hrw14

gravitační síle,nebotquoteright se bedna pouze otáčí,ale
nepohybuje se po kružnici.
Rozdíl tíhových zrychlení na rovníku a na pólu není
velký (na rovníku je g
.
= 9,78m·s
−2
, na pólu g
.
=
.
= 9,83m·s
−2
), a proto ho obvykle zanedbáváme. Také tí-
hovou sílumgmůžeme aproximovat gravitační silou podle
rov.(14.10).
PŘÍKLAD14.3
Uvažujme pulzar, extrémně hustou zkolabovanou hvězdu,
shmotností Slunce M = 1,98·10
30
kg, ale spoloměrem
pouze R = 12km a srotační periodou T = 0,041s. Jak
se procentuálně liší na jeho rovníku tíhové zrychlení g od
gravitačníhoa
g
?
ŘEŠENÍ: Hodnotu a
g
na povrchu pulzaru najdeme podle
rov.(14.12), kde R nahradí r a M bude hmotnost pulzaru.
Dosazením daných hodnot dostaneme
a
g
=
GM
R
2
=
(6,67·10
−11
m
3
·kg
−1
·s
−2
)(1,98·10
30
kg)
(12000m)
2
=
= 9,2·10
11
m·s
−2
.
Dosazením daných hodnot do rov.(14.15) a vydělením a
g
dostaneme
a
g
−g
a
g
=
parenleftbigg
2D4
T
parenrightbigg
2
R
a
g
=
parenleftbigg
2D4
0,041s
parenrightbigg
2
(12000m)
(9,2·10
11
m·s
−2
)
=
= 3,1·10
−4
= 0,031%. (Odpovědquoteright)
Přestožepulzarrotujevelmirychle,ovlivní jehorotacetíhové
zrychlení jen málo, protože poloměr pulzaru je velmi malý.
PŘÍKLAD14.4
(a) Astronaut vysoký h = 1,70m se vznáší nohama dolů
vraketoplánunaoběžnédrázevevzdálenostir = 6,77·10
6
m
od středu Země. Jaký je rozdíl v gravitačním zrychlení jeho
chodidel a hlavy?
ŘEŠENÍ: Rov.(14.12) nám říká, že gravitační zrychlení ve
vzdálenostir od středu Země je
a
g
=
GM
Z
r
2
, (14.16)
kde M
Z
je hmotnost Země. Nemůžeme dost dobře použít
dvakrát rov.(14.16), jednou s r = 6,77·10
6
mprochodi-
dla a potom s r = 6,77·10
6
m + 1,70m pro hlavu. Pokud
bychom to udělali, kalkulačka by nám dala stejný výsledek
pro obě hodnoty a rozdíl by byl nulový;hje totiž příliš malé
v porovnání sr. Místo toho zderivujeme rov.(14.16) podler
azískáme
da
g
=−2
GM
Z
r
3
dr, (14.17)
kde da
g
je infinitezimální změna gravitačního zrychlení způ-
sobená infinitezimální změnou dr. Pro astronauta je dr = h
a r = 6,77·10
6
m. Nahradíme-li veličiny v rov.(14.17), do-
staneme
da
g
=−2
(6,67·10
−11
m
3
·kg
−1
·s
−2
)(5,98·10
24
kg)
(6,77·10
6
m)
3
·
·(1,70m)=−4,37·10
−6
m·s
−2
. (Odpovědquoteright)
Tento výsledek znamená, že gravitační zrychlení, a tím i síla
působící směrem k Zemi na astronautova chodidla, je větší
než na jeho hlavu. Tento rozdíl mezi silami, kterými pů-
sobí nehomogenní pole na různé části téhož (dostatečně roz-
lehlého) tělesa, se nazývá slapovásíla; způsobuje, že se ast-
ronautovo tělo protahuje.V tomto případě je ovšem tak malá,
že je prakticky neměřitelná.
(b) Pokud by astronaut ve stejné poloze obíhal na stejné
dráze o poloměrur = 6,77·10
6
m, ale tentokrát kolem černé
díry o hmotnosti M
č
= 1,99·10
31
kg (což je desetinásobek
hmotnosti Slunce), jaký by byl rozdíl gravitačního zrychlení
jehochodidelahlavy?Černádíramápovrch(zvanýhorizont
černé díry) o poloměru R
č
= 2,95·10
4
m. Nic, ani světlo,
neunikne z této hranice,natož z vnitřního prostoru černédíry.
