Analýza tenkostěnných prutů

jichĹľ
existence je vázána na normálová nap
tí. Uvažujme elementární prvek o hra-
nách dx, ds a konstantní tloušce t.



Obr. 13: Silové psobení na elementární prvek tenkost
nného profilu

Rovnice rovnováhy podle obr. 13 má tvar:

( ) 0222 =-




¶
¶++-




¶
¶+ dxtdxt
sdsdstdstxdx sx
sx
sxx
x
x t
ttsss
(3.52)

Úpravou vztahu (3.52) obdržíme vztah (3.53) mezi smykovým tokem a normá-
lovým nap
tĂ­m:

( ) 02 =
¶
¶+
¶
¶
sx
sxx ts (3.53)

ešení tenkost
nných prut oteveného prezu
23
Integrací (3.53) po obvodu stednice prezu obdržíme výraz pro sekundární
smykové nap
tĂ­ sxt2 :
( )
+¶¶-= s xsx xfdsx
0
2 st (3.54)
Pokud na povrchu prutu nepsobí smykové nap
tĂ­ tak f(x)=0. Do rovnice
(3.54) dosadĂ­me za xs pravou stranu rovnice (3.50):




-++-+--=
s
yzzy
yzyyz
s
yzzy
yzzzy
s
sx dsyDII
DMIMdsz
DII
DMIMds
I
B
0
2
0
2
0
2 ''''' wt
w
(3.55)

Pedpokládáme, že zatížení ve sm
ru osy X je konstantnĂ­, tj. 0'=N . Podle
Schwedlerovy v
ty platĂ­, Ĺľe:

zy VM =' , yz VM =- ' (3.56)

Pokud oznaíme dstdA = lze s pihlédnutím k (3.56) rovnici (3.55) zapsat ja-
ko:

( ) ( )


-
+-+
-
+-+-= s
yzzy
yzzyy
s
yzzy
yzyzz
s
sx dAytDII
DVIVdAz
tDII
DVIVdA
tI
B
0
2
0
2
0
2 ' wt
w
(3.57)

Ve vztahu (3.57) znaí první integrál výseový statický moment wS neúplné
prezové plochy:



==
ss
dstdAS
00
www (3.58)

Druhý a tetí integrál znaí statické momenty yS , zS neúplné prezové plo-
chy, piemž hodnoty yS , zS jsou vždy kladné:



==
ss
z dstydAyS
00
(3.59a)


==
ss
y dstzdAzS
00
(3.59b)

Analýza tenkost
nných prut

24
Ve vztahu (3.57) vystupuje nová silová veliina 'B , která se nazývá ohybov
krouticĂ­ moment wM , n
kdy též deplananím moment:

wMdx
dB = (3.60)

Pi integraci (3.57) podél obvodu vyaté ásti prezu je teba integraní cestu
volit s ohledem na v
tu o ekvivalenci smykových nap
tí. S uvážením (3.58),
(3.59) a (3.60) lze pak rovnici (3.57) zapsat ve tvaru:

( ) ( ) zyzzy yzzyyyyzzy yzyzzsx StDII
DVIVS
tDII
DVIV
tI
SM
22
2
-
+--
-
+--=
w
w
wt (3.61)

Další úpravou rovnice (3.61) obdržíme:

( ) ( )tDII
SDSIV
tDII
SDSIV
tI
SM
yzzy
zyzyz
z
yzzy
yyzzy
ysx 22
2
-
-+
-
-+=
w
w
wt (3.62)

Smyková nap
tí sxt2 se podél tloušky prezu rozd
lujĂ­ rovnom
rn
.


3.3.2 Smyková naptí od volného kroucení
Pi volném kroucení krouticím momentem Mk vznikají smyková nap
tí, která
ozname jako primární smyková naptí yxt1 a zxt1 . Kroutící moment Mk lze
s uvážením v
ty o vzájemnosti smykového nap
tĂ­ zapsat dle (3.29d) ve tvaru:

( ) dAzyM
A
yxzxk
-= tt (3.63)

Dosadíme-li do (3.63) z fyzikálních rovnic zxzx G gt = , yxyx G gt = obdržíme

( ) dAzyGM
A
yxzxk
-= gg (3.64)


ešení tenkost
nných prut oteveného prezu
25
Úhlové deformace zxg , yxg je možno obdobn
jako v (3.10) vyjádit vztahy
(3.65a), (3.65b):

z
u
x
w
zx ¶
¶+
¶
¶=g (3.65a)
x
v
y
u
yx ¶
¶+
¶
¶=g (3.65b)

Dílí složky úhlových deformací zxg , yxg jsou zobrazeny na obr. 14:



