Sbirka_prikladu_ze_STATISTIKY_I

Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze ˇz´adn´e dvˇe osoby stejn´eho pohlav´ı nebudou sedˇet
vedle sebe? h
2(n!)2
(2n)!
i
Pˇr´ıklad 4.79. V krabici je n lev´ych a n prav´ych rukavic stejn´eho druhu. Postupnˇe
vyb´ır´ame vˇzdy dvˇe rukavice a nevrac´ıme je zpˇet. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze ve
vˇsech takto vytaˇzen´ych p´arech bude lev´a i prav´a rukavice? h
2n(n!)2
(2n)!
i
Pˇr´ıklad 4.80. Jsou d´ana tˇri osud´ı, pravdˇepodobnost volby kaˇzd´eho osud´ı je stejn´a.
Prvn´ı osud´ı obsahuje 1 b´ılou, 2 modr´e a 3 ˇcerven´e koule. Druh´e osud´ı obsahuje
2 b´ıl´e koule, 1 modrou a 1 ˇcervenou koul´ı. Tˇret´ı osud´ı obsahuje 4 b´ıl´e koule, 3
modr´e koul´ı a 3 ˇcerven´e. N´ahodnˇe zvol´ıme jedno osud´ı a vyt´ahneme z nˇej dvˇe
koule a zjist´ıme, ˇze jedna z tˇechto vytaˇzen´ych koul´ı je b´ıla a druh´a ˇcerven´a. Jak´a
je pravdˇepodobnost, ˇze tyto koule poch´azej´ı
a) z prvn´ıho osud´ı,
b) z druh´eho osud´ı,
c) ze tˇret´ıho osud´ı?
[a) 1=4; b) 5=12; c) 1=3]
28
Pˇr´ıklad 4.81. Z osud´ı, kter´e obsahuje m b´ıl´ych (m > 3) a n ˇcern´ych koul´ı, se
ztratila jedna koule. Proto, abychom urˇcili obsah osud´ı, vybereme z osud´ı dvˇe
koule. Zjistili jsme, ˇze jsou b´ıl´e. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze ztracen´a koule je
b´ıl´a? h
m¡2
m+n¡2
i
Pˇr´ıklad 4.82. Z osud´ı, kter´e obsahuje 3 b´ıl´e a 2 ˇcern´e koule, byly nar´az vybr´any
dvˇe koule. Ty byly vloˇzeny do druh´eho osud´ı, kter´e pˇredt´ım obsahovalo 4 b´ıl´e
a 4 ˇcern´e koule. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze po tomto pˇrem´ıstˇen´ı bude z druh´eho
osud´ı vytaˇzena b´ıl´a koule?
[0:52]
Pˇr´ıklad 4.83. Osud´ı obsahuje n koul´ı. Vˇsechny moˇzn´e poˇcty b´ıl´ych koul´ı v osud´ı
jsou stejnˇe pravdˇepodobn´e. Zjistili jsme, ˇze koule n´ahodnˇe vybran´a z osud´ı je b´ıl´a.
Stanovte pravdˇepodobnost vˇsech moˇzn´ych p˚uvodn´ıch poˇct˚u b´ıl´ych koul´ı v osud´ı.
Jak´y je nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı p˚uvodn´ı poˇcet b´ıl´ych koul´ı v osud´ı?h
P(Hi) = 1n+1;P(HijB) = 2in(n+1);nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı je n koul´ı v osud´ı
i
Pˇr´ıklad 4.84. Osud´ı obsahuje celkem 10 koul´ı, z nichˇz nˇekter´e jsou b´ıl´e a nˇekter´e
ˇcern´e. Poˇcet b´ıl´ych koul´ı a ˇcern´ych koul´ı vˇsak nen´ı pˇresnˇe zn´am. V´ıme jenom, ˇze
osud´ı bylo naplnˇeno t´ımto zp˚usobem: 10-kr´at po sobˇe bylo hozeno jednou minc´ı
a pokud padl rub, byla do osud´ı vloˇzena b´ıl´a koule, pokud padl l´ıc, byla do osud´ı
vloˇzena ˇcern´a koule. Z takto naplnˇen´eho osud´ı bylo vytaˇzeno m-kr´at po sobˇe po
jedn´e kouli, pˇriˇcemˇz po kaˇzd´em tahu byla vytaˇzen´a koule vr´acena zpˇet do osud´ı.
