Tahák na kmitání

9 Kmitání lineárních diskrétních soustav
s jedním stupněm volnosti
Kmitající linearní soustava se soustředěnými parametry je seskupení dvou nebo více jed-
noduclých (diskrétních), vzájemné vázaných prvků, které modelují určité specifické vlastnosti
a jejichž odezva je lineárně závislá na buzení. Ve skutečné soustavě jsou hmotnost, tlumení a
tuhost (poddajnost) spojitě rozloŽeny. V mnoha případech je však možno poměrně přesně mo.
delovat skutečnou soustavu diskrétními prvky, kterým přisuzujeme vždy pouze jednu vlastnost.
Tyto prvky jsou hrnota (dokonale tuhá, ve které nedochází k útlumu), pružina (nehmotná,
nedochází v ní k útlumu) a tlumič (nehmotný a'nepoddajný).
Převážně řešíme malé kmity soustavy, ke kterým dojde po jejím vychýIení ze statické rov-
novážné polohy. Kmitání může nastat pouze kolem stabilní rovnovážné polohy. otázkou
stability se budeme zabývat v Mechanice C' Kmitavý pohyb soustavy je podmíněn exis-
tencí direkční síly, která působí na soustavu vychýlenou ze statické rovnovážné polohy tak'
že se snaží ji vrátit do rovnovážné polohy a její velikost se zvětšuje v závislosti na výchylce
z rovnováŽné polohy. Direkční síla může být síIa v pružině, vztlaková síla, tíhová síIa, elek-
tromagnetická síla apod. Na soustavu dále působí síly v tlumičích (většinou kapalinových
viskózních, ale také třecích nebo elektromagnetických).
Tyto soustavy můžeme dělit podle počtu stupňů volnosti: s jedním stupněm volnosti, se
dvěma' , . , s n stupni volnosti, ale také podle převažujícího druhu pohybu: podélné kmitání,
kroutivé (torzní), ohybové a krouživé kmitání. Dále rozlišujeme volné kmitání (kdy jsou
soustavě uděleny počáteční podmínky a dáIe je ponechána v pohybu bez účinků buzení) a
vynucené kmitání (kdy je pohyb soustavy způsoben nějakým buzením: rázy, pohybujícími se
hmotami, rotací nevyvážených hmot, proměnlivýnr tlakem páry, plynu, větru atd., a soustava
je tímto buzením udržována v pohybu). S ohledem na tlumení dělíme soustavy na tlumené
a netlumené (přesněji řečeno na soustavy se zanedbatelným tlumením, neboé pohyb každé
reálné soustavy je tlumen).
U lineárních soustav platí zákon superpozice, který umožňuje získávat odezvu soustavy
najednotlivé složky buzení postupně a výslednou odezvu pak vyjádřit jako součet všech dílčích
řešení. Dále se omezíme pouze na soustavy s jedním stupněm voinosti. Soustavy se dvěma
stupni volnosti viz Mechanika C.
9.1 Vlastní pohybová rovnice
Všechny diskrétní soustavy s jedním stupněm volnosti lze popsat jedinou obecnou pohy-
bovou rovnicí (9.I2), která se pro jednotlivé případy liší jednak obecnou souřadnicí (délka.
úhel) a dále vyjádřením jednotlivých koeficientů. V závislosti na tom, jedná-ii se o kmitání
volné nebo vynucené, netlumené nebo tlumené' mohou být některé koeficienty v rovnici nu1ové.
Uveďme nyní čtyři příklady sestavení vlastní pohybové rovnice.
Příklad 9.1 Sestavte vlastní pohybovou rovnici podélného kmitání soustavy podle obr.
