Studijní materiály

Zpět

Hromadně přidat materiály

Struktura2

MB003 - Lineární algebra

Hodnocení materiálu:

Zjednodušená ukázka:

Stáhnout celý tento materiál

Prověříme ještě distributivitu operace + vzhledem k operaci ·
() bcac+cba =⋅+
( )[]()( ) ( )
()()()()
()()()()
()()()()
()()()()
( )()()()
3210321032103210
1221033031130220
2332011033221100
1221033031130220
2332011033221100
122211033300
311133022200
233322011100
333222111000
321033221100321032103210
,,,,,,,,,,,,
,
,,
,
,,
,
,
,
,,,,,,,,,,,,,,,
ccccbbbbccccaaaa
cbcbcbcbcbcbcbcb
cbcbcbcbcbcbcbcb
cacacacacacacaca
cacacacacacacaca
cbacbacbacba
cbacbacbacba
cbacbacbacba
cbacbacbacba
ccccbabababaccccbbbbaaaa
⋅+⋅=
=








−++−++
−++−−−
+








−++−++
−++−−−
=
=














⋅+−⋅++⋅++⋅+
⋅+−⋅++⋅++⋅+
⋅+−⋅++⋅++⋅+
⋅+−⋅+−⋅+−⋅+
=
=⋅++++=⋅+

Distributivita operace + vzhledem k operaci · platí.
Závěr
Vyšetřovaná struktura ) tvoří těleso ((⋅+,,K ( )+,K je Abelova grupa, }(){( )⋅− ,0,0,0,0K je grupa).
5
Zadání:
Najděte podobor struktury ), který je izomorfní s (⋅+,,K ( )⋅+,,R a s ( )⋅+,,C .
Vypracování:
()• ⋅+,,R
Reálná čísla lze do struktury kvaternionů přepsat ( ){ } KRxxR ⊂∈= ;0,0,0, . Označme hledaný podobor X a ověřme, že
( )0,0,0,:: xRxXRf
R
a∈→ .
Důkaz:
-
( ) ( )( )( )
() () ( ) ( )
()()()yfxfyxf
yxyfxf
yxyxyxf
RRR
RR
R
+=+



+=+
+=+=+
0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,

-
( ) ( )
() () ( )( ) ( )
() ()()yfxfyxf
yxyxyfxf
yxyxf
RRR
RR
R
⋅=⋅



⋅=⋅=⋅
⋅=⋅
0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,

Tvrzení platí.
• ()⋅+,,C
Komplexní čísla lze do struktury kvaternionů přepsat ( ){ } KRbabaC ⊂∈= ,;0,0,, . Označme hledaný podobor Y a ověřme, že
( )0,0,Im,Re:: zzCzYCf
R
a∈→ .
Důkaz:
-
( )()( )( ) ( )( )( )
() () ( ) ( )
()()()yfxfyxf
yyxxyfxf
yyxxyxyxyxyxyxf
CCC
CC
C
+=+



+=+
+=++=+++=+
0,0,Im,Re0,0,Im,Re
0,0,Im,Re0,0,Im,Re0,0,ImIm,ReRe0,0,ImRe

-
( )()()( ) ( )
() () ( )( ) ( ) ( )
() ()()yfxfyxf
yxyxyxyxyxyyxxyfxf
yxyxyxyxyxyxyxf
CCC
CC
C
⋅=⋅



+−=⋅=⋅=⋅
+−=⋅⋅=⋅
0,0,ReImImRe,ImImReRe0,0,0,0,0,Re,Re0,0,Im,Re
0,0,ReImImRe,ImImReRe0,0,Im,Re

Tvrzení platí.
6
Dodatek:
KVATERNIONY
1
, matematické objekty, které zavedl Hamilton roku 1853 jako rozšíření
pojmu komplexního čísla. Jsou dány čtveřicemi reálných čísel , z nichž je vytvořen
výraz
dcba ,,,
kji dcbaq +++= ,
kde i, j, k jsou symboly, které lze násobit podle pravidel daných tabulkou
1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1

1
ROSSIOVA, A.: Encyklopedie matematiky. Mladá Fronta, Praha 1988.
1

Stáhnout celý tento materiál

Předchozí

1 2 3

Vloženo: 25.04.2009

Velikost: 212,74 kB

Stáhnout celý tento materiál

Komentáře

Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.