Po proveden´ı tˇechto m tah˚u bylo zjiˇstˇeno, ˇze vˇsech m koul´ı bylo b´ıl´ych. Stanovte
pravdˇepodobnost, ˇze
a) dan´e osud´ı obsahovalo pouze b´ıl´e koule, tj. 10 b´ıl´ych a ˇz´adn´e ˇcern´e koule.
b) dan´e osud´ı obsahovalo jednu b´ılou a devˇet ˇcern´ych koul´ı.
•
a) P(H10jA) = 10mP10
i=1(
10
i )i
m; b) P(H1jA) =
10P
10
i=1(
10
i )i
m
‚
Pˇr´ıklad 4.85. Pojiˇstovac´ı spoleˇcnost rozliˇsuje pˇri pojiˇst’ov´an´ı tˇri skupiny ˇridiˇc˚u -
A, B, C. Pravdˇepodobnost toho, ˇze ˇridiˇc patˇr´ıc´ı do skupiny A bude m´ıt bˇehem roku
nehodu, je 0.02, zat´ımco u ˇridiˇce ze skupiny B je to 0.07 a u ˇridiˇce ze skupiny C je
to 0.11. Z dlouhodob´eho sledov´an´ı spoleˇcnost odhadla, ˇze 50% pojistn´ych smluv
je uzavˇreno s ˇridiˇci ze skupiny A, 30% s ˇridiˇci ze skupiny B a 20% s ˇridiˇci ze
skupiny C. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze ˇridiˇc, kter´y mˇel nehodu, patˇr´ı do skupiny
a) A, b) B, c) C?
[a) 1=53; b) 21=53; c) 22=53]
29
Pˇr´ıklad 4.86. Jsou d´ana tˇri stejn´a osud´ı. Prvn´ı osud´ı obsahuje 2 b´ıl´e, 1 mod-
rou a 3 ˇcerven´e koule. V druh´em osud´ı jsou 4 b´ıl´e, 3 modr´e a 2 ˇcerven´e koule.
Tˇret´ı osud´ı obsahuje 1 b´ılou, 2 modr´e a 1 ˇcervenou kouli. N´ahodnˇe zvol´ıme osud´ı
a z toho vyt´ahneme postupnˇe dvˇe koule, pˇriˇcemˇz ˇz´adnou vytaˇzenou kouli ne-
vrac´ıme zpˇet. Uk´azalo se, byla vytaˇzena jedna modr´a a jedna ˇcerven´a koule. Jak´a
je pravdˇepodobnost, ˇze koule byly vybr´any z
a) z prvn´ıho osud´ı,
b) z druh´eho osud´ı,
c) ze tˇret´ıho osud´ı?
[a) 2=7; b) 5=21; c) 10=21]
Pˇr´ıklad 4.87. Z osud´ı, kter´e obsahuje 5 b´ıl´ych a 5 ˇcern´ych koul´ı, bylo vytaˇzeno
5 koul´ı a vloˇzeno do jin´eho pr´azdn´eho osud´ı. Z tohoto osud´ı byly vytaˇzeny 3
koule a vloˇzeny do tˇret´ıho pr´azdn´eho osud´ı. Z tohoto tˇret´ıho osud´ı byla vytaˇzena
jedna koule a bylo zjiˇstˇeno, ˇze je b´ıl´a. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze vˇsech 5 koul´ı,
vytaˇzen´ych z prvn´ıho osud´ı, bylo b´ıl´ych?
[P(H5jA) = 1=126]
Pˇr´ıklad 4.88. ( ´Uloha Chevailera de M´er´e) a) Hod´ıme n kr´at jednou kostkou.
Oznaˇcme A jev: ”ˇsestka padne alespoˇn jednou.” Jak´e mus´ı b´yt minim´aln´ı n, aby
pravdˇepodobnost, ˇze nastane jev A byla alespoˇn 0.6? b) Hod´ıme n kr´at po sobˇe
dvˇema kostkami. Oznaˇcme B jev: ”souˇcet 12 padne alespoˇn jednou”. Jak´e mus´ı
b´yt minim´aln´ı n, aby jev B nastal alespoˇn s pravdˇepodobnost´ı 0.6?
