Cislicove_zpracovani_a_analyza_signalu_P

ace).........................................................................................................74
obr. 8.8 Ukázka Wienerovy filtrace. Signál byl zkreslen průchodem systémem H(z)=1-0,64z
a přičtením barevného šumu se směrodatnou odchylkou 40.
-2
...........................................74
obr. 9.1. Hlavní okno Simulinku ..............................................................................................80
obr. 9.2. Okno pro nastavení parametrů simulace ....................................................................81
obr. 9.3. Zobrazení signálu ......................................................................................................81
obr. 9.4. a) Volba parametrů sinusovky. b,c) Okno Time Scope .............................................82
obr. 9.5. Import zaznamenaného signálu..................................................................................82
obr. 9.6. Vytvoření modelu zkreslení .......................................................................................83
obr. 9.7. Záznam zvuku v prostředí Windows..........................................................................83
obr. 9.8. Přehrávání a prohlížení zvukového souboru ..............................................................84
6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Seznam tabulek

Tab. 1. Transformační vztahy pro odvození různých typů spojitých a diskrétních filtrů ze
spojité normované dolní propusti H
NDP
(p)....................................................................... 33
Tab. 2. Vlastnosti spekter signálů............................................................................................ 61

Číslicové zpracování a analýza signálů 7
1 Úvod
Předmět ČZAS vysvětluje základní principy číslicového zpracování a analýzy signálů,
používané metody a přístupy a poukazuje na jejich praktické využití. Je to tedy předmět svou
podstatou spíše teoretický, jehož cílem je koncepční příprava pro navazující více
specializované aplikační předměty. K tomuto cíli směřuje i počítačové laboratorní cvičení,
jehož průvodním textem jsou tato skripta. Smysl cvičení je v tom, aby student měl příležitost
si prakticky vyzkoušet jednotlivé metody číslicového zpracování signálů a bezprostředně tak
získat základní zkušenost s látkou, teoreticky vykládanou na přednáškách. Oproti dřívější
verzi tohoto předmětu pro pětileté inženýrské studium doznala látka některá zjednodušení,
zejména pokud jde o rozsah důkazů – zde je hloubavý student odkazován spíše na literaturu.
Na druhé straně rozsah probíraných metod se nezměnil: zahrnuje i nadále oblast lineární
filtrace, akumulačního zpracování, základy využití komplexních signálů, korelační i
frekvenční analýzu náhodných signálů a principy obnovy signálů z jejich zkreslených,
zašuměných nebo jinak rušených verzí, tedy poměrně pestrý rozsah. Metody, specifické pro
multimediální aplikace, např. komprese signálových dat, jsou ponechány do navazujícího
kursu Multimediální signály a data, v němž se také dále rozvádí a konkrétně aplikují metody
předmětu ČZAS. Cíl předmětu ČZAS zůstává stejný: vysvětlení a pochopení principů a
konceptů jako příprava pro aplikační využití. Bez pochopení těchto základů je další studium
navazujících oblastí a aplikací značně obtížné a snadno se stává povrchním.
Laboratorní cvičení má v této souvislosti nezastupitelnou úlohu umožnit „ohmatání“
teoreticky osvojených metod, na základě toho pak porozumění i tomu, co z teoretického
výkladu zůstalo skryto, a získání základních zkušeností v aplikacích. Oproti předchozí verzi
pro inženýrské studium je laboratorní cvičení názornější, opírá se o moderní simulační
prostředky (MATLAB Simulink-Blockset) a umožňuje tak studentu bezprostředně sledovat
tok a proměny signálu v průběhu jeho zpracování jednotlivými procesními bloky. Děje se tak
na úkor dřívějšího převážně programátorského přístupu, kdy si student sám příslušné
procedury sestavoval, což směřovalo k hlubšímu pochopení jednotlivých algoritmů;
nevýhodou byla naopak časová náročnost a méně názorná prezentace. Je na každém studentu,
aby využil výhod globálního pohledu v simulačním prostředí, ale neztratil přitom ze zřetele
vnitřní funkci každého bloku, který využívá a porozumění teoretickému základu užité metody.
Je velmi žádoucí, aby studenti vědomě, na základě porozumění problému i metodice,
experimentovali s parametry jednotlivých bloků a popřípadě i jejich uspořádáním, a seznámili
se tak i s různými úskalími metod v hraničních situacích. Tento přístup k laboratořím
předmětu je nový a autoři uvítají zpětnou vazbu od studentů ve formě jejich hodnocení
účinnosti cvičení.
Skripta poskytují základní výklad k jednotlivým problémovým okruhům, nenahrazují
ovšem účast na přednáškách nebo ekvivalentní studium literatury. Dále zde naleznete některá
typová schémata v prostředí Blockset, jejich vysvětlení a náměty pro další experimenty.
Skriptum neobsahuje přímo zadání jednotlivých laboratorních úloh; to bude předmětem
informací a materiálů poskytovaných ve cvičeních.

