Sbirka_prikladu_ze_STATISTIKY_I

v´ybˇeru s opakov´an´ım mezi
tˇremi n´ahodnˇe vybran´ymi ˇc´ıslicemi
a) vˇsechny 3 ˇc´ıslice budou shodn´e,
b) pr´avˇe 2 ˇc´ıslice budou shodn´e,
c) ˇz´adn´e 2 ˇc´ıslice nebudou shodn´e.
ˇReˇste podobnou ´ulohu pro v´ybˇer ˇctyˇr cifer.
[a) p1 = 0;01; p2 = 0;27; p3 = 0;72; b) p1 = 0;001; p2 = 0;063; p3 = 0;432;
p4 = 0;504:]
Pˇr´ıklad 4.17. V osud´ı je a koul´ı b´ıl´ych a b koul´ı ˇcern´ych. Vyt´ahneme dvakr´at po
sobˇe vˇzdy po jedn´e kouli, pˇriˇcemˇz prvn´ı kouli nevr´at´ıme zpˇet. Urˇcete pravdˇepo-
dobnost, ˇze
a) obˇe vytaˇzen´e koule jsou b´ıl´e,
b) prvn´ı koule je b´ıl´a a druh´a ˇcern´a,
c) prvn´ı koule je ˇcern´a a druh´a b´ıl´a,
d) jedna koule bude ˇcern´a a druh´a b´ıla, pˇriˇcemˇz nez´aleˇz´ı na jejich poˇrad´ı,
e) druh´a vytaˇzen´a koule je b´ıl´a.
h
a) p = a(a¡1)(a+b)(a+b¡1); b) p = ab(a+b)(a+b¡1); c) p = ab(a+b)(a+b¡1); d) p = 2ab(a+b)(a+b¡1);
e) p = a(a+b¡1)(a+b)(a+b¡1) = a(a+b):
i
Pˇr´ıklad 4.18. V osud´ı jsou 3 koule b´ıl´e a 5 koul´ı ˇcern´ych. Vyt´ahneme dvakr´ate po
sobˇe vˇzdy po jedn´e kouli a prvn´ı kouli nevr´at´ıme zpˇet. Jak´a je pravdˇepodobnost,
ˇze druh´a vytaˇzen´a koule je b´ıl´a?
[3=8:]
Pˇr´ıklad 4.19. V osud´ı je a koul´ı b´ıl´ych a b koul´ı ˇcern´ych. Vyt´ahneme k-kr´at po
sobˇe vˇzdy po jedn´e kouli, pˇriˇcemˇz po ˇz´adn´em tahu kouli nevr´at´ıme zpˇet. Urˇcete
pravdˇepodobnost, ˇze posledn´ı vytaˇzen´a koule je b´ıl´a.h
p = a(a+b¡1)(a+b¡2):::(a+b¡k+1)(a+b)(a+b¡1)(a+b¡2):::(a+b¡k+1) = a(a+b):
i
18
Pˇr´ıklad 4.20. Narozeniny k lid´ı pˇredstavuj´ı v´ybˇer s opakov´an´ım rozsahu k ze sou-
boru vˇsech dn˚u v roce. Roky nemaj´ı stejnou d´elku, a v´ıme, ˇze porodnost bˇehem
roku nez˚ust´av´a st´al´a. Nicm´enˇe v prvn´ım pˇribl´ıˇzen´ı je moˇzn´e pˇredpokl´adat, ˇze
v roce je 365 dn˚u a uvaˇzovat n´ahodn´y v´ybˇer lid´ı m´ısto n´ahodn´eho v´ybˇeru dn˚u
narozenin. Pˇri tˇechto pˇredpokladech urˇcete pravdˇepodobnost toho, ˇze vˇsech k dn˚u
narozenin je v r˚uzn´ych dnech. £
p = 365¡k365!=(365¡k)!:⁄
Pˇr´ıklad 4.21. Pˇredpokl´adejme, ˇze se 3 lid´e setkali zcela n´ahodnˇe. Urˇcete pravdˇe-
podobnost, ˇze
a) nemaj´ı narozeniny spoleˇcnˇe v 1 den (kaˇzd´y m´a narozeniny v jin´y den v
roce),
b) alespoˇn 2 osoby z tˇechto 3 maj´ı narozeniny spoleˇcnˇe v 1 den,
c) pr´avˇe 2 osoby z tˇechto 3 maj´ı narozeniny spoleˇcnˇe v 1 den.