[a) 6; b) 19]
Pˇr´ıklad 4.89. Kaˇzd´e z N +1 osud´ı obsahuje N koul´ı. Osud´ı s ˇc´ıslem k obsahuje
k ˇcerven´ych a N¡k b´ıl´ych koul´ı, k = 0;1;:::;N. Z n´ahodnˇe zvolen´eho osud´ı n-
kr´at vybereme kouli, pˇriˇcemˇz vybranou kouli po tahu ihned vr´at´ıme zpˇet. Stanovte
pravdˇepodobnost, ˇze jsou vˇsechny vybran´e koule ˇcerven´e. hP
N
i=1
1
N+1
¡ i
N
¢ni
Pˇr´ıklad 4.90. V prvn´ı sadˇe v´yrobk˚u je 8 v´yrobk˚u, z toho 2 vadn´e. Ve druh´e sadˇe
v´yrobk˚u je 14 v´yrobk˚u, z toho 1 vadn´y. Z prvn´ı sady n´ahodnˇe vybereme v´yrobek a
pˇrem´ıst´ıme jej do druh´e sady. Pot´e n´ahodnˇe vybereme z druh´e sady jeden v´yrobek.
Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze je tento v´yrobek vadn´y?
[1=12]
Pˇr´ıklad 4.91. Na zkouˇsku z matematiky se dostavilo 25 student˚u. Pravdˇepodobnost
sloˇzen´ı zkouˇsky je pro 12 student˚u 0.75, pro 8 student˚u 0.5 a pro 5 student˚u 0.4.
Stanovte pravdˇepodobnost, ˇze n´ahodnˇe zvolen´y student tuto zkouˇsku sloˇz´ı.
[3=5]
30
Pˇr´ıklad 4.92. Osud´ı obsahuje 6 b´ıl´ych a 5 ˇcern´ych koul´ı. Vyt´ahneme z nˇej 4 koule
a vloˇz´ıme je do jin´eho pr´azdn´eho osud´ı. Z tohoto druh´eho osud´ı vyt´ahneme jednu
kouli a nevr´at´ıme je zpˇet.
a) Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze je vytaˇzen´a koule ˇcern´a?
b) Z druh´eho osud´ı vyt´aheneme jeˇstˇe jednu kouli. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze
je tato koule b´ıl´a, za pˇredpokladu, ˇze prvn´ı taˇzen´a koule byla tak´e b´ıl´a?
[a) 5=11; b) 31=74]
Pˇr´ıklad 4.93. Jsou d´ana tˇri osud´ı, pravdˇepodobnost volby kaˇzd´eho osud´ı je stejn´a.
V prvn´ım osud´ı je 1 b´ıl´a koule a 2 ˇcern´e koule. Ve druh´em osud´ı jsou 2 b´ıl´e
koule a 1 ˇcern´a koule. Tˇret´ı osud´ı obsahuje 2 b´ıl´e koule a 2 ˇcern´e koule. N´ahodnˇe
zvol´ıme jedno osud´ı a vyt´ahneme z nˇej jednu kouli a zjist´ıme, ˇze je b´ıl´a. Vytaˇzenou
kouli nevr´at´ıme zpˇet do osud´ı a vyt´ahneme ze stejn´eho osud´ı jeˇstˇe jednu kouli.
Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze i tato druh´a koule je b´ıl´a?
[1=3]
Pˇr´ıklad 4.94. Z´akazn´ık si n´ahodnˇe vyb´ır´a jeden z 12 obraz˚u, mezi nimiˇz jsou 3
kopie. V´ybˇeru je pˇr´ıtomen odborn´ık, kter´y pozn´a origin´al s pravdˇepodobnost´ı 3/8.
a) Jestliˇze odborn´ık povaˇzuje obraz za origin´al, jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze
skuteˇcnˇe jde o origin´al?
b) Odborn´ık soud´ı, ˇze z´akazn´ıkem zvolen´y obraz je kopie. Z´akazn´ık proto ob-
raz odloˇz´ı a vol´ı n´ahodnˇe jeden ze zb´yvaj´ıc´ıch obraz˚u. Jak´a je nyn´ı pravdˇe-
podobnost, ˇze z´akazn´ık zvol´ı origin´al?