Brno, listopad 2003
8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

2 Zařazení předmětu ve studijním programu
2.1 Úvod do předmětu
Číslicové zpracování a analýza signálů je jedním z klíčových předmětů bakalářského
stupně vzdělání. Je tomu tak především proto, že teorie tohoto oboru doplňuje klasické
teoretické vybavení - teorii systémů, signálů a elektronických obvodů o dnes nezbytné
základy diskrétního zpracování, uchování a přenosu informací ve formě signálových dat.
Důležitost předmětu je podtržena jeho bezprostředním aplikačním významem: dnešnímu
studentu není patrně třeba zdůrazňovat důležitost takových aplikací jako jsou digitální
telekomunikace, zpracování, archivace a přenos multimediálních zvukových, obrazových a
video signálů, signálů v řídících a automatických systémech a robotice, dále přenos a analýza
měřicích dat ve vědeckých experimentech, ale třeba i analýza ekonomických a ekologických
dat apod., kde všude se teorie diskrétního zpracování signálů využívá. Číslicové zpracování
signálů tak představuje jeden ze základních kamenů současných oborů moderní elektroniky a
sdělovací techniky, informačních technologií, měřicí a automatizační techniky a postupně
proniká do mnoha dalších aplikací.
2.2 Vstupní test
Na tomto místě by mohl (nebo snad měl?) být umístěn vstupní test k ověření
předchozích znalostí studenta, potřebných k úspěšnému zvládnutí studia předkládaného
výukového textu. Autoři tohoto textu se místo vstupního testu rozhodli pro ucelenější stručné
zopakování (či shrnutí) základních pojmů, s nimiž by měl být obeznámen čtenář, který
absolvoval předmět Signály a soustavy.
V úvodu následující kapitoly (Kap.3) je připomenut princip lineární filtrace včetně
základních charakteristik lineárních filtrů. Další dvě podkapitoly jsou věnovány výpočtům
odezev lineárních filtrů v časové i frekvenční oblasti (Kap.3.1) a různým možnostem popisu
lineárních filtrů včetně vzájemných souvislostí (Kap.3.3). V závěrečné části textu (Kap. 9.1)
je uveden stručný souhrn definičních vzorců lineárních transformací a je ve stručnosti
zmíněno i jejich použití.
Autoři doufají, že čtenář souvislý text v uvedených kapitolách ocení jako přínosnější
než vstupní test „typu autoškola“ se strohým výčtem správných výsledků uvedeným na konci
skript.
Číslicové zpracování a analýza signálů 9

