Analýza tenkostěnných prutů

) ješt
posune.
SloĹľky pemĂ­st
ní h1 , x1 a h2 , x2 jsou kladné ve smyslu kladných s, n.

ešení tenkost
nných prut oteveného prezu




Obr. 7: Pravoúhlé složky pemíst
nĂ­ pootoenĂ­ bodu M

V souladu s obr. 7 a v návaznosti na (3.1), (3.2) dostáváme:

brjjh cos1 = = r (3.3)
brjjx sin1 = = l (3.4)


Obr. 8: Pravoúhlé složky pemíst
nĂ­ translace bodu M

PemĂ­st
nĂ­ h2 , x2 ve sm
ru stednice prezu s a normály n bodu M’ do bodu
M v dsledku translace w, v je zobrazeno na obr. 8.

aah cossin2 + = vw (3.5)
aax sincos2 - = vw (3.6)
Analýza tenkost
nných prut

12
Celkové pemíst
ní h , x lze odvodit superponováním úink rotace a úink
translace.

aajhhh cossin21 + + =+= vwr (3.7)
aajxxx sincos21 - + =+= vwl (3.8)

Deplanaci pr
ezu uruje posun u ve smru osy X. Uvažujme elementární ob-
délník o stranách dx a ds, který vyjmeme ze stednicové plochy v okolí bodu
M, viz obr. 5. Posuv bodu M1 ve sm
ru osy X se liší od posunu bodu M
v témže sm
ru o hodnotu du a obdobn
posun M2 ve sm
ru tangenty k obrysu
v bodu M se liší od posunu bodu M v témže sm
ru o hodnotu dh .



Obr. 9: Pravoúhlé složky pemíst
nĂ­ translace bodu M

Úhlová deformace v bodu M pak je:

dx
d
ds
du
xs
hbbg +=+=
21 tantan (3.9)

Protože sudsdu ¶¶ = / , xdxd ¶¶ = /hh , lze vztah (3.9) zapsat jako

xs
u
xs ¶
¶+
¶
¶= hg (3.10)

Podle druhého zjednodušujícího pedpokladu Vlasovovy hypotézy pedpoklá-
dáme pro otevené tenkost
nné prezy 0=xsg , tj.:

0=¶¶+¶¶ xsu h (3.11)
ešení tenkost
nných prut oteveného prezu
13
Hledaný posun u obdržíme parciální integrací rovnice (3.11) po obrysu profi-
lu s:
( ) ( )
¶¶-= s xdsxuxu
0
0
h (3.12)

kde u0(x) je posun ve sm
ru osy X toho bodu M0 píného ezu, od kterého
integrujeme proti sm
ru chodu hodinových ruiek. Dále vyjádíme x¶¶h po-
mocĂ­ rovnice (3.7).

aajh cossin + + =¶¶ dxdvdxdwdxdrx (3.13)

Z obr. 8 je patrno, Ĺľe acos=dsdy , asin=dsdz , tj. vztah (3.13) lze zapsat ve tva-
ru:

ds
dy
dx
dv
ds
dz
dx
dw
dx
dr
x + + =¶
¶ jh (3.14)

Dále oznaíme dvojnásobnou hodnotu plošky elementární výsee dsr jako
elementární výseovou souadnici wd :

dsrd = 212w (3.15)

Výseová souadnice w se urí z (3.15) kivkovým integrálem z M0 do M (ur-
ením poátku výseových souadnic M0 bude odvozeno v dalších odstavcích
kapitoly).


Obr. 10: Elementární výseová plocha bodu M
Analýza tenkost
nných prut

14
Z (3.14) a (3.15) lze zapsat (3.16):

ds
dy
dx
dv
ds
dz
dx
dw
dx
d
ds
d
x + + =¶
¶ jwh (3.16)

Pokud pravou stranu rovnice (3.16) dosadíme do (3.12) obdržíme (3.17).

( ) ( )
( ) 



 ++-=
= + + -=






sss
s
dydxdvdzdxdwddxdxu
dsdsdydxdvdsdzdxdwdxddsdxuxu
000
0
0
0
wj
jw
(3.17)

Úpravou (3.17) obdržíme vztah (3.18).

( ) ( ) ( ) ydxdvzdxdwsdxdxuxu ---= wj0 (3.18)

kde ( )sw je tzv. výseová souadnice.


První len ( )xu0 v rovnici (3.18) pedstavuje vliv prostého tahu (nebo
tlaku).

DruhĂ˝ len pestavuje deplanaci prezu. ProtoĹľe dxdj je pro danĂ˝ prez
konstantnĂ­, je deplanace Ăşm
rná hodnot
( )

==
ss
dsrds
00
ww , tedy i veli-
kosti plochy výsee, kterou opsal prvodi r s centrem v A od hlavního
nulového bodu M0 (tj. od bodu, pro který 0
0
=Mw ) aĹľ po bod M.