Povšimněme si, že astronaut je (moudře) dost daleko od této
hranice (r = 229R
č
).
ŘEŠENÍ: Opět použijeme rov.(14.17),kde dosadímeM
č
=
= 1,99·10
31
kg zaM
Z
.Dostaneme
da
g
=−2
(6,67·10
−11
m
3
·kg
−1
·s
−2
)(1,99·10
31
kg)
(6,77·10
6
m)
3
·
·(1,70m)=−14,5m·s
−2
. (Odpovědquoteright)
Tentokrát je gravitační zrychlení astronautových chodidel
směrem k černé díře značně větší než to, které působí na
jeho hlavu. Slapová síla, natahující jeho tělo, by byla sice
snesitelná, ale dosti bolestivá. Pokud by se přiblížil k černé
díře ještě více, natahování by drasticky stouplo.
14.5 GRAVITAČNÍ POLE UVNITŘ ZEMĚ
Newtonův slupkovýteorémmůžeme použíttaké na situaci,
v níž je částice umístěna uvnitř homogenní kulové slupky,
a to v tomto tvaru:
14.6 GRAVITAČNÍ POTENCIÁLNÍ ENERGIE 363
Homogenní kulová hmotná slupkanepůsobížádnouvý-
slednougravitačnísilouna částici umístěnou uvnitř této
slupky.
Kdyby byla hustota Země konstantní (tj. kdyby byla
Zeměhomogenní),pakbygravitačnísílapůsobícínačástici
byla maximální na povrchu Země. S klesající vzdáleností
od středu Země by lineárně klesala k nule; hmotná slupka
ležící nad částicí totiž nepřispívá k celkové síle působící na
částici. Hustota Země však konstantní není a její jádro je
podstatně hustší než její pláštquoteright. Začne-li tedy částice klesat
podpovrch,převažujenejprvevlivhustšíhojádraacelková
gravitační síla působící na částici roste. V určité hloubce
dosáhne maxima a teprve při dalším pohybu směrem ke
středu Země se opět začne zmenšovat, prakticky až k nu-
le.
PŘÍKLAD14.5
Představme si tunel procházející skrz Zemi od pólu k pólu
(obr.14.8).Předpokládejme,žeZemějenerotujícíhomogenní
koule. Najděte gravitační sílu působící na částici o hmot-
nosti m, která je puštěna do tunelu, když dosáhne vzdále-
nostir od středu Země.
m
M
prime
r
Obr.14.8 Příklad 14.5. Částice je puštěna do tunelu vyvrtaného
skrz zeměkouli.
ŘEŠENÍ: Síla působící na částici je vyvolána jen tou hmo-
tou Země, která leží uvnitř koule o poloměru r. Část Země,
která leží vně této koule, nepůsobí na částici žádnou výsled-
nou silou. HmotnostM
prime
vnitřní části je dána vztahem
M
prime
=rho1V
prime
=rho1
4D4r
3
3
, (14.18)
kde V
prime
je objem (který je ohraničen přerušovanou čarou
v obr.14.8),M
prime
je hmotnost části Země uvnitř tohoto objemu
arho1je předpokládaná hustota homogenní Země.
Síla působící na částici je po užití rov.(14.1) a (14.18)
určena vzorcem
F =−
GmM
prime
r
2
=−
Gmrho14D4r
3
3r
2
=−
parenleftbigg
4D4mGrho1
3
parenrightbigg
·r =
=−K·r, (Odpovědquoteright) (14.19)
kdeK je konstanta rovná 4D4mGrho1/3. Znaménko minusjsme
ponechali proto, abychom zdůraznili, že síla F a polohový
vektor r mají opačný směr. Síla směřuje do středu Ze-
mě, zatímco polohový vektor směřuje od středu Země ven.
Rov.(14.19)námtedyříká,žesílapůsobícínačásticijepřímo
úměrnávýchylcečásticeodstředuZemě,alemáopačnýsměr.
ChovásetedypodobnějakosílapružnostivHookovězákonu.
14.6 GRAVITAČNÍ POTENCIÁLNÍ
ENERGIE
V čl.8.3 jsme probírali gravitační potenciální energii E
p
soustavy částice+Země. Zabývali jsme se případem, kdy
částice byla poměrně blízko zemského povrchu a gravi-
tační sílu jsme mohli pokládat za konstantní. Zvolili jsme
vhodnou referenční konfiguraci pro nulovou potenciální
energii čili konfiguraci, k níž budeme potenciální energii
vztahovat.Často bývá takovou konfigurací částiceležícína
povrchu Země. Neleží-li částice na povrchu Země, pakE
p
klesá, když se zmenšuje vzdálenost mezi částicí a Zemí.