3 Lineární filtrace číslicových signálů
Úvodem této kapitoly připomeňme, že lineární filtry vyhovují principu superpozice
() ()[]nsHKnsKH
i
i
i
i
ii ∑∑
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
,
(3.1)
kde H je operátor realizovaný filtrem, {s
i
(n)} je diskretní posloupnost signálů, K
i
jsou
konstanty. Vztah (3.1) můžeme formulovat slovně: odezva lineárního systému na součet
signálů (násobených konstantami K
i
) je rovna součtu odezev (násobených konstantami K
i
) na
jednotlivé samostatně působící signály.
Spektrální reprezentace signálu vychází z představy signálu jako aditivní směsi
konečného nebo nekonečného počtu harmonických složek. Modul jedné komplexní spektrální
čáry spektra periodického signálu představuje amplitudu příslušné harmonické složky a
argument představuje její fázový posun. (Interpretace funkční hodnoty spojitého modulového
spektra neperiodického signálu je méně názorná, na principu lineární filtrace se však nic
nemění).
Lineární filtrace obvykle spočívá v tom, že některé harmonické složky v signálu podle
potřeby potlačujeme, jiné ponecháváme nebo zvýrazňujeme. Méně obvyklé je záměrné
ovlivňování fázového posunutí jednotlivých harmonických složek - k tomu dochází většinou
nechtěně vlivem nežádoucích vlastností (konkrétně nelineárních fázových frekvenčních
charakteristik) některých typů filtrů.
Položme si otázku, kdy je lineární filtrace použitelná jako metoda pro potlačení
nežádoucích složek (rušení) v signálu? Aby měla lineární filtrace smysl, musí se jednat o
aditivní směs užitečného signálu a rušení (jejich spektra jsou pak rovněž v součtu) a zároveň
by se spektra obou těchto signálů neměla překrývat nebo by alespoň jejich překrytí nemělo
být příliš výrazné.
Velmi důležitým signálem pro analýzu lineárních systémů je jednotkový impuls
()
0npro0
0npro1
n
≠
=
=δ ,
(3.2)
který má konstantní spektrum
() (){} () 1ennDTFT
n
nTj
===
∑
∞
−∞=
− ω
δδω∆ ,
(3.3)
kde DTFT je Fourierova transformace s diskrétním časem (viz Dodatek 9.1). V jednotkovém
impulsu jsou zastoupeny všechny možné harmonické složky se shodnými vahami. Odezvou
lineárního filtru na jednotkový impuls je impulsní charakteristika h(n), jejíž spektrum
(DTFT) je oproti spektru jednotkového impulsu „deformováno“ vlivem frekvenčních
vlastností filtru. Spektrem impulsní charakteristiky je frekvenční charakteristika
H(ω)=DTFT{h(n)}, která reprezentuje frekvenční vlastnosti filtru.
10 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
3.1 Výpočet odezvy lineárního filtru
Na obr. 3.1 je naznačena lineární číslicová filtrace signálu (elektrokardiogramu) k
potlačení nežádoucího rušení aditivním síťovým brumem. Připomeňme, že odezvu lineárního
filtru y(n) lze spočítat konvolucí vstupního signálu x(n) s impulsní charakteristikou filtru h(n),
čemuž ve frekvenční oblasti odpovídá součin spektra vstupu X(ω) s frekvenční
charakteristikou filtru H(ω). To vyplývá z konvoluční vlastnosti Fourierovy transformace
() () () () () ()ωωω HXYnhnxny
DTFT
=⇔∗= .
(3.4)
Konvoluci lze vyjádřit dvěma rovnocennými vztahy, které jsou pro kauzální systém (h(n)=0,
∀nN) sestává ze tří částí: přechodného děje (N-1
vzorků), ustálené odezvy (kdy se na výpočtu každého výstupního vzorku podle (3.6) podílí
všech N vzorků impulsní charakteristiky) a doznívání odezvy (N-1 vzorků, od vzorku
výstupu s indexem M+1).
Pro filtraci ve frekvenční oblasti se využívá kruhově konvoluční vlastnosti diskrétní
Fourierovy transformace (DFT – viz Dodatek 9.1),
() () () () () ()kHkXkYnhnxny
DFT
=⇔∗= .
(3.9)

12 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně


obr. 3.2 Ukázka nerekursivní filtrace signálu s(n) dolní propustí s impulsní odezvou h(n) třemi způsoby.