[a) 9=13; b) 41=44]
Pˇr´ıklad 4.95. Hod´ıme n kr´at kostkou. Kdyˇz padne lich´e ˇc´ıslo, vloˇz´ıme do osud´ı
b´ılou kouli, kdyˇz padne sud´e, vloˇz´ıme do osud´ı ˇcernou kouli. Z takto naplnˇen´eho
osud´ı vyt´ahneme n´ahodnˇe jednu kouli a nevr´at´ım ji zpˇet. Uk´azalo se, ˇze je ˇcern´a.
Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze dalˇs´ı vytaˇzen´a koule bude b´ıl´a? •
1
n¡1
Pn¡1
i=1 (
n
i)i(n¡i)P
n¡1
i=1 (
n
i)(n¡i)
‚
4.4 Stochasticky nez´avisl´e jevy
Pˇr´ıklad 4.96. Hod´ıme dvˇemi hrac´ımi kostkami. Oznaˇcme n´ahodn´e jevy A1 na
prvn´ı kostce padne sud´e ˇc´ıslo, A2 na druh´e kostce padne lich´e ˇc´ıslo, A3 souˇcet ok,
kter´e padly na 1. a 2. kostce, je lich´e ˇc´ıslo. Dokaˇzte, ˇze kaˇzd´e dva z jev˚u A1;A2;A3
jsou nez´avisl´e, ale jevy A1;A2;A3 nejsou nez´avisl´e.
31
Pˇr´ıklad 4.97. Necht’ jevy A a B1 jsou nez´avisl´e a tak´e jevy A a B2 jsou nez´avisl´e,
pˇriˇcemˇz B1 a B2 jsou nesluˇciteln´e. Dokaˇzte, ˇze jevy A a B1 [B2 jsou nez´avisl´e.
Pˇr´ıklad 4.98. Necht’ P(A) > 0 a P(BjA) = P(BjA). Dokaˇzte, ˇze jevy A a B
jsou nez´avisl´e.
Pˇr´ıklad 4.99. ˇCtyˇri osoby vyplˇnovaly dotazn´ık pr˚uzkumu veˇrejn´eho m´ınˇen´ı se
tˇremi ot´azkami, na kter´e bylo moˇzno odpovˇedˇet pouze ”ano”(1) nebo ”ne”(0).
Odpovˇedi dotazovan´ych byly 111, 001, 010, 100. Oznaˇcme Ai jev: ”n´ahodnˇe zvo-
len´a osoba z tˇechto ˇctyˇr dotazovan´ych odpovˇedˇela kladnˇe na i-tou ot´azku”. Jsou
jevy A1; A2; A3 stochasticky nez´avisl´e.
[ne]
Pˇr´ıklad 4.100. Tˇri myslivci souˇcasnˇe vystˇrelili na medvˇeda. Medvˇeda zastˇrelili
jednou kul´ı. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze medvˇeda zastˇrelil a) prvn´ı, b) druh´y, c)
tˇret´ı myslivec, kdyˇz maj´ı pravdˇepodobnost z´asahu postupnˇe p1 = 0;2; p2 = 0;4;
p3 = 0;6?
[a) 0:048; b) 0:128; c) 0:288]
Pˇr´ıklad 4.101. Stˇrelec stˇr´ıl´ı tˇrikr´at nez´avisle na sobˇe do terˇce. Pravdˇepodobnosti
z´asahu pˇri prvn´ı, druh´em a tˇret´ım v´ystˇrelu jsou postupnˇe 0.3, 0.5 a 0.6. Jak´a je
pravdˇepodobnost, ˇze stˇrelec zas´ahne c´ıl
a) pr´avˇe jednou,
b) alespoˇn jednou,
b) pr´avˇe dvakr´at?
[a) 0:41; b) 0:86; c) 0:36]
Pˇr´ıklad 4.102. Jevy A1; A2; A3 jsou stochasticky nez´avisl´e, P(A1) = 0:4, P(A2) =
0:4, P(A3) = 0:25. Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost nastoupen´ı alespoˇn jednoho z
jev˚u A1; A2; A3.