V této kapitole rozšíříme dosavadní pojetí a budeme
uvažovat gravitační potenciální energii E
p
soustavy dvou
částic o hmotnostech m a M, které jsou od sebe vzdá-
lenyr. Znovu si zvolíme konfiguraci, při níž budeE
p
= 0.
Abychom si však zjednodušili rovnice, bude to tentokrát
ve vzdálenosti r natolik velké, abychom ji mohli nahradit
nekonečnouvzdáleností.Stejně jako předtímse potenciální
energie zmenšuje, když se zmenšuje vzdálenost částic. Za-
vedeme-li tedyE
p
= 0pror →∞, bude potenciální ener-
gie pro každou konečnou vzdálenost záporná a bude mít
tím větší absolutní hodnotu |E
p
|, čím blíže budou částice
u sebe.
Jakdáledokážeme,budegravitačnípotenciálníener-
giesystému dvou částic rovna
E
p
=−
GMm
r
(gravitační potenciální energie). (14.20)
Všimněme si, že seE
p
(r)skutečně blíží k nule, když ser
blíží k nekonečnu, a že pro každou konečnou hodnotur je
E
p
(r)záporné.
Energie daná rov.(14.20) je vlastností soustavy dvou
částic, nikoli jedné osamocené částice. Tuto energii nelze
364 KAPITOLA 14 GRAVITACE
rozdělit a říci, že tolik a tolik přísluší jedné částici a zbytek
té druhé. Je-li však M greatermuch m, jako třeba pro Zemi a míč,
hovoříme často o „potenciální energii míče“. Můžeme to
takříciproto,žekdyžsemíčpohybujevblízkostizemského
povrchu, projevují se změny v potenciální energii soustavy
míč+Zemějenjakozměnykinetickéenergiemíče,zatímco
změny kinetické energie Země jsou příliš malé na to, aby
byly měřitelné. (Naproti tomu změna hybnosti je stejně
velká pro Zemi i pro malý míček; proč?) Podobně budeme
v čl.14.8 mluvit o „potenciální energii umělé družice“,
která obíhá kolem Země, protože hmotnost družice je také
mnohemmenšínežhmotnostZemě.Budeme-livšakmluvit
o potenciální energii těles se srovnatelnými hmotnostmi,
musímesnimizacházetzasejakoscelkem—sesoustavou.
Pokud náš systém obsahuje více než dvě částice, uva-
žujeme postupně každou dvojici částic a počítáme energii
každé dvojice podle rov.(14.20), jako by tam ostatní čás-
tice nebyly. Nakonec všechny tyto příspěvky algebraicky
sečteme. Použijeme-li rov.(14.20) na každou ze tří dvojic
z obr.14.9, dostaneme potenciální energii tohoto systému
jako
E
p
=−
parenleftbigg
Gm
1
m
2
r
12
+
Gm
1
m
3
r
13
+
Gm
2
m
3
r
23
parenrightbigg
. (14.21)
m
1
m
2
m
3
r
12
r
13
r
23
Obr.14.9 Třičásticepůsobícínasebevzájemnýmigravitačními
silami.Gravitačnípotenciálníenergietohotosystémujesoučtem
dílčích energií každé ze tří možných dvojic.
Kulová hvězdokupa (obr.14.10) v souhvězdí Střelce
je dobrým příkladem systému částic, který se vyskytuje
v přírodě. Obsahuje kolem 70000 hvězd, které lze spáro-
vat 2,5·10
9
různými způsoby. Zamyslíme-li se nad touto
strukturou, uvědomíme si, jak obrovské množství gravi-
tační potenciální energie je ve vesmíru nahromaděno.
Odvození rov.(14.20)
Nechtquoteright míček, pohybující se z klidu ve velké (nekonečné)
vzdálenosti od Země, padá do bodu P, jak je znázorněno
na obr.14.11. Potenciální energie soustavy míček+Země
je na počátku nulová. Když míček dosáhne bodu P, bude
potenciální energie rovna záporně vzaté práciW vykonané
Obr.14.10 Kulová hvězdokupa, jako např. tato v souhvězdí
Střelce,obsahujedesítkytisíchvězduspořádanýchvevýsledném
kulovitém útvaru. V naší Galaxii, kterou vidíme jako Mléčnou
dráhu, je mnoho takových hvězdokup a některé z nich jsou vi-
ditelné již malým dalekohledem.