Vzhledem k tomu, že při výpočtu odezvy ve frekvenční oblasti DFT “předpokládá”
periodicitu vstupní posloupnosti i impulsní charakteristiky doplněné nulami na shodnou délku
(M), mluvíme o kruhové konvoluci. Na první pohled se jedná pouze o akademický přístup,
který se v praxi neuplatní, protože výpočet odezvy je relativně komplikovaný,
() (){} ( ){ } 110
1
−==
−
M,...,,n,nhDFTnxDFTDFTny
MMM
,
(3.10)
kde DFT
M
{*} představuje M-bodovou DFT. Je to však jen první dojem, výpočet podle (3.10)
bývá pro delší impulsní charakteristiky (zhruba nad 30 vzorků) výpočetně méně náročný než
realizace konvoluce v časové oblasti podle (3.6). Vděčíme za to existenci algoritmů rychlé
Fourierovy transformace (FFT) – výpočtu ve frekvenční oblasti se proto také říká rychlá
konvoluce.
V časové oblasti můžeme kruhovou konvoluci (3.10) vyjádřit jako
() ()
⎣⎦ ⎣⎦
1,0
1,0
,1,...,1,0,
1
0
−∉−
−∈−
+−
−
=−−=−=
∑
−
=
Minpro
Minpro
Min
in
inkdeMninxihny
M
i

(3.11)
Naznačme výpočet některých výstupních vzorků filtru realizovaného touto metodou. Stejně
jako výše předpokládejme nenulové vzorky impulsní charakteristiky h(n) pro n∈ a
vzorky signálu x(n) pro n∈, když M>N.

y(0)= h(0)x(0)+ h(1)x(M-1)+ h(2)x(M-2)+ h(3)x(M-3)+ ... + h(N-1)x(M-(N-1))
y(1)= h(0)x(1)+ h(1)x(0)+ h(2)x(M-1)+ h(3)x(M-2)+ ... + h(N-1)x(M-(N-2))
y(2)= h(0)x(2)+ h(1)x(1)+ h(2)x(0)+ h(3)x(M-1)+ ... + h(N-1)x(M-(N-3))
:
y(N-1)= h(0)x(N-1)+ h(1)x(N-2)+ h(2)x(N-3)+ h(3)x(N-4)+ ... + h(N-1)x(0)
Číslicové zpracování a analýza signálů 13
:
y(M-1)= h(0)x(M-1)+ h(1)x(M-2)+ h(2)x(M-3)+ h(3)x(M-4)+ ... + h(N-1)x(M-N).

