o
= d
i
S
i
S
o
. (15.11)
Poslednírovniceukazuje,žekdyžS
o
>S
i
,jakojetomuna
obr.15.9,jeposunutívýstupníhopístumenšínežposunutí
pístuvstupního.
Užitím rov.(15.10) a (15.11) můžeme pro výstupní
prácipsát
W = F
o
d
o
=
parenleftbigg
F
i
S
o
S
i
parenrightbiggparenleftbigg
d
i
S
i
S
o
parenrightbigg
= F
i
d
i
, (15.12)
odkudplyne,žeprácevykonanávstupnímpístemjestejně
velkájakoprácevykonanávýstupnímpístem.
Ztohovidíme,žehydraulickým převodemmůžeme
převéstmenšísílupracujícínadelšídrázenavětšísílupra-
cujícínakratšídráze.Přitomsoučinysílyauraženédráhy,
atedyivykonanépráce,jsouvoboupřípadechstejné.Mož-
nostznásobitsílubýváčastovelmivýhodná.Např.většina
znásneníschopnazvednoutautomobil,aprotouvításlužbu
hydraulického zvedáku. Při pumpování koncem ramena
zvedákuovšemurazípodstatněvětšívzdálenost,nežjeta,
okterousezvednepodloženáčástauta.Zvedákpracujena
392 KAPITOLA15 TEKUTINY
právěpopsanémprincipuhydraulickéhopřevodu.Celková
uraženávzdálenostd
i
pístuvužšímválcijevšakpumpo-
vánímrozdělenanasériikratšíchposuvů.(Připumpování
jepřikaždémdalšímposuvudozařízenípřičerpávánaze
zásobníkudalšíkapalina—zdeolej—astavdosaženýpři
předcházejícímposuvujezabezpečenventilem.)
15.7 ARCHIMEDŮV ZÁKON
Naobr.15.10jevbazénuzobrazenastudentka,kteráhýbe
velmitenkýmpytlíkemzplastickéhmotyplnýmvody.Zjiš-
tquoterightuje,žepytlíkjevestavustatickérovnováhy:aninestoupá,
anineklesá.Ovšemvodavpytlíkumájistouváhu,aproto
bymělaklesat.Zřejmětedynapytlíkmusípůsobitsměrem
vzhůrusíla,kteráváhupytlíkuvodyvyváží.
Obr.15.10 Tenkostěnný pytlík z plastické hmoty plný vody,
kterýsevznášívbazénu,jevestatickérovnováze.Váhapytlíku
jevyváženavýslednicísil,kterýminapytlíkpůsobíokolnívoda.
Tuto vzhůrupůsobícísílunazýváme vztlaková síla,
stručněvztlak,aoznačímejiF
↑
.Vztlakovousiloupůsobí
napytlíkokolnívoda.Vztlakovásílavznikájakodůsledek
toho,žetlakvkapaliněrosteshloubkou,jakjsmesijižuká-
zali.Tlaknaspodníčástipytlíkujevětšínežnajehovrchní
částiavýsledkemjevzhůrupůsobícívztlakovásíla.Před-
stavmesi,ženyníodstranímepytlíksvodou.Naobr.15.11a
jsouznázorněnysíly,kterépůsobínadutinu,kterávznikla
odstraněnímpytlíku.Vzhůrupůsobícívztlakovásíla F
↑
je
vektorovýmsoučtemvšechnadutinupůsobícíchsil.
Vyplňmenynídutinukamenem,kterýbudemítpřesně
stejné rozměry jako dutina (obr.15.11b). Stejný vztlak,
který působil na pytlík s vodou, bude nyní působit na
kámen.Je však příliš malý na to,aby vyvážil váhu ka-
mene,takžekámenklesnekednu.Přestožekámenklesá,
vztlakvodyjejnadlehčujeausnadnímanipulaciskame-
nem.