[0:73]
Pˇr´ıklad 4.103. Pravdˇepodobnost, ˇze investice firmˇe pˇrinese zisk je 0.3. Jak´a je
pravdˇepodobnost, ˇze se z ˇsesti (nez´avisl´ych) investic firmˇe vyplat´ı alespoˇn jedna?
[0:8824]
Pˇr´ıklad 4.104. Patn´actkr´at nez´avisle na sobˇe h´az´ıme ˇctyˇrmi mincemi. Jak´a je
pravdˇepodobnost, ˇze alespoˇn v jednom hodu padnou ˇctyˇri l´ıce?
[0:6202]
Pˇr´ıklad 4.105. Je pravdˇepodobnˇejˇs´ı vyhr´at se stejnˇe siln´ym soupeˇrem tˇri partie
ze ˇctyˇr nebo pˇet prati´ı z osmi, kdyˇz nerozhodn´y v´ysledek je vylouˇcen a v´ysledky
jsou nez´avisl´e?
[P(A) = 0:25;P(B) = 0:21875]
32
Pˇr´ıklad 4.106. Osmkr´at nez´avisle na sobˇe h´az´ıme tˇremi kostkami. Jak´a je prav-
dˇe-podobnost, ˇze pr´avˇe dvakr´at padnou tˇri ˇsestky?
[0:00058]
33
5. N´ahodn´e veliˇciny
5.5 Distribuˇcn´ı funkce
F(x) = P(X • x)
Vlastnosti distribuˇcn´ı funkce:
† F(x) je neklesaj´ıc´ı, tj.: 8x1; x2 2R : F(x1) • F(x2)
† F(x) je zprava spojit´a, tj.: lim
x!x+0
F(x) = F(x0)
† F(x) je normovan´a, tj.: lim
x!¡1
F(x) = 0; lim
x!+1
F(x) = 1
† 8a; b 2R : P(a < X • b) = F(b)¡F(a)
† P(X = x0) = F(x0)¡ lim
x!x¡0
F(x)
Pˇr´ıklad 5.1. Rozhodnˇete, zda funkce F(x) je distribuˇcn´ı funkc´ı.
F(x) =
(
0 x < 0
x
x+1 x ‚ 0
[ano]
Pˇr´ıklad 5.2. Urˇcete konstanty k1 a k2 tak, aby funkce F(x) byla distribuˇcn´ı funkc´ı
n´ahodn´e veliˇciny X. Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost, ˇze n´ahodn´a veliˇcina X se bude
realizovat v intervalu (¡a2; a2 >.
F(x) =
8
><
>:
0 x < ¡a
k1 +k2 arcsin xa ¡a • x < a
1 x ‚ a h
k1 = 12; k2 = 1pi; 13
i
34
Pˇr´ıklad 5.3. Urˇcete konstanty a a b tak, aby funkce F(x) = a + barctanx byla
distribuˇcn´ı funkc´ı n´ahodn´e veliˇciny X. £
a = 12; b = 1…⁄
5.6 Diskr´etn´ı n´ahodn´a veliˇcina
Pravdˇepodobnostn´ı funkce p(x) a jej´ı vlastnosti
† F(x) = P
t•x
p(t)
† p(x) ‚ 0
†
1P
x=¡1
p(x) = 1
† p(x0) = P(X = x0)
† p(x1;x2) = P(X1 = x1 ^X2 = x2)
† p1(x1) =
1P
x2=¡1
p(x1;x2); p2(x2) =
1P
x1=¡1
p(x1;x2)
† p12(x1;x2) =
1P
x3=¡1
p(x1;x2;x3)
† p1(x1) =
1P
x2=¡1
1P
x3=¡1
p(x1;x2;x3)
Pˇr´ıklad 5.4. Hod´ıme ˇctyˇrikr´at minc´ı. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet padl´ych
l´ıc˚u v tˇechto ˇctyˇrech hodech. Naleznˇete pravdˇepodobnostn´ı funkci n´ahodn´e veli-
ˇciny X a tak´e jej´ı distribuˇcn´ı funkci.£
p(0) = 116; p(1) = 14; p(2) = 38; p(3) = 14; p(4) = 116⁄
Pˇr´ıklad 5.5. Hod´ıme dvˇema kostkami. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet ok na
prvn´ı kostce, n´ahodn´a veliˇcina Y ud´av´a poˇcet ok na druh´e kostce. Oznaˇcme Z =
X + Y . Naleznˇete pravdˇepodobnostn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny Z a tak´e jej´ı dis-
tribuˇcn´ı funkci.£
p(2;12) = 136; p(3;11) = 236; p(4;10) = 336; p(5;9) = 436; p(6;8) = 536; p(7) = 636⁄
35
Pˇr´ıklad 5.6. Postupnˇe je zkouˇseno pˇet pˇr´ıstroj˚u. Dalˇs´ı pˇr´ıstroj se zkouˇs´ı, pokud je
pˇredchoz´ı pˇr´ıstroj spolehliv´y. Kaˇzd´y z pˇr´ıstroj˚u vydrˇz´ı zkouˇsku s pravdˇepodobnost´ı
0:9. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet zkouˇsen´ych pˇr´ıstroj˚u. Urˇcete pravdˇepodob-
nostn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny X.