Pozn.: pˇrestupn´y rok neuvaˇzujte. £
a) 0;9918; b) 0;0082; c) 8;197¢10¡3:⁄
Pˇr´ıklad 4.22. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze pˇri souˇcasn´em hodu ˇsesti kostkami
padne
a) na kaˇzd´e kostce jin´e ˇc´ıslo,
b) sam´e jedniˇcky,
c) pr´avˇe pˇet jedniˇcek,
d) pr´avˇe ˇctyˇri jedniˇcky,
e) alespoˇn ˇctyˇri jedniˇcky,
f) sam´a lich´a ˇc´ısla,
g) vˇsechna ˇc´ısla stejn´a,
h) pr´avˇe k jedniˇcek.
£a) 6!
66; b)
1
66; c)
5
65; d)
375
66 ; e)
406
66 ; f)
1
26; g)
1
65; h)
¡6
k
¢56¡k:⁄
Pˇr´ıklad 4.23. Ve skupinˇe student˚u je 7 muˇz˚u a 4 ˇzeny. Jak´a je pravdˇepodobnost,
ˇze v sestaven´em ˇsestiˇclenn´em volejbalov´em t´ymu budou alespoˇn dvˇe ˇzeny?
[0:803:]
19
Pˇr´ıklad 4.24. Pep´ık dostal s´aˇcek s deseti bonony, z nichˇz bylo pˇet ovocn´ych a pˇet
mentolov´ych. Ze s´aˇcku n´ahodnˇe vybral ˇsest bonbon˚u, kter´e rozdˇelil kamar´ad˚um.
Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze mezi nimi byly dva mentolov´e? £
5
21:
⁄
Pˇr´ıklad 4.25. V urnˇe je 6 ˇcerven´ych, 3 modr´e a 3 b´ıl´e koule. Vyt´ahneme 4 koule.
Urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze
a) vˇsechny 4 koule budou ˇcerven´e,
b) 3 koule budou ˇcerven´e a 1 modr´a,
c) 2 koule budou ˇcerven´e, 1 modr´a a 1 b´ıl´a.
[a) 0;030; b) 0;121; c) 0;273:]
Pˇr´ıklad 4.26. Z 52 hrac´ıch karet n´ahodnˇe vybereme 13 karet. Stanovte pravdˇepo-
dobnost, ˇze mezi tˇemito kartami bude 5 ˜, 4 |, 3 } a 1 ~.£¡
13
5
¢¡13
4
¢¡13
3
¢¡13
1
¢=¡52
13
¢:⁄
Pˇr´ıklad 4.27. Pˇri bridˇzi obdrˇz´ı hr´aˇc 13, pˇri pokru 5 z 52 hrac´ıch karet. Urˇcete
pravdˇepodobnost toho, ˇze hr´aˇc a) bridˇze b) pokru dostane karty r˚uzn´ych hodnot
(barvy karet se mohou shodovat).£
a) 413=¡5213¢ := 0;0001057; b) 45¡135¢=¡525¢ := 0;5071:⁄
Pˇr´ıklad 4.28. V osud´ı je a koul´ı b´ıl´ych a b koul´ı ˇcern´ych. Jedn´ım tahem vyt´ah-
neme (fi + fl) koul´ı. Urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze vyt´ahneme pr´avˇe fi b´ıl´ych a fl
ˇcern´ych koul´ı. h
p = ¡afi¢¡bfl¢–¡a+bfi+fl¢:
i
Pˇr´ıklad 4.29. V osud´ı je n l´ıstk˚u oˇc´ıslovan´ych ˇc´ısly 1;2;:::;n. Vyt´ahneme na-
jednou m l´ıstk˚u. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze mezi vytaˇzen´ymi l´ıstky bude k l´ıstk˚u
oznaˇceno pˇredem dan´ymi ˇc´ısly? h
p = ¡kk¢¡n¡km¡k¢–¡nm¢:
i
Pˇr´ıklad 4.30. ´Upln´a sada 32 karet je rozd´ana mezi 4 hr´aˇce. Jak´a je pravdˇepodobnost,
ˇze jeden urˇcit´y hr´aˇc m´a
a) vˇsechna 4 esa,
b) 2 esa a 1 kr´ale,
c) 3 zelen´e a 2 ˇcerven´e karty?