9.1, je-li dána hmotnost rn1 [kg], konstanta tuhosti pružiny k1 [Nm-l], volná délka pružiny
lo' [m] a časově proměnná budicí síla F1(Ú) [N]
Řešení. Soustavu uvolníme v obecné poloze, popsané souřadnicí z, a napíšeme Newtonovu
pohybovou rovnici do svislého směru
kterou upravíme do tvaru
ITL1z: Gt * Ft(Ú) _ Fo'
m1ž * k1z: Gl + n(t)'
(e 1)
(e 2)
Příklad 9.2 Sestavte vlastní pohybovou rovnici tělesa plovoucího na hladině kapaliny, po
jeho vychýIeni z rovnovážné polohy (obr. 9.2), za předpokladu, že změna výšky hladiny při
92
(g o)
(s o)
t6
.(+)w:ó|q + Ó,q + Ór
aJIu^oJ nu€JJs no^al €u IJ€^IJap tu'r:d oqa| e ó ura1qn s Íue12 eurapana4d Iuaz€sop od
oW_e1y_G)rn:Ót
a)€JoJ oso { IJIu^or no,roqÁqod n,l.ora1ng auaqrdeu € aJnolo{ dqo1od auz€^ou^oJ
9{3r}€}s po auI}{QIII ['rc14,ó tua1u auesdod .azo1od auoaqo ^ aulruIo^n n^€Jsnos .Iuasall
ř.6'Jqo t'6 'rqo
4 tq:rtr'q(l)W {-
,4, ,ť 6'o:o^ ,,5W
'e1laqpauez alap}{q qdqp"rd eu .,{qr1
"ln
.[*u] (l)7g ecrto,rp €^oIIs }Jlpnq euuaurord
Q^oS€? e [._pe:suIN] ]q luerunll ot{Iuzo{sl^ ]uolJgeo{.[,-pn'IIIN] ,ry alapl{q ]Soqn] IuZJoJ.acno1or1€
elapl{q at:1eur,{s aso aupa1ods a{ aJno}o't [zuB{] 1 llsou?€^J}es luoruoru u9p II-a|.t.6
.:qo a1pod .'{le1snos Iug}IuDÍ oqa^I]noJ{ IJIu^oJ no,l.oqdqod Iu}s€I^ o]^€}sas
t.6 p€I{}{d
(r o) .Íc:n64dV t 0,-
oJIu^oJ nu€JJs no^al €u á tctupe:nos as ueIJ aruapezlard e !. n1rs no^o{€Ilz^ €z arulpesoo
(e o) .iď_13-fi'Íu'
nJaTrrs oqalsr^s op rJru^oJ no,l.oqdqod n^ouol^\aN eruaqydeu
e Áurpe1q po nouaJoIII .á tctupe;nos auesdod .azo1od auJaqo
^ eululo^n osaIQJ
.IuaSalI
6'6'rqo I'6 'rqo
E Itu:lD
E,tdÁV:nd
(D'g
zI{:dď
.e1[n7ennau luaulnl; .[*_*Bl] 'td Íu{ede{ n}o]snq e
[,_sul]6 pa1qc,{:z 9^oIU1,|,-)
V BsaIQ} eup nqco1d .[B{] '- €saIQ1 tsouJolllq Í1-a1euz € gula1€qpauez et €saIQ} rua4ouod
llillillliillill
EI(u:lD (r)'g
Poznámka: Kotouč představuje pružně uložené těleso v prostoru. Takové těleso má šest
stupňů volnosti (například tři posuvy a tři rotace). Posuvu ve směru osy hřídele by odpo-
vídalo podéIné kmitání kotouče. Další dva posuvy kotouče by nastaly při ohybovém kmitání
kolem příčné vodorovné osy a příčné svislé osy. Při těchto dvou ohybových kmitáních do-
chází také k dvojímu natočení kotouče. Poslední stupeň volnosti odpovídá dříve uvažovanému
kroutivému kmitání. Počet stupňů volnosti je tedy dán naším modelem. V uvedeném příkladě
předpokládáme, že vlastní frekvence kroutivého kmitání je podstatně nižší, než frekvence od-
povídající podéInému a ohybovému kmitání aže tyto frekvence leží mimo rozsah našeho zájml,
Podobné úvahy platí i v jiných případech uvažovaných jako soustava s jedním stupněm vol_
nosti.
Příklad 9.4 Sestavte vlastní pohybovou rovnici váIečku o poloměru r, odvalujícího se
ve válcové ploše o poloměru .R (obr. 9.4), je-li dále dána hmotnost válečku mu a moment
setrvačnosti 15 válečku k ose jdoucí jeho středem hmotnosti. Předpokiádejte malé kmity kolem
statické rovnovážné polohy.
Řešení. VaIící se vá}eček má jeden stupeň volnosti a pohybuje se obecným rovinným po-
hybem. VáIeček uvolníme v obecné poloze, popsané úhlem p průvodiče jeho středu hmotnosti
S' a napíšeme plo něj Newton-Eulerovy pohybové rovnice
Tttv &St : -Tg - G Sin P
?7l1r0sr, : N - GCOSTP
ISa : Tor.
