- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Fourierova řada
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálbo tam může být definována nějakou hodnotou (v obrázku funkce ). Může tam být definována také jako limita zprava (v obrázku funkce ) nebo limita zleva (v obrázku funkce ) tj. jako
.
Z matematického hlediska nejsou tyto čtyři funkce totožné, jsou různé. Všechny čtyři ale splňují Dirichletovy podmínky a je možno je vyjádřit ve tvaru řady (rovnice) s koeficienty určenými podle vztahu (rovnice). Koeficienty Fourierovy řady budou ale pro všechny čtyři funkce shodné, neboť integrály funkcí, které se liší jen v jednom bodě jsou shodné
.
Budou-li shodné koeficienty potom budou shodné i Fourierovy řady a v bodě nespojitosti řada konverguje k hodnotě
Řada tedy konverguje k aritmetickému průměru limit zprava a zleva (v obr. vyznačeno červeně). Přesvědčíme se o tom na příkladu (příklad). Funkce z obr.xxx je nespojitá v bodech (zde jsme dokonce funkční hodnotu v těchto bodech nijak nedefinovali) a aritmetický průměr limit zleva a zprav je 0,5. Dosadíme-li do Fourierovy řady této funkce (rovnice) obdržíme ()
.
V okolí bodů nespojitosti funkce nastává ještě jeden jev. Vezměme opět funkci z příkladu (příklad) a aproximujme ji částečným součtem Fourierovy řady
Intuitivně lze očekávat, že s rostoucím se rozdíl mezi a snižuje a pro bude tento rozdíl (chyba) nulový. Toto platí ve všech bodech spojitosti funkce . Na obr.020212 je ukázán průběh funkce pro tři různé hodnoty .
Obr.020212 Gibbsův jev
V okolí bodu nespojitosti dochází k úzkému převýšení. Jak roste, stává se toto převýšení užším a užším. Velikost tohoto převýšení činí asi 9% z hodnoty velikosti nespojitosti (tj. z rozdílu limity zprava a zleva v bodě nespojitosti funkce ). Tento jev se nazývá Gibbsův jev (J.W.Gibbs, 1839-1903, americký matematik) a objevuje se v každém bodě nespojitosti analyzované funkce.
Trigonometrický tvar Fourierovy řady
Komplexní Fourierovu řadu je možno vyjádřit i v jiném tvaru. Řadu můžeme rozepsat do dvou řad (jedna pro záporná druhá pro kladná ) přičemž v řadě pro záporná udělejme substituci . Bude
.
Jelikož platí
potom s použitím této rovnice bude
.
Označíme-li
nabude výraz (rovnice) tvaru
.
Pro koeficienty této řady snadno odvodíme dosazením (rovnice) do (rovnice) následující vztahy
ED Equation.3
.
Tvar Fourierovy řady (rovnice) s koeficienty určenými podle (rovnice) se nazývá trigonometrický tvar. Všimněme si, že se v něm vyskytují pouze kladné frekvence. V dalším budeme ale používat komplexní tvar Fourierovy řady, neboť se s ním lépe pracuje.
Vloženo: 28.05.2009
Velikost: 2,82 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2025 unium.cz
