M05-Mechanické kmitání a vlnění

u kmit ve tvaru
bg
L
bgm
LmT RR
=
= pp 22 2 ( 5.10)
Poznamenejme, že redukovaná délka kyvadla je délka, kterou by mlo
matematické kyvadlo se stejnou hmotností a se stejnou dobou kmitu jako
fyzické kyvadlo s uvedeným momentem setrvanosti.

Kontrolní otázky
Jakým zpsobem nahradíme fyzické kyvadlo matematickým?
Jak velké mohou být výchylky u fyzického kyvadla, abychom pro výpo
et
mohli použít rovnici ( 5.8)?
Závisí perioda kmitání matematického kyvadla na hmotnosti?

- 21 -
Píklad 5.1
Hmotný bod o hmotnosti 0,2 kg zavšený na nehmotné niti délky 0,9 m
vychýlíme o 1o a pustíme. S jakou periodou bude bod kmitat okolo
rovnovážné polohy?

ešení
V souladu s obr. 5.1 ozna
me všechny použité veli
iny v základních
jednotkách SI – m = 0,2 kg, l = 0,9 m. Tíhové zrychlení budeme uvažovat
g = 9,81 m·s-2.
Dle(5.5) vypo
teme periodu kmit
( )( ) s 9,1
sm 81,9
m 9,022
2- = = = pp g
lT
Bod bude kmitat s periodou 1,9 s.

Píklad 5.2
Homogenní ty
délky 1,2 m vykonává malé kmity ve svislé rovin kolem osy,
která prochází jedním koncem. Vypo
tte periodu kmit a redukovanou
délku. Tíhové zrychlení uvažujme 9,81 m·s-2.

ešení
V souladu s textem, soustavou SI a obr. 5.2 ozna
me – L = b = 1,2 m,
g = 9,81 m·s-2.

obr. 5.2 Kmitání ty
e
Pro výpo
et použijeme vztah (5.8)
Lgm
J
bgm
JT
= = pp 22 .

- 22 -
Moment setrva
nosti vypo
teme z defini
ního vztahu a dle obr. 5.2
33dd
2
0
3
0
22 Lmx
L
mxx
L
mmxJ LL =




 = = =

. Zde
L
m je délková hustota.
Dosazením do pedchozího vztahu pro periodu fyzického kyvadla dostaneme
( )( ) s 27,1
sm 81,93
m 2,12
32
32
2-
2
= = =

= ppp gLLgm
Lm
T .
Redukovaná délka kyvadla bude dle ( 5.9)
( ) m 69,0
3
m 2,1
3
3
2
===






== Lm
Lm
m
JL
R .
Perioda kmit ty
e je 1,27 s a redukovaná délka 0,69 m.

5.2 Autotest
A 7 Jaká podmínka musí být splnna, aby matematické nebo fyzické kyvadlo
konalo harmonické kmity?
A 8 Lze pomocí matematického kyvadla m
it tíhové zrychlení?
A 9 Lze pomocí vztahu pro fyzické kyvadlo vypoítat periodu matematického
kyvadla?
5.3 Shrnutí
Matematické a fyzické kyvadlo kmitají harmonickým pohybem v p
ípad, že
výchylka kmit je malá (do 5o).
Periodu kmit matematického kyvadla (hmotný bod zavšen na nehmotné niti)
mžeme vypoítat
g
lT = p2 ,
u fyzického kyvadla
bgm
JT
= p2 .
- 23 -

6 Tlumené kmity
6.1 Teorie
P
i kmitavém pohybu skutených tles psobí síly prost
edí proti pohybu tlesa
a vzniká tzv. tlumené kmitání. Pro jednoduchost budeme uvažovat
mechanickou soustavu (obr. 6.1) sestávající se z tlesa m upevnného na
pružin o tuhosti k (netlumené kmitání) a tlumi s koeficientem tlumení b.


obr. 6.1 Schéma tlumené mechanické soustavy.

Vliv jednotlivých prvk soustavy z obr. 6.1 na pohybové veliiny je ukázán na
obr. 6.2.

obr. 6.2 Mechanická soustava složená z pružiny, tlumie a hmoty.