Obr. 14: Úhlové deformace v rovin
X–Z a X–Y

Jelikož pedpokládáme, že se prez pootoí jako tuhý celek, je možno pírs-
tek posun vyjádit vztahy:

)( szzxv -Q-= (3.66a)
)( syyxw -Q= (3.66b)
( )zyu ,FQ= (3.66c)

kde ys, zs, jsou souadnice stedu smyku a funkce ( )zy,F je tzv. deplananĂ­
funkce, kterou je teba urit ešením rovnice:

02
2
2
2
=¶ F¶+¶ F¶=DF xy (3.67)

OdvozenĂ­ a detailn
jší vysv
tlení (3.67) je uvedeno nap. v [2]. Numerické
(obecné) ešení (3.67) metodou sítí, viz nap. [4].


Analýza tenkost
nných prut

26
Dosadíme-li (3.66) do (3.65) dostáváme:

( )



 -+
¶
F¶Q=
¶
¶+
¶
¶=
szx yyzz
u
x
wg (3.68a)
( )



 -+
¶
F¶Q=
¶
¶+
¶
¶=
syx zzyx
v
y
ug (3.68b)

Dosazením (3.68) do (3.64) dostáváme

( ) ( ) ( )
k
A
ss
A
ss
A
yxzxk
IGdAzyzyzyzyG
dAzzyzyyzyGdAzyGM
Q=







 +
¶
F¶-



 -
¶
F¶++Q
=







 -+
¶
F¶-



 -+
¶
F¶Q=-=





22
gg
(3.69)
kde

dAzyzyzyzyGGI
A
ssk







 +
¶
F¶-



 -
¶
F¶++= 22 (3.70)

je tuhost prezu v prostém kroucení závislá na tvaru prezu. Vztah (3.69) lze
strun
zapsat ve tvaru:

kk IGM Q= (3.71)

ešením (3.71) pi zadaném Mk je Q , piemž nap
tí se stanoví ešením (3.68)
a z fyzikálních rovnic zxzx G gt = , yxyx G gt = .

Pi praktickém ešení smykového nap
tí od volného kroucení jsou u tenkost
n-
ných otevených prez dominantní nap
tĂ­ ve sm
ru stednice prezu. Pi
jejich výpotu se vychází ze silového ešení vztahu krouticího momentu Mk a
smykového nap
tí sxt1 u prezu ve tvaru tenkého obdélníku.




ešení tenkost
nných prut oteveného prezu
27
Primární smykové naptí sxt1 od volného kroucení prezu ve tvaru tenkého
obdélníku je dáno vztahem:

nIM
t
k
sx 2
1 =t (3.72)

kde Mk je krouticí moment odpovídající volnému kroucení,
n souadnice m
ená ve sm
ru normály ke stednici (obr. 7),
tI moment tuhosti prezu v kroucenĂ­ (n
kdy se oznauje též jako mo-
ment setrvanosti v v prostém kroucení nebo prezový modul tuhosti
v prostém kroucení).

Nap
tí vypotené dle (3.72) je extrémní v polovin
délky tenkého obdélníku
pi povrhu 2/tn = , viz obr. 15.



Obr. 15: Volné kroucení tenkého obdélníku

U prut oteveného prezu vycházíme z pedpokladu, že se prez skládá
z tenkých obdélník. Výpotový vztah (3.72) lze aplikovat i na profily, které
jsou složené z úzkých obdélník nebo mají zakivenou stednici. Moment tu-
hosti prezu v kroucenĂ­ se pak urĂ­ podle vztahu:

= iit htI 331a (3.73)
Analýza tenkost
nných prut

28
kde hi je délka stednice ve sm
ru delší strany obdélníkové ásti. V pípad
, Ĺľe
je stednice zakivená je hi délka rozvinuté stednice.
a je korekní souinitel závislý na tvaru prezu, který se uruje s ohledem na
tvar a zaoblení ostrých roh. Pro válcované prezy se korekní koeficient za-
vádí dle výsledk experimentálních zkoušek:

Tab. 3.1: KoreknĂ­ koeficient
KoreknĂ­ koeficient a Prez
1,00 ĂšhelnĂ­k
1,12 prez
1,31 prez
1,5 Svaovaný prez s výztuhami pivae-
nými k pásnicím a stojin

1,4 Svaovaný prez s trojúhelníkovými
výztuhami
0,5 Nýtovaný prez, pásy z pírub úhelník
a z pásnic


Celkový krouticí moment Mx psobící na prez se tedy skládá z ásti wM ,
která odpovídá vázanému kroucení a z ásti Mk, která odpovídá volnému krou-
cenĂ­:

wMMM kx += (3.74)


