Texty k přednáškám statistiky od Nagyho a Homolový

ujeme celou s´erii pokus˚u a zaj´ım´ame se o pravdˇepodobnosti v´ysledku cel´e takov´ı s´erie.
Napˇr. vyb´ır´ame v´yrobky ze skladu a v´ıme, ˇze mezi nimi je p˙100% vadn´ych. Zaj´ım´a n´as, s jakou
pravdˇepodobnost´ı bude v 10 vybran´ych pr´avˇe 8 dobr´ych. Pokud jsou jednotliv´e pokusy navz´ajem
nez´avisl´e, hovoˇr´ıme o nez´avisl´ych pokusech a situace je pomˇernˇe jednoduch´a - budeme o n´ı
hovoˇrit d´ale v souvislosti s binomick´ym rozdˇelen´ım. Pokud jsou ale pokusy z´avisl´e, tj. pravdˇepo-
dobnosti v´ysledk˚u v dalˇs´ıch pokusech z´avis´ı na v´ysledc´ıch pˇredchoz´ıch pokus˚u, mluv´ıme o z´avisl´ych
pokusech a situace je podstatnˇe komplikovanˇejˇs´ı. Dobr´ym pomocn´ıkem pro v´ypoˇcet m˚uˇze b´yt tzv.
pravdˇepodobnostn´ı strom.
2.3 Pravdˇepodobnostn´ı strom
V pˇr´ıpadˇe, kdy opakovan´e pokusy jsou z´avisl´e, je situace sloˇzit´a, protoˇze pravdˇepodobnosti v
kaˇzd´em dalˇs´ım pokusu z´avis´ı na v´ysledc´ıch pˇredchoz´ıch pokus˚u (viz b´ıl´e a modr´e kor´alky, dobr´e a
vadn´e v´yrobky). Pravdˇepodobnost jednoho konkr´etn´ıho stavu v´ysledk˚u Vi pokus˚u je d´ana obecn´ym
rozvojem sdruˇzen´e pravdˇepodobnosti podle (??) ve tvaru
P(V1,V2,...,Vn) = P(V1)P(V2|V1)...P(Vn|V1,V2,...,Vn−1).
Je tedy tˇreba zn´at vˇsechny podm´ınˇen´e pravdˇepodobnosti. Pˇri ˇreˇsen´ı takov´e ´ulohy lze s v´yhodou
pouˇz´ıt pravdˇepodobnostn´ı strom. Vysvˇetl´ıme jej a jeho pouˇzit´ı budeme demonstrovat na
pˇr´ıkladˇe.
Pˇr´ıklad: V klobouku jsou 3 b´ıl´e (b) a 5 modr´ych (m) kor´al˚u. Postupnˇe, bez vracen´ı, vylosujeme
2 kor´alky. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze druh´y kor´alek bude modr´y? ♦
´Ulohu budeme ˇreˇsit pomoc´ı stromu
a0
a0
a0
a0
a0a0
a64
a64
a64
a64
a64a64
a8a8
a8a8
a8a8
a72a72
a72a72
a72a72
a8a8
a8a8
a8a8
a72a72
a72a72
a72a72
b
m
3b5m
a38a37
a39a36
2b5m
a38a37
a39a36
3b4m
a38a37
a39a36
1b5m
a38a37
a39a36
2b4m
a38a37
a39a36
2b4m
a38a37
a39a36
3b3m
a38a37
a39a36
P(b) = 38
P(m) = 58
P(b|b) = 27
P(m|b) = 57
P(b|m) = 37
P(m|m) = 47
P(b,b) = 38·27 = 328
P(b,m) = 38·57 = 1556
P(m,b) = 58·37 = 1556
P(m,m) = 58·47 = 1028
V tomto grafu krouˇzky znamenaj´ı jednotliv´e stavy, ˇc´ary jsou pˇrechody mezi stavy. ˇC´ara nahoru znamen´a
taˇzen´ı b´ıl´eho kor´alku, dol˚u ˇcern´eho. U kaˇzd´e ˇc´ary je zaps´ana pravdˇepodobnost tohoto pˇrechodu. Je
12
to klasick´a pravdˇepodobnost, kter´a se op´ır´a vˇzdy o pˇredchoz´ı stav. V´yznam koncov´ych stav˚u je d´an
cestou, kterou jsme do nich dospˇeli (napˇr. horn´ı koncov´y stav je b,b) a jejich pravdˇepodobnosti jsou
d´any souˇcinem podm´ınˇen´ych pravdˇepodobnost´ı pod´el pˇr´ısluˇsn´e cesty (napˇr. pro horn´ı koncov´y stav je
to (3/8).(2/7) = 3/28).
