Přednášky Řezníček

České vysoké učení technické v Praze
Fakulta strojní
Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
odbor pružnosti a pevnosti



PŘEDNÁŠKY Z






přednášel
Jan Řezníček






Letní semestr akademického roku 2007/2008
PP 1/1
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

PRUŽNOST A PEVNOST
Pr+caronednáší: Jan R+caronezníc+caronek, 6. patro místnost 608 nebo studijní odde+caronlení místnost 45
Pružnost a pevnost jako součást FYZIKY, resp. její části MECHANIKY
Klasická P&P vs. moderní výpočtové (numerické) metody

Historie:
Leonardo da Vinci, Galileo Galilei, Edme Mariotte, Robert Hooke, Isaac Newton, Leonard Euler,
Daniel Bernoulli, Thomas Young, Simeon Denis Poisson, Piere Simon Laplace, ...
Josef Šolín, Viktor Felber, Ferdinand Budinský, Emanuel Hájek, …

Základní pojmy:





1) Síly povrchové
- osame+caronlé (stojící osoba) vnitr+caronní síly = nape+carontí
- spojite+caron rozložené (nasypaný písek)
2) Síly objemové (tíhová síla te+caronlesa v gravitac+caronním poli)
1) Zatížení statické/quazistatické (žádné nebo velmi pomalé zme+caronny)
2) Zatížení dynamické (de+caronje s rychle se me+caronnícím zatížením)
1) Zatížení místne+caron stálé (upevne+caronní stroje k základu)
2) Zatížení pohyblivé (pojezd mostového jer+caronábu)

Statická rovnováha vnějších sil (všech):
Všechna uvažovaná zatížení musí spln+caronovat podmínku statické rovnováhy vne+caronjších sil (vc+caronetne+caron sil
reakc+caronních vznikajících v uložení te+caronlesa). Složité soustavy se pr+caronevedou postupným uvoln+caronováním na
jednoduché pr+caroni zachování pu+ringvodních okrajových podmínek. V pr+caronípade+caron nerovnome+caronrného pohybu te+caronlesa
nebo soustavy se do stavu rovnováhy zahrnují i setrvac+caronné síly (d´Alambertu+ringv princip).

VNITŘNÍ SÍLY:
Poddajné te+caronleso se vlivem vne+caronjších sil, které musí být podle pr+caronedchozího pr+caronedpokladu v rovnováze,
deformuje a tím vznikají v te+caronlese VNITR+caronNÍ SÍLY.








Vne+caronjší e+carone+carone+caron - zate+caronžujícíe+carone+carone+caron Vnitr+caronnír+caronr+caronr+caron
1
2
F1
F2
F3
F4
n
t
1
F1
F2
dA
dN
dT dF
SÍLY
PP 1/2
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

Je-li v rovnováze celé te+caronleso, je v rovnováze i každá jeho odr+caroníznutá c+caronást. Musí tedy být v rovnováze i
samotná c+caronást onesans. Rovnováhu v tomto pr+caronípade+caron zajišťují vnitr+caronní úc+caroninky pu+ringsobící v míste+caron r+caronezu.
∑∫∫ =
i
i
A
FdF
)(


Intenzita vnitřní síly ≡ NAPĚTÍ [N⋅m-2 ≡ Pa ... pascal resp. N⋅mm-2 ≡ MPa ... megapascal]

obecné normálové smykové

dAdF=ν dAdN=σ dAdT=τ

DEFORMACE TĚLESA:
ε [1] γ [1]
pome+caronrné prodloužení (kladné) zkos
pome+caronrné zkrácení (záporné) (zme+caronna kolmosti hran elementu)
0l
l∆=ε resp.
dx
dx∆=ε ve starších knihách se používá výraz „pome+caronrné posunutí“

PRUŽNOST TĚLESA = schopnost te+caronlesa vrátit se po odlehc+caronení do pu+ringvodního stavu

TUHOST TĚLESA = odolnost te+caronlesa proti deformaci


ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ ÚLOH PP:
1. Pr+caronedpoklad malých deformací (v relaci s ostatními rozme+caronry)
2. Platnost lineární závislosti mezi nape+carontím a deformací (Hochu+ringv zákon)
3. Platnost Saint-Vénantova principu (zme+caronna zatížení se roznese na „malé“ vzdálenosti do celého
pru+ringr+caronezu souc+caronásti a ovlivní tak jen malou oblast, kterou zanedbáme)
4. Existence ideálního materiálu - homogenní (bez vme+caronstku+ring, otvoru+ring, ...)
- isotropní (ve všech sme+caronrech stejné vlastnosti)