[p(0) = 0:1; p(1) = 0:09; p(2) = 0:081;p(3) = 0:0729; p(4) = 0:6561]
Pˇr´ıklad 5.7. Stˇrelec stˇr´ıl´ı do terˇce aˇz do prvn´ıho z´asahu. M´a v z´asobˇe ˇctyˇri n´aboje.
Pravdˇepodobnost z´asahu je pˇri kaˇzd´em v´ystˇrelu 0:6. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a
poˇcet nespotˇrebovan´ych n´aboj˚u. Stanovte pravdˇepodobnostn´ı funkci n´ahodn´e ve-
liˇciny X.
[p(0) = 0:064; p(1) = 0:096; p(2) = 0:24; p(3) = 0:6]
Pˇr´ıklad 5.8. Rodiˇce pl´anuj´ı m´ıt tˇri dˇeti. Pˇredpokl´adejme, ˇze pravdˇepodobnost
narozen´ı chlapce i d´ıvky je stejn´a. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet dˇet´ı stejn´eho
pohlav´ı, kter´e se narodily za sebou (napˇr pro HDD je X = 2). Urˇcete pravdˇepo-
dobnostn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny X.
[p(1) = 0:25; p(2) = 0:5; p(3) = 0:25]
Pˇr´ıklad 5.9. Auto mus´ı projet ˇctyˇri kˇriˇzovatky ˇr´ızen´e nez´avisl´ymi semafory. Na
kaˇzd´em semaforu sv´ıt´ı zelen´a nebo ˇcerven´a s pravdˇepodobnost´ı 0:5. N´ahodn´a
veliˇcina X ud´av´a poˇcet projet´ych kˇriˇzovatek do prvn´ı kˇriˇzovatky, kdy auto mus´ı
zastavit. Naleznˇete pravdˇepodobnostn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny X.
[p(0) = 0:5; p(1) = 0:25; p(2) = 0:125; p(3) = 0:0625; p(4) = 0:0625]
Pˇr´ıklad 5.10. M˚uˇze b´yt n´ıˇze uveden´a funkce p(x) pˇri vhodn´e konstantˇe c prav-
dˇepodobnostn´ı funkc´ı?
p(x) =
(
c(1¡#)x x = 0;1;2;::: # 2 (0;1)
0 jinak
[c = #]
Pˇr´ıklad 5.11. Je d´ana funkce p(x). Urˇcete konstantu k tak, aby p(x) byla prav-
dˇepodobnostn´ı funkc´ı diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny X. Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost,
ˇze n´ahodn´a veliˇcina X nabude hodnoty vˇetˇs´ı neˇz 4.
p(x) =
(
k 0:7x pro x = 1;2;:::
0 jinak £
k = 37; 0:24⁄
Pˇr´ıklad 5.12. Necht’ je d´an syst´em sloˇzen´y ze dvou blok˚u. Pravdˇepodobnost, ˇze
i-t´y blok spr´avnˇe funguje je #i; i = 1;2; 0 < #i < 1. Pravdˇepodobnost, ˇze
spr´avnˇe funguj´ı oba bloky je #12; 0 < #12 < 1. N´ahodn´a veliˇcina Xi nab´yv´a
hodnoty 1, kdyˇz i-t´y blok funguje spr´avnˇe a Xi = 0 kdyˇz nefunguje. Vyj´adˇrete
pravdˇepodobnostn´ı funkci p(x1;x2) a obˇe margin´aln´ı pravdˇepodobnostn´ı funkce
p(x1), p(x2).