Moˇznosti, kter´e n´as v naˇsem pˇr´ıkladˇe zaj´ımaj´ı jsou or´amovan´e. Celkov´a pravdˇepodobnost je souˇctem
P(druh´y modr´y) = 1556 + 1028 = 58.
2.4 ´Upln´a pravdˇepodobnost a Bayes˚uv vzorec
Uvaˇzujeme jev (A) jehoˇz pravdˇepodobnost sledujeme a okolnosti (B1,B2,...,Bn), za kter´ych tento
jev nast´av´a. Pro pˇrehlednost uvedeme vzorce pro n = 3.
´Upln´a pravdˇepodobnost urˇcuje pravdˇepodobnost jevu pˇri vˇsech moˇzn´ych okolnostech.
(Poˇc´ıt´ame pˇred proveden´ım pokusu.)
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3) (3)
Bayes˚uv vzorec urˇcuje pravdˇepodobnost okolnosti, kdyˇz v´ıme, jak´y v´ysledek pokusu nastal.
(Poˇc´ıt´ame po proveden´ı pokusu.)
P(Bi|A) = P(A|Bi)P(Bi)P(A|B
1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3)
(4)
Obˇe ´ulohy budeme demonstrovat na pˇr´ıkladˇe.
Pˇr´ıklad: Na skladˇe je 70% pˇr´ıstroj˚u 1. jakosti a 30% 2. jakosti. Pravdˇepodobnost, ˇze pˇr´ıstroj
1. jakosti pracuje bez poruchy je 0.95, 2. jakosti 0.6.
a) Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze n´ahodnˇe vybran´y pˇr´ıstroj bude bez poruchy?
b) Vybereme jeden pˇr´ıstroj a zjist´ıme, ˇze je bez poruchy. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze je to pˇr´ıstroj
1. jakosti? ♦
Oznaˇc´ıme: I – 1. jakost, II – 2. jakost, B – bezporuchov´y v´yrobek.
Zad´ano: P(I) = 0.7, P(II) = 0.3, P(B|I) = 0.95, P(B|II) = 0.6.
a) ´Upln´a pravdˇepodobnost
P(B) = P(B|I)P(I) + P(B|II)P(II) = 0.95·0.7 + 0.6·0.3 = 0.845
b) Bayes˚uv vzorec
P(I|B) = P(B|I)P(I)P(B|I)P(I) + P(B|II)P(II) = 0.95·0.70.95·0.7 + 0.6·0.3 = 0.787
13
3 N´ahodn´a veliˇcina a jej´ı popis
Pˇri definici pravdˇepodobnostn´ıho prostoru jsme pˇriˇrazovali pravdˇepodobnosti v´ysledk˚um
n´ahodn´eho pokusu (element´arn´ım jev˚um) a jejich skupin´am (n´ahodn´ym jev˚um). Vymezen´ı vˇsech
moˇzn´ych skupin v´ysledk˚u (jevov´e pole) a pˇriˇrazen´ı pravdˇepodobnost´ı tˇemto skupin´am pˇredstavuje
´upln´y popis sledovan´eho procesu. Takov´y ´upln´y popis jsme ale schopni prov´est jen v nejjednoduˇsˇs´ıch
pˇr´ıpadech, jako je napˇr. hod kostkou. Vˇetˇsinou, a to zejm´ena v re´aln´ych procesech, nen´ı takov´y
´upln´y popis moˇzn´y - napˇr. kdyˇz sledujeme intenzitu provozu v dan´em m´ıstˇe komunikace. Uvaˇzov´an´ı
fyzik´aln´ı podstaty tohoto pokusu by znamenalo sledovat ´umysly vˇsech ˇridiˇc˚u, technick´y stav jejich
vozidla, pravdˇepodobnost, zda v˚ubec do dan´eho m´ısta dojedou atd. Je zˇrejm´e, ˇze v takov´em pˇr´ıpadˇe
lze bud’ pouze pˇredpokl´adat urˇcit´e standardn´ı ”rozdˇelen´ı” pravdˇepodobnost´ı nebo se uch´ylit k
nˇejak´emu jednoduˇsˇs´ımu, byt’ i ne´upln´emu, popisu takov´eho procesu.