R
P
m
r
dr
F
M
Obr.14.11 Míček o hmotnosti m padá k Zemi z nekonečna
podél radiální přímky a prochází bodem P, který je ve vzdále-
nostiR od středu Země.
gravitační silou působící na míček, která ho přesunula do
boduP z jeho vzdálené polohy. Z rov.(8.5) plyne
E
p
=−W =−
integraldisplay
R
∞
F(r)·dr. (14.22)
Meze integrálu jsou dány počáteční vzdáleností míčku,
kterou bereme jako nekonečnou, a jeho koncovou vzdá-
lenostíR.
Vektor F(r) v rov.(14.22) směřuje radiálně do středu
Země v obr.14.11 a vektor dr míří radiálně od něj, takže
úhelϕ mezi těmito vektory je 180
◦
.Jetedy
F(r)·dr =F(r)(cos180
◦
)(dr)=
=−F(r)dr. (14.23)
ZaF(r)v rov.(14.23) nyní dosadíme z Newtonova gravi-
tačního zákona (rov.(14.1)) a dostáváme
F(r)·dr =−
GMm
r
2
dr.
14.6 GRAVITAČNÍ POTENCIÁLNÍ ENERGIE 365
Dosadíme-li ještě tento výraz do rov.(14.22), získáme vý-
sledek
E
p
=
integraldisplay
R
∞
parenleftbigg
GMm
r
2
parenrightbigg
dr =−
bracketleftbigg
GMm
r
bracketrightbigg
R
∞
=−
GMm
R
,
což odpovídá přímo rov.(14.20).
M
E
C
D
A
B
Obr.14.12 Práce vykonaná gravitační silou při přesunu míčku
zAdoE je nezávislá na cestě, po níž se míček pohybuje.
V rov.(14.22) nezáleží na trajektorii,po které se míček
k Zemi pohybuje. Uvažujme cestu vytvořenou z malých
kroků,jakonaobr.14.12.Podélkroků,jakojeABneboCD,
kdy se nemění vzdálenost od Země, se nekoná žádná prá-
ce, protože gravitační síla je při nich kolmá na posunutí.
Celková práce vykonaná při radiálních krocích, jako třeba
BC, je tedy stejná jako práce vykonaná při pohybu podél
jedné radiální přímky, což je vidět na obr.14.12. Výsledná
prácevykonanágravitačnísiloupůsobícínačásticipřijejím
pohybu mezi libovolnými dvěma body je tedy nezávislá na
cestě, po které se částice pohybuje, ale závisí pouze na po-
čáteční a koncové poloze dané částice. Tuto práci můžeme
jednoduše spočítat jako záporně vzatý rozdíl potenciální
energie v těchto dvou bodech
W =−Delta1E
p
=−(E
p,f
−E
p,i
), (14.24)
kdeE
p,f
je potenciální energie v koncovém aE
p,i
v počá-
tečním bodě. A právě to jsme chtěli říci v kap.8 slovy, že
gravitační síla je konzervativní. A jak jsme už výše roze-
brali, pokud by práce na cestě závisela (jako např. u třecí
síly),paktakovásílanenípotenciálováapotenciálníenergii
nelze zavést.
Potenciální energie a síla
V důkazu rov.(14.20) jsme odvodili potenciální energiiE
p
ze síly F. Měli bychom být také schopni postupovat ob-
ráceně, tedy začít od potenciální energie a dojít k síle. Se
znalostí rov.(8.19) můžeme zapsat její radiální složku
F
r
=−
dE
p
dr
=−
d
dr
parenleftbigg
−
GMm
r
parenrightbigg
=
=−
GMm
r
2
. (14.25)
To je právě Newtonův gravitační zákon (rov.(14.1)). Zna-
ménko minus udává, že síla působící na hmotumsměřuje
radiálně dovnitř, směrem k hmotěM.
Úniková rychlost
Když vypálíme střelu svisle vzhůru, začne se zpomalovat,
až se obvykle v jisté výšce na okamžik zastaví a pak se
zasevracíkZemi.Existujevšakjistápočátečnírychlost,při
které se částice bude pohybovat vzhůru navždy a zastaví
se teoreticky až v nekonečnu. Tato počáteční rychlost se
nazýváúnikovárychlost.
