Texty k přednáškám statistiky od Nagyho a Homolový

iondisplay
t1≤x1
summationdisplay
t2≤x2
... summationdisplay
tn≤xn
f(t1,t2,...,tn).
3. Vlastnosti pravdˇepodobnostn´ı funkce
(a) f(x1,x2,...,xn) ≥ 0, ∀ (x1,x2,...,xn),
(b) summationtextx1 summationtextx2 ...summationtextxn f(x1,x2,...,xn) = 1.
Definice 6.4 (Hustota pravdˇepodobnosti n´ahodn´eho vektoru)
Pro spojit´y n´ahodn´y vektor X = (X1,X2,...,Xn)prime (tj. n´ahodn´y vektor, jehoˇz kaˇzd´a sloˇzka m˚uˇze
nab´yvat nespoˇcetnˇe velk´eho mnoˇzstv´ı hodnot) definujeme hustotu pravdˇepodobnosti vztahem
f(x1,x2,...,xn) = ∂
nF(x1,x2,...,xn)
∂x1∂x2 ...∂xn . (30)
Koment´aˇr k definici
1. Distribuˇcn´ı funkci je moˇzno pomoc´ı hustoty pravdˇepodobnosti vyj´adˇrit takto
F(x1,x2,...,xn) =
integraldisplay x1
−∞
integraldisplay x2
−∞
...
integraldisplay xn
−∞
f(t1,t2,...,tn)dt1dt2 ...dtn.
2. Vlastnosti hustoty pravdˇepodobnosti
(a) f(x1,x2,...,xn) ≥ 0, ∀ (x1,x2,...,xn) ∈ Rn,
(b) integraltext∞−∞integraltext∞−∞...integraltext∞−∞f(x1,x2,...,xn)dx1dx2 ...dxn = 1.
Pˇr´ıklad: Pˇri mˇeˇren´ı rozmˇer˚u v´yrobku lze udˇelat maxim´aln´ı chybu ±e1 v ˇs´ıˇrce a ±e2 v d´elce. Tyto
chyby oznaˇc´ıme X1 a X2 a povaˇzujeme je za n´ahodn´e veliˇciny. Pˇritom pˇredpokl´ad´ame, ˇze v dan´ych
mez´ıch jsou chyby vˇsude stejnˇe pravdˇepodobn´e. Urˇcete hustotu pravdˇepodobnosti a distribuˇcn´ı funkci
n´ahodn´eho vektoru (X1,X2). ♦
Hustota pravdˇepodobnosti n´ahodn´eho vektoru bude definov´ana v rovinˇe (x1,x2) re´aln´ych ˇc´ısel
a nenulov´a bude na obd´eln´ıku (−e1;e1) × (−e2;e2). Protoˇze pravdˇepodobnost v´yskytu chyby je zde
30
rovnomˇern´a, bude jej´ı hustota konstantn´ı, tedy f(x1,x2) = k. Z podm´ınky na jednotkov´y integr´al
plyne, ˇze jej´ı hodnota bude
integraldisplay e1
−e1
integraldisplay e2
−e2
kdx1dx2 = k2e12e2 = 1 → k = 14e
1e2
.
Hustota pravdˇepodobnosti je tedy
f(x1,x2) =



1
4e1e2 pro x1 ∈ (−e1;e1)∧x2 ∈ (−e2;e2),
0 jinde.
Distribuˇcn´ı funkci z´ısk´ame integrac´ı hustoty pravdˇepodobnosti
F(x1,x2) =
integraldisplay x1
−∞
integraldisplay x2
−∞
1
4e1e2dt1dt2 =









0 pro x1 < −e1 ∨x2 < −e2,
(x1+e1)(x2+e2)
4e1e2 pro x1 ∈ 〈−e1;e1)∧x2 ∈ 〈−e2;e2),
(x1+e1)
2e1 pro x1 ∈ 〈−e1;e1)∧x2 ≥ e2,
(x2+e2)
2e2 pro x1 ≥ e1 ∧x2 ∈ 〈−e2;e2),
1 pro x1 ≥ e1 ∧x2 ≥ e2.