Jedna z moˇznost´ı, jak takov´y jednoduˇsˇs´ı popis prov´est, je uvaˇzovat urˇcitou ˇc´ıselnou charakteristiku
- napˇr. pr˚umˇernou hodnotu (kter´a urˇcuje hladinu, na kter´e se data pohybuj´ı) nebo rozptyl (kter´y
ud´av´a, jak se v pr˚umˇeru data navz´ajem liˇs´ı). To je ale moˇzn´e jen tehdy, jsou-li v´ysledky n´ahodn´eho
pokusu (data mˇeˇren´a na procesu) ˇc´ısla. Jinak je tento popis nemoˇzn´y. Napˇr. na minci padne ”rub”
nebo ”l´ıc”, oboj´ı s pravdˇepodobnost´ı 0,5. Co padne v pr˚umˇeru? A pˇrece, pomoc je velmi jednoduch´a.
Staˇc´ı napˇr. pˇrejmenovat ”rub” na 0 a ”l´ıc” na 1. Nic z podstaty pokusu se neztratilo a pr˚umˇer je
0,5. Ten vyjadˇruje pˇresnˇe to, co jsme chtˇeli. Jde o ”f´erovou korunu”.
To, co jsme pr´avˇe popsali, zajiˇst’uje n´ahodn´a veliˇcina - v´ysledk˚um pokusu pˇriˇrazuje re´aln´a ˇc´ısla.
M´ısto s v´ysledky pokusu, kter´e mohou m´ıt libovolnou povahu (napˇr. zelen´a, oranˇzov´a, ˇcerven´a),
pracujeme s hodnotami n´ahodn´e veliˇciny, tedy s ˇc´ısly, kter´a reprezentuj´ı p˚uvodn´ı v´ysledky.
D´ale uvedeme definici n´ahodn´e veliˇciny (nv) a definice funkc´ı, kter´e pˇredstavuj´ı ´upln´y popis
pro nv. V dalˇs´ı kapitole se budeme zab´yvat charakteristikami nv, kter´e pˇredstavuj´ı ne´upln´y (avˇsak
velmi jednoduch´y) popis nv.
3.1 N´ahodn´a veliˇcina
Definice 3.1 (N´ahodn´a veliˇcina)
Uvaˇzujme pravdˇepodobnostn´ı prostor (Ω,A,P). N´ahodn´a veliˇcina X je zobrazen´ı prostoru ele-
ment´arn´ıch jev˚u Ω do mnoˇziny re´aln´ych ˇc´ısel X : Ω → R, kter´e splˇnuje podm´ınku
{E ∈ Ω : X(E) < x} ∈ A pro vˇsechna x ∈ R (5)
Koment´aˇr k definici
1. Pokud je mnoˇzina v´ysledk˚u, a tedy i mnoˇzina hodnot nv, koneˇcn´a nebo spoˇcetn´a, hovoˇr´ıme
o diskr´etn´ı nv. V pˇr´ıpadˇe nespoˇcetnˇe nekoneˇcn´eho mnoˇzstv´ı hodnot se nv veliˇcina naz´yv´a
spojit´a nv. Pˇr´ıkladem diskr´etn´ı nv je hod minc´ı, kostkou, losov´an´ı kor´alk˚u apod. Spojit´a
nv je spojena napˇr. s pokusem doba ˇcek´an´ı na tramvaj, bezporuchov´a doba funkce pˇr´ıstroje
apod.
