hrw11

častěji, je limitou průměrné úhlové rychlosti, vy-
jádřené vztahem (11.5), při poklesu veličinyDelta1t k nulové
hodnotě,tj.
ω= lim
Delta1t→0
Delta1θ
Delta1t
=
dθ
dt
. (11.6)
Známe-li časovou závislost úhlové polohy θ(t), můžeme
úhlovourychlostωsnadno určit jejím derivováním.
Rov.(11.5) a (11.6) platí nejen pro rotující tuhé těleso
jako celek, ale také pro každou jeho částici. Jako jednotku
úhlové rychlosti používáme nejčastěji radián za sekundu
(rad/s),někdy i počet otáček za sekundu (ot/s).
Pohybuje-li se částice podél osyx, je její rychlostv
x
kladná, nebo záporná podle toho, zda se pohyb děje ve
směru rostoucí, nebo klesající souřadnicex. Také úhlová
rychlostmůžemít kladné,nebozápornéznaménko.V prv-
nímpřípaděsetělesootáčívesměrurostoucíhoúhluθ(proti
směru otáčení hodinových ručiček), v druhém případě ve
směru klesajícího úhlu θ (ve směru otáčení hodinových
ručiček).
Předchozí definici ještě upřesníme: úhlovou rychlost
rotujícího tělesa definujeme jako vektor ! rovnoběžný
s osou otáčení, jehož složka měřená podél této osy je dána
vztahem(11.6).Velikost vektoruúhlovérychlostiznačíme
obvyklerovněžsymbolemω.Seslovnímspojením„úhlová
rychlost“ se tedy můžeme setkat dokonce v trojím význa-
mu.Můžepředstavovatvektor,jehosložkudoosyrotaceči
jeho velikost. Nemusíme však mít obavu, že bychom tyto
možnostinedokázalivtextudobřerozpoznat.Věta„Úhlová
rychlostměnísměr“zcelajistěvypovídáoúhlovérychlosti
jako o vektoru a věta „Úhlová rychlost činí 50 otáček za
sekundu“se nepochybnětýká její velikosti.
Úhlové zrychlení
Vpřípadech,kdyúhlovárychlostrotujícíhotělesaneníkon-
stantní,mátělesonenulovéúhlovézrychlení.Dejmetomu,
že úhlová rychlost tělesa v okamžiku t
1
je ω
1
a v oka-
mžikut
2
má hodnotuω
2
. Průměrnéúhlovézrychlenítě-
lesavčasovémintervaluodt
1
dot
2
pakdefinujemevztahem
ε=
ω
2
−ω
1
t
2
−t
1
=
Delta1ω
Delta1t
, (11.7)
kdeDelta1ωje změnaúhlovérychlostiv danémčasovéminter-
valu délkyDelta1t. (Okamžité)úhlovézrychleníε, se kterým
budeme pracovat nejčastěji, je limitou průměrného úhlo-
vého zrychlenípři poklesu hodnotyDelta1tk nule. Platí tedy
ε= lim
Delta1t→0
Delta1ω
Delta1t
=
dω
dt
. (11.8)
Rov.(11.7)a(11.8)platínejenprorotujícítuhétělesojako
celek,aleiprokaždoujehočástici.Nejužívanějšíjednotkou
úhlovéhozrychleníjeradiánzasekundunadruhou(rad/s
2
),
případněpočet otáček za sekunduna druhou(ot/s
2
).
Podobně jako u úhlové rychlosti můžeme i zde zavést
vektor úhlového zrychlení: " = d!/dt. Jeho směr je dán
osouasměremotáčení.Situacejetedyobdobnájakoujed-
norozměrnýchvektorův kap.2.
PŘÍKLAD11.1
Časová závislost úhlové polohy vztažné přímky rotujícího
kola je dána vztahem
θ =t
3
−27t+4,
kdet je v sekundách aθ v radiánech.
(a) Určeteω(t)aε(t).
ŘEŠENÍ: Úhlovou rychlost ω(t) najdeme jako derivaci
funkceθ(t)podle času:
ω=
dθ(t)
dt
= 3t
2
−27. (Odpovědquoteright)
11.3 JSOU ÚHLOVÉVELIČINY VEKTOROVÉ? 267
Dalším derivováním získáme úhlové zrychleníε(t):
ε=
dω(t)
dt
=
d(3t
2
−27)
dt
= 6t. (Odpovědquoteright)
(b) Zjistěte, zda se v některém okamžiku úhlová rychlost
anuluje. Ve kterém?
ŘEŠENÍ: Požadavekω(t)= 0 vede k rovnici
0 = 3t
2
−27,
jejíž řešení má tvar
t =±3. (Odpovědquoteright)
Okamžitáúhlovárychlostkolajenulovávokamžicícht = 3s
at =−3s (3 sekundy před začátkem měření).
(c) Popište pohyb kola protBP 0.
ŘEŠENÍ: Všimněmesipodrobnějičasovýchzávislostíθ(t),
ω(t)aε(t).
V okamžiku t = 0 (začátek měření) má vztažná přímka
úhlovou polohu θ = 4rad, kolo se otáčí úhlovou rychlostí
−27rad/s (tedy vesměruotáčení hodinových ručiček) a jeho
úhlové zrychlení je nulové.
Vintervalu0