(e 7)
Útret p natočení válečku (natočení úsečky 73 oproti její původní poloze Z;s6) vyjádříme
pomocí úhlů ý a p' pro které platí podmínka valení rý : Rp,
Vlastní pohybovou rovnici získáme z poslední z rovnic (9.7), dosadíme-li do ní tečnou reakci
Tg vyjádřenou z první z rovnic (9'7) a zrychlení a31: Q'T
(Is + m,rz)a * Gr sinrp : Q. íq 0)
Nakonec dosadíme úhlové zrychlení o : B.Rovnice (9.9) je nelineární; pro malé úhly
(p < 5") lze provést její linearizaci (sin 9:9)
DP,.L tL- tu-v-Y--v-Y--Y,
rT
p_-
(/s + m,r2)'+,p + Gr?:0.
(e 8)
(e.10)
(e.12)
Všechny čtyři vlastní pohybové rovnice (9.2)' (9.4)' (9.6) a (9.10) lze zapsat ve tvaru jediné
obecné rovnice, která popisuje kmitání každé lineární soustavy s jedním stupněm voinosti se
soustředěnými parametrv
mi * bb + kr: Fk + F(Ú), (e 11)
kde r je obecná souřadnice, .Ft je konstantní síIa a F(ú) je časově proměnná budicí síla. Tato
rovnice se obvykle ještě převádí, vydělením celé rovnice konstantou m, do tvaru
i+zb,ai*a2r:&* F(t),Tn ?n
kde l. : *n : #,^ je bezrozměrný poměrný (relativní) útlum a o [s_1] : i* j"
vlastní úhlová frekvence netlumené soustavy. Vyjádření jednotlivých obecných výrazi
použitých v rovnicích (9.11) a (9'12) pro čtyři předchozí příklady je shrnuto v tabulce 9.1.
94
(gr o)
,,,- a,,r-^^ c,,lurAuLýJ) .7
(qr o)
q6
(" - "07 -ó0!)?'q - ('o2 - J + "o7).ry :Zrz'q - rrl{ : I"1 : l
.{rp,lou,to: Jru^oJ qe.{1cr1e1s as au.,(1d,,{,r, 'g truelts
I}soqn] o nut7n.rd Iup€Jq€u nouepa{q 9{€} € ut7nrd n^€}sllos tultu q-aunv11e7
z.Y + t.Y
-
cOr
Iz01z:1
1 roTt:1
(ýT 6)
(rT 6)
n{Tap noulo^ ruluaiB^r^)ia
,o? qcg{gp qcfqo.,t e zI e
arug^glsop n{lgp noulo^ Iuluole^t,r{a o.id ane:dg od e
(col - z0?) ery : (to7 - "0?) Iry
Ápe1
.jZl'óu-0Irlv * 'I
Íqe.l'ou,lo.r e{JI}€}s ez eura1qoddn no;a11 .a02
t}ru nopnq ;uelods od ..(ut7nrd 9u3?}1€ZoN 'q.6 n{zgJqo e1pod zo7 e
try qca1soqn1 o Áur7n;d auaze4 9u1a1e.red 9np Ípa1 aut[n7e,l.1
9'6 'rqo
'Ilsoqnl
ql'tueze4 aulo^oqlj n12od oq9ulo^oqll 1soqn] IuJuaI€AI^{a 1rqa4Án az1 r"rpedr4d no^p o]qJQ] }J€{
-r1de noudn}sod .qcgul7n"rd qc{uaz€{ Q^oIJ9S no^p €u 9}od € qcgur7nrd qc{uaze;9u1a1e:ed no'rp
eu a.t:d[au aura?€{n n1pod{,l. dn1so6 .n{I9p noulo^ Iu]ual€^u{a ;|a| 9>1e1 e ,{ur7nrd lup€Jqtsu
}soqn] }u]uale^rnle 111s1!z e,r:dlau 9upoq{'r aI n1epour nstdod iuaqnpoupoiz or4 .Qu€^oulquo{
oqau Quiapred .p.totras Áueze1 nosf a:a11 .;}soqn1 {Io{Qu a[n1d>1s..{l ols€? as qc-€^€tsnos A
rlsoqnl ruluale l^{a +a?odf^ z'6
0
()-\r\l-.t^lrl+sr)'.'--------''..-
0 0 rc 0 ťi Q, "u,l + 51) ó ý.6 p€I{}{d
L1,/'(---1o ITt \?) I^[ 0 ,:l In '1 ó t 6 p€I{}Id
0 6Ad v 0 I r'1 6r.d Y 0 r111 n e.6 p€I{}Id
0
LU,
Te (+)Ie t3 l:1 0 rv1 ž I.6 p€I]U{d
Jn l
r.U +)J1 Yr ',41 !Í q UI Ť ?uraqo
.T.6 €{inq?-
.}ug}]ur{ Ja]{€J"eqJ efng'rq.toau ap .1ug+1tu{ runÍ1uaJ.^Z1t eu.,{pe1 .nqoiod nou?B^ou.^. -
noIJIJ€]s eu aznod ^II^'iď €IIs ru]u€]suo{ 9III .a19p arurpr^n {€r .o +'q at }ug]1uD{ ulauotu:'.'