Distribuˇcn´ı funkce je naznaˇcena na obr´azku
a54
a45
x1
x2
(x1+e1)(x2+e2)
4e1e2
0
(x1+e1)
2e1
(x2+e2)
2e2
1
Pˇr´ıklad: Sledujeme hod dvˇema mincemi. Mince jsou poˇskozen´e tak,ˇze na prvn´ı je pravdˇepodobnost
rubu 0.6 a l´ıcu 0.4 a na druh´e padne rub s pravdˇepodobnost´ı 0.3 a l´ıc 0.7. Definujeme n´ahodnou veliˇcinu
X = (X1,X2), kter´a rubu pˇriˇrad´ı jedniˇcku a l´ıcu dvojku. Napiˇste pravdˇepodobnostn´ı a distribuˇcn´ı funkci
t´eto n´ahodn´e veliˇciny. ♦
31
Jde o diskr´etn´ı dvourozmˇernou n´ahodnou veliˇcinu, popisuj´ıc´ı dva nez´avisl´e pokusy (hod 1. a 2.
minc´ı). Hodnoty pravdˇepodobnostn´ı funkce urˇc´ıme v´yˇctem - budou to pravdˇepodobnosti jednotliv´ych
(dvourozmˇern´ych) v´ysledk˚u, kter´e obdrˇz´ıme jako souˇciny pravdˇepodobnost´ı jednotliv´ych v´ysledk˚u, tj.
P(”na prvn´ı padlo ...”).P(”na druh´e padlo ...”).
Pravdˇepodobnostn´ı funkce bude d´ana tabulkou
f(x1,x2) x1 = 1 x1 = 2
x2 = 1 0.18 0.12
x2 = 2 0.42 0.28
a jej´ı graf je na obr´azku
a45
a0
a0
a0
a0
a0a0a9
a54
a0
a0
a0a0
a0
a0
a0a0
a117
a117 a117a117 x1
x2
f(x1,x2)
1 2
1
2
0.18
0.42 0.28
0.12
Distribuˇcn´ı funkce je
F(x1,x2) = summationdisplay
i≤x1
summationdisplay
j≤x2
f(i,j) =





0 pro x1 < 1∨x2 < 1,
0.18 pro x1 ∈ 〈1,2)∧x2 ∈ 〈1,2),
0.6 pro x1 ∈ 〈1,2)∧x2 ≥ 2,
0.3 pro x1 ≥ 2∧x2 ∈ 〈1,2),
1 pro x1 ≥ 2∧x2 ≥ 2.
Hodnoty distribuˇcn´ı funkce v rovinˇe (x1,x2) jsou naznaˇceny na obr´azku:
32
a45
a54
0.18
0.6
0.3
1
1 2
1
2
x1
x2
0
6.2 Margin´aln´ı a podm´ınˇen´e rozdˇelen´ı n´ahodn´eho vektoru
Definice 6.5 (Margin´aln´ı pravdˇepodobnostn´ı funkce)
Pro diskr´etn´ı n´ahodn´y vektor X = (X1,X2,...,Xn)prime s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı f(x1,x2,...,xn)
definujeme margin´aln´ı pravdˇepodobnostn´ı funkci vztahem
f(x1,x2,...,xk) = summationdisplay
xk+1
summationdisplay
xk+2
...summationdisplay
xn
f(x1,x2,...,xn). (31)
Definice 6.6 (Margin´aln´ı hustota pravdˇepodobnosti)
Pro spojit´y n´ahodn´y vektor X = (X1,X2,...,Xn)prime s hustotou pravdˇepodobnosti f(x1,x2,...,xn)
definujeme margin´aln´ı hustotu pravdˇepodobnosti vztahem
f(x1,x2,...,xk) =
integraldisplay
xk+1
integraldisplay
xk+2
...
integraldisplay
xn
f(x1,x2,...,xn)dxk+1dxk+2 ...dxn. (32)
Koment´aˇr k definic´ım
1. Sumace i integrace v pˇredchoz´ıch vzorc´ıch se prov´ad´ı pˇres cel´y obor hodnot pˇr´ısluˇsn´ych
promˇenn´ych.
2. Definice margin´aln´ıch rozdˇelen´ı je uvedena pro prvn´ıch k sloˇzek vektoru X. Analogicky vˇsak
plat´ı i pro libovolnˇe vybran´e sloˇzky n´ahodn´eho vektoru.