Moment Mk, který odpovídá volnému kroucení, vyvozuje v prezu smykové
nap
tí sxt1 , které se po tloušce prezu m
ní lineárn
, piemĹľ nulovou hod-
notu má ve stednici prezu. Ohybov
krouticĂ­m momentem wM , kterĂ˝ odpo-
vídá vázanému kroucení, vyvozuje v prezu smykové nap
tí sxt2 , které je po
tloušce prezu konstantní. Výsledné smykové nap
tí je pak dáno soutem
sxt
1 a
sxt
2 , viz obr 16.




ešení tenkost
nných prut oteveného prezu
29



Obr. 16: Smykové nap
tí od volného a vázaného kroucení

Výsledný výpotový vztah pro celkové smykové nap
tí je dán soutem sxt1 a
sxt
2 :

( ) ( ) 



-
-+
-
-++=
=+=
22
21
1
yzzy
zyzyz
z
yzzy
yyzzy
y
t
k
sxsxsx
DII
SDSIV
DII
SDSIV
I
SM
tnI
M
w
w
w
ttt
(3.75)

Budou-li osy souadnic hlavními centrálními osami setrvanosti prezu, vztah
(3.75) se dále zjednoduší:




 +++=
y
y
z
z
z
y
t
k
sx I
SV
I
SV
I
SM
tnI
M
w
w
wt
1 (3.76)

Napjatost tenkost
nného oteveného prezu se obecn
vyšetuje ešením funk-
ci ( )xj , coĹľ je pedm
tem kapitoly 3.4.






Analýza tenkost
nných prut

30
3.4 Diferenciální rovnice vázaného kroucení ten-
kostnného oteveného prezu

Pro ešení normálového nap
tí (3.50) a smykového nap
tĂ­ (3.75) je teba (kro-
m
jiného) urit hodnotu bimomentu B, hodnotu ohybov
krouticĂ­ho momentu
wM (derivaci bimomentu) a momentu volného kroucení Mk. Všechny tyto ve-
liiny závisí dle (3.49) a (3.60) na funkci Q , tj.

'Q-= wEIB (3.77a)
''Q-=-= ww EIdxdBM (3.77b)
Q= tk GIM (3.77c)

Rovnici (3.74) zapíšeme s pomocí (3.77 ve tvaru:

''Q-Q=+= ww IEIGMMM tkx (3.78)

Diferenciální rovnici je úelné zapsat ve tvaru:

x
t
MGIkk
2
2'' -=Q-Q (3.79)

kde je pro formální zjednodušení pom
r tuhostĂ­ nahrazen konstantou:

wEI
GIk t=2 (3.80)

ešení (3.79) se skládá z ešení homogenní rovnice a partikulárního ešení úpl-
né rovnice:

( ) ( ) ( ) ( )( )
--+=Q x x
t
dxkMGIkkxCkxC
0
21 sinhcoshsinh xxx (3.81)
kde x je vnitnĂ­ prom
nná v intervalu x;0 . Konstanty C1 a C2 se urí z okra-
jových podmínek.
ešení tenkost
nných prut oteveného prezu
31
4 Závr
Modul, který jste prostudovali, obsahuje informace o základních pípadech
namáhání tenkost
nných prut otevených prez. Jelikož se jedná o velice
širokou oblast, nebyla zmín
na problematika tenkost
nných prut uzavených
prez a stabilitní problémy (boulení, vzp
r) tenkost
nných prut, tj. použité
pedpoklady charakterizují tzv. klasickou lineární teorii pružnosti.
Výše uvedená problematika byla pojata obecn
, bez vazby na konkrétní typy
stavebních konstrukcí. Konkrétn
bude tato problematika rozvedena
v odborných pedm
tech dalších semestr bakaláského studia a ve studiu
magisterském.
4.1 ShrnutĂ­
Cílem pedloženého textu bylo shrnutí obecných témat, která jsou tradiní
souástí nauky o pružnosti a poskytnout uební text studentm distanního
studia stavebnĂ­ fakulty.
4.2 Kontrolní otázky
- Jaký je rozdíl mezi volným a vázaným kroucením?
- Co je to deplanace prezu?
- Jaké jsou Vlasovovy zjednodušující pedpoklady o deformaci
tenkost
nného oteveného profilu?
- Co to je sted smyku a jak se postupuje pi jeho výpotu?
- Co to je bimoment a jak se postupuje pi jeho výpotu?
- Co to je ohybov
krouticĂ­ (deplananĂ­) moment a jak se postupuje pi jeho
výpotu?

5 StudijnĂ­ prameny
5.1 Seznam použité literatury
[1] SERVĂŤT, R. PruĹľnost a pevnost ve stavitelstvĂ­, SNTL, Praha, 1966.
[2] SERVĂŤT, R., DOLEĹ˝ALOVĂ