(a)(b)(c)
F
↑
kámen
F
↑
mg
mg
F
↑
dřevo
Obr.15.11 (a)Vodaobklopujícídutinuvkapaliněnanipůsobí
vztlakovousilou,jejížvelikostanisměrnezávisínatom,čímje
dutinavyplněna.(b)Je-livdutiněkámen,jevelikosttíhovésíly
větší,nežjevelikostvztlakovésíly.(c)Je-livdutinědřevo,je
velikosttíhovésílymenší,nežjevelikostvztlakovésíly.
Pozděvečer21.srpna1986byla(pravděpodobněvulkanickýmpůsobením)narušenarozpouštěcírovnováhaoxiduuhličitého,kterého
kamerunskéhorskéjezeroNyosobsahujevelkémnožství.Oxidvytvořilbubliny,kterébylyvytlačenynadhladinu,protožebyly
lehčínežobklopujícítekutina—vtomtopřípaděvoda.Tamvytvořilyoblakoxiduuhličitého.Tentooblak,kterýbyltentokráttěžší
nežobklopujícítekutina—vzduch,začaltéciposvazíchhorjakořeka,přičemžzadusil1700lidíavelkémnožstvízvířat,znichž
některávidímenapravémobrázku.
15.8 TEKUTINYVPOHYBU—DYNAMIKA 393
Kdyžvyplnímedutinuzobr.15.11akusemdřevastej-
nýchrozměrů,jakjenaznačenovobr.15.11c,budenyní
působit na dřevo stejná vztlakovásíla jako dříve na ká-
men.Tedquoterightvšakbudevztlakvětší,nežjetíhadřeva,takže
dřevovyplujenavolnouhladinu.Shrnemenašepozorování
avyslovímeArchimedův zákon:
Tělesoponořenédotekutinyjenadlehčovánosilou,která
jestejněvelkájakováhatekutinytělesemvytlačené.
Právě tento zákon vysvětluje plování těles. Jestliže
např.kusdřevazobr.15.11cvyplujebytquoterightjenčástečněnad
hladinu,vytlačíméněvody,nežkdyžjeplněponořen.Podle
Archimedovazákonaseúměrnězmenšívztlak,kterýnaněj
působí.
Dřevo se vynoří z kapaliny právě tolik,aby vztlak,
kterýnanějpůsobí,přesněvyrovnaljehotíhu.Dřevoje
pakvestatickérovnováze,plove.
Připomeňmesi,žetíhovousílutělesaumístquoterightujemedo
těžiště.Podobně výslednou vztlakovou sílu umístíme do
jejího působiště,které nazveme vztlakový střed.Vztla-
kovýstředsenacházívmístě,kdebylotěžištětekutiny,než
bylavytlačena.Jestližehomogenní tělesojeplněponoře-
no,splývájehotěžištěsevztlakovýmstředem.Je-livšak
těleso ponořeno jen částečně(když plove) anebo není-li
homogenní,budouobabodyrůzné;vztlakvevztlakovém
středuatíhovásílavtěžištipakmohouvytvořitnenulový
momentsilovédvojice.Tenpakrozhodujeotom,zdaje
plavbalodistabilní(momentpřináhodnémpootočenína-
vracílodquoterightzpátky)nebone(vopačnémpřípadě).
K
ONTROLA2:Tučňákplavenejprvevkapaliněhus-
toty rho1
0
,potomvkapaliněhustoty0 ,95rho1
0
anakonec
v kapalině hustoty 1,1rho1
0
.(a) Seřadquoterightte hustoty kapa-
linpodlevelikostivztlaku,jakýmpůsobínatučňáka.
(b)Seřadquoterighttejepodlemnožstvíkapalinyvytlačenétuč-
ňákem.
PŘÍKLAD 15.5
Výraz„špičkaledovce“sevhovorovéřečiužívákoznačení
jevu,jehož malá část je zjevná a zbytek je skryt.Jaká je
vynořenáčástskutečnéholedovce?
ŘEŠENÍ: Tíhovásílaledovceocelkovémobjemu V
l
je
G
l
= rho1
l
V
l
g,
kderho1
l
=917kg·m
−3
jehustotaledovce.