Definice 6.7 (Podm´ınˇen´e rozdˇelen´ı)
Pro n´ahodn´y vektor X = (X1,X2,...,Xn)prime s rozdˇelen´ım f(x1,x2,...,xn) definujeme podm´ınˇenou
pravdˇepodobnostn´ı funkci nebo hustotu pravdˇepodobnosti vztahem
f(x1,x2,...,xk|xk+1,...,xn) = f(x1,x2,...,xn)f(x
k+1,...,xn)
. (33)
33
Koment´aˇr k definic´ım
1. Podm´ınˇen´a hustota pravdˇepodobnosti je d´ana pod´ılem sdruˇzen´e a margin´aln´ı. Stejnˇe je to i
pro pravdˇepodobnostn´ı funkci.
2. Definice analogicky plat´ı i pro libovolnˇe vybran´e sloˇzky n´ahodn´eho vektoru, nikoliv jen pro
prvn´ıch k sloˇzek.
Pˇr´ıklad: Dvojrozmˇern´e norm´aln´ı rozdˇelen´ı m´a sdruˇzenou hustotu pravdˇepodobnosti
f(x) = 12piradicalbig|r| exp
braceleftBig
(x−µ)primer−1(x−µ)
bracerightBig
,
kde
x = [x1,x2]prime je dvourozmˇern´y n´ahodn´y vektor,
µ = [µ1,µ2]prime je stˇredn´ı hodnota x,
r =
bracketleftBigg
σ21 σ12
σ12 σ22
bracketrightBigg
je kovarianˇcn´ı matice x a
|r| = σ21σ22 −σ212 znaˇc´ı determinant matice r.
Margin´aln´ı hustoty pravdˇepodobnosti jsou
f1(x1) = N(µ1,σ21) a f2(x2) = N(µ2,σ22)
Podm´ınˇen´e hustoty pravdˇepodobnosti jsou
f12(x1|x2) = N
parenleftBigg
µ1 + σ12σ2
2
(x2 −µ2),σ21 − σ
212
σ22
parenrightBigg
a f21(x2|x1) = N
parenleftBigg
µ2 + σ12σ2
1
(x1 −µ1),σ22 − σ
212
σ21
parenrightBigg
Pozn´amka: Margin´aln´ı a podm´ınˇen´e rozdˇelen´ı lze odvodit tak, ˇze v exponentu sdruˇzen´e
hustoty pravdˇepodobnosti rozn´asob´ıme a vznikl´y kvadratick´y v´yraz dopln´ıme ne ˇctverec v jedn´e
z promˇenn´ych. Ten v´yraz, kter´y obsahuje jen jednu promˇennou je margin´aln´ı hustota pravdˇepo-
dobnosti, zbytek je margin´aln´ı. Prov´est na cviˇcen´ı (pokud nebude na cviˇcen´ı ˇcas, tak odvozen´ı
n´asleduje).
Inverze kovarianˇcn´ı matice r
bracketleftBigg
σ21 σ12
σ12 σ22
bracketrightBigg−1
= 1σ2
1σ22 −σ212
bracketleftBigg
σ22 −σ12
−σ12 σ21
bracketrightBigg−1
Sdruˇzen´a hustota pravdˇepodobnosti
1
2pi
radicalBig
σ21σ22 −σ212
exp
braceleftbigg
− 12(σ2
1σ22 −σ212)
bracketleftBig
σ22(x1 −µ1)2 −2σ12(x1 −µ1)(x2 −µ2) + σ21(x2 −µ2)2
bracketrightBigbracerightbigg
34
Pˇrechod na podm´ınˇenou a margin´aln´ı hustotu pravdˇepodobnosti provedeme doplnˇen´ım exponentu
na ˇctverec: pokraˇcujeme s hranatou z´avorkou
σ22
bracketleftBigg
(x1 −µ1)2 −2σ12σ2
2
(x1 −µ1)(x2 −µ2) +
parenleftbiggσ
12
σ22 (x2 −µ2)
parenrightbigg2
− σ
212
σ42 (x2 −µ2)
2
bracketrightBigg
+ σ21(x2 −µ2)2 =
= σ22
bracketleftbigg
x1 −µ1 − σ12σ2
2
(x2 −µ2)
bracketrightbigg2
+
parenleftBigg
σ21 − σ
212
σ22
parenrightBigg
(x2 −µ2)2
a cel´y exponent
− σ
22
2(σ21σ22 −σ212)
bracketleftbigg
x1 −µ1 − σ12σ2
2
(x2 −µ2)
bracketrightbigg2
− 12(σ2
1σ22 −σ212)
σ21σ22 −σ212
σ22 (x1 −µ1)
2 =
−12 1σ2
1σ
2
2−σ
2
12
σ22
bracketleftbigg
x1 −
parenleftbigg
µ1 + σ12σ2
2
(x2 −µ2)
parenrightbiggbracketrightbigg2
− 12 1σ2
2
(x2 −µ2)2
Konec odvozen´ı. To prvn´ı je exponent podm´ınˇen´e a to druh´e margin´aln´ı hustoty pravdˇepodobnosti.