U aperiodické konvoluce by byly podtržené členy nulové a vzorky y(0) až y(N-2) by
představovaly přechodný děj. U periodické konvoluce však tyto členy obsahují vzorky
z předchozí periody vstupního signálu. Dále poznamenejme, že u aperiodické konvoluce by
byl posledním vzorkem ustálené odezvy vzorek y(M-1). Zároveň lze snadno odvodit, že by
podtržené členy představovaly u aperiodické konvoluce doznívání výstupu – podtržené členy
u y(0) by tvořily vzorek y(M), u y(1) vzorek y(M+1), atd. U periodické konvoluce je
prvních N-1 vzorků, y(0) až y(N-2), směsí přechodného děje a doznívání, takže tyto
vzorky výstupu jsou znehodnocené a z hlediska odezvy filtru nepoužitelné. Dodejme ještě, že
pomocí periodické konvoluce (s využitím DFT) dosáhneme shodného výsledku jako u
konvoluce aperiodické jednoduše tak, že obě posloupnosti, h(n) a x(n), doplníme před
výpočtem odezvy nulami na posloupnosti o M+N-1 vzorcích, což je právě délka posloupnosti
vzniklá aperiodickou konvolucí.
Kruhová konvoluce s využitím DFT se také používá pro výpočet odezvy filtru na velmi
dlouhou vstupní posloupnost, která je v takovém případě zpracovávána po úsecích. Existují
dvě metody, rovnocenné z hlediska pracnosti výpočtu odezvy.
• Metoda přičtení přesahu. Zpracovávaný úsek vstupního signálu o M vzorcích je
doplněn N-1 nulami a odpovídající odezva pak koresponduje s aperiodickou konvolucí –
obsahuje přechodný děj, ustálenou část a doznění. Doznění odezvy daného úseku se
překrývá a později je sečteno s přechodným dějem následujícího ůseku; součet tvoří
(přesně) pokračování ustálené odezvy.
• Metoda úschovy přesahu. Zpracovávaný úsek vstupního signálu o M vzorcích je
doplněn o N-1 vzorků předchozího úseku. Odpovídající odezva má první úsek (N-1
vzorků) znehodnocen – tento úsek se však zanedbá, protože se překrývá s ustálenou částí
odezvy předchozího úseku. Ustálené části odezev sousedních úseků na sebe plynule
navazují.

3.2 Příklady ke kapitole 3.1
Příklad P. 1
Na obr. 3.3. je základní blokové schéma v prostředí Simulink/Blockset (dále jen
Blockset), umožňující načtení signálu z prostředí Matlab a jeho zarušení aditivním
šumem, dále filtraci tohoto signálu pomocí lineárního filtru a zobrazení časových
průběhů a spekter před a po filtraci. Realizujte tento model v prostředí Blockset.
Vzorkovací frekvenci volte 500Hz, frekvenci sinusového signálu 10Hz.

Příklad P. 2
Volte různé typy filtru (DP,HP,PP,PZ) v bloku Digital Filter Design (viz. obr. 3.18) a
sledujte jeho vliv na výstupní signál.

14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

obr. 3.3 Blokové schéma pro filtraci v prostředí Blockset

3.3 Způsoby popisu lineárních filtrů
Kromě diferenční rovnice, která představuje algoritmus výpočtu odezvy filtru, existují i
jiné způsoby popisu lineárního systému; každý z nich má své přednosti, např. usnadnění
analýzy filtru. Ukážeme je na následujícím příkladu.
Příklad P. 3
Je dána diferenční rovnice rekursivního filtru 1. řádu,
() () ( ) ( )
∑
∞
=
−
−+−−=
0
,152,02,0
n
n
znynxnxny.
(3.12)
Její z-transformací, která je v (3.12) naznačena (tj. vynásobením každého členu rovnice
výrazem z
-n
a součtem přes všechna n), získáme za předpokladu nulových počátečních
podmínek, tj. x(-1)= x(-2)= … = x(-5)= y(-1)= 0, obrazovou rovnici
() () () ( )zYzzXzzXzY
15
2,02,0
−−
+−=
a odtud přenosovou funkci rekursivního filtru (jako podíl obrazu výstupu Y(z) ku
obrazu vstupu X(z))
()
()
() ()()15
1
15
1
4
5
1
5
−
−
=
−
−
==
−
−
zz
z
z
z
zX
zY
zH
r
.
(3.13)
Číslicové zpracování a analýza signálů 15
Přenosová funkce je z-transformací impulsní charakteristiky. Zde jsme úmyslně zvolili
zvláštní případ, kdy jsou polynomy dělitelné bez zbytku, takže z (3.13) získáme po dělení
polynomů
() ()
4
2344
0
4321
5
1
1
5
1
z
zzzz
znhzzzzzH
n
n
n
++++
==++++=
∑
=
−−−−−
,
(3.14)
což je přenosová funkce nerekursivního filtru, který má shodné vlastnosti s výchozím
filtrem rekursivním. Jak je zřejmé z (3.14), je impulsní charakteristika h(n) konečná,
filtr je typu FIR. Realizovat lze tento filtr jak rekursivně podle (3.12), tak i nerekursivně
konvolucí
() ()( ) () ( ) ( ) ( ) ( )[]4321
5
1
4
0
−+−+−+−+=−=
∑
=
nxnxnxnxnxinxihny
i
,
(3.15)
protože z (3.14) vyplývá, že h(n)= {h(0), h(1), h(2), h(3), h(4)}= {0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2}.