Tíhovásílavytlačenévody,kterájerovnavelikostivztla-
kovésílyF
↑
,je
G
v
= F
↑
= rho1
v
V
v
g,
kderho1
v
= 1024kg·m
−3
jehustotamořskévodyaV
v
jeob-
jemvodyvytlačenéledovcem,tedyiobjemponořenéčásti
ledovce.Proplovoucíledovecjsouobětíhovésílystejné:
rho1
l
V
l
g = rho1
v
V
v
g.
Zposlednírovnicepropodíld,kterýhledáme,plyne
d =
V
l
−V
v
V
l
=1−
V
v
V
l
=1−
rho1
l
rho1
v
=
=1−
(917kg·m
−3
)
(1024kg·m
−3
)
=
=0,1neboli10%. (Odpovědquoteright)
PŘÍKLAD 15.6
Kulový balon plněný heliem má poloměr R = 12m.Ba-
lon nese lana a koš o hmotnosti m = 196kg.Jakou nej-
většíhmotnostMužitečnéhozatíženíjebalonschopnýnést?
Hustota helia je rho1
He
= 0,160kg·m
−3
a hustota vzduchu
rho1
vzd
=1,25kg·m
−3
;objemvzduchuvytlačenýzátěžíbalonu
zanedbejte.
ŘEŠENÍ: Tíhovásílavzduchuvytlačenéhobalonem,která
udávávelikostvztlaku,atíhovásílaheliaobsaženéhovba-
lonujsou
G
vzd
= rho1
vzd
Vg a G
He
= rho1
He
Vg,
kdeV(=
4
3
D4R
3
)jeobjembalonu.PřirovnovázezArchime-
dovazákonaplyne
G
vzd
= G
He
+mg +Mg
neboli
M =
4
3
D4R
3
(rho1
vzd
−rho1
He
)−m =
=
4
3
D4(12,0m)
3
(1,25kg·m
−3
−0,160kg·m
−3
)−
−(196kg) =7690kg. (Odpovědquoteright)
Tíhovásílaobjektustoutohmotnostíjeasi75400N.
15.8 TEKUTINY V POHYBU —
DYNAMIKA
Pohybreálnýchtekutinjevelmikomplikovaný,řadapro-
blémůjejenobtížněnumerickyřešitelnýchaněkterépro-
blémydosudvyřešenynejsou.Problémsipodstatnězjedno-
dušíme.Zavedemepojemideálníkapalinapromodelovou
tekutinu,okterépředpokládáme,žejedokonalenestlači-
telnáaneviskózní.Připopisujejíhoprouděníseomezímena
případy,kdyprouděníjelaminární,ustálené(stacionární)
394 KAPITOLA15 TEKUTINY
anevírové.Taksenámpodaříjednoduchýmimatematic-
kýmiprostředkyzískatvelmiužitečnévýsledky,kterénám
umožnípochopitzákladnírysychováníproudícítekutiny.
Objasnímesiblížepředpoklady,kteréjsmeučinili:
Ideálníkapalinaje
1. nestlačitelná:Předpokladjestejný,jakýjsmejižučinili
protekutinuvklidu.Ideálnítekutinamákonstantní,všude
stejnouhustotu.
2. neviskózní: Viskozita (vazkost) tekutinyjemírato-
ho,jaksetekutinabránítečení.Např.tlustávrstvamedu
sepodstatněvícebráníroztékánínežstejnětlustávrstva
vody.Protoříkáme,žemedjeviskóznějšínežvoda.Asfalt,
kterýjsmezmínilinazačátkukapitoly,mávelmivysokou
viskozitu.Viskozitatekutinjeanalogickásmykovémutření
mezipevnýmitělesy;přiviskóznímprouděnísekinetická
energiepřeměňujenateplopodobnějakopřivzájemném
pohybutěleszapůsobenítření.Vymizí-litření,kvádrmůže
povodorovnéroviněklouzatstálourychlostí.Podobněna
těleso,kterésepohybujeneviskóznítekutinou,nepůsobí
žádná smyková viskózní síla, tj. brzdicí síla viskózního
charakteru.Britský vědec lord Rayleigh poznamenal,že
videálnítekutinělodníšroubnebudepracovat,nadruhé
straněvšaklodquoterightjednouuvedenádopohybunebudešroub
potřebovat.