Dostaneme soustavu, na kterou budou p
i kmitání krom tíhové síly psobit
síla od pružiny dle (3.1) a síla tlumení, která je obvykle závislá na rychlosti v a
koeficient tlumení b [N·s·m-1] dle
dt
dubvbF
b -= -= . ( 6.1)
Z pohybové rovnice musí platit, že
ubp amvbukFFF = - -=+= . ( 6.2)


- 24 -
Úpravou ( 6.2) dostaneme
02
2
= + + umkdtdumbdt ud , ( 6.3)
což je homogenní lineární diferenciální rovnice druhého
ádu s konstantními
koeficienty. Tuto diferenciální rovnici ( 6.3) mžeme upravit na tvar
02 202
2
= + + udtdudt ud wd , ( 6.4)
kde souinitel tlumení d [s-1] je
m
b
= 2d ( 6.5)
a vlastní úhlová frekvence w0 [s-1] je dle ( 3.6)
m
k=
0w . ( 6.6)


Homogenní lineární diferenciální rovnice druhého
ádu s konstantními
koeficienty má obecné
ešení ve tvaru
 =
k
kk tCtu )exp()( a , ( 6.7)
kde koeficienty a dostaneme v našem p
ípad (homogenní diferenciální
rovnice 2.
ádu s konstantními koeficienty) z
ešení kvadratické rovnice
02 202 =+ + wada , ( 6.8)
tedy
2
0
2
2,1 wdda -–-= ( 6.9)

P
i
ešení tlumeného kmitání mohou nastat t
i p
ípady
- d > w0 fi kdy je velké tlumení a malá hodnota vlastní frekvence – pohyb
aperiodický nebo-li s nadkritickým tlumením. ešením je rovnice
( ) ( )




 + = -- -+ - ttt eCeCetu 202202
21)(
wdwdd , ( 6.10)
- d = w0 fi jedná se o mezní p
ípad aperiodického pohybu tzv. s kritickým
tlumením. ešení je dáno rovnicí
( )tCCetu t + = - 21)( d , ( 6.11)
- d < w0 fi kdy kmitající soustava má relativn malé tlumení tzv. podkritické.
Výsledkem
ešení diferenciální rovnice jsou komplexní, které lze p
evést na
souin harmonické funkce a exponenciálního tlumení
- 25 -
( ) ( )jwjdw dd + =+ - = - - teUteUtu tthth coscos)( 220 . ( 6.12)
Z rovnice ( 6.12) vyplývá, že úhlová frekvence tlumeného kmitání wt je menší
než úhlová frekvence netlumeného kmitání w0. Platí tedy
2
22
0 2




-=-= m
b
m
k
t dww . ( 6.13)
Rovnice ( 6.12) ukazuje, že amplituda ui se s asem exponenciáln zmenšuje.
Tedy pro každou následující amplitudu platí
( ) ( )tTt
t
t
Teu euTtU tU
t
= =+= + -
-
dl d
d
exp)( )(
0
0 ( 6.14)
a tento pomr l se nazývá útlum. Logaritmováním rovnice ( 6.14) dostaneme
hodnotu nazvanou logaritmický dekrement útlumu
tT ==L dlln . ( 6.15)

Kontrolní otázky
V jakém pípad tlumení budou výsledným pohybem harmonické kmity?
Mní tlumení frekvenci tlumených kmit?

Píklad 6.1
Perioda tlumených kmit je 5 s. Logaritmický dekrement útlumu je 0,8.
Maximální amplituda v
ase 0 s byla 0,2 m. Napište rovnici tlumených kmit
a nakreslete
asové rozvinutí pohybu v rozmezí
ty period.

ešení
Ozna
me všechny použité veli
iny v základních jednotkách SI – Tt = 5 s,
L = 0,8. Uk = 0,2 m.
Dle ( 6.15) ur
íme sou
initel tlumení
( )
1-s 16,0
s 5
8,0 ==L=
tT
d .
Úhlová frekvence tlumených kmit bude dle ( 2.5)
( )
1-s 26,1
s 5
22 @ = = ppw
t
t T
Výchylka kmit bude vypo
ítána z rovnice ( 6.12)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttUtu ttth =+ = - -1s 0,16- s ,261cosem 2,0cose)( -1jwd

- 26 -

obr. 6.3 asový prbh výchylky tlumených kmit.
Výsledný pohyb je zobrazen na obr. 6.3 a je dán rovnicí tlumeného kmitání
( ) ( )[ ] ( )[ ]tttu = -1-1 s ,251coss 0,16-expm 2,0)(

