Návod

Pro jednotlivé derivace pak platí:
@u
@x = y
@u
@ + 3
x2
y
@u
@
@u
@y = x
@u
@
x3
y2
@u
@
@2u
@x2 = 6
x
y
@u
@ + y
2@2u
@ 2 + 9
x4
y2
@2u
@ 2 + 6x
2 @2u
@ @
@2u
@x@y =
@u
@ 3
x2
y2
@u
@ + xy
@2u
@ 2 3
x5
y3
@2u
@ 2 + 2
x3
y
@2u
@ @
@2u
@y2 = 2
x3
y3
@u
@ + x
2@2u
@ 2 +
x6
y4
@2u
@ 2 2
x4
y2
@2u
@ @
Po dosazení do zadané rovnice získáváme rovnost
16x4 @
2u
@ @ 12
x3
y
@u
@ = 0;
kterou upravíme dˇelením a pomocí transformaˇcních vztah˚u do finálního tvaru
@2u
@ @
3
4
@u
@ = 0:
[17.] (4 body)
Vyslovte a dokažte vˇetu o aditivitˇe Riemannova integrálu.
Vˇeta – o aditivitˇe Riemannova integrálu
Necht’ M1;M2 jsou omezené množiny mající Jordan˚uv-Pean˚uv obsah. Necht’ f( x) : E2 7!Rje omezená
funkce definovaná na M1[M2 a necht’ existují integrály RM1 f( x) d x a RM2 f( x) d x. Je-li M1\M2 6= ;,
pak existuje integrál RM1[M2 f( x) d x a platí
Z
M1[M2
f( x) d x =
Z
M1
f( x) d x +
Z
M2
f( x) d x:
D˚ukaz:
je-li M1 \M2 6= ;; pak platí
M1[M2 = M1 + M2
tvrzení pak vyplyne z bezprostˇrední aplikace vˇety o linearitˇe Riemannova inte-
grálu
[18.] (8 bod˚u)
Gaussovou-Ostrogradského vˇetou vypoˇctˇete plošný integrál
I =
Z
S
xjzjdydz + yjzjdxdz + xjyjdxdy
pˇres uzavˇrenou plochu
S =
(
(x;y;z) 2E3 :
x2
a2 +
y2
b2
2
+ z
4
c4 = 1
)
;
kde a;b;c jsou kladné parametry.
x = a%cos1=2(#) sin(’)
y = b%cos1=2(#) cos(’)
z = c%sin1=2(#)
j Jj = 12abc%2 sin 1=2(#)
x2
a2 +
y2
b2
2
+ z
4
c4 = 1 , % = 1
div(xjzj;yjzj;xjyj) = 2jzj
I = 2abc2
Z 2
0
Z =2
0
Z 1
0
%3 d%d#d’ = 12 2abc2:
[19.] (8 bod˚u)
Pro nezáporné parametry a;b vypoˇctˇete urˇcitý integrál
I(a)
Z =2
0
ln a2 sin2(x) + b2 cos2(x) dx:
I(a = b) = ln(b)
dI
da =
Z =2
0
2asin2(x)
a2 sin2(x) + b2 cos2(x) dx =



t = tg(x)
dx = dt1+t2


=

a + b
Z =2
0
ln a2 sin2(x) + b2 cos2(x) dx = ln
a + b
2

:
[20.] (8 bod˚u)
Vypoˇctˇete objem tˇelesa ohraniˇceného plochou
x2
a2 +
y2
b2 +
z2
c2
3=2
= x
2
a2 +
y2
b2
z2
c2 ;
kde a;b;c jsou pozitivní parametry.
Ve zobecnˇených sférických souˇradnicích máme:
3(M) =
Z 2
0
Z =4
=4
Z cos(2#)
0
abc%2 cos(#) d%d#d’ = 32105p2 abc:
[21.] (4 body)
Naˇcrtnˇete graf funkce, která splˇnuje souˇcasnˇe následující podmínky:
Dom(f) = R
supp(f) 2x481
f(x) =2Z (R)
f (x) 0
(supp(f)) =
f(Z) = f 1;0;sin 1;sin 2;sin 3g
x
f(x)
pi
−1
0
1
[22.] (10 bod˚u)
Stanovte vázané lokální extrémy funkce z(x;y); zadané implicitnˇe rovnicí
x2 + y2 + z2 2 = 48 x2 + y2 z2 :
Vazba necht’ je definována rovnicí x y = 0: Neopomeˇnte stanovit podmínku pro existenci zmiˇnované
implicitnˇe zadané funkce.
F(x;y;z) := x2 + y2 + z2 2 48 x2 + y2 z2 = 0
Podmínka existence:
@F
@z 6= 0 ) z 6= 0
Lagrangián:
L(x;yj ) := z(x;y) + (x y)
@L
@x =
x(x2 + y2 + z2) 24x
z(x2 + y2 + z2) + 24z +
@L
@y =
y(x2 + y2 + z2) 24y
z(x2 + y2 + z2) + 24z +
Stacionární body:
a = (3;3;p6) b = (3;3; p6) c = ( 3; 3;p6) d = ( 3; 3; p6)
d2L(dx;dy) / dx2 dy2 2dxdy
d2L(red)(dx) / 4dx2
a — ostré lokální vázané maximum
b — ostré lokální vázané minimum
c — ostré lokální vázané maximum
d — ostré lokální vázané minimum
[23.] (4 body)
Vypoˇctˇete limitu
lim
(x;y)!(0;0); (x;y)2M
x4 + y4
x3 + y3;
kde M = f(x;y) 2E2 : y e x + 1 = 0g:
lim
(x;y)!(0;0); (x;y)2M
x4 + y4
x3 + y3 =
4
3:
[6.] (6 bod˚u)
Stanovte parametrizaci kˇrivky z obrázku a vy-
poˇctˇete, jakou ˇcást kruhu K : x2 + y2 a2 zaujímá
plocha, která je zadanou kˇrivkou omezena.
x
y x2+y2=a2
’(t) = (ajsin(4t)jcos(t);ajsin(4t)jsin(t)) t 2h0;2 i
2(M) = 8
Z =4
0
Z asin(4t)
0
% d%d’ = 12 a2 =
2(K)
2