36
Pˇr´ıklad 5.13. Urˇcete konstantu k tak, aby funkce p(x1;x2;x3) byla pravdˇepodobnostn´ı
funkc´ı. p(x1;x2;x3) =
(
kx1x2x23 x1 2f0;1g; x2 2f0;1g; x3 2f0;1;2;3g
0 jinak £
1
14
⁄
5.7 Spojit´a n´ahodn´a veliˇcina
Hustota pravdˇepodobnosti f(x) a jej´ı vlastnosti
† F(x) =
xR
¡1
f(t)dt
† f(x) ‚ 0
†
1R
¡1
f(x) = 1
† P(x0 < X < x0 +h) =
x0+hR
x0
f(x)dx
† P(X = x0) = 0
† f(x) = @F(x)@x ve vˇsech bodech spojitosti f(x)
† f12(x1;x2) =
1R
¡1
f(x1;x2;x3) dx3
† f1(x1) =
1R
¡1
1R
¡1
f(x1;x2;x3) dx2dx3
Pˇr´ıklad 5.14. Spojit´a n´ahodn´a veliˇcina X m´a hustotu pravdˇepodobnosti f(x).
Urˇcete konstantu a. Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost, ˇze se n´ahodn´a veliˇcina X bude
realizovat v intervalu (1=3;2=3).
f(x) =
(
ax 0 • x < 1
0 jinak
[2; 1=3]
37
Pˇr´ıklad 5.15. Spojit´a n´ahodn´a veliˇcina X m´a distribuˇcn´ı funkci F(x). Urˇcete hus-
totu f(x). Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost, ˇze se n´ahodn´a veliˇcina X bude realizovat
v intervalu (¡2;2) pomoc´ı hustoty i pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce.
F(x) =
8>
<
>:
0 x < ¡5
x+5
7 ¡5 • x < 2
1 x ‚ 2 £
f(x) = 17 x 2< ¡5;2); 47⁄
Pˇr´ıklad 5.16. Je d´ana funkce F(x). Urˇcete konstanty a a b tak, aby F(x) byla dis-
tribuˇcn´ı funkc´ı spojit´e n´ahodn´e veliˇciny X. Urˇcete tak´e hustotu n´ahodn´e veliˇciny
X.
F(x) =
8>
<
>:
0 x < 0
a+bsinx 0 • x < …2
1 x ‚ …2 £
a = 0; b = 1; f(x) = cosx 0 • x < …2⁄
Pˇr´ıklad 5.17. Na automatick´e lince se pln´ı krabice ml´ekem, kaˇzd´a krabice m´a ob-
sahovat pˇresnˇe 1000 ml ml´eka, avˇsak p˚usoben´ım n´ahodn´ych vliv˚u kol´ıs´a mnoˇzstv´ı
ml´eka v intervalu (980 ml; 1020 ml). Kaˇzd´e mnoˇzˇstv´ı ml´eka v tomto intervalu
povaˇzujeme za stejnˇe moˇzn´e. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a mnoˇzstv´ı ml´eka v n´a-
hodnˇe vybran´e krabici. Najdˇete hustotu f(x), distribuˇcn´ı funkci F(x), nakreslete
grafy tˇechto funkc´ı a vypoˇctˇete pravdˇepodobnost, ˇze X > 990 ml.£
f(x) = 140; x 2 (980;1020); F(x) = 140(x¡980); x 2 (980;1020); 0:75⁄
Pˇr´ıklad 5.18. Je d´ana funkce
f(x1;x2;x3) =
(
kx1x2x23 0 < x1 < 1;0 < x2 < 1;0 < x3 < 3
0 jinak
a) Urˇcete konstantu k tak, aby funkce f(x1;x2;x3) byla hustotou pravdˇepo-
dobnosti spojit´eho n´ahodn´eho vektoru (X1;X2;X3).
b) Najdˇete vˇsechny margin´aln´ı hustoty.
c) Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost P(0 < x1 < 12 ^ 13 < x2 < 23 ^ 1 < x3 < 2).