2. Na uveden´e definici je podstatn´e, ˇze n´ahodn´a veliˇcina je zobrazen´ı, a tedy, jak jsme v ´uvodu
ˇrekli, pˇriˇrazuje v´ysledk˚um pokusu (element´arn´ım jev˚um) re´aln´a ˇc´ısla. Zm´ınˇen´a podm´ınka je
dosti voln´a (v naˇsich pˇr´ıkladech bude vˇzdy splnˇena). Jej´ı splnˇen´ı zaruˇcuje existenci ´upln´eho
popisu nv pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce.
14
3. Pokud jsou v´ysledky pokusu ˇc´ısla, lze je pˇr´ımo ponechat jako hodnoty nv. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe
je moˇzno ˇc´ısla v´ysledk˚um pˇriˇradit prakticky libovolnˇe.
4. Splnˇen´ı podm´ınky budeme ilustrovat v n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe.
Pˇr´ıklad: Uvaˇzujme n´ahodn´y pokus ”hod nepoˇskozenou minc´ı” se stranami ”rub” (R) a ”l´ıc” (L),
pro kter´y plat´ı
Z´akladn´ı prostor Ω = {R,L}
Jevov´e pole A = {∅,{R},{L},{R,L}}
Pravdˇepodobnost P(∅) = 0, P({R}) = P({L}) = 1/2, P({R,L}) = 1
Definujme n´ahodnou veliˇcinu takto X(R) = 0 a X(L) = 1 a ovˇeˇrme, zda je splnˇena podm´ınka z definice
nv.
Ovˇeˇren´ı zaˇcneme ”odzadu”, kde se ˇr´ık´a ... pro vˇsechna x ∈ R.
1) Re´alnou osu budeme proch´azet ve tˇrech intervalech: I1 : x ∈ (−∞,0〉, I2 : x ∈ (0,1〉 a I3 : x ∈
(1,∞), kde za hranice interval˚u jsou schv´alnˇe voleny hodnoty nv.
2) D´ale pro jednotliv´e intervaly oznaˇc´ıme mnoˇziny
Mi = {E ∈ Ω : X(E) < x} pro x ∈ Ii, i = 1,2,3.
Bude M1 = ∅, M2 = {R} a M3 = {R,L} - nakreslete a rozmyslete.
3) Porovn´an´ım s jevov´ym polem A tohoto pˇr´ıkladu zjist´ıme, ˇze skuteˇcnˇe plat´ı Mi ∈ A pro vˇsechna
i = 1,2,3 a tedy pro libovoln´e x ∈ R.
T´ım je platnost podm´ınky dok´az´ana.
Pozn´amka: Je zˇrejm´e, ˇze podm´ınka bude splnˇena pro libovolnou volbu hodnot nv; bude splnˇena
dokonce i pro nesmyslnou volbu X(R) = X(L) ∈ R. Podm´ınka skuteˇcnˇe ”hl´ıd´a” jen existenci
distribuˇcn´ı funkce (bude d´ale), nikoliv smysluplnost volby.
Pozn´amka: Chceme-li n´ahodnou veliˇcinu zaˇradit do kontextu jevov´e pravdˇepodobnosti, m˚uˇzeme
ji povaˇzovat za ekvivalent n´ahodn´eho pokusu. Pokus d´av´a v´ysledky, nv d´av´a ˇc´ısla, kter´a oznaˇcuj´ı
v´ysledky. Nv je tedy jen jak´ysi ”pseudonym” pro n´ahodn´y pokus. Pod t´ımto pseudonymem se n´am
pak s v´ysledky – ˇc´ısly l´epe pracuje.
3.2 Distribuˇcn´ı funkce
Stejnˇe jako jsme se v pˇr´ıpadˇe n´ahodn´eho pokusu zaj´ımali o jeho ´upln´y popis, budeme se o nˇeho
zaj´ımat i v pˇr´ıpadˇe nv. Je j´ım distribuˇcn´ı funkce a hustota pravdˇepodobnosti.
Definice 3.2 (Distribuˇcn´ı funkce)
Pro nv X definujeme distribuˇcn´ı funkce F(x) vztahem
FX(x) = P(X < x), kde x ∈ R (6)
Koment´aˇr k definici
15
1. Distribuˇcn´ı funkce je funkc´ı re´aln´e promˇenn´e x ∈ R. Index X oznaˇcuje n´ahodnou veliˇcinu,
kterou distribuˇcn´ı funkce popisuje. ˇCasto se tento index vynech´av´a a n´ahodn´a veliˇcina je
oznaˇcena p´ısmenem, kter´e zvol´ıme za argument funkce.