[a) 0;002; b) 0;097; c) 0;083:]
20
Pˇr´ıklad 4.31. Pokud se nauˇc´ıte ke zkouˇsce z 50 ot´azek pouze 25, jakou m´ate
pravdˇepodobnost, ˇze ze tˇr´ı vytaˇzen´ych ot´azek budete zn´at
a) vˇsechny 3,
b) pr´avˇe 2?
[a) 0;117; b) 0;383:]
Pˇr´ıklad 4.32. V tombole na plesu bylo prod´ano 960 los˚u a je pˇripraveno 20
vˇecn´ych cen. Pokud jste zakoupili 5 los˚u, s jakou pravdˇepodobnost´ı vyhrajete
a) 1 cenu,
b) alespoˇn 1 cenu?
c) Vysvˇetlete, proˇc je pravdˇebodobnost pod a) menˇs´ı neˇz pod b).
[a) 0;096; b) 0;100:]
Pˇr´ıklad 4.33. Ve Sportce se z osud´ı obsahuj´ıc´ıho 49 ˇc´ısel losuje bez vracen´ı 6
ˇc´ısel. S´azej´ıc´ı oznaˇc´ı na s´azence 6 ˇc´ısel. Jak´a je pravdˇepodobnost
a) v´yhry v 1. poˇrad´ı (uh´adnut´ı vˇsech 6 vylosovan´ych ˇc´ısel),
b) v´yhry v 5. poˇrad´ı (uh´adnut´ı 3 vylosovan´ych ˇc´ısel),
c) ˇze s´azej´ıc´ı neuh´adne ˇz´adn´e vylosovan´e ˇc´ıslo?
£a) 7;151¢10¡8; b) 1;765¢10¡2; c) 0;436:⁄
Pˇr´ıklad 4.34. V dod´avce 100 kus˚u stoln´ıch ventil´ator˚u je 5 vadn´ych. Ke kont-
role t´eto dod´avky vybereme n´ahodnˇe 4 kusy. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze mezi
kontrolovan´ymi ventil´atory
a) nebude ˇz´adn´y vadn´y,
b) bude 1 vadn´y,
c) bude alespoˇn 1 vadn´y?
[a) 0;812; b) 0;176; c) 0;188:]
Pˇr´ıklad 4.35. Bedna obsahuje 90 dobr´ych a 10 vadn´ych souˇc´astek. Urˇcete prav-
dˇepodobnost toho, ˇze mezi 10 vybran´ymi souˇc´astkami nen´ı ˇz´adn´a vadn´a.£
90!
80!
–100!
90!
:= 0;330476:⁄
21
Pˇr´ıklad 4.36. (Odhad velikosti populace) Pˇredpokl´adejme, ˇze z rybn´ıku bylo vy-
loveno tis´ıc ryb, kter´e byly n´aslednˇe oznaˇceny barvou a vypuˇstˇeny zpˇet. Pˇri dalˇs´ım
odlovu tis´ıce ryb se uk´azalo, ˇze sto z nich bylo oznaˇcen´ych. Z pozorovan´eho
v´ysledku odhadnˇete nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı velikost populace ryb v rybn´ıku.
[ Oznaˇcme n nezn´am´y poˇcet ryb
v rybn´ıku. Ze zad´an´ı je zˇrejm´e, ˇze n ‚ 1900. Pravdˇepodobnost, ˇze v druh´em v´ylovu bylo
100 oznaˇcen´ych ryb je p100(n) = ¡1000100¢¡n¡1000900 ¢=¡ n1000¢. Nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı poˇcet ryb
v rybn´ıku zjist´ıme maximalizac´ı pravdˇepodobnosti p100(n). Hled´ame nejvˇetˇs´ı n pro kter´e
pomˇer p100(n)=p100(n¡ 1) = (n¡ 1000)2n¡1(n¡ 1900)¡1 ‚ 1. Tedy sledovan´y jev
m´a nejvˇetˇs´ı pravdˇepodobnost pro n = 10000.]
Pˇr´ıklad 4.37. Technick´a kontrola provˇeˇruje v´yrobky ze sady skl´adaj´ıc´ı se z m
v´yrobk˚u prvn´ıho druhu a n v´yrobk˚u druh´eho druhu. Zkouˇska prvn´ıch b v´yrobk˚u
(b < n) n´ahodnˇe vybran´ych ze sady uk´azala, ˇze vˇsechny byly druh´eho druhu.