Omezujemesenaproudění
3. laminární:Přilaminárnímprouděníjerozumnědefi-
novánarychlostprouděnívkaždémbodětekutiny;může
se od místa k místu měnit,ale ne příliš prudce.Pomalé
prouděnívodyvestředuklidnéhotokujeblízkélaminár-
nímu,v peřejích je laminárnímu rozhodně vzdálené.Na
obr.15.12jeukázánpřechodzlaminárníhonaturbulentní
prouděníprostoupajícícigaretovýkouř.Rychlostčásteček
kouřeroste,jakstoupají,apřijistékritickérychlostipřejde
laminárníprouděnívturbulentní.
4. ustálené (stacionární): Při ustáleném proudění se
rychlostproudícítekutinyvkterémkolivmístěneměnísča-
semanicodovelikosti,anicodosměru.Laminárníprou-
děnímůže,alenemusíbýtustálené.Turbulentníproudění
ustálenébýtnemůže,jevždynestacionární.
5. nevírové:Tutovlastnostprouděnísiobjasnímenacho-
vánímaléhozrnkaprachuunášenéhotekutinou.Zrnkose
můžepřinevírovémprouděnípohybovatipokruhovédrá-
ze,ale nikdy nesmí rotovat okolo osy jím procházející.
Příklad:ruskékolonapoutikonájakocelekrotačnípohyb,
ale jeho pasažéři v zavěšených kabinkách konají pouze
translačnípohyb,okolovodorovnéosyseneotáčejí.Ikdyž
seproblematikounebudemedálepodrobnějizabývat,vy-
mezímesi,ženámisledovanéprouděníbudenevírové.Dále
Obr.15.12 Vurčitémbodězměnístoupajícíproudkouřeaohřá-
téhovzduchucharakterprouděnízlaminárníhonaturbulentní.
budemevevýkladovéčástivždypředpokládat,ževevšech
bodechdanéhoprůřezutrubicejestejnárychlost.Takové
prouděníjenevírové.Vpříkladechsevšaksetkámeispří-
pady,kdyprouděnívsousedníchvrstváchkapalinyseděje
srůznourychlostí.Takovéprouděníjevírové.Ivevírovém
proudění však lze odvozené rovnice (rovnici kontinuity
aBernoulliovurovnici)vhodnýmzpůsobemaplikovat.
15.9 PROUDNICE A ROVNICE
KONTINUITY
Naobr.15.13jsouzobrazenyproudnicevzniklétím,žena
řaděnesousedícíchmístjedoproudícítekutinyvpraveno
Obr.15.13 Laminárníobtékáníválce.Proudnicejsouzviditel-
něnybarevnýmičásticemi,kterézanechávajístopu.
15.9 PROUDNICEAROVNICEKONTINUITY 395
barvivo.Naobr.15.14jsouzachycenyproudnicepodobně
vytvořenékouřem.Proudnicejetrajektorie,ponížsepohy-
bujedrobnýkousektekutiny,kterýmůžemenazvat„částicí
tekutiny“.Kdyžsečásticetekutinypohybuje,můžeseměnit
směrivelikostjejírychlosti.Vektorrychlostičásticejevždy
tečnýkproudnici(obr.15.15).Proudnicesenikdynekříží,
protože jinak by částice,která dospěla do bodu křížení,
mělasoučasnědvěrůznérychlosti,atojenemožné.*
Obr.15.14 Kouřemzviditelněnéproudnice,kteréobtékajíau-
tomobilumístěnývaerodynamickémtunelu.
proudnice
P
v
Obr.15.15 Stopapo-
hybučásticetekutinyP
vytváříproudnici.Vektor
rychlosti v částicemá
vkaždémboděsměr
tečnykproudnici.
B
C
S
1
S
2
Obr.15.16 Proudová
trubice je vytvořena
proudnicemi,kterétvoří
jejíhranici.Stejnýobje-
movýtokmusíprocházet
všemiprůřezyproudové
trubice.