Tetí len pedstavuje rovinné petvoení od prostého ohybu kolem osy Y.

tvrtý len pedstavuje rovinné petvoení od prostého ohybu kolem osy
Z.

Poznámka: Bod A je tzv. pól výseových souadnic, který je stedem kroucení
a jehož urení spolu s urením poátku výseových souadnic M0 bude odvo-
zeno v dalších odstavcích kapitoly.



ešení tenkost
nných prut oteveného prezu
15
Pokud v rovnici (3.18) pouĹľijeme tzv. relativnĂ­ Ăşhel zkroucenĂ­

dx
dj=Q (3.19)

tak ji lze zapsat ve tvaru:

( ) ( ) ( ) yvzwsxuxu ''0 --Q-= w (3.20)

První geometrická podmínka 0=xsg , ze které jsem pi odvození vycházeli
byla zapsána ve tvaru (3.11). Z Vlasovových pedpoklad lze dále zapsat geo-
metrické podmínky:

x
u
x ¶
¶=e (3.21)
0=se (3.22)

Pokud do (3.21) dosadíme z (3.20) obdržíme vztah pro pom
rné podélné pe-
tvoenĂ­ ve tvaru (3.23):

( ) yvzwsuxux ''''''0 --Q-=¶¶= we (3.23)












Analýza tenkost
nných prut

16
3.2 Normálová naptí tenkostnného oteveného pr-
ezu
Pi odvození vztahu pro urení normálového nap
tí budeme vycházet z fyzi-
kálních rovnic:

( )xss E msse -= 1 (3.24)
( )sxx E msse -= 1 (3.25)

Z (3.24), (3.25) a (3.22) lze zapsat

xs mss = (3.26)
xx
E e
ms 21-= (3.27)

kde m je Poissonv souinitel. Zanedbáme-li v (3.27) 2m oproti 1, lze po dosa-
zenĂ­ (3.23) do (3.27) zapsat ve tvaru:

( )( )yvzwsuEE xx ''''''0 --Q-== wes (3.28)




Obr. 11: VnitnĂ­ sĂ­ly a nap
tĂ­ psobĂ­cĂ­ na prezu

ešení tenkost
nných prut oteveného prezu
17
Nech na píný ez psobí obecná síla (nahrazující navazující ást prutu) o
složkách Nx, Vy, Vz, Mx, My, Mz. Kladné psobené t
chto složek je znázorn
no
na obr. 11. Hodnoty sloĹľek Nx, Vy, Vz, Mx, My, Mz se urĂ­ z podmĂ­nek rovno-
váhy:

 = 0X x
A
x NdA =
s (3.29a)
 = 0Y y
A
xy VdA =
t (3.29b)
 = 0Z z
A
xz VdA =
t (3.29c)
 = 0xM ( ) x
A
xyxz MdAzy =-
tt (3.29d)
 = 0yM y
A
x MdAz =
s (3.29e)
 = 0zM z
A
x MdAy -=
s (3.29f)

Normálová nap
tí sx se podílí na složkách Nx, My, Mz ve vztazích (3.29a),
(3.29e) a (3.29f). Dosazením (3.28) do (3.29a), (3.29e) a (3.29f) obdržíme:

( ) 



 --Q-=




A AAA
x dAyvdAzwdAsdAuEN ''''''0 w (3.30a)
( ) 



 --Q-=-




A AAA
z dAyvdAyzwdAsyydAuEM
2
0 '''''' w (3.30b)
( ) 



 --Q-=




A AAA
y dAyzvdAzwdAszzdAuEM ''''''
2
0 w (3.30c)

V rovnicĂ­ch (3.30) je dev
t rzných integrál definujících geometrické charak-
teristiky prezu:
Prezová plocha:

=
A
dAA [m2] (3.31)

Statické momenty prezové plochy k osám Y, Z:


=
A
y dAzS ,
=
A
z dAyS [m
3] (3.32)
Analýza tenkost
nných prut

18
Momenty setrvanosti:


=
A
y dAzI
2 ,
=
A
z dAyI
2 [m4] (3.33)

DevianĂ­ moment:


=
A
yz dAyzD [m
4] (3.34)

Výseový statický moment:

( )
=
A
dAsS ww [m4] (3.35)

Výseové devianí momenty:

( )
=
A
y dAszI ww , ( )
=
A
z dAsyI ww [m
5] (3.36)

Jelikož byly osy setrvanosti zavedeny jako centrální, tak platí, že Sy = Sz =0.
Podmínky rovnováhy (3.30) se podstatn
zjednoduší, pokud:

0=yIw , 0=zIw (3.37a)
0=wS (3.37b)