35
7 Poˇc´ıt´an´ı s n´ahodn´ymi vektory
Pˇr´ıklad 1: Pˇr´ıstroj se skl´ad´a ze tˇr´ı, nez´avisle pracuj´ıc´ıch ˇc´ast´ı. Pravdˇepodobnost poruchy kaˇzd´e
ˇc´asti je 0.1. Najdˇete distribuˇcn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny, popisuj´ıc´ı poˇcet porouchan´ych ˇc´ast´ı. ♦
Vzhledem k nez´avislosti se poˇcet porouchan´ych souˇc´astek ˇr´ıd´ı binomickou pravdˇepodobnost´ı P3(k) pˇri
p = 0.1.
P(0) = 0.93 = 0.729, P(1) = 3·0.1·0.92 = 0.243, P(2) = 0.027 P(3) = 0.13 = 0.001
Distribuˇcn´ı funkci dostaneme jako kumulativn´ı souˇcet pravdˇepodobnost´ı, tj.
F(x) =





0 pro x < 0
0.729 pro 0 ≤ x < 1
0.972 pro 1 ≤ x < 2
0.999 pro 2 ≤ x < 3
1 pro x ≥ 3
Nakreslit!
Pˇr´ıklad 2: Zkouˇsen´ı prob´ıh´a tak, ˇze studentovi jsou kladeny ot´azky, dokud odpov´ıd´a spr´avnˇe.
Prvn´ı ˇspatn´a odpovˇed’ zkouˇsen´ı ukonˇc´ı a zn´amka je odvozena z poˇctu dobr´ych odpovˇed´ı. Urˇcete prav-
dˇepodobnostn´ı funkci a distribuˇcn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny ”poˇcet dobr´ych odpovˇed´ı”, jestliˇze ot´azky
jsou nez´avisl´e a pravdˇepodobnost dobr´e odpovˇedi pˇri jednom dotazu je st´al´a a rovna 0.9. ♦
Protoˇze jsou ot´azky nez´avisl´e, je pravdˇepodobnost dobr´e s´erie odpovˇed´ı rovna souˇcinu pravdˇepodobnost´ı
dobr´ych odpovˇed´ı. Pokud m´a tato s´erie b´yt na konci ukonˇcena, mus´ı n´asledovat ˇspatn´a odpovˇed’ – tedy
na konci bude kr´at P(ˇspatnˇe) = 1−P(dobˇre).
P(0) = 0.1, P(1) = 0.9·0.1, P(2) = 0.92 ·0.1, ... ,P(x) = 0.9x ·0.1, ...
Jedn´a se tedy o nekoneˇcnou geometrickou posloupnost s prvn´ım ˇclenem rovn´ym 0.1 a kvocientem
q = 0.9. Protoˇze ˇrada zaˇc´ın´a indexem x = 0, bude ˇclen P(x) v poˇrad´ı x+prv´y. ˇC´asteˇcn´y souˇcet takov´e
ˇrady je
sx =
xsummationdisplay
k=0
= P(0)1−q
(x+1)
1−q .