Výpočtový model
Pro výpoc+caronty v pružnosti a pevnosti využíváme
tzv. výpoc+carontový model, který vznikne za použití
ru+ringzných zjednodušujících pr+caronedpokladu+ring (c+caroním
ve+carontší je zjednodušení tím nepr+caronesne+caronjší jsou
výsledky vzhledem ke skutec+caronnosti)
Skutečná součást
Experiment velice c+caronasto provádíme pr+caronímo na
skutec+caronné souc+caronásti nebo na skutec+caronném modelu,
který však nemusí být totožný s výpoc+carontovým
modelem. Proto mohou být mezi experimentem a
výpoc+carontem znac+caronné rozdíly


PP 1/3
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

PROSTÝ TAH/TLAK

Prut: Je souc+caronást, která má jeden rozme+caronr výrazne+caron ve+carontší než zbývající dva (svorník, táhlo, ...).

Osa prutu: Je to spojnice te+caronžišť jednotlivých pr+caroníc+caronných pru+ringr+caronezu+ring prutu
- pr+caronímka ⇒ pr+caronímý prut
- kr+caronivka ⇒ kr+caronivý prut (rovinný nebo i prostorový)
Pr+caronímý prut je namáhaný tahem/tlakem tehdy a jen tehdy, pokud výsledná síla pu+ringsobí v ose prutu a
je kolmá k pru+ringr+caronezu spln+caronují jen svislé pruty, protože u ostatních vzniká v du+ringsledku vlastní tíhy ješte+caron
ohyb ⇒ kombinované namáhání, které bude r+caronešeno pozde+caronji.

NORMÁLOVÁ SÍLA = výslednice sil kolmá k pru+ringr+caronezu prutu

TAH „+“ – síla pu+ringsobí VEN z plochy

TLAK „–“– síla pu+ringsobí DO plochy

Saint-Vénantův princip: Pu+ringsobení sil vlivem uložení ovlivn+caronuje jen velmi malou c+caronást prutu ve svém
nejbližším okolí. Vliv místního pu+ringsobení sil zaniká ve vzdálenosti cca rovné pr+caroníc+caronným rozme+caronru+ringm.


JEDNOOSÁ NAPJATOST:


Rovnice rovnováhy:
0=− RF
1 rovnice o 1 neznámé
úloha je STATICKY URC+caronITÁ
(statické rovnice stac+caroní
k urc+caronení všech neznámých sil
– zde se jedná o reakci R)


R+caronešení METODOU R+caronEZU (zavedl Leonard Euler):
0)( =− xNF odkud .)( konstFxN ==


Nape+carontí v míste+caron r+caronezu:
)(
)()(
xdA
xdNx =σ zde ale platí: .
)(
)()(
0
konstAFxA xNx ===σ
F
A0 F
x
R F
F
N(x)
N(x)
σ(x)
σ(x)
PP 1/4
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

Změna zatížení:













Změna průřezu:












Protože A1 < A2, musí platit pro N1 = N2 = F: σ1 = F/A1 > F/A2 = σ2

Změna zatížení i průřezu:












Pru+ringbe+caronh vnitr+caronní síly N(x) je jednoznac+caronne+caron dán. Pru+ringbe+caronh nape+carontí σ(x) ale
záleží na konkrétních pome+caronrech F1 a F2 a pome+caronrech A1 a A2. Ideální je
stav, kdy pr+caroníru+ringstek síly je stejný jako pr+caroníru+ringstek plochy, tedy:
1
1
2
21
A
F
A
FF =+ ⇒
12
1
2
1
FF
F
A
A
+=
V tom pr+caronípade+caron bude po celé délce prutu konstantní nape+carontí σ(x) = konst.
F A1
A2
F
R = F
x1
x2
F
N1
F
N2
N(x)
F
F
σ(x)
F/A1
F/A2
σ(x)
F1/A1
(F1 + F2)/A2
F1
F2
F1
R = F1 + F2
x1
x2
F1
N1
F1
N2
σ(x)
F1/A1
(F1 + F2)/A2
F1
F2
N(x)
F1
F2
F1 + F2
A1
A2 F2 F2
N(x) σ(x)
F1
A0
F2
F1
R = F1 +F2
x1
x2
F1
N1 F2
F1
N2
F1 F1/A0
F2 F2/A0
F1 + F2 (F1 + F2)/A0
F2
Konec 1. přednášky
PP 1/5
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