i{d B 0:'q a! ruauaurnl}au I{d .0 * (l)t ru9uecnuÁ,r i{d .0: (7)ď;1e1d 1u91ttu{ IIÍ9uIo^ i:-..(er
o) IJIu^oJ €u uapalqo S ^€?snos JuaIQpzoJ noupel q1pat aupalord t1s-e2 ot9? JQ^gz €N
a po roznásobení a úpravě
k.x -- k1x * kzx - krlot - kzloz * (kr + kz)Lo..
Součet posledních tří sčítanců ýrazu je s ohledem na (9.15) roven nule
lentní pružiny platí k":
kr * kz.
(e.17)
a pro tuhost ekviva-
(e.22)
(e.18)
Pro ekvivalentní volnou déIku dvou sériově řazených pružin (obr. 9.6) zřejmě platí
Jo": lor * loz. ío 1o)
Soustavu pružin a také hledanou náhradní pružinu o tuhosti k" opět zatižime stejnými silami
F a napíšeme rovnice pro statickou rovnováhu
F : k"t: kzÍ2: k111. (e.20)
Mezi deformací náhradní pružiny a deformacemi jednotlivých pružin platí podle obr. 9.6 vztah
x: xt * xz, (e.21)
který po dosazení z (9'20) za jednotlivé deformace ( : síla/tuhost) a vykrácení stejné síly F
upravíme do tvaru definujícího ekvivalentní tuhost
111
Il%- kt - h'
Obr. 9.6 Obr. 9.7
9.3 Volné kmitání netlumené soustavy
Uvažujme soustavu z příkladu 9.1 podle obr. 9.1; v označení vypuséme index 1 a před-
pokládejme, že budicí síla F'(ú) je nulová. Vlastní pohybová rovnice, získaná úpravou (9.2),
je
mž * kz: G. (e 23)
Rovnici vydělíme hmotností a zavedeme vlastní úhlovou frekvenci netlumené soustavy í2
ž+Q2z:9. (s.24)
Jedná se o nehomogenní diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty, která
má na pravé straně konstantu. Její obecné řešení bychom získali jako součet řešení homogenní
rovnice a partikularního řešení
ž-ž.L,
P
96
. hkztedy ke: ;-L.
