M05-Mechanické kmitání a vlnění

tu == wcos2 .
Odtud s použitím rovnice ( 2.5) Tpw = 2 získáme rovnici
2
12cos =





htT
p tj. ( ) s 1
2
s 6
322
1arccos =
=



=
p
p
p
Tt
h .
Polovi
ní amplitudy dosáhne kmitání v dob 1 s od po
átku.
2.2 Autotest
A 1 Napište vztah pro výchylku harmonického kmitavého pohybu a uvete
význam jednotlivých veliin.
A 2 Uvete rozdíl mezi fází a poátení fází.
A 3 Jak se liší frekvence a úhlová frekvence?
A 4 Lze tentýž harmonický kmitavý pohyb popsat funkcí kosinus i sinus?
2.3 Shrnutí
Výchylka kmitavého harmonického pohybu je
( )jw + = tutu m cos)( .
Perioda, frekvence a úhlová frekvence kmitání jsou ve vztahu
fT
1= a f = pw 2 .
Rychlost a zrychlení kmitavého harmonického pohybu je
( )jw + -== tvdttdutv m sin)()(
( ) 222 )(cos)()()( wjw -=+ -=== tutadt tuddttdvta m .
- 11 -

3 Lineární harmonický oscilátor
3.1 Teorie
Jednoduchou formou periodického pohybu je pohyb tlesa, které je nahrazeno
hmotným bodem uchyceným na konci vinuté pružiny (obr. 3.1). Elastická síla
Fp [N] psobící na pružinu je dána vztahem
ukFp -= , ( 3.1)
kde k je tuhost pružiny [N·m-1] a u je výchylka z rovnovážné polohy [m].
Poddajnost c [m·N-1] je p
evrácená hodnota tuhosti
kc
1= . ( 3.2)
Použitím Newtonova pohybového zákona dostaneme rovnici
2
2
dt
udmamF
p = = , ( 3.3)
kde a je zrychlení [m·s-2], m hmotnost hmotného bodu [kg]. Spojením rovnic
(3.1) a ( 3.3) vznikne homogenní lineární diferenciální rovnice druhého
ádu s
konstantními koeficienty
02
2
= + ukdt udm resp. 02
2
= + umkdt ud , ( 3.4)
která je analogická s rovnicí
022
2
= + udt ud w . ( 3.5)


obr. 3.1 Lineární harmonický oscilátor.


- 12 -
Rovnice ( 3.5) je rovnicí pro
ešení netlumeného kmitání. Porovnáním rovnic (
3.4) a ( 3.5) dostaneme úhlovou frekvenci
m
k=w . ( 3.6)

Výchylku pohybu dostaneme
ešením rovnice ( 3.4) ve tvaru





 + = jt
m
kutu
m cos)( resp. ( )jw + = tutu m cos)( , ( 3.7)
kde um je amplituda [m], j je poátení fáze [rad], w je úhlová frekvence [s-1] a
t je as [s].
Rychlost kmitavého pohybu pružiny dostaneme derivací výchylky ( 2.6) dle
asu





 + -=





 + -== jj t
m
kvt
m
k
m
ku
t
tutv
mm sinsind
)(d)( ( 3.8)
a zrychlení ( 2.7) derivací rychlosti dle asu





 + -=





 + -== jj t
m
kat
m
k
m
ku
t
tvta
mm coscosd
)(d)(
tj. )()( tumkta -= ,
( 3.9)


Kontrolní otázky
Které parametry (veli
iny) ovlivují frekvenci kmitání lineárního
netlumeného harmonického oscilátoru?
Jaká je rychlost a zrychlení v okamžicích, kdy je výchylka maximální,
nulová
i minimální?