2. Distribuˇcn´ı funkce pˇriˇrazuje pravdˇepodobnosti vˇsem interval˚um typu (−∞,x) pro re´aln´a
x. Pˇripomeˇnme, ˇze v pravdˇepodobnostn´ım prostoru tomu bylo obdobnˇe. Jevov´e pole obsa-
hovalo vˇsechny mnoˇziny element´arn´ıch jev˚u (v´ysledk˚u) a funkce P (pravdˇepodobnost) jim
pˇriˇrazovala jejich pravdˇepodobnosti. Tady jsou element´arn´ımi jevy (v´ysledky) vˇsechna re´aln´a
ˇc´ısla a jako jejich mnoˇziny vol´ıme pr´avˇe vˇsechny intervaly (−∞,x), x ∈ R.
3. Definice distribuˇcn´ı funkce je spoleˇcn´a pro diskr´etn´ı i spojitou nv. Jejich pr˚ubˇehy se ale
typicky liˇs´ı. Uk´aˇzeme si je v n´asleduj´ıc´ıch pˇr´ıkladech.
Pˇr´ıklad: Nakreslete distribuˇcn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny X pro hod nepoˇskozenou minc´ı s v´ysledky
R a L, definovanou v´yˇctem X(R) = 0 a X(L) = 1.
T´ımto pokusem jsme se jiˇz zab´yvali v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe a zjistili jsme, ˇze mnoˇziny v´ysledk˚u Mi
odpov´ıdaj´ıc´ı interval˚um Ii pro I1 : x ∈ (−∞,0〉, I2 : x ∈ (0,1〉 a I3 : x ∈ (1,∞) jsou M1 = ∅,
M2 = {R} a M3 = {R,L}. Bude tedy
F(x) = P(X < x) =



P(∅) = 0 pro x < 0,
P({R}) = 0,5 pro x ∈ 〈0,1),
P({R,L}) = 1 pro x ≥ 1.
Protoˇze mnoˇzina vˇsech hodnot nv je koneˇcn´a (m´a jen dva prvky 0 a 1), jedn´a se o diskr´etn´ı nv. Graf
jej´ı distribuˇcn´ı funkce je na obr´azku
a45
a54F(x)
x
1
0,5
0 1
a101
a101
a117
a117
Distribuˇcn´ı funkce diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny je po ˇc´astech konstantn´ı funkce. Ke skok˚um doch´az´ı
jen v jej´ıch hodnot´ach a velikost skok˚u je rovna pravdˇepodobnostem tˇechto hodnot.
Pˇr´ıklad: Nakreslete distribuˇcn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny popisuj´ıc´ı dobu ˇcek´an´ı na tramvaj
s pˇetiminutov´ym intervalem pˇri n´ahodn´em pˇr´ıchodu na zast´avku.
16
Budeme-li uvaˇzovat zcela n´ahodn´y pˇr´ıchod, bude pravdˇepodobnost pˇr´ıjezdu pˇr´ımo ´umˇern´a dobˇe ˇcek´an´ı
a bude-li 5 minutov´y interval pˇresn´y, bude pravdˇepodobnost pˇr´ıjezdu po 5 minut´ach ˇcek´an´ı rovna jedn´e.
Distribuˇcn´ı funkce tedy bude
F(x) =



0 pro x < 0,
x/5 pro x ∈ 〈0,5),
1 pro x ≥ 5.
Graf t´eto funkce je na obr´azku
a45
a54F(x)
x0 1
1
a33a33a33
a33a33a33
a33a33a33
a33a33a33
a33
Uveden´e pˇr´ıklady poukazuj´ı na nˇekter´e obecn´e vlastnosti distribuˇcn´ıch funkc´ı.