h*kz
o:kz:k(x*2.,)
trl
I
G:mg
(e.25)
(gs o)
L6
.(0ó + lry)urs c: ]3iurs oósoD, + 1() sor oóUIS p: Í
LýulsosoJ+ ýsolouls: (a no)urs ] snurs o:doJJoz^ oqa^o}?nos rrr!\l?n e oósoc
c: B e 0óuts c:V av,Tef g e V 1.'L1'.'o1 ols}ur oóe c]u€lsuo{ qcÁ.l.ou lilIuapa^€Z.(re.o) aJIu^oJ aua.l.erdn z ada1 aurtpnosod nq,{qod Jal)Í€J€I{c
(qr 6) '?flurs # * ,7ssoc ox - r
(rs'o) 'l(.iursg +?usocv-r
(gz.o) aJIu^oJ Juaqa{ o.'au€?Sop ,g e V ,{ueirrstd uIs € soJ lJ{unJ dpn1qdrue q-oul?€uzo
(ee'o) 'tflurs (rC - rC)p + ?Osoc(rC + rC):r
nJ€^l op 7 Z' uTs ? + ? () Soc : , U,l+o a)JoZ^ tcoruod atulrerdn
,zsl-ozC I tupatC: r"razC + ,rrarC:,
(re o)
acru^oJ ruaqa{ guJeqo
U?+_Ú'Y
€IsI? 9{DI]sIJa}{€J€I{J nos| .{ua:o4 lIuI|ar
'0: ,U I ,Y(oe o)
IJIu^oJ no{JI}SIJa]{BJ€I{J aruastdeu e
\6(,6) 0:rzU+Q
u,L
I}sou]outi aurt1ppd,t IJIu^ou .(sz o) npg{ .z a3lu^oJ IuI€IJuaJaJIp IuJ€euIT IIIIueFa{ (uí,ro>11ac r
qpedt4d o]uo? n e) urpuaBoruoq ruÍu es aus'tett,tqe7.I}soulo^ tudn1s aJI^ s
^€Jsnos n a1!€I^Z.}uaqa{ tgnpoupalz grrrla;zoures aS uIIJ .Iug]TuI{ €J}uac t1nunsod Jqosr"rdz e:a14 .e1;s IuJu€Js
-uo>1 oqeutf QIuoD{ ;qosgd n^€}snos eu Áp>1 .qcepedr;d qc}Fl€p n t
1elodn1sod az1 ?uqopod
(826) '1:rq + f u,t
IJIu^oJ uuaBouoq eul€^9lsop
Iu9}Tlu{ auaunllau au1o.t ord € I9nJz I)Iu^oJ
^ o)u€llJs €^p rupalsod es (96.6) €u luapaF{o S
lL(,6) .c+t"zq_Ir_c*dď_:Qu)
.{qo1od
auz?^ou^oJ 9{JI}€]s po aua{Qlu .r acrupe.rnos urt1t^znod s l€D1o]ua} .d.l,e1snos IJIu^oJ no,roqÁq
-od tu1s.e1,l, noupaf q1qe[ aur.l.elsas'(l'6 ."rqo) Áqo1od au7gnou.toJ a{Jl}€ls po 1I{Q1II .,{,le1snos
tl11,(qc,(,l' Il-auapnq .aupedpo pruia1z €}u€}suo{ ol€J .c {rur po Áur7nrd ao€uJoJap
9)íJI}€}sI]So{IIe^ o d1ue1suo{ € lueEa{ oqtuuaBoruoq
z 9p9pis os npoq ol{9u]otuq (7)z o1dqc{n
' ?suoq : isz : ! :t^ : z? : oa7
CDD
ns€? € 1aunupod qcru2a1e2od lc)ÍunJ o{€! (8u.6) a3lu^oJ luaFa{ o.o.,Islz )Í€J .0 _ ? os'?
't (nse2e1pod (re o) ace.tr:ep) 11so1qcd: nqqqg:d op e (re o) op )íoulupod o1qcp1 .oruaz€sop a..,l?Jn
€re 1u .,{1ue1suo! '0p : (O)q e .tr : (O)r ,O :
/ r{)e{u}rupod qr;up.1gpoO ,, prryr ruagau
(et 6)
tgz 6)
atuau€?soo '(re.o) opIu3!a{
9uepe11odpa4d erurpesop 3 (0 : \dv. :odz) rueFa{ oqluJ€In{Ilred tcent:ap noqnJp e rurrrd
arua1rod,{,t el9o .odz n}u€Jsuo{ o>1eI auraup€qpo aJa}{ .tuaqer IuJ€In)ÍIu€d a,,r:d[au eurqa1dn
ll
Nové konstanty C a pg výpočteme ze vztahů
C : JA, + B, tg po (e.37)
Bod se pohybuje harmonickým pohybem (9.36) s amplitudou výchylky C [m], vlastní
úhlovou frekvencí netlumené soustavy í2 [rads_L] a fázovým úhlem cp6 [rad]' Peri-
oda (doba kmitu) harmonického netlumeného kmitání T[s] : f; a vlastní frekvence
netlumené soustavy (počet kmitů za vteřinu, kmitočet)
Í [H,) (e 38)
Obr. 9.8 Obr. 9.9