Přitečeních,jakájsouznázorněnanaobr.15.13a15.14,
můžemevymezitproudovétrubice,jejichžstěnyjsoutvo-
řenyproudnicemi.Proudovátrubicesechovájakoreálná
trubicevtomsmyslu,žežádnáčásticetekutiny,kteráse
* Svýjimkoumíst,kdekapalinastojí.Tamjev=0asměrrychlosti
neníurčen.
nacházívtrubici,jinemůžeopustitskrzjejístěny.Kdyby
částiceunikla,mělibychompřípadkříženíproudnic,který
jsmejižvyloučili.Naobr.15.16jsouznázorněnydvapříčné
průřezytenképroudovétrubiceoobsazíchS
1
aS
2
.Budeme
sledovattekutinuprocházejícíprůřezemubodu B.Tekutina
jímprocházírychlostí v
1
,zakrátkýčasovýintervalDelta1turazí
vzdálenostv
1
Delta1t aprůřezemS
1
projdeobjemtekutiny
Delta1V = S
1
v
1
Delta1t.
Předpokládáme,že tekutina je nestlačitelnáa že ne-
můžebýtanivytvořenaanizničena.Protozastejnýčasový
intervalmusíprojítstejnýobjemtekutinyiprůřezem S
2
vokolíbodu C dálepoproudu.Jestližerychlostzdemá
velikostv
2
,musíplatit
Delta1V = S
1
v
1
Delta1t = S
2
v
2
Delta1t
neboli
S
1
v
1
= S
2
v
2
.
Podélproudovétrubicetedyplatírovnice
R = Sv=konst., (15.13)
kdeveličinaR,jejížjednotkavSIjem
3
·s
−1
,senazýváob-
jemový tok.Rov.(15.13)vyjadřujícístálostobjemového
tokutekutinyproudovoutrubicísenazývá rovnice kon-
tinuity proudění.Z rovnice plyne,že tečení je rychlejší
vužšíchčástechtrubice,kdeproudnicejsoublížeusebe,
nežvjejíchširšíchčástech(obr.15.17).
Obr.15.17 Vmístězúženítrubiceseproudnicedostanoublíže
ksoběaproudsezrychlí.Šipkanadobrázkemukazujesměr
proudění.
Rov.(15.13)vyjadřujezachováníhmotnostivetvaru
vhodnémpromechanikutekutin.Násobíme-liR hustotou
tekutiny,okterépředpokládáme,žejekonstantní,dosta-
nemevýraz Svrho1.Ten senazývá hmotnostní tok ajeho
jednotkouvSIjekg·s
−1
.Vyjádříme-lirovnicikontinuity
vhmotnostnímanikolivvobjemovémtoku,říkánámnapř.
propřípadznázorněnýnaobr.15.16,žehmotnost,kterápro-
tečekaždousekunduprůřezemtrubicevokolíbodu B,musí
být stejná jako hmotnost,která proteče každou sekundu
průřezemtrubicevokolíbodu C.
396 KAPITOLA15 TEKUTINY
K
ONTROLA3:Napřipojenémobrázkujeznázorněno
rozvětvené potrubí. Šipkami je označen směr toku
vjednotlivýchvětvíchačíslaudávajívelikostobjemo-
véhotoku(vcm
3
·s
−1
)těmitovětvemi.Ujednévětve
údajechybí.Jakýjesměravelikosttokutoutovětví?
4
2
8
5
6
4
PŘÍKLAD 15.7
Obsah S
0
průřezuaorty(hlavnícévyvycházejícízesrdce)
normálníhoodpočívajícíhočlověkaje3cm
2
arychlost,jakou
jíprocházíkrev,je30cm·s
−1
.Typickávlásečnice(nejtenčí
cévanaperiferiikrevníhooběhu)máprůměrpřibližně6D1m
aobsahprůřezujetedyasiS = 3·10
−7
cm
2
;rychlostprou-
děníkrvevníjev =0,05cm·s
−1
.Kolikpřibližněmáčlověk
vlásečnic?
