- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Teorie_v_minikostce
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálatici A lze rozložit na součin horní U a dolní L trojúhelníkové matice, podmínky:
3
Numerické metody I Kamila Vopatová, 2007
• Jestliže lze GEM provést bez výměny řádků, pak lze A = L·U.
• Nechť všechny hlavní minory matice A jsou různé od nuly, pak lze A = L·U.
Choleského metoda A = RT ·R, kde R je horní trojúhelníkové matice, podmínky: A je symte-
rická, hlavní minory matice A jsou různé od nuly, pak platí R = parenleftbigrijparenrightbigni,j=1
r11 = √a11, r1j = a1jr
11
, j = 2,...,n
rii =
radicaltpradicalvertex
radicalvertexradicalbt
aii −
i−1summationdisplay
k=1
r2ki, i = 2,...,n rij =
braceleftBigg 1
rii
bracketleftBig
aij −summationtexti−1k=1 rkirkj
bracketrightBig
j > i
0 j < i
pozn. V matici R mohou být komplexní čísla.
Croutova metoda – LU-rozklad pro třídiagonální matici
5.2 Iterační metody
princip iteračních metod pro matice je stený jako pro nelineární rovnici (viz metoda prosté iterace)
– systém Ax = b převedeme na tvar x = Tx + g. Iterační proces konverguje, když matice T je
konvergentní, tj. platí limk→∞Tk = O. Lépe se ověřuje konvergence podle spektrálního poloměru
matice. Spektrální poloměr matice M: rho1(M) = maxi(|λi|), kde λi jsou vlastní čísla matice A.
Tedy matice T je konvergentní, právě když rho1(T) < 1, a pak iterační proces konverguje pro každou
počáteční aproximaci.
Matici A rozdělíme na A = D −L−U, kde D je diagonální matice, L je dolní trojúhelníková
matice s nulami na diagonále, U je horní trojúhelníková matice s nulami na diagonále.
Jacobiho metoda – iterační matice TJ = D−1(L + U), gJ = D−1b
xk+1 = D−1(L + U)xk + D−1b
podmínky: konverguje pro každou počáteční aproximaci, když rho1(TJ) < 1 nebo když A je ryze
řádkově nebo sloupcově diagonálně dominantní matice
Gauss-Seidelova metoda – iterační matice TGS = (D −L)−1U, gGS = (D −L)−1b
xk+1 = (D −L)−1Uxk + (D −L)−1b
podmínky: konverguje pro každou počáteční aproximaci, když rho1(TGS) < 1 nebo když A
je ryze řádkově nebo sloupcově diagonálně dominantní matice nebo když je A pozitivně
definitní matice
pozn. Když konvergují obě metody, tak Gauss-Seidelova konverguje rychleji.
Relaxační metody – iterační matice Tω = (D−ωL)−1bracketleftbig(1−ω)D+ωUbracketrightbig, ω = relaxační parametr:
0 < ω < 1 = dolní relaxace (vhodné, když GS nekonverguje), ω = 1 = Gauss-Seidelova
meotda, 1 < ω < 2 = horní relaxace (vhodné k urychlení konvergence GS)
xk+1 = (D −ωL)−1bracketleftbig(1 −ω)D + ωUbracketrightbigxk + ω(D −ωL)−1b
Je-li A třídiagonální matice, platí rho1(TGS) = rho12(TJ) < 1 a lze spočítat optimální hodnotu ω
ωopt = 21 +radicalbig1 −rho12(T
J)
4
Vloženo: 26.04.2009
Velikost: 101,51 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2025 unium.cz