Píklad 3.1
Pružina se pi zatížení 0,3 kg stla
í o 150 mm. Pružinu jsme s tímto závažím
vychýlili o 100 mm z rovnovážné polohy a pustili. Ur
ete tuhost pružiny,
úhlovou frekvenci, maximální rychlost a maximální zrychlení.
ešení
V souladu s obr. 3.1 ozna
me všechny použité veli
iny v základních
jednotkách SI – u1 = 0,15 m, m = 0,3 kg, um = 0,1 m. Tíhové zrychlení
budeme uvažovat g = 9,81 m·s-2.
Tuhost pružiny vypo
teme z (3.1)
- 13 -
( ) ( )( ) 1-
-2
1
mN 6,19m 15,0 sm 9,81 kg 3,0 = = == u gmuFk .
Úhlovou frekvenci získáme z ( 3.7)
( )( ) 1-
-1
s 1,8kg 3,0 mN 6,19 = == mkw .
Rovnice ( 2.6) nám umožuje vypo
ítat maximální rychlost
( ) ( ) -1-1 sm 81,0s 8,1 m 1,0 = = = wmm uv .
Maximální zrychlení vypo
teme z ( 2.7)
( ) ( ) -22-12 sm 6,6s 8,1 m 1,0 = = = wmm ua .
Tuhost pružiny je 19,6 N·m-1, úhlová frekvence 8,1 s-1, maximální rychlost
0,81 m·s-1 a maximální zrychlení 6,6 m·s-2.
Na obr. 3.2 jsou v grafu vyneseny prbhy výchylky u(t), rychlosti v(t) a
zrychlení a(t). Každá kivka má vlastní svislou osu (u – výchylka, v -
rychlost, a - zrychlení). Perioda kmitání z ( 2.5) je
( ) s 78,0s 8,1 2 2 1- @ = = pwpT .

obr. 3.2 Prbh výchylky, rychlosti a zrychlení
V grafu jsou navíc vyzna
eny
asové okamžiky s 19,04 @T , s 39,02 @T ,
s 58,043 @ T a s 78,0@T .

Píklad 3.2
Tleso o hmotnosti 1,5 kg je zavšeno na pružin o tuhosti 600 N·m-1. V
ase
t = 0 s byla pružina napnuta a puštna. V
ase 30 ms byla rychlost pohybu
tlesa 35 mm·s-1. Ur
ete amplitudu kmitání a výchylku v uvedeném
ase.

- 14 -
ešení
V souladu s obr. 3.1 ozna
me všechny použité veli
iny v základních
jednotkách SI – m = 1,5 kg, k = 600 N·m-1, t1 = 0,03 s, v1=v(t1)= 0,1 m·s-1.
Protože v po
áte
ním stavu byla pružina napnuta maximální amplitudou
dostaneme po
áte
ní fázi dle ( 3.7) j = 0.
Rychlost pohybu tlesa je dána rovnicí ( 3.8)





 -= t
m
k
m
kutv
m sin)( a amplituda





 -=
1
1
sin tmkmk
vu
m .
( )( )
( )
( )
( ) ( )
m. 1085,8
s 03,0kg 5,1 mN 600sinkg 5,1 mN 600
sm 1,0 3
1-1-
-1
- @










-=
mu .
Výchylka v
ase t1 = 0,03 s bude dle ( 3.7)





 + = j
11 cos)( tm
kutu
m
( ) ( )( ) ( ) m 103,7s 03,0kg 5,1 mN 600cosm 1085,8)03,0( 3
1-
3 -- @









 =u
Amplituda kmitání je 8,85 mm a výchylka v
ase 30 ms je 7,3 mm.
3.2 Autotest
A 5 Jak uríte tuhost pružiny?

3.3 Shrnutí
Síla od pružiny je
ukFp -= .
Diferenciální rovnice vyjad
ující výchylku harmonického netlumeného kmitání
je
022
2
= + udt ud w .
Úhlová frekvence lineárního harmonického oscilátoru tvo
eného pružinou a
hmotným bodem
m
k=w .
- 15 -

4 Energie harmonických kmit
4.1 Teorie
Pro mechanickou energii harmonického lineárního netlumeného oscilátoru
platí zákon zachování mechanické energie
KPP EEE += , ( 4.1)
kde EPP je potenciální energie pružiny [J] a EK je kinetická energie [J].
Potenciální energie pružiny je dána rovnicí
2
2
1 ukE
PP = ( 4.2)
a kinetická energie rovnicí
2
2
2
1
2
1




 = =
dt
dumvmE
K . ( 4.3)


2
2
1
mukE =

2
2
1
mvmE =

2)(
2
1
mukE - =
2
2
1
mukE =
obr. 4.1 Energie lineárního harmonického oscilátoru ve vybraných polohách.