PŘETVOŘENÍ (deformace) PŘI TAHU/TLAKU:

před po







TAHOVÁ ZKOUŠKA MATERIÁLU – PRACOVNÍ DIAGRAM (běžná konstrukční ocel)




















































PP 1/6
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky












TAHOVÁ ZKOUŠKA MATERIÁLU – PRACOVNÍ DIAGRAM (litina)













TAHOVÁ ZKOUŠKA MATERIÁLU – PRACOVNÍ DIAGRAM (slitinové oceli)





























PP 1/7
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

HOOKŮV ZÁKON (popis lineární části tahového diagramu)






TABULKA (HODNOTY MODULU PRUŽNOSTI OCELI 17 021):
Teplota [°C] 20 150 300 500
Modul pružnosti E [MPa] 2,1⋅105 2,0⋅105 1,9⋅105 1,7⋅105


DEFORMACE – VYUŽITÍ HOOKOVA ZÁKONA










PODDAJNOST (deformace vyvolaná silou 1 N)




TUHOST (síla způsobující deformaci 1 mm)





Deformace vyvolaná změnou teploty (lineární teplotní roztažnost)








T
PP 1/8
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

PŘÍKLAD (napětí a deformace prutu od síly):
Dáno: a = 10 mm; l = 1 m; F = 1⋅104 N; E = 2⋅105 MPa
Určit: σ(x); u(x); uonesans; utwosans (bod twosans leží ve 3/5 délky l od dolního kraje)





































onesans
twosans
threesans
P
PP 1/9
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

POISSONOVO ČÍSLO:












Součinitel příčného zúžení – POISSONOVO ČÍSLO


ZÁKLADNÍ ELASTICKÉ CHARAKTERISTIKY KAŽDÉHO MATERIÁLU:




ODVOZENÍ:
POMĚRNÁ ZMĚNA OBJEMU (při tahu/tlaku): Θ [1]



















Jednoosá napjatost (platí Hookův zákon a Poissonův vztah):





K … modul objemové pružnosti [MPa]
O
PP 1/10
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

ZÁKON O SUPERPOZICI NAPĚTÍ A POSUVŮ:
Superpozice napětí:
















Superpozice posuvů (přetvoření)
















PŘÍKLAD (vliv vlastní tíhy):
Dáno: A; l; E; ρ
Určit: N(x); σ(x); ε(x); u(x) a ∆l











ε
σ
P
PP 1/11
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

Řešení pomocí diferenciální rovnice:

















PROMĚNNÝ PRŮŘEZ:












Konec 2. přednášky
PP 1/12
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

PŘÍKLAD (prut proměnného průřezu):
Dáno: D1; D2 l; E; F
Určit: N(x); σ(x) a ε(x)






























VLIV SETRVAČNÝCH ÚČINKŮ:















P
PP 1/13
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky











PŘÍKLAD (rotující rameno):
Dáno: r1; r2 ρ; b; h; E; ω
Určit: σ(x) a ∆r2




































P
PP 1/14
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

PODMÍNKA PEVNOSTI A PODMÍNKA TUHOSTI




Pevnostní podmínka:









TABULKA (VYBRANÉ HODNOTY BEZPEC+caronNOSTI DLE NOREM):
Souc+caronástc+caronc+caronc+caron Tlakové nádoby Elektrický výtah
Díl válcový plášť kulové dno lano
Materiál ocel dural ocel dural ocel
Bezpec+caronnost kc+caronc+caronc+caron K 1,6 - 1,5 -
Bezpec+caronnost kc+caronc+caronc+caron P 2,6 4,0 2,4 3,5
8 ÷ 26
(podle uspor+caronádání)

Tuhostní podmínka:




PŘÍKLAD (I-profil):
Dáno: F1 = 4⋅104 N; F2 = 7⋅104 N; l1 = 300 mm; l2 = 100 mm; materiál: ocel 11 370
(E ≈ 2⋅105 MPa; σPt = 370 MPa a σKt = 200 MPa); kKmin = 1,5 a ∆lD = 0,2 mm.
Vlastní tíhu tyče neuvažujte!
Určit: Navrhněte vhodný normalizovzný I-profil, který vyhoví pevnostní i tuhostní podmínce.