Uvažujme střelu o hmotnosti m, která opouští povrch
planety (nebo nějakého astronomického tělesa či systému)
súnikovourychlostí v.Jejíkinetickáenergiejerovna
1
2
mv
2
a potenciální energieE
p
je dána podle rov.(14.20):
E
p
=−
GMm
R
,
kdeM je hmotnost planety aR její poloměr.
Kdyžstřeladosáhnenekonečna,zastavíseanemátedy
žádnou kinetickou energii. Nemá ani žádnou potenciální
energii, protože polohu v nekonečnu jsme zvolili za konfi-
guracisnulovoupotenciálníenergií.Celkováenergiestřely
v nekonečnu je proto nulová. Ze zákona zachování energie
plyne, že její celková energie na povrchu planety musela
být také nulová, takže platí
E
k
+E
p
=
1
2
mv
2
+
parenleftbigg
−
GMm
R
parenrightbigg
= 0.
Z toho plyne
v=
radicalbigg
2GM
R
. (14.26)
Úniková rychlost nezávisí na směru, kterým je střela vy-
puštěna. Uvážíme-li však rotaci Země kolem vlastní osy, je
získání této rychlosti snadnější, pokud je střela vypuštěna
ve směru pohybu Země. Například rakety startující na vý-
chod od mysu Canaveral mají navíc rychlost 1500km/h,
kterou se mys pohybuje na východ díky rotaci Země.
Tabulka 14.2 Příklady únikových rychlostí
TĚLESO
M
kg
R
m
v
km·s
−1
Ceres
a
1,17·10
21
3,8 ·10
5
0,64
Měsíc 7,36·10
22
1,74·10
6
2,38
Země 5,98·10
24
6,37·10
6
11,2
Jupiter 1,90·10
27
7,15·10
7
59,5
Slunce 1,99·10
30
6,96·10
8
618
SiriusB
b
2·10
30
1·10
7
5200
neutronová hvězda
c
2·10
30
1·10
4
2·10
5
a
nejhmotnější asteroid (planetka)
b
bílýtrpaslík(hvězda v koncovém stádiu vývoje), který je souputní-
kem jasné hvězdy Siria
c
zhroucené jádro hvězdy, které zbylo po jejím výbuchu vsupernovu.
366 KAPITOLA 14 GRAVITACE
Rov.(14.26) můžeme použít k určení únikové rych-
losti střely z jakéhokoli astronomického objektu, dosa-
díme-lizaMhmotnost tohoto objektu a zaRjehopoloměr.
Tab.14.2udáváúnikovérychlostizvybranýchastronomic-
kých těles.
K
ONTROLA 4: Míč o hmotnosti m vzdalujeme z po-
vrchu koule o hmotnostiM. (a) Roste, nebo klesá gra-
vitačnípotenciálníenergiesoustavymíč+koule?(b)Je
prácekonanágravitačnísiloumezimíčemakoulíklad-
ná, nebo záporná?
PŘÍKLAD14.6
Asteroid letící přímo na Zem má ve vzdálenosti deseti po-
loměrů Země od jejího středu rychlost 12km/svůči Zemi.
Pokud pomineme vliv zemské atmosféry na jeho pohyb, ur-
čete, jakou rychlostí na Zemi dopadne.
ŘEŠENÍ: Jelikož je hmotnost asteroidu mnohem menší než
hmotnost Země, můžeme gravitační potenciální energii sys-
tému Země+asteroid připsat jen samotnému asteroidu. Mů-
žemetakézanedbatzměnurelativnírychlostiZeměvzhledem
kasteroiduběhemjeholetu.Protože zanedbávámevlivatmo-
sféryna asteroid,zachovává se mechanická energie asteroidu
během letu, tedy
E
k,f
+E
p,f
=E
k,i
+E
p,i
,
kde E
k
a E
p
jsou kinetická a potenciální energie asteroidu
a indexy f a i označují stav koncový (ve vzdálenosti 1 polo-
měru Země) a počáteční (ve vzdálenosti 10 poloměrů Země).
Označmemhmotnost asteroidu,M = 5,98·10
24
kg hmot-
nost Země a R = 6378km poloměr Země. Použijeme-li
rov.(14.20) pro potenciální energii a
1
2
mv
2
pro kinetickou
energii, dostaneme
1
2
mv
2
f
−
GMm
R
=
1
2
mv
2
i
−
GMm
10R
.