Distribuˇcn´ı funkce (jako kumulativn´ı souˇcet hodnot pravdˇepodobnostn´ı funkce) je
F(x) =
xsummationdisplay
k=0
0.1·0.9k = 0.11−0.9
x+1
1−x = 1−0.9
x+1.
Pˇr´ıklad 3: Je d´ana hustota pravdˇepodobnosti
f(x) = 12 sin(x), pro x ∈ (0,pi) a 0 jinde.
Urˇcete distribuˇcn´ı funkci. ♦
F(x) =



0 pro x ≤ 0
1
2(1−cos(x)) pro x ∈ (0,pi)1 pro x ≥ pi
36
Pˇr´ıklad 4: Je d´ana hustota pravdˇepodobnosti
f(x) = 3−|x
2 −4x + 3|
8 , pro x ∈ (0, 4).
Urˇcete distribuˇcn´ı funkci. ♦
Do 0 je F(x) = 0.
Pro x ∈ (0,1)
F(x) = 0 +
integraldisplay x
0
(−18t2 + 12t)dt = − 124x3 + 14x2
F(1) = 524
Pro x ∈ (1,3)
F(x) = 524 +
integraldisplay x
1
(18t2− 12t+ 34)dt = 524 + 124x3− 14x2 + 34x−( 124 − 14 + 34) = 124x3− 14x2 + 34x− 13
F(3) = 1924
Pro x ∈ (3,4)
F(x) = 1924 +
integraldisplay x
3
(−18t2 + 12t)dt = 1924 − 124x3 + 14x2 −(−98 + 94) = − 124x3 + 14x2 − 13
Nad 4 je F(x) = 1.
Doma: spoˇc´ıtat stˇredn´ı hodnotu a rozptyl (stˇr.h.=2, rozpt.=1)
Pˇr´ıklad 5: Je d´ana distribuˇcn´ı funkce n´ahodn´e veliˇciny X
F(x) = 1− 1x3 pro x > 1 jinde 0.
Urˇcete stˇredn´ı hodnotu, modus a medi´an tohoto rozdˇelen´ı. ♦
Hustotu pravdˇepodobnosti dostaneme derivov´an´ım distribuˇcn´ı funkce
f(x) = 3x4, x > 1, jinde 0.
Stˇredn´ı hodnota je
E[X] =
integraldisplay ∞
1
x 3x4dx =
bracketleftbigg−3
2x2
bracketrightbigg∞
1
= 32.
Modus je argument x, pro kter´y nab´yv´a hustota pravdˇepodobnosti maxima. Protoˇze derivace
fprime(x) = −12x−5 je f(x) na intervalu (1,∞) klesaj´ıc´ı. Proto je maximum v lev´e hranici, a tedy
ˆx = 1.
Medi´an je bod ˜x, pro kter´y plat´ı F(˜x) =integraltext˜x−∞f(x) = 0.5 Protoˇze je d´ana pˇr´ımo distribuˇcn´ı funkce, je
1− 1˜x3 = 12 ⇒ ˜x = 3√2.
37
Pˇr´ıklad 6: N´ahodn´a veliˇcina X m´a hustotu pravdˇepodobnosti
f(x) =
braceleftBigg
1−|x−1| pro x ∈ (0,2)
0 jinde
Urˇcete jej´ı distribuˇcn´ı funkci, stˇredn´ı hodnotu a rozptyl. ♦
Distribuˇcn´ı funkci urˇc´ıme podle obecn´eho vztahu F(x) =integraltextx−∞f(t)dt. Protoˇze je ale hustota prav-
dˇepodobnosti po ˇc´astech spojit´a, mus´ıme rovnˇeˇz integrovat po ˇc´astech, a to pro intervaly (−∞,0),
(0,1), (1,2) a (2,∞).
Na prvn´ım intervalu x ∈ (−∞,0) je f(x) = 0, a tedy bude tak´e F(x) = 0.