Urˇcete pravdˇepodobnost toho, ˇze mezi dalˇs´ımi dvˇema v´yrobky vybran´ymi z dosud
neprovˇeˇren´ych nejv´yˇse jeden v´yrobek bude druh´eho druhu.h
1¡¡m2¢=¡m+n¡b2 ¢: Odeˇc´ıtan´y v´yraz je pravdˇepodobnost´ı, ˇze oba v´yrobky jsou prvn´ıho
druhu.
i
Pˇr´ıklad 4.38. Hod´ıme n-kr´at po sobˇe jednou hrac´ı kostkou. Jak´a je pravdˇepodob-
nost, ˇze alespoˇn v jednom hodu padne ”ˇsestka”? £
p = 1¡¡56¢n :⁄
Pˇr´ıklad 4.39. H´az´ıme n-kr´at po sobˇe dvˇema kostkami. Jak´a je pravdˇepodobnost,
ˇze alespoˇn pˇri jednom hodu padne souˇcet 12? £
p = 1¡¡3536¢n :⁄
Pˇr´ıklad 4.40. Kolikr´at mus´ıme h´azet hrac´ı kostkou, aby prvn´ı padnut´ı ”ˇsestky”
mˇelo pravdˇepodobnost a) vˇetˇs´ı neˇz 0,5 b) vˇetˇs´ı neˇz 0,8 c) vˇetˇs´ı neˇz 0,9?£
a) 1¡¡56¢n > 0:5;n ‚ 4; b) n ‚ 9; c) n ‚ 13:⁄
Pˇr´ıklad 4.41. Kolikr´at mus´ıme h´azet dvˇema hrac´ımi kostkami, abychom s prav-
dˇepodobnost´ı vˇetˇs´ı neˇz 1/2 oˇcek´avali, ˇze aspoˇn jednou padne souˇcet ok rovn´y 12?£
1¡¡3536¢n ‚ 0:5;n ‚ 25:⁄
Pˇr´ıklad 4.42. Kolika zp˚usoby m˚uˇzeme ˇctyˇrem dˇetem rozdat 10 r˚uzn´ych duhov´ych
kuliˇcek tak, aby Jirka dostal pr´avˇe 3 kuliˇcky? £¡
10
3
¢4¡10(3)7:⁄
Pˇr´ıklad 4.43. Uvaˇzujme rozm´ıstˇen´ı k koul´ı do n osud´ı. Urˇcete pravdˇepodobnost
toho, ˇze pˇredem vybran´e osud´ı obsahuje pr´avˇe r koul´ı. h¡
k
r
¢n¡k(n¡1)k¡r:i
22
Pˇr´ıklad 4.44. Pˇri bridˇzi je vˇsech 52 hrac´ıch karet rozdˇeleno ˇctyˇrem hr´aˇc˚um. Sta-
novte pravdˇepodobnost, ˇze kaˇzd´y hr´aˇc dostane jedno eso.h
4! 48!(12!)4– 52!(13!)4 = 0;105:
i
Pˇr´ıklad 4.45. Skupina se skl´ad´a z 5 muˇz˚u a 10 ˇzen. Urˇcete pravdˇepodobnost toho,
ˇze pˇri jejich n´ahodn´em rozdˇelen´ı do 5 skupin po tˇrech lidech bude v kaˇzd´e skupinˇe
muˇz.
[ Pˇri rozdˇelov´an´ı 15 lid´ı do 5 trojic je moˇzno
prvn´ı trojici vybrat ¡153¢ zp˚usoby, druhou ¡123¢, atd... Tedy vˇsech uskupen´ı do 5 trojic je¡
15
3
¢¡12
3
¢¡9
3
¢¡6
3
¢¡3
3
¢ = 15!=(3!)5. Podobnou ´uvahou zjist´ıme, ˇze existuje ¡10
2
¢¡8
2
¢¡6
2
¢¡4
2
¢¡2
2
¢
seskupen´ı 10 ˇzen do 5 dvojic, pˇriˇcemˇz ke kaˇzd´emu seskupen´ı je moˇzno pˇridat libovolnou
z permutac´ı 5 muˇz˚u, tj. p = 10!5!(3!)5=(2515!) = 81=1001:⁄
Pˇr´ıklad 4.46. Devˇet cestuj´ıc´ıch n´ahodnˇe nastoup´ı do tˇr´ı vag´on˚u. Kaˇzd´y cestuj´ıc´ı
zvol´ı vag´on n´ahodnˇe a nez´avisle na ostatn´ıch cestuj´ıc´ıch. Jak´a je pravdˇepodobnost
toho, ˇze
a) v kaˇzd´em vag´onˇe sed´ı 3 cestuj´ıc´ı,
b) v jednom vag´onˇe sed´ı 4, v druh´em 3 a ve tˇret´ım 2 cestuj´ıc´ı?