Tvrzen´ı 3.1 (Vlastnosti distribuˇcn´ı funkce)
1. Distribuˇcn´ı funkce je neklesaj´ıc´ı na cel´e re´aln´e ose a
2. plat´ı F(x) → 0 pro x → −∞ a F(x) → 1 pro x → ∞.
3. Distribuˇcn´ı funkce spojit´e nv je spojit´a, distribuˇcn´ı funkce diskr´etn´ı nv m´a koneˇcn´y
(spoˇcetn´y) poˇcet nespojitost´ı. Ty se nach´azej´ı v hodnot´ach nv.
Ovˇeˇren´ı: Tvrzen´ı plyne pˇr´ımo z definice distribuˇcn´ı funkce a ze skuteˇcnosti, ˇze pravdˇepodobnost
je vˇzdy nez´aporn´a.
3.3 Hustota pravdˇepodobnosti
Distribuˇcn´ı funkce je ´upln´ym popisem nv. Jej´ı velikou pˇrednost´ı je velmi jednoduch´a definice, kter´a
je spoleˇcn´a jak pro diskr´etn´ı, tak i pro spojitou nv. Jej´ı nev´yhodou je, ˇze nen´ı pˇr´ıliˇs vhodn´a pro
bˇeˇzn´e pouˇzit´ı. Proto se pro popis nv zav´ad´ı jeˇstˇe jedna funkce - hustota pravdˇepodobnosti. Ta je
z hlediska popisu n´ahodn´e veliˇciny prakticky ekvivalentn´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı, je velmi vhodn´a pro
pouˇzit´ı, jej´ı definice je vˇsak trochu komplikovanˇejˇs´ı. V prv´e ˇradˇe, je definov´ana jinak pro diskr´etn´ı
a jinak pro spojitou nv. V pˇr´ıpadˇe diskr´etn´ı nv se ˇcasto naz´yv´a pravdˇepodobnostn´ı funkce.
17
• Diskr´etn´ı n´ahodn´a veliˇcina•
Definice 3.3 (Hustota pravdˇepodobnosti diskr´etn´ı nv)
Pro n´ahodnou veliˇcinu X definujeme pravdˇepodobnostn´ı funkci f(x) vztahem
fX(x) = P(X = x), kde x ∈ R (7)
Koment´aˇr k definici
1. Definice pravdˇepodobnostn´ı funkce je velmi jednoduch´a. Jej´ı hodnoty jsou pˇr´ımo pravdˇepo-
dobnosti jev˚u, oznaˇcen´ych hodnotami nv.
2. Diskr´etn´ı distribuˇcn´ı funkci dostaneme pomoc´ı pravdˇepodobnostn´ı funkce jako jej´ı kumula-
tivn´ı souˇcet (postupn´e nasˇc´ıt´av´an´ı jej´ıch hodnot). Plat´ı tedy vztah
F(x) = summationdisplay
xi 0,
0 jinde.
(20)
Stˇredn´ı hodnota a rozptyl
E[X] = eµ+σ2/2, D[X] = e2µ+σ2
parenleftBig
eσ2 −1
parenrightBig
V´yznam
M´a-li n´ahodn´a veliˇcina X norm´aln´ı rozdˇelen´ı, pak veliˇcina Y = eX m´a rozdˇelen´ı logaritmicko-
norm´aln´ı.
26
Pˇr´ıklady
1. Intenzita dopravn´ıho proudu pˇri stˇredn´ım a vyˇsˇs´ım provozu.
5.4 Exponenci´aln´ı rozdˇelen´ı
Hustota pravdˇepodobnosti
f(x) =
braceleftBigg
1
δe
−x−Aδ pro x ≥ A,
0 jinde. (21)
Stˇredn´ı hodnota a rozptyl
E[X] = A + δ D[X] = δ2
Spoˇc´ıtat doma. Kdyˇz to nep˚ujde, spoˇc´ıt´ame pozdˇeji.
