Návod

[8.] (4 body)
Necht’ je na soustavˇe x4b2 zadána množinová funkce F(X) pˇredpisem
F(X) =
(
diam(X)
0
X 6= ;
X = ;:
Rozhodnˇete a slovnˇe zd˚uvodnˇete, je-li F(X) mírou na x4b2:
Nejde o míru, nebot’ F(X) není na x4b2 aditivní:
Položme A = h0;1) h0;1) a B = h1;3) h1;2)
F(A) = p2 F(B) = p5 F(A
]
B) = p13 6= p2 + p5
[9.] (6 bod˚u)
Pro kladné parametry a;b a plochu S = (x;y;z) 2E3 : y2 + z2 = 2ay + 2bz vypoˇctˇete plošný inte-
grál
I
Z
S
e jxj d S(x;y;z):
Položme R := pa2 + b2 – jde o polomˇer válce S o parametrizaci
P(u;v) = (u;a + Rcos(v);b + Rsin(v))
G = R2
I =
Z 2
0
Z 1
1
e jujR dudv = 4 R
[10.] (8 bod˚u)
Transformujte parciální diferenciální rovnici
@2u
@x2 + 24
@2u
@y2 4
@2u
@z2 + 10
@2u
@x@y 4
@2u
@x@z 14
@2u
@y@z +
@u
@y 3
@u
@z = 0
transformaˇcními vztahy a = 13x + 3y + z; b = x a c = 5x + y. Prokažte regularitu zadané transfor-
mace.
Transformace je regulární všude vE3; nebot’ všude vE3 platí
det
D(a;b;c)
D(x;y;z)

= 1:
Výsledek transformace:
@2u
@a2 +
@2u
@b2
@2u
@c2 +
@u
@c = 0
11.] (9 bod˚u)
Naleznˇete Taylorovy ˇrady prvního ˇrádu funkcí z(x;y); u(x;y) a w(x;y); zadaných implicitnˇe soustavou
rovnic
xy + y2 + zy u yw = 0
x2y + y3 + zy + u yw2 = 0
x3y2(x + 2y) + u2 z2w2 = 0
na okolí bodu c = (x0;y0;z0;u0;w0) = (1;1;1;1;2):
Zderivováním soustavy rovnic podle promˇené x dostaneme
@u
@x( a) = 1
@z
@x( a) = 1
@w
@x ( a) = 1
Analogicky pro derivace podle y :
@u
@y( a) = 2
@z
@y( a) = 1
@w
@y ( a) = 1
Uzavíráme:
z(x;y) x + y 1
u(x;y) x + 2y 2
w(x;y) x + y
[12.] (4 body)
Necht’ x41 je neprázdný množinový okruh a F(X) : x41 7! R reálná, nezáporná a aditivní množinová
funkce. Dokažte, že F(X) je mírou na x41:
Vlastnost ;2x41 dokážeme z vlastností okruhu:
A 2x41 ) AnA 2x41 ) ;2x41
Vlastnost F(;) = 0 dokážeme z aditivity:
;]; = ; ) F(;) + F(;) = F(;) ) F(;) = 0
Monotónii funkce F(X) dokážeme opˇet z aditivity. Pro A B je (B n A) ] A B disjunktním
sjednocením a platí:
F(B) = F(A) + F(B nA) ^ F(B nA) 0 ) F(B) F(A)
cbd.
[13.] (6 bod˚u)
Vyšetˇrete lokální extrémy funkce f(x;y;z) = x 2y + 2z na kouli x2 + y2 + z2 = R2; kde R > 0:
Stacionární body:
a =

R3 ; 2R3 ; 2R3

b =
R
3 ;
2R
3 ;
2R
3

d2L a(dx;dy;dz) = 3R(dx2+dy2+dz2) d2L b(dx;dy;dz) = 3R(dx2+dy2+dz2)
Vazbou je funkce g(x;y;z) = x2 + y2 + z2 R2 = 0 a pro její diferenciál v obou stacionárních bodech
platí
dx = 2dy 2dz
Odtud
d2L(red) a (dy;dz) / 5dy2+5dz2 8dydz d2L(red) b (dy;dz) / 5dy2 5dz2+8dydz
Tedy a je ostrým lokálním vázaným minimem a b je ostrým lokálním vázaným maximem.
[14.] (8 bod˚u)
Pro nezáporné parametry a;b vypoˇctˇete urˇcitý integrál
Z 1
0
arctg(ax)
x(1 + b2x2) dx:
I(a = 0) = 0
dI
da =
Z 1
0
1
(1 + a2x2)(1 + b2x2) dx =

2
1
a + b:
Z 1
0
arctg(ax)
x(1 + b2x2) dx =

2 ln

1 + ab

[15.] (6 bod˚u)
Necht’ je funkce ’(x) = x3 4 vytvoˇrující funkcí míry F(X) na x481 a m(X) rozšíˇrením F(X) z x481 na
x4b1: Necht’ je dána funkce1 f(x) = bxc; definovaná na E = h0;4) a patˇrící do systému Z : Vypoˇctˇete:
F(h0;1))
m(h0;1))
F(h0;1) [h2;3))
m(h0;1) [h2;3))
Rh1;2) f(x) dm(x)
RE f(x) dm(x)
F(h0;1)) = 1
m(h0;1)) = 1
F(h0;1) [h2;3)) není definováno
m(h0;1) [h2;3)) = 20
Rh1;2) f(x) dm(x) = 7
RE f(x) dm(x) = 156
[16.] (8 bod˚u)
Na množinˇe A = f(x;y) 2E2 : x > 0 ^ y > 0g transformujte parciální diferenciální rovnici druhého
ˇrádu
x2@
2u
@x2 + 2xy
@2u
@x@y 3y
2@2u
@y2 2x
@u
@x = 0
1bxc pˇredstavuje celou ˇcást ˇcísla x:
transformaˇcními vztahy = xy; = x3y : Ovˇeˇrte také jejich regularitu.
Protože det
D( ; )
D(x;y)

= 4x3y 6= 0; tvoˇrí dané vztahy na množinˇe A regulární tranformaci druhého druhu.