6.2 Autotest
A 10 Jaký je prbh výchylky tlumených harmonických kmit na ase?
6.3 Shrnutí
Výchylka tlumeného harmonického kmitání je popsána souinem
exponenciální funkce (tlumení) a harmonické funkce (kosinus)
02 202
2
= + + udtdudt ud wd .
Harmonické tlumené kmity jsou v p
ípad, že d < w0. Úhlová frekvence
tlumeného kmitání je
22
0 dww -=t .
Logaritmický dekrement útlumu je logaritmus útlumu, tj. pomru dvou
následujících amplitud
tT ==L dlln
- 27 -

7 Vynucené kmity
7.1 Teorie
Kmitá-li oscilátor v prost
edí, kde se vyskytují odporové síly, jsou jeho kmity
tlumené. Abychom udrželi oscilátor kmitat, musíme na nj psobit vnjší
periodickou silou Fq
( )tFF Qq W = cos , ( 7.1)
kde FQ je amplituda budící síly [N], W je úhlový kmitoet budící síly [s-1].
Pohybová rovnice pak dostane tvar
qbp FFFam




++= , ( 7.2)
tedy
( )tFdtdubukdt udm Q W + - -= cos22 . ( 7.3)
Tuto rovnic se upravíme na tvar
( )tmFumkdtdumbdt ud Q W = + + cos22 ( 7.4)
resp.
( )tmFudtdudt ud Q W = + + cos2 2022 wd . ( 7.5)
ešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého
ádu s
konstantními koeficienty ( 7.5) se skládá ze soutu
ešení homogenní rovnice (
6.7) a tzv. partikulárního
ešení. Celkové
ešení budeme p
edpokládat ve tvaru
( ) ( ) ( )ppth tUttUtu jjwd + W ++ - = coscosexp)( . ( 7.6)

Další postup
ešení provedeme jen zjednodušen. Partikulární
ešení rovnice (
7.5) p
edpokládáme ve tvaru
( )ppp tUtu j+ W = cos)( . ( 7.7)
Dále vypoteme rychlost dtdu p a zrychlení 2
2
dt
ud p a dosadíme do rovnice ( 7.5).
Protože výsledná rovnice musí platit pro jakýkoliv as, pak s výhodou
použijeme nap
. dvou podmínek 0=+ W pt j a. 2pj =+ W pt . Dostaneme
dv rovnice, ze kterých vy
ešíme neznámou amplitudu Up a fázi jp.
Výsledná amplituda partikulárního
ešení bude

- 28 -
( ) 222220 4 W +W-= dw
m
F
U
Q
p
( 7.8)
a fáze
22
0
2 tg
W-
W -=
w
dj
p . ( 7.9)
Z rozboru rovnice ( 7.8) plyne, že
- amplituda vynucených kmit je p
ímo úmrná amplitud buzení FQ a
nep
ímo úmrná hmotnosti m,
- amplituda vynucených kmit roste se zmenšujícím se rozdílem frekvence
budící síly a vlastní frekvence oscilátoru,
- abychom dostali maximální amplitudu, musíme frekvenci budící síly
posunout na takovou hodnotu, aby jmenovatel rovnice ( 7.8) byl co nejmenší,
resp. 0=WddU p . Jmenovatel má nejmenší hodnotu v p
ípad, že jeho derivace
dle W je rovna nule
( ) 02 2202 = +-W W dw . ( 7.10)
Hledaná úhlová frekvence buzených kmit má pak hodnotu
22
0 2 dw -=Wr ( 7.11)
a nazývá se rezonanní úhlovou frekvencí.
Úpravou ( 7.11) s pomocí ( 2.5) dostaneme pro rezonanní frekvenci fr vztah
2
2
2
0 2 p
d
-= ffr . ( 7.12)

obr. 7.1 Rezonance vynuceného tlumeného kmitání.

Dosazením rovnice ( 7.11) do rovnice ( 7.8) dostaneme maximální amplitudu
- 29 -
( ) r
QQ
pr m
F
m
FU
W = - = ddwd 222 220 ( 7.13)
V p
ípad, že se jedná o netlumené kmitání, tj. d = 0, pak amplituda se blíží k
nekonenu Uprfi¥. Poznamenejme, že dle rovnic ( 7.8) a ( 7.9) není obecn
budící síla ve fázi s výchylkou.