h
a) p = 9!(3!)339; b) 9!4!3!2!39:
i
Pˇr´ıklad 4.47. ˇCtyˇri studenti si na st˚ul poloˇzili ˇctyˇri sklenice s v´ınem. Po chv´ıli se
ke stolu vr´atili a sklenice si vzali n´ahodnˇe. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze alespoˇn
jeden z nich si vzal svoji sklenici?
[0:625:]
Pˇr´ıklad 4.48. V osud´ı je r koul´ı oˇc´ıslovan´ych ˇc´ısly 1;2;:::;r. T´ahneme n-kr´at
po sobˇe po jedn´e kouli, pˇriˇcemˇz kaˇzdou vytaˇzenou kouli vrac´ıme zpˇet. Jak´a je
pravdˇepodobnost, ˇze souˇcet ˇc´ısel, jimiˇz jsou vytaˇzen´e koule oˇc´ıslov´any, je roven
ˇc´ıslu s? (n • s • nr) [Spoˇctˇete koeficient u mocniny xs v polynomu (x + x2 +
:::+xr)n] h
p = 1rn Pki=0¡ni¢¡s¡ir¡1n¡1 ¢(¡1)i; kde k = [s¡nr ]:
i
Pˇr´ıklad 4.49. V osud´ı je n koul´ı oˇc´ıslovan´ych ˇc´ısly 1;2;:::;n. Vyt´ahneme n-
kr´at po sobˇe po jedn´e kouli, pˇriˇcemˇz vytaˇzen´e koule nevrac´ıme zpˇet. Osud´ı tedy
vypr´azdn´ıme. ˇRekneme, ˇze pro kouli s ˇc´ıslem i nastane setk´an´ı, pokud ji vyt´ahne-
me pr´avˇe v i-t´em tahu. Urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze
a) pro kouli s ˇc´ıslem i nenastane setk´an´ı,
b) ani pro kouli s ˇc´ısle i ani pro kouli s ˇc´ıslem k nenastane setk´an´ı, i 6= k.
23
h
a) p = n!¡(n¡1)!n! = 1¡ 1n; b) p = n!¡2(n¡1)!+(n¡2)!n! = 1¡ 2n + 1n(n¡1):
i
Pˇr´ıklad 4.50. Z bal´ıˇcku 52 karet n´ahodnˇe vybereme 6 karet. Urˇcete pravdˇepo-
dobnost toho, ˇze mezi tˇemito kartami budou z´astupci vˇsech ˇctyˇrech barev.
[ Pravdˇepodobnost, ˇze mezi 6 kartami nejsou ani jednou ˜, je rovna ¡396¢=¡526¢. To
je pravdˇepodobnost nepˇr´ıtomnosti karet jedn´e libovoln´e barvy. Tedy pravdˇepodobnost,
ˇze mezi 6 kartami nen´ı nˇejak´a barva, je rovna 4¡396¢=¡526¢. Pravdˇepodobnost, ˇze nejsou
zastoupeny dvˇe dan´e barvy, je¡266¢=¡526¢, ˇze nejsou zastoupeny tˇri dan´e barvy je¡136¢=¡526¢.
Celkem p = 1¡4¡396¢=¡526¢+6¡266¢=¡526¢¡4¡136¢=¡526¢:⁄
4.2 Geometrick´a pravdˇepodobnost
Pˇr´ıklad 4.51. Hodiny, kter´e je tˇreba natahovat, se zastavily. Jak´a je pravdˇepodobnost,
ˇze se velk´a ruˇciˇcka
a) zastavila mezi ˇsestkou a osmiˇckou
b) nezastavila mezi trojkou a pˇetkou
c) zastavila pˇresnˇe na dvan´acti
[a) 1=6; b) 5=6; c) 0:]
Pˇr´ıklad 4.52. Proti s´ıti se ˇctvercov´ymi oky o stranˇe 8 cm je kolmo hozen m´ıˇcek
o pr˚umˇeru 5 cm. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze m´ıˇcek prolet´ı s´ıt´ı?