Z přenosové funkce se snadno odvodí frekvenční charakteristika filtru pouhou
náhradou komplexní proměnné z výrazem e
jωT
, kde ω je úhlová frekvence a T je perioda
vzorkování. To vyplývá ze souvislosti mezi DTFT a z-transformací (viz též Dodatek 9.1),
protože frekvenční charakteristiku získáme jako DTFT impulsní charakteristiky a přenosovou
funkci jako z-transformaci impulsní charakteristiky.
Výsledkem DTFT je spojitá funkce kmitočtu, při jejím výpočtu musíme ω
diskretizovat. U filtru FIR proto obvykle počítáme vzorky periody frekvenční charakteristiky
s využitím DFT, jako H(kΩ)=DFT{h(n)}. Je-li impulsní charakteristika krátká, jako v našem
případě, doplníme ji před transformací nulami na počet vzorků, který je vyhovující z hlediska
hustoty vzorkování periody výsledné frekvenční charakteristiky.
Jiným způsobem je popis filtru pomocí rozložení nulových bodů (n
i
) a pólů (p
i
)
v rovině „z“. Přepíšeme-li polynomy přenosové funkce rekursivní realizace (3.13) na součiny
kořenových činitelů, dostaneme
()
()
()
∏
∏
=
=
−
−
=
5
1
5
1
i
i
i
i
r
pz
nz
KzH ,
(3.16)
Pro předchozí příklad je K=0,2. U nerekusivní realizace (3.14) se nulový bod a pól v z=1
vzájemně vyrušily. Obě realizace mají samozřejmě shodnou frekvenční charakteristiku (viz
obr. 3.4).


16 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

obr. 3.4. Vlevo: rozložení nulových bodů a pólů rekursivní realizace (3.13) a nerekursivní realizace (3.14)
dolní propusti. Vpravo: jedna perioda (interpolovaných 200 bodů) modulové a argumentové frekvenční
charakteristiky filtru, kde je nezávisle proměnnou bezrozměrný index vzorku k, vzorkovací kmitočet
odpovídá hodnotě k=200.

Frekvenční charakteristika G(ω)=H(z)|
z=exp(jωT)
je komplexní funkcí kmitočtu,
() ()
( )ω
ωω
Gj
eGG
arg
= ,
(3.17)
Kde |G(ω)| je modulová (resp. amplitudová) frekvenční charakteristika a argG(ω) je
argumentová (fázová) frekvenční charakteristika. S fázovou charakteristikou souvisí fázové
zpoždění signálu po průchodu lineárním filtrem. Fázové zpoždění τ(ω) je funkcí kmitočtu a
vyjadřuje časové zpoždění příslušné harmonické složky (o úhlovém kmitočtu ω) po průchodu
filtrem,
()
()
[]s
G
ω
ω
ωτ
arg
−= . (3.18)
Je zřejmé že fázové zpoždění je konstantní (tj. nazávislé na ω) pouze v případě, je-li
argG(ω) přímka procházející počátkem. Není-li tato podmínka splněna, dochází k tzv.
fázovému zkreslení signálu způsobenému nestejným časovým zpožděním harmonických
složek různých kmitočtů po průchodu filtrem.
Lineární fázovou charakteristiku procházející počátkem mohou mít pouze filtry se
symetrickou impulsní charakteristikou h(n)=h(N