Na druh´em intervalu x ∈ (0,1) je f(x) = x a tedy
F(x) =
integraldisplay x
−∞
f(t)dt =
integraldisplay 0
−∞
f(t)dt +
integraldisplay x
0
tdt = 0 +
bracketleftbigg1
2t
2
bracketrightbiggx
0
= 12x2
Na tˇret´ım intervalu x ∈ (1,2) je f(x) = 2−x
F(x) =
integraldisplay x
−∞
f(t)dt =
integraldisplay 0
−∞
f(t)dt +
integraldisplay 1
0
f(t)dt +
integraldisplay x
1
(2−t)dt = 0 + 12 +
bracketleftbigg
2t− 12t2
bracketrightbiggx
1
=
= 12 + 2x− 12x2 −2 + 12 = 1− 12(x−2)2
Na posledn´ım intervalu x ∈ (2,∞) je opˇet f(x) = 0. Hodnota F(x) na konci pˇredchoz´ıho intervalu je
F(2) = 1 a ta z˚ustane stejn´a pro cel´y interval.
Distribuˇcn´ı funkci tedy m˚uˇzeme zapsat po ˇc´astech
F(x) =



0 pro x ∈ (−∞,0)
0.5x2 pro x ∈ (0,1)
1−0.5(x−2)2 pro x ∈ (1,2)
1 pro x ∈ (2,∞).
Pozn´amka: Pozor. Nezapomeˇnte, ˇze v kaˇzd´em intervalu poˇc´ıt´ame vˇzdy integr´al od −∞, a tedy
i pˇres vˇsechny minul´e intervaly (tj. intervaly vlevo). V diskr´etn´ım pˇr´ıpadˇe hovoˇr´ıme o kumulativn´ım
souˇctu. Integr´al je tak´e ”kumulativn´ı”.
Stˇredn´ı hodnota:
Podle definice stˇredn´ı hodnoty a tvaru hustoty pravdˇepodobnosti je
E[X] =
integraldisplay ∞
−∞
xf(x)dx =
integraldisplay 1
0
x2dx +
integraldisplay 2
1
x(2−x)dx =
bracketleftbigg1
3x
3
bracketrightbigg1
0
+
bracketleftbigg
x2 − 13x3
bracketrightbigg2
1
= 1,
coˇz se dalo ˇcekat (podle grafu hustoty).
Rozptyl:
D[X] =
integraldisplay ∞
−∞
(x−E[x])2f(x)dx =
integraldisplay ∞
−∞
x2f(x)dx−E[X]2 =
38
=
integraldisplay 1
0
x3dx +
integraldisplay 2
0
x2(2−x)dx−1 =
bracketleftbigg1
4x
4
bracketrightbigg1
0
+
bracketleftbigg2
3x
3 − 1
4x
4
bracketrightbigg2
1
−1 = 16
Pˇr´ıklad 7: Pˇri zaokrouhlov´an´ı na jedno desetinn´e m´ısto se dopouˇst´ıme chyby, rovnomˇernˇe
rozdˇelen´e na intervalu (−0.05,0.05). Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze se souˇcet dvou takto zaokrouhlen´ych
ˇc´ısel bude od hodnoty pˇresn´e liˇsit nejv´yˇse o ±0.02? ♦
Chybu, vzniklou zaokrouhlen´ım prv´eho ˇc´ısla oznaˇc´ıme X1 a druh´eho X2. Obˇe maj´ı rovnomˇern´e rozdˇelen´ı
s hustotou pravdˇepodobnosti f(x) = 10 pro x ∈ (−0.05,0.05) a 0 jinde. Obˇe tyto n´ahodn´e veliˇciny jsou
nez´avisl´e, a tedy sdruˇzen´a hustota je
f(x1,x2) = f(x1)f(x2) = 100, pro [x1x2] ∈ (−0.05,0.05)×(−0.05,0.05), jinde 0
Chybu souˇctu oznaˇc´ıme Y a je transformac´ı Y = X1 + X2, Y ∈ (−0.1,0.1). Jej´ı distribuˇcn´ı funkce
spoˇcteme jako integr´al z hustoty pravdˇepodobnosti pˇres oblast x1 + x2 ≤ y, tj. x2 ≤ −x1 + y
F(y) =
integraldisplay integraldisplay
x1+x2≤y
f(x1,x2)dx1dx2 =
=



integraltext0.05+y
−0.05
integraltexty−x1
−0.05 100dx2dx1 = −150y
2 + 10y + 0.5 pro y ≤ 0
1−integraltext0.05y−0.05integraltext0.05y−x1 100dx2dx1 = −50y2 + 10y + 0.5 pro y > 0.
