hrw10

isrážceznázorněnénaobr. 10.3.Obsah
plochy pod grafem funkce F(t)určuje velikost impulzu J této
síly. (b) Výška obdélníka představuje velikost F průměrné síly
v časovém intervaluDelta1t. Obsah obdélníka je shodný s obsahem
plochypodkřivkouF(t)naobr. (a),atedyisvelikostíimpulzuJ.
Ze vztahů (10.2) a (10.3) je zřejmé, že změna hybnosti
tělesa při srážce je dána impulzem výslednice sil, které na
toto těleso během srážky působí.
p
f
− p
i
=Delta1p = J
(vztah mezi
změnou hybnosti
a impulzem síly).
(10.4)
Tyto síly jsou vnitřními silami soustavy těles L a P.
Vnější síly na soustavu nepůsobí. Podle zákona zachování
hybnosti je tedy změna celkové hybnosti soustavy nulová.
Změnu hybnostitělesa P, vystupujícíve vztahu (10.4),jsme
označili symbolemDelta1p. Změna hybnosti tělesa L je proto
−Delta1p. Vztah (10.4) můžeme také rozepsat do složek:
p
f,x
−p
i,x
=Delta1p
x
=J
x
, (10.5)
p
f,y
−p
i,y
=Delta1p
y
=J
y
, (10.6)
a
p
f,z
−p
i,z
=Delta1p
z
=J
z
. (10.7)
Impulz síly i hybnost jsou vektorové veličiny a mají stejný
fyzikální rozměr. Uvědomme si, že vztah (10.4) není ně-
jakým novým fyzikálním zákonem či nezávislým tvrze-
ním, nýbrž přímým důsledkem druhého Newtonova záko-
na, z něhož jsme jej odvodili. Je však velmi užitečný při
řešení určitého typu fyzikálních úloh, podobně jako třeba
zákon zachování mechanické energie.
Označíme-liF velikost průměrné síly určenou z grafu
na obr.10.4a, můžemevelikost impulzusíly zapsat ve tvaru
J =FDelta1t, (10.8)
240 KAPITOLA 10 SRÁŽKY
kde Delta1t je doba trvání srážky. Hodnotu F najdeme jako
výšku obdélníka o základně tvořené časovým intervalem
od t
i
do t
f
(obr.10.4b), jehož obsah je shodný s obsahem
plochy pod křivkou na obr.10.4a.
K
ONTROLA 1: Výsadkář, jemuž se při seskoku neote-
vřel padák, měl štěstí. Dopadl na hustě zasněženou
pláň,atak utrpěljen drobnáporanění.Kdybydopadlna
holou zem,byla by dobanárazu10krátkratšíajehozra-
nění by mohla být i smrtelná. Jak ovlivní silná sněhová
pokrývka (a) změnu hybnosti výsadkáře, (b) impulz
brzdící síly a (c) její velikost?
Opakované srážky
Předpokládejme, že na těleso R pevně spojené s podlahou
dopadáve směru osyxustálený tok částic o stejné hybnosti
mv(obr.10.5).ImpulzJsíly,jíž každá z dopadajícíchčástic
na těleso R působí,má stejnou velikost jako změna hybnosti
částiceDelta1p, avšak opačný směr. Je tedyJ =−Delta1p. Předpo-
kládejme, že za dobuDelta1t narazí na tělesončástic. Celkový
silový impulz za tuto dobu určuje podle vztahu (10.4) cel-
kovou změnu hybnosti tělesa, tj.
J =−nDelta1p. (10.9)
Po dosazení tohoto výsledku do rovnice (10.8) a malé
úpravě získáme průměrnou sílu F působící při srážce na
těleso R:
F =
J
Delta1t
=−
n
Delta1t
Delta1p =−
n
Delta1t
mDelta1v. (10.10)
Získaný vztah vyjadřuje F jako funkci frekvence dopadu
částicn/Delta1t na těleso R a změny jejich rychlostiDelta1v.
Pokud se dopadající částice po nárazu zastaví, je třeba
do vztahu (10.10) dosadit
Delta1v=v
f
−v
i
= 0−v=−v, (10.11)
kde v
i
= v a v
f
= 0 jsou rychlosti částic před srážkou
a po srážce. Pokud se však částice při srážce odrazí zpět se
stejně velkou rychlostí, jev
f
=−v. Pak dostaneme
Delta1v=v
f
−v
i
=−v−v=−2v. (10.12)
Celková hmotnost částic, které za dobu Delta1t narazí do tě-
lesa R,jeDelta1m=nm.S ohledemna tuto skutečnostmůžeme
vztah (10.10) přepsat do tvaru
F =−
Delta1m
Delta1t
Delta1v. (10.13)
Síla F je tak vyjádřena pomocí hmotnostního toku
částic Delta1m/Delta1t dopadajícího na těleso R. V závislosti na
charakteru srážky můžeme do posledního vztahu dosadit
za Delta1v budquoteright −v (podle vztahu (10.11)), nebo −2v (podle
vztahu (10.12)).
R
x
v
Obr.10.5 Na pevné těleso R dopadají částice o stejné hybnosti.
Jejich tok je ustálený.Průměrná síla F působící na těleso směřuje
vpravo a její velikost závisí na hmotnostním toku dopadajících
částic.
PŘÍKLAD 10.1
Baseballový míč o hmotnosti 140 g letí těsně před odpálením
vodorovně rychlostí v
i
o velikosti 39 m·s
−1
. Po úderu letí míč
opačným směrem stejně velkou rychlostí v
f
.
(a) Určete impulz síly, která na míč při úderu působila.
ŘEŠENÍ: Impulz síly vypočteme ze známé změny hybnosti
míče vztahem (10.4), upraveným pro jednorozměrný případ.
Za kladný směrosy x zvolíme směrpohybu pálky. Ze vztahu
(10.4) dostaneme
J =p
f
−p
i
=mv
f
−mv
i
=
=(0,14 kg)(39 m·s
−1
)−(0,14 kg)(−39 m·s
−1
)=
= 10,9kg·m·s
−1
.
= 11 kg·m·s
−1
. (Odpovědquoteright)
Ve shodě s naší volbou orientace souřadnicové osy x je
počáteční rychlost míče (x-ová složka) záporná a výsledná
rychlost kladná. Vypočtený impulz síly je kladný, vektor J
má tedy, podle očekávání, stejný směrjako pohyb pálky při
úderu.
(b) Srážka míče a pálky proběhla za dobu Delta1t = 1,2 ms.
Určete průměrnou sílu, která při srážce působila na míč.
ŘEŠENÍ: Z rovnice (10.8) dostaneme
F =
J
Delta1t
=
(10,9kg·m·s
−1
)
(0,001 2 s)
=
= 9 100 N. (Odpovědquoteright)
Uvědomme si, jak je tato síla obrovská. Její velikost je při-
bližně rovna váze tělesa o hmotnosti jedné tuny.Největší síla,
která na míč v jistém okamžiku v průběhu srážky působila,
musí být dokonce ještě větší. Průměrná síla má směr kladné
osyx. Je tedy souhlasně rovnoběžná s vektorem impulzu síly.
(c) Určete průměrné zrychlení míče.
10.3 PRUŽNÉ PŘÍMÉ SRÁŽKY 241
ŘEŠENÍ: Průměrné zrychlení určíme ze vztahu
a=
F
m
=
(9100N)
(0,14kg)
= 6,5·10
4
m·s
−2
, (Odpovědquoteright)
tj.a= 6600g.
V dosavadních úvahách jsme předpokládali, že na tělesa
nepůsobí při srážce