V´yznam
Exponenci´aln´ı rozdˇelen´ı m´a n´asleduj´ıc´ı charakteristiku: jestliˇze X interpretujeme jako dobu do
poruchy pˇr´ıstroje a tento pˇr´ıstroj pracoval do okamˇziku a bez poruchy, pak pravdˇepodobnost
poruchy pˇr´ıstroje v n´asleduj´ıc´ım ˇcasov´em intervalu ∆ (tj. v ˇcasov´em ´useku (a,a+∆)) je stejn´a, jako
v ˇcasov´em ´useku (0,∆), tedy u pˇr´ıstroje, kter´y dosud nebyl v provozu. T´eto vlastnosti lze vyuˇz´ıt
napˇr. pro popis doby ˇzivotnosti pˇr´ıstroje, ohroˇzen´eho vnˇejˇs´ı n´ahodnou pˇr´ıˇcinou, bez uvaˇzov´an´ı
st´arnut´ı.
Pˇr´ıklady
1. Teorie spolehlivosti.
2. Teorie front.
5.5 Rozdˇelen´ı gama
Hustota pravdˇepodobnosti
f(x) = 1Γ(m)δm xm−1e−x/δ, x ≥ 0, jinak 0 (22)
kde funkce gama je definov´ana vztahem
Γ(m) =
integraldisplay ∞
0
tm−1e−tdt.
a plat´ı pro ni Γ(m + 1) = mΓ(m) [= m! pro m cel´e].
27
5.6 Rozdˇelen´ı beta
Hustota pravdˇepodobnosti
f(x) = 1B(m
1,m2)
xm1−1(1−x)m2−1, x ∈ (0,1), jinak 0 (23)
kde funkce beta je definov´ana vztahem
B(m1,m2) =
integraldisplay 1
0
tm1−1(1−t)m2−1dt
a plat´ı pro ni B(m1,m2) = Γ(m1)Γ(m2)/Γ(m1 + m2).
5.7 Rozdˇelen´ı χ2
N´ahodnou veliˇcinu X s rozdˇelen´ım χ2 s ν stupni volnosti dostaneme takto
X =
νsummationdisplay
i=1
U2i , (24)
kde Ui jsou nez´avisl´e n´ahodn´e veliˇciny s rozdˇelen´ım N(0,1).
Rozdˇelen´ı t´eto n´ahodn´e veliˇciny je rozdˇelen´ı Γ pro m = ν/2 a δ = 2, kde ν je parametr rozdˇelen´ı
χ2, kter´y se naz´yv´a ”poˇcet stupˇn˚u volnosti” a jeho v´yznam je d´an vztahem (24).
Toto rozdˇelen´ı je asymetrick´e - pro x < 0 je nula. Na kladn´e poloose nejprve roste (pro ν > 1),
dosahuje maxima a potom kles´a k nule. (Dˇel´a jeden hrb.)
5.8 Rozdˇelen´ı t (Studentovo)
N´ahodnou veliˇcinu X se studentov´ym rozdˇelen´ım s ν stupni volnosti dostaneme takto
X = Uradicalbigχ2(ν)/ν, (25)
kde U je n´ahodn´a veliˇcina s rozdˇelen´ım N(0,1) a χ2(ν) znaˇc´ı n´ahodnou veliˇcinu s rozdˇelen´ım χ2 a
ν stupni volnosti.
Toto rozdˇelen´ı je symetrick´e, dosti podobn´e norm´aln´ımu rozdˇelen´ı, avˇsak je v nˇem mnohem v´ıce
neurˇcitosti (lze z nˇeho generovat i znaˇcnˇe odlehl´e realizace).
5.9 Rozdˇelen´ı F
N´ahodnou veliˇcinu X s rozdˇelen´ım F a stupni volnosti ν1 a ν2 dostaneme takto
X = χ
2(ν1)/ν1
χ2(ν2)/ν2, (26)
kde χ2(ν1), resp., χ2(ν2) znaˇc´ı n´ahodn´e veliˇciny s rozdˇelen´ım χ2 s ν1, resp., ν2 stupni volnosti.
Tvarem se toto rozdˇelen´ı podob´a rozdˇelen´ı χ2.
28
6 N´ahodn´y vektor a jeho popis
Dosud jsme se zab´yvali jednou n´ahodnou veliˇcinou, tedy, volnˇeˇreˇceno, pˇr´ıpadem, kdy na sledovan´em
procesu mˇeˇr´ıme pouze jedna data. Napˇr. v dopravn´ı oblasti mˇeˇr´ıme data jen na jedin´em detektoru.