ŘEŠENÍ: Veškerákrev,kterázaurčitoudobuprotečevlá-
sečnicemi,musízastejnoudobuprotéciaortou.Tutoskuteč-
nostvystihujerov.(15.13),takže
S
0
v
0
= nSv,
kdenznačíhledanýpočetvlásečnic.Vypočtemejejzposlední
rovnice:
n =
S
0
v
0
Sv
=
(3cm
2
)(30cm·s
−1
)
(3·10
−7
cm
2
)(0,05cm·s
−1
)
=
=6·10
9
; tedy6miliard. (Odpovědquoteright)
Můžetelehceukázat,žeúhrnnýprůřezvšechvlásečnicjeasi
600krátvětšínežprůřezaorty.
PŘÍKLAD 15.8
Naobr.15.18jezobrazeno,jaksezužujeproudvodyvyté-
kající laminárně z vodovodního kohoutku. Obsah průřezu
S
0
= 1,2cm
2
a S = 0,35cm
2
. Průřezy jsou vodorovně
vzdáleny o h = 45mm.Jaký je objemový tok R proudu
vytékajícíhozkohoutku?
ŘEŠENÍ: Zrovnicekontinuity(15.13)plyne
S
0
v
0
= Sv, (15.14)
kdev
0
avjsourychlostivodpovídajícíchprůřezech.Protože
voda mezi oběma průřezy se pohybuje volným pádem se
zrychlenímg,můžemedlerov.(2.23)psát
v
2
= v
0
2
+2gh. (15.15)
Řešenímsoustavyposledníchdvourovnicdostanemepro v
0
vyjádření
v
0
=
radicalBigg
2ghS
2
S
0
2
−S
2
=
=
radicalBigg
2(9,8m·s
−2
)(0,045m)(0,35cm
2
)
2
(1,2cm
2
)
2
−(0,35cm
2
)
2
=
=0,286m·s
−1
=28,6cm·s
−1
.
HledanýobjemovýtokRjetedy
R = S
0
v
0
= (1,2cm
2
)(28,6cm·s
−1
) =
=34cm
3
·s
−1
. (Odpovědquoteright)
h
S
0
S
Obr.15.18 Příklad15.8.Kdyžproudvodyopustíkohoutek,roste
jehorychlost.Protožemnožstvívodyproteklékaždýmprůřezem
musí být stejné,bude se proud po výtoku z kohoutku zužovat,
„zaškrcujese“.
15.10 BERNOULLIOVA ROVNICE
Naobr.15.19jeznázorněnaproudovátrubice(můžetovšak
býtireálnátrubice),kteroustacionárněproudítekutina.Za
časový interval Delta1t vstoupí do trubice na levé (vstupní)
straněobjemtekutiny Delta1V,kterýjenaobr.15.19vybarven
purpurově,astejnýobjem,vybarvenýzeleněnaobr.15.19,
napravé(výstupní)stranětrubiciopustí.Výstupníobjem
musíbýtstejnýjakovstupní,protožepředpokládáme,že
tekutinajenestlačitelná,žetedymákonstantníhustoturho1.
Nechtquoterighty
1
,v
1
ap
1
jsouvýškavtíhovémpoli,rychlost
atlaktekutinyvmístě,kdevstupujedotrubicea y
2
, v
2
ap
2
tytéžveličinyvmístě,kdetekutinatrubiciopustí.Tyto
hodnotyjsouvázányvztahem
p
1
+
1
2
rho1v
1
2
+rho1gy
1
= p
2
+
1
2
rho1v
2
2
+rho1gy
2
, (15.16)
jakdáledokážemenazákladěenergetickýchúvah.Rov-
nici(15.16)můžemetéžzapsatjako
p+
1
2
rho1v
2
+rho1gy =konst., (15.17)
15.10 BERNOULLIOVAROVNICE 397
(a)
(b)
y
1
p
1
v
1
vstup
a
t
ideální
tekutina
x
y
x
y
y
2
p
2
v
2
t+Delta1t
výstup
Obr.15.19 Tekutinatečestacionárnětrubicímezivstupnímprů-
řezemnalevéstraněavýstupnímprůřezemnapravéstraně.Prů-
řezyjsouhorizontálněvzdálenyodélkua.Vdoběmeziokamži-
kemt (stavznázorněnvčásti(a)obrázku)aokamžikemt +Delta1t
(stavznázorněnvčásti(b)obrázku)množstvítekutinyvybar-
venépurpurověprojdevstupnímprůřezemdotrubiceastejné
množstvívybarvenézeleněprojdevýstupnímprůřezem.