Úpravou rovnice a dosazením známých hodnot získáme
v
2
f
=v
2
i
+
2GM
R
parenleftbigg
1−
1
10
parenrightbigg
=
=(12·10
3
m·s
−1
)
2
+
+
2(6,67·10
−11
m
3
·kg
−1
·s
−2
)(5,98·10
24
kg)
(6,37·10
6
m)
0,9 =
= 2,567·10
8
m
2
·s
−2
a odtud plyne
v
f
= 1,60·10
4
m·s
−1
= 16km/s. (Odpovědquoteright)
Při této rychlosti by asteroid nemusel být nijak zvláštquoteright ve-
liký k tomu, aby způsobil na Zemi vážné škody. I kdyby měl
například průměr pouhých 5m, uvolnil by jeho dopad tolik
energie jako výbuch jaderné bomby v Hirošimě. Varovné je,
že v blízkosti oběžné dráhy Země se nachází 500 milionů po-
dobných asteroidů. V roce 1944 jeden z nich zřejmě pronikl
zemskou atmosférou a explodoval ve výšce 20km nedaleko
osamělého ostrova v jižním Pacifiku. Tím způsobil, že se na
šesti válečných satelitech spustil varovný signál před jader-
nou explozí. Asteroid o průměru 500m (a takových může
být poblíž zemské oběžné dráhy milion) by mohl zničit ce-
lou moderní civilizaci a téměř vyhladit celé lidstvo. Víme-li
však o něm včas, umíme ho už (výbuchem) vhodně vychýlit
z dráhy. (Jak je vidět, fyzika, astronomie i technika mohou
lidstvu opravdu prospět.)
14.7 PLANETY A DRUŽICE:
KEPLEROVY ZÁKONY
Pohyby planet, které po obloze putují na pozadí hvězd,
byly hádankou již od dávných časů. Smyčkovitý pohyb
Marsu, znázorněný na obr.14.13, byl obzvláště matoucí.
JohannesKepler (1571–1630) formuloval po celoživot-
ním studiu empirické zákony, kterými se tyto pohyby řídí.
Tycho Brahe (1546–1601), který jako poslední z velkých
astronomů prováděl pozorování bez pomoci dalekohledu,
nashromáždil rozsáhlé množství poznatků a údajů, které
umožnily Keplerovi odvodit tři zákony o pohybech pla-
net,nesoucídnesKeplerovojméno.PozdějiukázalNewton
(1642–1727), že z jeho gravitačního zákona lze Keplerovy
empirické zákony odvodit i teoreticky.
14.října
6.června
4.září
26.července
Obr.14.13 Dráhaplanety Mars,po nížse pohybovala napozadí
souhvězdí Kozoroha během roku 1971. Na obrázku je znázor-
něnajehopolohavečtyřechrůznýchdnech.PlanetyMarsiZemě
se obě pohybují po oběžných drahách kolem Slunce; zde vidíme
polohuMarsuvzhledemkZemi.Díkytomupozorujemenadráze
Marsu zdánlivé smyčky.
Probereme si postupně každý z Keplerových zákonů.
Nejprve formulace pro skutečné planety naší sluneční sou-
stavy:
14.7 PLANETY A DRUŽICE: KEPLEROVY ZÁKONY 367
1.Keplerůvzákon(zákonoběžnýchdrah): Planety se
pohybují kolem Slunce po elipsách (jen málo odlišných
od kružnic), v jejichž společném ohnisku je Slunce.
Ačkolijsou zdezákonyformulovány proplanety,které
sepohybujíkolemSlunce,platístejnědobřeprodružice(sa-
telity),atquoterightužpřírodníneboumělé,kteréobíhajíkolemZemě
nebo jakéhokoli jiného objektu, v tomto trochu obecnějším
znění:
Obecná formulace 1. Keplerova zákona: Částice se pod
vlivem centrální síly pohybuje po kuželosečce (kružni-
ci, elipse, parabole nebo hyperbole), která má ohnisko
v centru síly.
Obr.14.14představujeplanetuohmotnostimobíhající
po jedné z oběžných drah kolem Slunce, jehož hmotnost
jeM. Předpokládáme, žeM greatermuchm, a proto těžiště soustavy
planeta+Slunce leží téměř ve středu Slunce (úloha 88).
a
r
m
FF
prime
ff
S
M
θ
R
p
R
a
Obr.14.14 Planeta o h