Distribuˇcn´ı funkce tedy je
F(y) =



0 pro y ≤ −0.1
50y2 + 10y + 0.5 pro y ∈ (−0.1,0)
−50y2 + 10y + 0.5 pro y ∈ (0,0.1)
1 pro y ≥ 0.1
Pravdˇepodobnost, ˇze souˇcet dvou zaokrouhlen´ych ˇc´ısel se bude od pˇresn´e hodnoty liˇsit maxim´alnˇe o
±0.02 je roven pravdˇepodobnosti, ˇze chyba v souˇctu (tj. hodnota n´ahodn´e veliˇciny Y ) bude v intervalu
(−0.02,0.02) a tu urˇc´ıme pomoc´ı rozd´ılu distribuˇcn´ı funkce
F(0.02)−F(−0.02) = −50·0.022 + 10·0.02 + 0.5−(−150·0.022 −10·0.02 + 0.5) = 0.36
Pozn´amka: Pˇri odvozen´ı distribuˇcn´ı funkce si oblast integrace nakreslete a rozdˇelte ji na doln´ı a
horn´ı polovinu. Integrac´ı pˇres doln´ı polovinu obdrˇz´ıte pˇr´ımo distribuˇcn´ı funkci pro y ≤ 0, integrac´ı
pˇres horn´ı polovinu dostanete P(Y > y) = 1 − F(y) a v´ysledek plat´ı pro y > 0. S podm´ınkou
y ∈ (−0.1,0.1) dostaneme v´yslednou distribuˇcn´ı funkci tak, jak je zaps´ana.
39
8 Charakteristiky n´ahodn´eho vektoru
V ´uvodn´ı pˇredn´aˇsce jsme hovoˇrili o charakteristik´ach datov´eho souboru. Rovnˇeˇz jsme se zm´ınili
o vztahu proces - data. Budeme-li na n´ahodnou veliˇcinu pohl´ıˇzet jako na soubor vˇsech jej´ıch
moˇzn´ych hodnot, na nichˇz je definov´ano rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı, nab´ız´ı se moˇznost popisu
n´ahodn´e veliˇciny pomoc´ı obdobn´ych charakteristik, jako jsme uvedli pro datov´y soubor. Protoˇze
pravdˇepodobnosti hodnot nejsou stejn´e, uplatn´ı se vzorce pro tˇr´ıdˇen´a data. Pro diskr´etn´ı nv jsou
vzorce prakticky stejn´e, pro spojitou nv se ”sumace nahrad´ı integrac´ı”.
Charakteristiky nv pˇredstavuj´ı ne´upln´y, avˇsak velmi jednoduch´y, popis nv. Tento ne´upln´y popis v
praktick´ych pˇr´ıpadech ˇcasto zcela postaˇc´ı.
Z´akladn´ımi charakteristikami nv je stˇredn´ı hodnota a rozptyl.
8.1 Stˇredn´ı hodnota a rozptyl
• Stˇredn´ı hodnota n´ahodn´e veliˇciny•
Definice 8.1 (Stˇredn´ı hodnota)
Pro diskr´etn´ı nvX s hodnotami{x1,x2,...,xn}s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı f(x), resp., spojitou
nv X s hodnotami z mnoˇziny X∗ a hustotou pravdˇepodobnosti f(x) definujeme stˇredn´ı hodnotu
E[X] vztahem
E[X] =
nsummationdisplay
i=1
xif(xi), resp., E[X] =
integraldisplay
X∗
xf(x)dx. (34)
Koment´aˇr k definici
1. Stˇredn´ı hodnota urˇcuje ”hladinu”, na kter´e se data pohybuj´ı.
2. Jedn´a se skuteˇcnˇe o vzorce pro v´aˇzen´y pr˚umˇer. Pˇri tˇr´ıdˇen´ı dat urˇcujeme ˇcetnosti jednotliv´ych
hodnot; vydˇelen´ım celkov´ym poˇctem n z´ısk´ame relativn´ıˇcetnosti - pravdˇepodobnosti, coˇz jsou
hodnoty pravdˇepodobnostn´ı funkce.