[a) 49; b) f(x1;x2) = 4x1x2; f(xi;x3) = 29xix23;i = 1;2;]
[ f(xi) = 2xi;i = 1;2; f(x3) = x239 ; c) 7324]
Pˇr´ıklad 5.19. Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost P((X1;X2)0 2 G), kde
G = f(x1;x2)0 2R2; 0 < x1 < 1; 0 < x2 < 1g, je-li zn´amo, ˇze
f(x1;x2) = 1…2(1+x2
1)(1+x22)
0 < x1 < 1;0 < x2 < 1;0 < x3 < 3 £
1
16
⁄
38
Pˇr´ıklad 5.20. Necht’ (X1;X2)0 m´a spojit´e rovnomˇern´e rozdˇelen´ı soustˇredˇen´e na
a) G = f(x1;x2)0 2R2; 0 • x1 < 1; 0 • x2 < 1g
b) G = f(x1;x2)0 2R2; 0 • x1 < 1; 0 • x2 < 1¡x1g
V obou pˇr´ıpadech urˇcete sdruˇzen´e a margin´aln´ı hustoty.
[a) f(x1;x2) = 1;f1(x1) = 1;f2(x2) = 1]
[b) f(x1;x2) = 2;f1(x1) = 2(1¡x1);f2(x2) = 2(1¡x2)]
39
6. Diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny
Pˇr´ıklad 6.1. Dvakr´at h´az´ıme minc´ı. Popiˇste prostor element´arn´ıch jev˚u ›. Necht’
n´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet padl´ych l´ıc˚u. Urˇcete rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny
X, jej´ı pravdˇepodobnostn´ı a distribuˇcn´ı funkci. Nakreslete jejich grafy.2
66
66
66
64
› = f[R;R];[R;L];[L;R];[L;L]g;
p(x) =
8>
<
>:
1=4; x = 0;2;
1=2; x = 1;
0 jinak;
;F(x) =
8
>>>>
<
>>>>
:
0; x < 0;
1=4; x 2< 0;1);
3=4; x 2< 1;2);
1 x ‚ 2;
3
77
77
77
75
Pˇr´ıklad 6.2. Dvakr´at h´az´ıme hrac´ı kostkou. Popiˇste prostor element´arn´ıch jev˚u
›. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a souˇcet hodnot, kter´e padnou v 1. a 2. hodu.
Urˇcete rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny X, jej´ı pravdˇepodobnostn´ı a distribuˇcn´ı funkci.
Nakreslete jejich grafy.2
66
66
4
› = f[1;1];:::;[1;6];[2;6];:::;[6;6]g;
p(x) =
(6¡jx¡7j
36 ; x = 2;:::;12;
0 jinak; ; F(x) =
8
><
>:
minfx;12gP
i=2
6¡ji¡7j
36 ; x ‚ 2;
0; x < 2:
3
77
77
5
Pˇr´ıklad 6.3. H´az´ıme minc´ı, dokud nepadne l´ıc. Popiˇste prostor element´arn´ıch
jev˚u ›. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet proveden´ych hod˚u. Urˇcete rozdˇe-
len´ı n´ahodn´e veliˇciny X, jej´ı pravdˇepodobnostn´ı a distribuˇcn´ı funkci. Nakreslete
jejich grafy. 2
66
64
› = f[L];[R;L];[R;R;L];:::g;
p(x) =
( 1
2x; x = 1;2;:::;
0 jinak; ; F(x) =
8
<
:
xP
i=1
1
2i; x ‚ 1;
0; x < 1:
3
77
75
Pˇr´ıklad 6.4. Stˇr´ıl´ıme na c´ıl do prvn´ıho z´asahu. Z´asahy pˇri r˚uzn´ych v´ystˇrelech jsou
nez´avisl´e jevy, pravdˇepodobnost z´asahu pˇri kaˇzd´em v´ystˇrelu je p. Popiˇste prostor
element´arn´ıch jev˚u ›. Necht’ n´ahodn´a ve