[0:141:]
Pˇr´ıklad 4.53. V obd´eln´ıku o rozmˇerech 10 x 15 je zakreslena kruˇznice o polomˇeru
4 a ˇctverec o stranˇe 4. V obd´eln´ıku zvol´ıme n´ahodnˇe bod N. Urˇcete pravdˇepodobnost
toho, ˇze tento bod
a) leˇz´ı uvnitˇr kruˇznice,
b) neleˇz´ı uvnitˇr ˇctverce.
[a) 0;335; b) 0;893:]
Pˇr´ıklad 4.54. V´yskyt n´ahodn´ych ˇc´ısel lze simulovat na poˇc´ıtaˇc´ıch pomoc´ı tzv.
gener´atoru pseudon´ahodn´ych ˇc´ısel (jedn´a se o umˇelou tvorbu n´ahodn´ych ˇc´ısel).
Pˇredpokl´adejme, ˇze nech´ame vygenerovat pseudon´ahodn´a ˇc´ısla rovnomˇernˇe roz-
loˇzen´a do intervalu (0;1); v´yskyt kaˇzd´eho ˇc´ısla z tohoto intervalu je tedy stejnˇe
moˇzn´y. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze posledn´ı ˇc´ıslo z 50 vygenerovan´ych ˇc´ısel
a) bude z intervalu (0,3; 0,5),
24
b) bude vˇetˇs´ı neˇz 0,7?
[a) 0;2; b) 0;3:]
Pˇr´ıklad 4.55. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze souˇcet dvou n´ahodnˇe zvolen´ych klad-
n´ych ˇc´ısel, z nichˇz ˇz´adn´e nen´ı vˇetˇs´ı neˇz jedna, bude nejv´yˇse roven jedn´e a jejich
souˇcin nebude vˇetˇs´ı neˇz 29?£
› = f[x;y]j0 • x • 1; 0 • y • 1g; A = f[x;y]j[x;y] 2 ›; x+y • 1; xy • 29g;
p := 0;487:]
Pˇr´ıklad 4.56. V kruhu o polomˇeru r se v dan´em smˇeru vedou tˇetivy. Vˇsechny
pr˚useˇc´ıky tˇetiv s pr˚umˇerem kolm´ym k dan´emu smˇeru jsou stejnˇe moˇzn´e. Jak´a je
pravdˇepodobnost, ˇze d´elka n´ahodnˇe zvolen´e tˇetivy je nejv´yˇse r?£
p = 1¡ 12p3 := 0;134:⁄
Pˇr´ıklad 4.57. Mezi dvˇema stanoviˇstˇemi, vzd´alen´ymi od sebe 600 metr˚u, je nataˇzen´y
telefonn´ı kabel. Urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze bod, ve kter´em doˇslo k pˇreruˇsen´ı ka-
belu, bude od prvn´ıho stanoviˇstˇe vzd´alen
a) v´ıce neˇz 75 metr˚u
b) nejv´yˇse 100 metr˚u
[a) 0:875; b) 0:167:]
Pˇr´ıklad 4.58. N´akladn´ı auto voz´ı nˇekolikr´at dennˇe cement z cement´arny na 20km
vzd´alen´e staveniˇstˇe. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze v pˇr´ıpadˇe poruchy z˚ustane auto
st´at
a) nejd´ale 4 km od cement´arny nebo staveniˇstˇe
b) v´ıce neˇz 8 km od cement´arny nebo staveniˇstˇe
[a) 0:4; b) 0:2:]
Pˇr´ıklad 4.59. Na ´useˇcce o d´elce l se n´ahodnˇe um´ıst´ı dva body tak, ˇze se ´useˇcka
rozdˇel´ı na tˇri ˇc´asti. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, ˇze z tˇr´ı vznikl´ych ´useˇcek lze
sestavit troj´uheln´ık.
[Oznaˇcme x; y d´elky dvou ´useˇcek. › = f[x;y]j0 • x+y • lg;
A = f[x;y]j[x;y] 2 ›; x • l=2; y • l=2; x+y ‚ l=2g; p = 0;25:]
Pˇr´ıklad 4.60. Jak´a je pravdˇepodobnost toho, ˇze z tˇr´ı n´ahodnˇe zvolen´ych ´useˇcek,
dlouh´ych nejv´yˇse l, bude moˇzno sestrojit troj´uheln´ık?