Chceme-li z mˇeˇren´ych dat dˇelat z´avˇery o t´eto oblasti, bude zˇrejmˇe vhodn´e mˇeˇrit data na v´ıce
m´ıstech. Kaˇzd´e mˇeˇr´ıc´ı m´ısto je potom spojeno s jednou n´ahodnou veliˇcinou a v kaˇzd´em okamˇziku
mˇeˇren´ı dost´av´ame cel´y vektor hodnot mˇeˇren´ych dat. O uvaˇzovan´ych n´ahodn´ych veliˇcin´ach hovoˇr´ıme
jako o n´ahodn´em vektoru nebo o v´ıcerozmˇern´e n´ahodn´e veliˇcinˇe.
Definice 6.1 (N´ahodn´y vektor)
Uvaˇzujme n´ahodn´e veliˇciny X1, X2,..., Xn. N´ahodn´ym vektorem nazveme uspoˇr´adanou n-tici
(vektor)
X = (X1,X2,...,Xn)prime. (27)
Koment´aˇr k definici
1. Apostrof v definici znaˇc´ı transpozici. N´ahodn´y vektor tedy zav´ad´ıme jako sloupcov´y vektor
a budeme se t´eto konvence d´ale drˇzet. V samotn´e definici je samozˇrejmˇe jedno, zda je vektor
sloupcov´y, ale v dalˇs´ıch vzorc´ıch tato konvence pˇrin´aˇs´ı lepˇs´ı srozumitelnost.
6.1 ´Upln´y popis n´ahodn´eho vektoru
Definice 6.2 (Distribuˇcn´ı funkce n´ahodn´eho vektoru)
Pro n´ahodn´y vektor X = (X1,X2,...,Xn)prime definujeme distribuˇcn´ı funkci jako funkci n re´aln´ych
promˇenn´ych vztahem
F(x1,x2,...,xn) = P(X1 ≤ x1,X2 ≤ x2,...,Xn ≤ xn). (28)
Koment´aˇr k definici
1. Pravdˇepodobnost na prav´e stranˇe definiˇcn´ıho vztahu je sdruˇzen´a pravdˇepodobnost, a tedy
pravdˇepodobnost pr˚uniku (souˇcasn´eho nastoupen´ı) jednotliv´ych podm´ınek v argumentu. Je
to tedy pravdˇepodobnost, ˇze X1 ≤ x1 a z´aroveˇn X2 ≤ x2, ... aˇz z´aroveˇn Xn ≤ xn
2. Vlastnosti distribuˇcn´ı funkce
(a) Distribuˇcn´ı funkce F(x1,x2,...,xn) je neklesaj´ıc´ı v kaˇzd´e sv´e promˇenn´e.
(b) Plat´ı
F(−∞,x2,...,xn) = F(x1,−∞,...,xn) = ... = F(x,x2,...,−∞) = 0,
F(∞,∞,...,∞) = 1,
kde znak ∞ je tˇreba ch´apat ve smyslu limitn´ıho pˇrechodu.
29
Definice 6.3 (Pravdˇepodobnostn´ı funkce n´ahodn´eho vektoru)
Pro diskr´etn´ı n´ahodn´y vektor X = (X1,X2,...,Xn)prime (tj. n´ahodn´y vektor, jehoˇz kaˇzd´a sloˇzka m˚uˇze
nab´yvat jen koneˇcn´eho nebo spoˇcetn´eho mnoˇzstv´ı hodnot) definujeme pravdˇepodobnostn´ı funkci
vztahem
f(x1,x2,...,xn) = P(X1 = x1,X2 = x2,...,Xn = xn) (29)
Koment´aˇr k definici
1. Hodnota pravdˇepodobnostn´ı funkce je tedy rovna pravdˇepodobnosti, se kterou nastane pr´avˇe
hodnota (x1,x2,...,xn) n´ahodn´eho vektoru X = (X1,X2,...,Xn)prime.
2. Distribuˇcn´ı funkci je moˇzno pomoc´ı pravdˇepodobnostn´ı funkce vyj´adˇrit takto
F(x1,x2,...,xn) = summat