Rovnice (3.37a) jsou automaticky spln
ny, pokud je sted otáení A totožný
s tzv. stedem smyku SA ” .
Sted smyku je takový bod v prezu prutu, jímž musí procházet vektor
posouvajících sil, aby prut byl pouze ohýbán.
Pevný sted otáení SA ” se nazývá hlavním pólem pro vytváený výseové
plochy, piemĹľ jeho umĂ­st
ní ve stedu smyku vyplývá z rozkladu pemíst
nĂ­
tuhého prezu na posuny v, w a pootoení j kolem A, které jsme odvodili
v kapitole 3.1.
Pi pedchozím odvozování jsme sted otáení A zvolili libovoln
souadnice-
mi yA, zA. Pro pól výseových souadnic A totožný se stedem smyku S, je
možno s pihlédnutím k (3.37a) zapsat:
ešení tenkost
nných prut oteveného prezu
19
y
y
AS I
Iyy w=- (3.38a)

z
z
AS I
Izz w-=- (3.38b)

Dále budeme požadovat, aby byla spln
na podmínka (3.37b). Z této podmínky
uríme poátek výseových souadnic tzv. nulový bod M0.
Ozname w jako výseovou sou
adnici uvaĹľovanou od bodu M0 a Pw jako
výseovou souadnici uvažovanou od bodu MP, viz obr. 12.



Obr. 12: Urení nulového bodu M0

RozdĂ­l Pww - je pro kaĹľdĂ˝ bod obrysu M konstantnĂ­, tj.:

CP =-ww (3.39)

S pihlédnutím k (3.15) lze (3.39) zapsat pehledn
ji ve tvaru:




=-
P
P
M
M
M
M
M
M
dsrdsrdsr
00
(3.40)

Dosadíme-li (3.39) do (3.37b) obdržíme:

0=+==



AA
P
A
dACdAdAS www (3.41)
Analýza tenkost
nných prut

20

Hledanou konstantu C vypoteme z (3.41) ve tvaru:

A
dA
C A
P
-
=
w
(3.42)

A
S
A
dA
C PPA
P
PP
ww
w
www -=-=+=


(3.43)

V návaznosti na (3.37) lze rovnice (3.30) zjednodušit do tvaru

'' 00 EAudAuEN
A
x ==
(3.44a)
zyz
A A
z IEvDEwdAyvdAyzwEM ''''''''
2 --=



 --=-

(3.44b)
yzz
A A
y DEvIEwdAyzvdAzwEM ''''''''
2 --=



 --=

(3.44c)

K tomu, abychom mohli dosadit do rovnice pro normálové nap
tĂ­ (3.28) je te-
ba ešení (3.44b) a (3.44c) vyjádit druhé derivace posun:

( )2'' yzzy yzyyz DIIE
DMIMv
-
+= (3.45a)
( )2'' yzzy yzzzy DIIE
DMIMw
-
+-= (3.45b)

Dosadíme-li do rovnice pro normálové nap
tĂ­ (3.28) ze vztah (3.44a), (3.45a)
a (3.45b) obdržíme:

( )( )
( ) ( ) yDIIE
DMIMz
DIIE
DMIME
A
N
yvzwsuEE
yzzy
yzyyz
yzzy
yzzzyx
xx
22
0
'
''''''
-
+-
-
++Q-
=--Q-==
w
wes
(3.46)

ešení tenkost
nných prut oteveného prezu
21
K úplnému zjišt
ní normálového nap
tĂ­ je teba urit funkci )(xj , piemĹľ v
(3.28) se uplatnĂ­ jejĂ­ derivace 'Q . OznaĂ­me-li pĂ­sp
vek normálového nap
tĂ­
vázaného kroucení v (3.28) jako:

wjws w ''' EEx -=Q-= (3.47)

Pokud rovnici (3.47) vynásobíme hodnotou w a integrujeme ji po prezové
ploše, tak obdržíme:



-=
AA
x dAEdA
2'' wjws
w (3.48)

Výraz na levé stran
má statický význam a jmenuje se ohybov krouticí bimo-
ment B [N m–2 m2]. Integrál na pravé stran
je další geometrická charakteristika
prezu, která se jmenuje výseový moment setrvanosti wI [m6]. Rovnici
(3.47) je pak moĹľno zapsat ve tvaru:

wj IEB ''-= (3.49a)
odtud
w
j IBEE =Q-=- ''' (3.49b)

Dosazením (3.49b) do (3.46) obdržíme vzorec pro normálové nap
tĂ­ xs ve tva-
ru:

yDII DMIMzDII DMIMIBAN
yzzy
yzyyz
yzzy
yzzzyx
x 22 -
+-
-
+++= ws
w
(3.50)

Vztah (3.50) je rozšíením obdobného výrazu odvozeného pro masivní pruty o
len obsahující vliv bimomentu. Budou-li osy souadnic hlavními centrálními
osami setrvanosti prezu, vztah (3.50) se dále zjednoduší:

yIMzIMIBAN
z
z
y
yx
x -++= ws
w
(3.51)

Analýza tenkost
nných prut

22
3.3 Smyková naptí tenkostnného oteveného pre-
zu
3.3.1 Sekundární smyková naptí
V prvním kroku odvodíme výpotový vztah pro smyková nap
tĂ­ sxt2 , je