[Oznaˇcme x; y; z d´elky ´useˇcek. › = f[x;y;z]j0 • x • l; 0 • y • l; 0 • z • lg;
A = f[x;y;z]j[x;y;z] 2 ›; x+y ‚ z; x+z ‚ y; y +z ‚ xg; p = 0;5:]
25
Pˇr´ıklad 4.61. Dva parn´ıky mus´ı pˇrirazit k t´emuˇz pˇr´ıstaviˇsti. Pˇr´ıjezdy obou parn´ık˚u
jsou nez´avisl´e a stejnˇe moˇzn´e bˇehem cel´eho dne. Urˇcete pravdˇepodobnost toho,
ˇze jeden z parn´ık˚u bude muset ˇcekat na uvolnˇen´ı pˇr´ıstaviˇstˇe, jestliˇze prvn´ı parn´ık
stoj´ı v pˇr´ıstaviˇsti jednu hodinu a druh´y dvˇe hodiny.
[Oznaˇcme x; y doby pˇr´ıjezdu parn´ık˚u. › = f[x;y]j0 • x • 24; 0 • y • 24g;
A = f[x;y]j[x;y] 2 ›; y ¡x • 1; x¡y • 2g: p = 0;121:]
Pˇr´ıklad 4.62. Na ˇzelezniˇcn´ı trati se prov´ad´ı opravy, takˇze vlaky m˚uˇzou jezdit
pouze po jedn´e koleji. Dva vlaky jedouc´ı v opaˇcn´em smˇeru, mohou t´ımto ´usekem
projet v pr˚ubˇehu tˇriceti minut v kteroukoli dobu se stejnou pravdˇepodobnost´ı.
Urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze jeden vlak nebude muset ˇcekat na druh´y, potˇrebuje-li
prvn´ı vlak na projet´ı cel´eho ´useku pˇet minut a druh´y vlak tˇri minuty.
[0:752:]
Pˇr´ıklad 4.63. Dvˇe osoby se dohodly, ˇze se setkaj´ı na stanoven´em m´ıstˇe mezi 17. a
18. hodinou. Ten, kdo pˇrijde jako prvn´ı, poˇck´a na toho druh´eho 15 minut a potom
odejde. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze se setkaj´ı, je-li pˇr´ıchod obou v libovoln´em
okamˇziku dohodnut´eho intervalu stejnˇe moˇzn´y?
[7=16:]
Pˇr´ıklad 4.64. Dvˇe osoby maj´ı stejnou pravdˇepodobnost, ˇze pˇrijdou nez´avisle na
sobˇe na dohodnut´e m´ısto v libovoln´em okamˇziku ˇcasov´eho intervalu T. Jak´a je
pravdˇepodobnost, ˇze jeden ˇclovˇek bude ˇcekat na druh´eho nejv´yˇse po dobu t?£
1¡(T¡tT )2:⁄
Pˇr´ıklad 4.65. Na zast´avku pˇrij´ıˇzd´ı autobus linky A kaˇzd´ych 15 min. a autobus
linky B kaˇzd´ych 20 min. Urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze od okamˇziku, kdy cestuj´ıc´ı
pˇrijde na tuto zast´avku, pˇrijede
a) autobus A dˇr´ıve neˇz autobus B,
b) autobus A nebo autobus B do 5 minut.
[a) 5=8; b) 1=2:]
Pˇr´ıklad 4.66. (Buffonova ´uloha) V rovinˇe jsou nar´ysov´any rovnobˇeˇzky, jejichˇz
vzd´alenost je L. Urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze n´ahodnˇe vrˇzen´a jehla d´elky l (l < L)
protne kteroukoliv pˇr´ımku.
[Oznaˇcme x vzd´alenost jehly od nejbliˇzˇs´ı pˇr´ımky,
’ ´uhel, kter´y sv´ır´a jehla s touto pˇr´ımkou. › = f[x;’]j 0 • x • L=2; 0 • ’ • …g;
A = f[x;’]j[x;’] 2 ›; x • (l=2)sin’g; p = 2lL…:⁄
26
4.3 Podm´ınˇen´a pravdˇepodobnost
Pˇr´ıklad 4.67. Hod´ıme dvˇemi hrac´ımi kostkami. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze padla
alespoˇn jedna ˇsestka, kdyˇz v´ıme, ˇze souˇcet ok padl´ych na 1. a 2. kostce je 8?