Průběh výchylky v závislosti na čase je nakreslen na obr. 9.8. První a druhou derivací
(9.36) podle času zjistíme, že i průběhy rychlosti a zrychlení jsou harmonické funkce času
u : CQ cos(í7 t * po) , a:-CQ2 sin(Ot*pů. (e.3e)
Amplituda rychlosti je CO a průběh rychlosti předbíhá průběh výchylky o rf2, amplituda
zrychlení je CQ2 a průběh zrychlení předbíhá průběh rychlosti o tl2 (a je tedy v protifázi k
výchylce). Znázornime-Ii výchylku, rychlost a zrychlení třemi vektoly' rovnoměrně rotujícími v
rovině úhlovou rychlostí í7 (obr. 9.9) a velikosti vektorů budou rovny příslušným amplitudám,
pak průměty těchto vektorů do svislé přímky udávají okamžitou velikost výchyiky, rychlosti
a zrychlení harmonického pohybu. Vyloučením času ze vzta\.ů pro výchylku a rychlost (s
využtím sin2(í7t + po) + cos2(at * Po) : 1) získáme fázovou trajektorii (závislost rychlosti
na výchylce)
A17:-
B
IA
T2r
íq 4n)
Je to rovnice elipsy (obr' 9.10) a její tvar je závislý na počátečních podmínkách.
Poznámka: Vlastní úhlovou frekvenci netiumené soustavy můžeme vypočítat i z energe-
tických poměrů. Uvažujme soustavu tvořenou hmotným bodem o hmotnosti m, pohybujícírn
se bez tření po podložce ve vodorovné rovině a pružinou o tuhosti ,k a volné déIce 16 (obr. 9.11).
Působící síIy jsou potenciální, soustava je tedy konzervativní a platí zákon zachování mecha-
nické energie. Udělíme-li soustavě libovolné nenulové počáteční podmínky, rozkmitá se okolo
centra kmitání, definovaného volnou délkou pružiny. V pravé a levé úvrati, kde se soustava
zastavuje, je potenciální energie Eo maximální a kinetická energie Et : 0. Naopak' prochází-Ii
G)' . (#)' :!
98
66
(tro) .oď _ ql * c:?.UJ
tJIu^oJ no,loq,{qod aruau€Jsop .z tJrupe:nos noupoqÁ,l.
auau nsidod 1 ri-aruafrznod .aurlulo^n n^€TSnoS ,Iu9]IIu{ auaurnl} 9u1o'r ;tat arrrqa;ín e (gt.o.Jqo)
g luorun{J or{IuJ€ouq no}u€]Suol s ?Iurn1] tudu aiu|apl{d / 6 n{Z€Jqo a1pod ?^€?snos y
.
acnunl] ol{9^o{€1 ÍualJJozeuz
a{)I]€uaqJS I oualsaĎ1eu a| zT.6 n{ZgJqo eg .'{ro'r]o €{IIo{Qu oqau rrrrupal s 1srd atnq..{qod
as uIoJaJ{ el ,(eI.6':qo) nour1ecle1 Áupu1d€u Qlrunl} Iuzo{sl^ pep;;deu eut,r,{n nl}s no^o{€ů
Ir-usN] a[.raruzo: t[a|e ruarunll oqIuJ€auII €1u€1suo>1 e,l..,(zeu es q €}u€]Suox .^q- - qdt1so1qoÁ: i1o"rd
aln;qrrrs e r1so1qcÍJ IlSo{IIa^ guJQlulr ourr4d €IIS I]ruInIJ a| pedqd o}ua] oJd
tr'6'rqo zT'6 'rqo
.IuaIunI1 oqluzo{sl^ oqluJeaul1 ped;;d eu aznod alulzaulo as apz .c aDlu€qcol11
^ eIuIuItuZ Iu o as aJI^ € €t{ol!' €up€usau luarunl} ru€^olaporu a| pucaqg
.I{39qZ€^ !c4{cll
-€uraul{ qc;q|pun a,l. prodpo qctuntsed oqau ipa{1sord nrodpo ua^II^ 9^9}seu IuaunIJ }F|au^
'Iuaunl] Iu?{nJ]suo}i - I}s9? qc{.l.t11oupa[ qcr|ods a^ opp € luarunll 9^oIgIJa}€u - se1p1 qc{u
-znrd n