P
T
PP 1/15
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky



























PRUTY STÁLÉ PEVNOSTI























PP 1/16
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

DEFORMAČNÍ ENERGIE PŘI TAHU/TLAKU






































Hustota deformační energie (dříve měrná deformační energie)










PP 1/17
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

PŘÍKLAD (deformační energie):
Dáno: F1; F2; l1; l2; A a E
Vlastní tíhu tyče neuvažujte!
Určit: Celkovou deformační energii U akumulovanou v tyči.
Pr+caroni výpoc+carontu použijeme pr+caronedchozí výpoc+caronty:
Souc+caronást rozde+caronlíme na dve+caron pole:
1: x1∈ a 2: x2∈
N1(x) = F1 N2(x) = F1 + F2
AE
F
AE
NU
⋅⋅=⋅⋅=
1
2
1
1
1
2
1
1 2
1
2
1 ll a ( )
AE
FF
AE
NU
⋅
⋅+⋅=
⋅⋅=
2
2
21
2
2
2
2
2 2
1
2
1 ll
Celkovou energii soustavy U urc+caroníme jako souc+caronet energií všech (dvou) c+caronástí:
( ) ( )[ ]
2
2
221
2
1
2
2
211
2
1
21 2
1
2
1
2
1 lllll ⋅++⋅⋅
⋅⋅=⋅
⋅+⋅=
⋅⋅=+= FFAEAE
FF
AE
FUUU

PŘÍKLAD (deformační energie):
Dáno: rotující rameno r1; r2; ρ; A a E
Určit: Celkovou deformační energii U akumulovanou v rotujícím rameni.
Ope+caront použijeme vztah pro výpoc+caronet vnitr+caronní síly v rotujícím rameni:
( )22222)()( xrhbxOxN −⋅⋅⋅⋅== ωρ
Celkovou deformac+caronní energii akumulovanou v rotujícím rameni
dostaneme jako integrál po celé jeho délce:
( )
( ) ...22221)( )(21
2
1
2
1
2
22
2
2
2
22
2
2
)(
2
=⋅



 −⋅⋅⋅
⋅
⋅=⋅
⋅⋅



 −⋅⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅= ∫∫∫
r
r
r
r
dxxrEhbdxhbE
xrhb
dxxAE xNU ωρ
ωρ
l

ODVOZENÍ:
CASTIGLIANOVA*) VĚTA











*) Carlo Alberto Castigliano (1847 – 1884) až do roku 1865 chodil na základní školu a pak za rok absolvoval pru+ringmyslovku
v Terini. 1870 nastoupil na universitu v Turíne+caron a v roce 1873 napsal diplomovou práci o energii ve staticky urc+caronitých
soustavách. V roce 1875 rozšír+caronil svoje tvrzení i na staticky neurc+caronité soustavy (2. Castiglianova ve+caronta). Již od roku 1874
pracoval jako hlavní inženýr Severoitalské železnice v Turíne+caron. Zemr+caronel na zápal plic.
P
P
O
Konec 3. přednášky
ω
r1 r2
N(x)
F1
l 1
F2
l 2
x1
x2
PP 1/18
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky













VYUŽITÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE PŘI ŘEŠENÍ DYNAMICKÉHO NAMÁHÁNÍ






















ODVOZENÍ:
MOHRŮV INTEGRÁL PRO TAH/TLAK













O
PP 1/19
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky


PŘÍKLAD (deformační energie – Castiglianova věta):
Dáno: prutová soustava (pruty onesans a twosans), h, α, F a E⋅A = konst.
Určit: Vodorovný a svislý posuv styčníku B: uB a vB.































Možnost využití metody „slepé“ síly:














P
twosans
onesans
onesans
onesans
twosans
twosans
PP 1/20
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

STATICKY NEURČITÉ ÚLOHY – TAH/TLAK

staticky určité:
Úlohy
staticky neurčité:


Statická neurčitost:








Prutové konstrukce (viz mechanika/statika): ( )hpni +⋅+−⋅= 22 κ
κ ...
n ...
p ...
h ...
i > 0 úloha má i-stupňů volnosti ⇒ jedná se o mechanizmus (neřešíme!!!)
i = 0 úloha nemá žádný stupeň volnosti ⇒ jedná se o staticky určitou úlohu (SUÚ)
a k jejímu řešení stačí statické rovnice rovnováhy
i < 0 součásti je odebíráno více stupňů volnosti než sama má ⇒ jedná se i-krát staticky
neurčitou úlohu (SNÚ), kde se vyskytuje o i více neznámých než je nezávislých
statických rovnic rovnováhy

OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ:

0. rozhodnutí


1. uvolnění


2. nahrazení


3. doplnění


4. řešení





PP 1/21
Přednášky z Pružnosti a pevnosti I (211 1001) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti
LS akademického roku 2007/2008 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

PŘÍKLAD (staticky neurčitý tah/tlak):
Dáno: prut (část onesans a část twosans), a, b, l, F a E⋅A = k