[2=5]
Pˇr´ıklad 4.68. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze pˇri hodu dvˇema kostkami padly dvˇe
pˇetky, je-li zn´amo, ˇze souˇcet ok je dˇeliteln´y pˇeti?
[1=7]
Pˇr´ıklad 4.69. Z osud´ı, ve kter´em je m b´ıl´ych a n ˇcern´ych koul´ı, vyt´ahneme po-
stupnˇe bez vracen´ı dvˇe koule. Zjistili jsme, ˇze prvn´ı vytaˇzen´a koule je b´ıl´a. Jak´a
je pravdˇepodobnost, ˇze druh´a vytaˇzen´a koule bude tak´e b´ıl´a? h
m¡1
m+n¡1
i
Pˇr´ıklad 4.70. Zjistili jsme, ˇze pˇri hodu deseti hrac´ımi kostkami padla aspoˇn jedna
jedniˇcka. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze padly 2 anebo v´ıce jedniˇcek?h
610¡3¢510
610¡510
:= 0;615i
Pˇr´ıklad 4.71. Dokaˇzte, ˇze jsou-li A a B nesluˇciteln´e jevy a P(A[B) 6= 0, pak
P(AjA[B) = P(A)P(A)+P(B):
Pˇr´ıklad 4.72. Necht’ P(AjB) = 0;7, P(AjB) = 0;3, P(BjA) = 0;6. Vypoˇctˇete
P(A).
[21=46]
Pˇr´ıklad 4.73. Firma odeb´ır´a stejn´e v´yrobky od dvou dodavatel˚u. Od prvn´ıho do-
davatele odeb´ır´a mˇes´ıˇcnˇe 8000 v´yrobk˚u, ze kter´ych je 10% vadn´ych. Od druh´eho
dodavatele odeb´ır´a mˇes´ıˇcnˇe 2000 v´yrobk˚u, ze kter´ych je 5% vadn´ych. Jak´a je
pravdˇepodobnost, ˇze n´ahodnˇe vybran´y v´yrobek z mˇes´ıˇcn´ı dod´avky je vadn´y a
poch´az´ı
a) od prvn´ıho dodavatele,
b) od druh´eho dodavetele.
[a) 0:08; b) 0:01]
Pˇr´ıklad 4.74. Ze sedmi v´yrobk˚u jsou tˇri vadn´e. N´ahodnˇe vybereme dva v´yrobky.
Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze jsou
a) oba kvalitn´ı,
b) pr´avˇe jeden vadn´y,
27
c) oba vadn´e?
[a) 2=7; b) 4=7; c) 1=7]
Pˇr´ıklad 4.75. V osud´ı je deset koul´ı oˇc´ıslovan´ych ˇc´ısly 0;1;:::;9. N´ahodnˇe vy-
bereme jednu kouli, poznamen´ame jej´ı ˇc´ıslo a kouli nevr´at´ıme zpˇet. Stejn´ym
zp˚usobem vybereme i druhou a tˇret´ı kouli. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze dosta-
neme ˇc´ıslo 253?
[1=720]
Pˇr´ıklad 4.76. Z osud´ı, ve kter´em je 6 b´ıl´ych a 4 ˇcern´e koule, vybereme tˇrikr´at
bez vracen´ı po jedn´e kouli. Oznaˇcme A1 jev: ”1. vybran´a koule je ˇcern´a”, A2
jev: ”2. vybran´a koule je b´ıl´a”, A3 jev: ”3. vybran´a koule je ˇcern´a”. Vypoˇctˇete
pravdˇepodobnost spoleˇcn´eho nastoupen´ı jev˚u A1; A2; A3.
[0:1]
Pˇr´ıklad 4.77. Z karetn´ı hry o 32 kart´ach vytahujeme postupnˇe 6 kr´at po sobˇe
bez vracen´ı po jedn´e kartˇe. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze des´ıtka bude taˇzena aˇz v
posledn´ım tahu?
[0:0723]
Pˇr´ıklad 4.78. Ke kulat´emu stolu, kde je 2n m´ıst, si n´ahodnˇe posed´a n muˇz˚u a n
ˇzen.