Kontrolní otázky
Pro
je dležitá znalost vlastní frekvence systému, když jej budíme vnjší
harmonickou silou?

Píklad 7.1
Hmotný bod o hmotnosti 100 g se pohybuje vynucenými harmonickými
kmity. Kruhová frekvence vlastních kmit je 20 s-1, sou
initel útlumu je 3 s-1
a amplituda budící síly je 10 N. Pi jaké rezonan
ní frekvenci je maximální
amplituda a jakou má hodnotu?

ešení
V souladu s pedchozím textem a soustavou SI ozna
me – hmotnost
m = 0,1 kg, úhlová frekvence vlastních kmit w0 = 20 s-1, sou
initel útlumu
d = 3 s-1 a amplituda budící síly FQ = 10 N.
Amplitudu kmit mžeme vypo
ítat z rovnice ( 7.8).
( ) 222220 4 W +W-= dw
m
F
U
Q
p
Abychom nalezli maximální výchylku, musíme nalézt nejvyšší hodnotu
jmenovatele. Tedy vypo
ítat derivaci jmenovatele dle hledané promnné W
a výsledek položit roven nule tj. nalézt extrém funkce
0dd =WpU , resp. pro jmenovatel
( )
0d
4d 222220
=W 



 W +W- dw
, resp.
( )[ ] ( ) ( ) 0822
d
4d 222
0
22222
0 =W +W W- =
W
W +W- dwdw
Hledaná rezonan
ní frekvence je v souladu s ( 7.11)
( ) ( ) 1-21-21-220 s 54,19s 32s 202 = -= -=W dwr .
Po dosazení do ( 7.8)resp. ( 7.13) dostaneme
( )220 22 dwd - = m
FU Q
pr

- 30 -
( )
( ) ( ) ( ) ( ) m 85,0s 32s 20s 3kg 1,02
N 10
21-21-1- = - =prU .

obr. 7.2 Prbh amplitudy vynuceného tlumeného kmitání v závislosti na
budící frekvenci.

Rezonan
ní frekvence tlumené kmitající soustavy s nuceným buzením je
19,54 s-1, pi které je amplituda 0,85 m. Prbh amplitudy kmitání na budící
frekvenci je na obr. 7.2.
7.2 Autotest
A 11 Jaké podmínky musí být splnny, aby tlumený oscilátor s budící silou
konal harmonické kmity?
A 12 Za jakých podmínek nastává rezonance?
A 13 Kdy je u tlumených vynucených kmit maximální amplituda?
7.3 Shrnutí
Vlivem psobení vnjší harmonické síly na lineární tlumený harmonický
oscilátor mže vzniknout rezonance. Je to stav, kdy je úhlová frekvence
buzených kmit rovna 220 2 dw -=Wr . Pokud není tlumení, pak v rezonanci
0w=Wr je teoreticky nekonená amplituda kmitání.
- 31 -

8 Skládání kmit
8.1 Teorie
Kmitavý pohyb hmotného bodu mže být složen z nkolika jednoduchých
kmitavých pohyb. V technické praxi se asto vyskytují kmity, které vzniknou
složením dvou nebo více harmonických pohyb. Tyto kmity jsou asto ve
stejné rovin (stejnosmrné) nebo v navzájem kolmých rovinách (kolmé).
Stejnosm
rné kmitání si lze znázornit pohybem dvou tles (obr. 8.1), kdy
hmotnost horního tlesa m1 je mnohem menší než hmotnost spodního tlesa m2.
V tomto p
ípad mžeme zanedbat ovlivnní pohybu vtšího tlesa tlesem
menším. Tleso o hmotnosti m2 kmitá harmonickým pohybem s výchylkou
( )2222 cos)( jw + = tUtu . ( 8.1)
Tleso o hmotnosti m1 kmitá v systému spojeném s tlesem m2 harmonickým
pohybem s výchylkou
( )1111 cos)( jw + = tUtu . ( 8.2)
Harmonický pohyb tlesa o hmotnosti m1 vzhledem k nepohyblivé soustav, tj.
k uchycení je dán soutem výchylek
)()()( 21 tututu += ( 8.3)


obr. 8.1 Harmonické kmitání dvou sp
ažených tles (m1 h ) hg
Vlna na povrchu kapaliny velké hloubky (l