Dosazením rovnic ( 4.2) a ( 4.3) do rovnice ( 10.6) dostaneme
22
2
1
2
1 vmukE + = resp. )(
2
1)(
2
1 22 tvmtukE + = . ( 4.4)

- 16 -
Protože v krajních polohách, tj. maximální natažení i stlaení pružiny, je
rychlost nulová, je celková energie rovna potenciální (elastické) energii
pružiny. V rovnovážné poloze je naopak maximální rychlost a celková energie
je rovna kinetické energii (obr. 4.1). Dostaneme rovnici
2222
2
1
2
1
2
1
2
1
mm vmukvmukE = = + = , ( 4.5)
ze které vyjád
íme vztah mezi maximální výchylkou a maximální rychlostí, tj.
2222
mmm uum
kv = = w . ( 4.6)
Vyjád
ením závislosti rychlosti v na výchylce u z rovnic ( 4.5) a ( 4.6)
dostaneme
2
1





- =
m
m u
uvv . ( 4.7)

Kontrolní otázky
Pro
se závaží upevnné na pružin pohybuje stejn (pi stejné maximální
výchylce z rovnovážné polohy), a je umístno vodorovn (obr. 3.1) nebo
povšeno?

Píklad 4.1
Lineární harmonický oscilátor (obr. 3.1) obsahuje tleso o hmotnosti 0,3 kg
a pružinu, která se pi zatížení tímto závažím stla
í o 0,15 m. Pružinu jsme s
tímto závažím vychýlili o 100 mm z rovnovážné polohy a pustili. Ur
ete
prbh kinetické a potenciální energie.

ešení
V souladu s obr. 3.1 ozna
me všechny použité veli
iny v základních
jednotkách SI – u1 = 0,15 m, m = 0,3 kg, um = 0,1 m. Tíhové zrychlení
budeme uvažovat g = 9,81 m·s-2.
Tuhost pružiny z (3.1) je k = 19,6 N m-1 a úhlová frekvence z ( 3.7) je w =
8,1 s-1.
Závaží bude kmitat dle (2.1)
( ) ( ) ( )[ ]ttutu m =+ = -1s 1,8cosm 1,0cos)( jw
s rychlostí dle ( 2.6)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
ttv
ttutv m
-=
-=+ -=
1-1-
-1-1
s 1,8sinsm 81,0)(
s 1,8sins 1,8m 1,0sin)( jww
Kinetická energie je dána ( 4.3)
- 17 -

( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }
( ) ( ) ( )[ ]ttE
ttE
tumvmtE
K
K
mK
=
- =
+ - = =
1-22-2
21-1-
22
s 1,8sinsmkg 098,0
s 1,8sinsm 81,0kg 3,021
sin2121 jww

Potenciální energie pružiny vychází z ( 4.2)

( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }
( ) ( ) ( )[ ]ttE
ttE
tukuktE
PP
PP
mPP
=
=
+ = =
1-2
21-1-
22
s 1,8cosmN0,098
s 1,8cosm 1,0mN 6,1921
cos2121 jw

Celkovou energii mžeme dle ( 4.5) vypo
ítat nap.
( ) ( ) J 098,0m 1,0mN 6,192121 21-2 = = = mukE


obr. 4.2 Prbh celkové energie E, kinetické energie EK a potenciální
energie EPP v závislosti na
ase (popis vodorovné osy je ve význa
ných
bodech tj. 41 , 42 , 43 a 44 periody)

Prbh kinetické energie lineárního harmonického oscilátoru v závislosti na

ase je dán rovnicí ( ) ( )[ ]ttEK = -12-22 s 1,8sinsmkg 098,0)( a prbh
potenciální energie ( ) ( ) ( )[ ]ttEPP = -12 s 1,8cosmN 0,098 . Celková energie
je konstantní E = 0,098 J.


- 18 -
Píklad 4.2
Tžišt tlesa koná harmonický pohyb popsaný rovnicí ( )tutu m = wcos)( .
Ur
ete pomr kinetické a potenciální energie a pomr potenciální energie k
celkové energii v
asové okamžiku 61 periody.
ešení
V souladu s textem ozna
me všechny použité veli
iny – 61 Tt = .
Pomr kinetické ( 4.3) a potenciální ( 4.2) energie s použitím rovnice pro
výchylku (2.1) a rychlost( 2.6) vyjádíme
( ) ( )[ ]
( )[ ]
( )tkm
tuk
tum
uk
vm
tE
tE
m
m
PP
K =