čímžrozumíme,ževýrazmástejnouhodnotuprolibovolný
průřeztrubice.
Rov.(15.16) a (15.17) jsou ekvivalentní formy Ber-
noulliovyrovnicenazvanépoDanieluBernoulliovi,který
studovalprouděnítekutinv18.století.*Podobnějakorov-
nicekontinuity(rov.(15.13)),aniBernoulliovarovnicenení
úplně novým principem, ale je pouze přeformulováním
známýchrovnicdotvaruvhodnéhopromechanikuteku-
tin.Abychomsirovniciověřili,aplikujemejinatekutinu
vklidu.Položímetedyvrov.(15.16)v
1
= v
2
=0adosta-
neme
p
2
= p
1
+rho1g(y
1
−y
2
),
cožjezestatikytekutinznámárov.(15.4).
* Vnevírovém(potenciálovém)prouděnímákonstantavrov.(15.17)
stejnouhodnotuvevšechbodechuvažovanéhoproudícíhosystému;
body 1 a 2 srovnávané při formulaci Bernoulliovy rovnice dané
rov.(15.16)mohoubýtkdekolivvproudícímsystému.Předpoklad,
že proudění je nevírové,je však velmi silný a často (např. v řadě
dáleřešenýchpříkladů)nebývásplněn.Ivevírovémprouděnívšak
Bernoulliovarovniceplatí,alepouzepodélproudnice.
ZákladnítvrzeníBernoulliovyrovniceseukáže,když
položímeyrovnokonstantě(např.y =0),tedykdyžpřed-
pokládáme,žetekutinatečevodorovně.Rov.(15.16)pak
přejdenatvar
p
1
+
1
2
rho1v
1
2
= p
2
+
1
2
rho1v
2
2
, (15.18)
kterýříká:
Kdyžpřiprouděnípovodorovnéproudnicivzrůstárych-
lostčástictekutiny,pakklesátlaktekutiny,aobráceně.
Jinýmislovy,kdyžsepřiprouděnídostanouproudnice
blízkoksobě(známkatoho,žerychlostprouděnívzrostla),
tlakpoklesne,anaopak.
Vztahmezizměnourychlostiazměnoutlakuseobjas-
ní,sledujeme-lichováníčásticetekutiny.Kdyžsečástice
přiblížíúzkémumístutrubice,zrychlíjivětšítlakzaní,
takžemávúžiněvětšírychlost.Kdyžsepřiblížíširšímu
místutrubice,zbrzdíjivyššítlakpředníaširšímmístem
pakprocházímenšírychlostí.
Zatímjsmesezabývalijenideálnítekutinou.Je-lite-
kutinaviskózní,zahříváse.Stoutoenergetickouztrátoupři
následujícímodvozenírovnicenepočítáme.
Odvození Bernoulliovy rovnice
Zasystémzvolímecelýobjem(ideální)tekutinybarevně
vyznačenýnaobr.15.19.Aplikujemeenergetickéúvahyna
přechodtohotosystémuzvýchozípolohy(obr.15.19a)do
polohykoncové(obr.15.19b).Stavtekutinymezidvěma
svislými rovinami vzdálenými o a, znázorněnými na
obr.15.19,sevprůběhudějenemění.Protosesoustředíme
pouzenaprůběhvstuputekutinydotrubiceavýstupuzní.
Vlastnídůkazprovedemetak,ženasystémaplikujeme
obecnouvětu
W = Delta1E
k
, (15.19)
kteráříká,žepráce W vykonanánasystémserovnápří-
růstkukinetickéenergiesystémuDelta1E
k
.Přírůstekkinetické
energienašehosystémumezidvěmastavyznázorněnými
naobr.15.19jedánrozdílemrychlostitekutinymezioběma
konciuvažovanétrubice:
Delta1E
k
=
1
2
Delta1mv
2
2
−
1