d : 1,1,2,1,2,1,1,3 → xi: 1 2 3n
i: 5 2 1
→ E[X] = 1·5 + 2·2 + 3·15 + 2 + 1 = 1·58 + 2·28 + 3·18
Pˇr´ıklad: Urˇcete stˇredn´ı hodnotu n´ahodn´e veliˇciny s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı f(x) danou tabulkou
xi 3 5 7 9
f(xi) 0,22 0,31 0,19 0,28 ♦
Podle definice je
E[X] = x1f(x1) + x2f(x2) + x3f(x3) + x4f(x4) = 3·0,22 + 5·0,31 + 7·0,19 + 9·0,28 = 6,06.
40
Pˇr´ıklad: Urˇcete stˇredn´ı hodnotu nv X s hodnotami x = 0,1,...,∞, s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı
f(x) = λxx! e−λ pro x = 0,1,...,∞. ♦
Opˇet podle definice je
E[X] =
∞summationdisplay
x=0
x·λ
x
x! e
−λ =
∞summationdisplay
x=1
λ·λx−1
(x−1)!e
−λ = λ
∞summationdisplay
z=0
λz
z! e
−λ = λ
Pˇri ´uprav´ach jsme: 1) vynechali prvn´ı ˇclen sumace, protoˇze je nulov´y, 2) zkr´atili x proti faktori´alu, 3)
vytkli jedno λ z mocniny v ˇcitateli, 4) substituovali x − 1 → z a 5) vyuˇzili skuteˇcnosti, ˇze souˇcet
ˇclen˚u pravdˇepodobnostn´ı funkce je roven jedn´e.
• Rozptyl n´ahodn´e veliˇciny•
Definice 8.2 (Rozptyl)
Pro n´ahodnou veliˇcinu X s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı, resp., s hustotou pravdˇepodobnosti f(x)
definujeme rozptyl D[X] vztahem
D[X] = E[(X −E[X])2]. (35)
Koment´aˇr k definici
1. Rozptyl urˇcuje m´ıru ”variability” dat, tj. jak moc jsou jednotliv´e hodnoty odch´yleny od
stˇredn´ı hodnoty. Hodnota rozptylu je pr˚umˇer kvadratick´ych odchylek - veliˇcina porovnateln´a
s daty je smˇerodatn´a odchylka, coˇz je odmocnina z rozptylu.
2. Pro diskr´etn´ı, resp., spojitou nv lze rozptyl vyj´adˇrit takto
D[X] =
nsummationdisplay
i=1
(xi −E[X])2f(xi), resp., D[X] =
integraldisplay
X∗
(x−E[X])2f(x)dx.
Pˇr´ıklad: Urˇc´ıme stˇredn´ı hodnotu n´ahodn´e veliˇciny pro zm´ınˇen´y pˇr´ıpad ˇcek´an´ı na tramvaj. Jej´ı
hustota pravdˇepodobnosti je
f(x) =
braceleftBigg
1/5 pro x ∈ (0,5),
0 jinde.
♦Stˇredn´ı hodnota je podle definice (vynech´ame integraci tam, kde je f(x) = 0.)
E[X] =
integraldisplay 5
0
xf(x)dx =
integraldisplay 5
0
x·15 dx =
bracketleftbigg 1
10x
2
bracketrightbigg5
0
= 2,5 ,
coˇz pˇresnˇe odpov´ıd´a naˇsim pˇredstav´am.
Rozptyl opˇet podle definice
D[X] =
integraldisplay 5
0
(x−2,5)215dx = 2512
41
• Oper´atorov´e vyj´adˇren´ı stˇredn´ı hodnoty a rozptylu•
Stˇredn´ı hodnota Pro n´ahodn´e veliˇciny X,Y a konstantu a plat´ı
E[a] = a, E[aX] = aE[X], E[X + Y ] = E[X] + E[Y ],
ale
E[X2] negationslash= E[X]2, E[XY ] negationslash= E[X]E[Y ].
Rozptyl Pro n´ahodn´e veliˇciny X,Y a konstantu a plat´ı
D[a] = 0, D[a + X] = D[X], D[aX] = a2D[X]
a pro X,Y nekorelovan´e (bude pozdˇeji) plat´ı
D[X + Y