-
=


= ww
w
ww
22
2
2
2
2
tg
cos21
sin21
2
1
2
1
)( .
Dále použijeme rovnice ( 3.6) mk=2w a ( 2.5) Tpw = 2 a dostaneme
( ) ( ) 3
3tg6
2tg2tgtg
)(
2222 =




=









 =




 = = pppw T
TtTttE
tE
PP
K .
Pomr potenciální a celkové energie je dán pomrem rovnic ( 4.2) a ( 4.5)
( )
25,03cos62cos
2coscos
2
1
2
1
22
2
2
2
2
=
=









 =

 =




 =


=
pp
pw
T
TE
E
tTu tu
uk
uk
E
E
PP
m
m
m
PP

V
ase 61 periody je pomr kinetické a potenciální energie 3:1 a 25 %
potenciální energie z celkové.
4.2 Autotest
A 6 Jaká je maximální energie p
i harmonickém netlumeném kmitání?
4.3 Shrnutí
Celková energie harmonických kmit je konstantní a v prbhu kmitání se
mní ást kinetické energie v potenciální energii pružiny a naopak
22
2
1
2
1 vmukE + = .
- 19 -

5 Matematické a fyzické kyvadlo
5.1 Teorie
Jednoduché kyvadlo (matematické) je tvo
eno hmotným bodem zavšeným na
nehmotné niti (obr. 5.1 vlevo). Fyzické kyvadlo tvo
í tleso, které se mže v
homogenním tíhovém poli otáet kolem osy, která neprochází tžištm
(obr. 5.1 vpravo). Pro další výpoty budeme uvažovat pohyb bez t
ení a
odporových sil. Tíhové zrychlení je konstantní.

obr. 5.1 Rozklad sil u matematického a fyzického kyvadla.
Síla ve smru pohybu u matematického kyvadla (teny ke kružnici tvo
ící
dráhu kyvadla) Ft je dána souinem hmotnosti m a teného zrychlení at dle
rovnice
jjett sin2
2
-= = = = gmdtdlmlmamF . ( 5.1)
Symbol g oznauje tíhové zrychlení, jehož hodnotu obvykle uvažujeme
9,81 m·s2. Rozklad sil je patrný z obr. 5.1 vlevo. Poznamenejme, že ve smru
normály je síla v niti FL rovna složce tíhového zrychlení do smru normály tj.
jcos = gmFL . ( 5.2)
Rovnici ( 5.1) mžeme upravit do diferenciální rovnice druhého
ádu
0sin2
2
= + jj lgdtd . ( 5.3)
Pro malé výchylky (do 5o) mžeme uvažovat jj @sin . Úhel j je nutné
dosazovat v radiánech. Aplikací na rovnici ( 5.3) dostaneme homogenní
lineární diferenciální rovnici druhého
ádu s konstantními koeficienty

- 20 -
02
2
= + jj lgdtd . ( 5.4)
Porovnáním s rovnicí ( 3.4) dostaneme úhlovou frekvenci kmitání w a z ní
periodu kmitání T
l
g=w a
g
lT = p2 ( 5.5)
Dle rovnice (5.5) je perioda kmit T [s] urena délkou závsu l [m] a velikostí
tíhového zrychlení g [m/s2], tedy nezávisí na hmotnosti tlesa m [kg].
Moment síly M [Nm] u fyzického kyvadla je roven souinu momentu
setrvanosti tlesa J [kgm2] a úhlového zrychlení e [s-1] (dle obr. 5.1 vpravo)
jjje sinsin2
2
-= -= = = bgmbFdtdJJM g , ( 5.6)
kde b [m] je vzdálenost mezi tžištm T a osou otáení O (obr. 5.1 vpravo)
Úpravou rovnice ( 5.6) dostaneme lineární homogenní diferenciální rovnici
druhého
ádu (a pro malé úhly, kdy jj @sin )
0sin2
2
= + jj J bgmdtd resp. 02
2
= + jj J bgmdtd ( 5.7)
Porovnáním s rovnicí ( 3.5) dostaneme pro úhlovou frekvenci a periodu
fyzického kyvadla vztah
J
bgm =w a
bgm
JT
= p2 ( 5.8)
Použijeme-li pro výpoet momentu setrvanosti tlesa J [kg·m2] hmotnost
fyzického kyvadla m [kg] a redukovanou délku LR [m]
2
RLmJ = ( 5.9)
dostaneme period