- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Fourierova řada
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálnečný počet členů tj.
můžeme na následujícím obrázku sledovat, jak s rostoucím se částečný součet řady (rovnice) blíží funkci . Je-li počet členů řady konečný říkáme, že řada (rovnice) aproximuje funkci .
Obr.020209 Aproximace funkce konečnou řadou
Příklad
Uvažme funkci
.
Největším společným dělitelem čísel je číslo . Funkce je tedy periodická se základním kmitočtem a se základní periodou 3 . Úlohou je najít koeficienty komplexní Fourierovy řady. Mohli bychom postupovat stejně jako v předchozím přikladu tj. počítat integrály (vzorec). Můžeme ale postupovat jinak. Využijeme Eulerových vztahů
a dosadíme je do zadané funkce. Bude
.
Dosadíme násobky základního kmitočtu
a jednoduchou úpravou obdržíme
.
Koeficienty jsou tedy rovny
a všechny ostatní koeficienty jsou nulové. Všimněme si na tomto příkladu následujícího- přestože je funkce reálná, mohou být koeficienty . Fourierovy řady komplexní čísla.
Příklad
Určete, zda funkce je periodická. V případě, že ano potom určete její základní kmitočet a vypočtěte koeficienty její Fourierovy řady.
Řešení: Je periodická, ,
Dirichletovy podmínky
Každá funkce, která je periodická nemusí být ale vyjádřitelná ve tvaru Fourierovy řady. Aby bylo možno periodickou funkci vyjádřit ve tvaru Fourierovy řady musí tato funkce splňovat ještě tzv. Dirichletovy podmínky (P.G.L.Dirichlet, 1805-1857, německý matematik):
Funkce musí být absolutně integrovatelná přes jednu periodu tj.
Funkce musí mít na intervalu konečný počet nespojitostí a konečný počet maxim i minim.
Příklady funkcí, které nesplňují tyto podmínky a které tedy nelze vyjádřit ve tvaru Fourierovy řady jsou uvedeny na Obr.020210.
Obr.020210 Příklad periodických funkcí, nesplňujících Dirichletovy podmínky
Na obrázku je ukázána jedna perioda periodicky se opakující funkce Equation.3 . Tato funkce nesplňuje první Dirichletovu podmínku, neboť integrál této funkce diverguje. Druhou funkcí je periodicky se opakující funkce . Pro se oscilace této funkce zvyšují a v jedné periodě je tedy nekonečně mnoho maxim a minim.
Fourierova řada nespojité funkce
Splňuje-li funkce Dirichletovy podmínky potom je možno ji vyjádřit ve tvaru řady (rovnice) s koeficienty určenými podle vztahu (rovnice). Uvažujme o funkci EMBED Equation.3 , která má v intervalu jedné periody jeden bod nespojitosti (viz obr.020211).
Obr.020211. Periodická funkce s jedním bodem nespojitosti
V tomto bodě nespojitosti nemusí být funkce definována vůbec (v obrázku funkce ), ne
Vloženo: 28.05.2009
Velikost: 2,82 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2025 unium.cz
