Vypracované otázky na zkoušku

íme jako nečárkovanou a dále soustavu čárkovanou, která se pohybuje obecným čistě translačním pohybem vůči soustavě nečárkované, takže čárkovaná soustava představuje obecně soustavu neinerciální. Počátek čárkované soustavy má v nečárkované soustavě polohový vektor R(t), takže transformační vzorec pro polohové vektory je dán následujícím výrazem.Následující druhou derivací podle času dostaneme,(1)kde a představuje zrychlení bodu P měřené v inerciální soustavě, a' je zrychlení bodu P v neinerciální (čárkované) soustavě a A je translační zrychlení čárkované soustavy vůči soustavě nečárkované, které je zapříčiněno jejím nerovnoměrným přímočarým pohybem. Pohybová rovnice hmotného bodu o hmotnosti m v inerciální soustavě má tvar,kam po dosazení ze vztahu (1) dostáváme.(2)Z pohybové rovnice (2) můžeme snadno obdržet následující pohybovou rovnici pro neinerciální soustavu,kdereprezentuje setrvačnou sílu související se zrychleným translačním pohybem čárkované (neinerciální) soustavy.
Odvoďte pohybovou rovnici pro soustavu konající obecný pohyb.Vzhledem k tomu, že je možné každý obecný pohyb rozložit na dva pohyby, a to pohyb rotační kolem okamžité osy otáčení a pohyb translační, potom je možné získat pohybovou rovnici neinerciální soustavy konající obecný pohyb sloučením pohybových rovnic pro výše vyšetřované dva pohyby neinerciálních soustav. V případě, že neinerciální soustava koná obecný pohyb, pak již neplatí, že polohové vektory v inerciální a neinerciální soustavě jsou totožné, a tedy vztah mezi vektorem v inerciální a neinerciální soustavě je dán následujícím výrazem,(1)kde R je polohový vektor počátku neinerciální soustavy vůči soustavě inerciální. Sloučením pohybových rovnic pro rotační a translační pohyb dostaneme pohybovou rovnici pro inerciální soustavu konající obecný pohyb,kterou můžeme s ohledem na vztah (1) případně rozepsat jako.
Odvoďte pohybovou rovnici hmotného bodu pohybujícího se blízko nad zemským povrchem pro soustavu pevně spojenou s rotující Zemí.Dodělat!!!
Definujte práci.Práci definujeme jako dráhový účinek síly. Nejjednodušším případem je práce konstantní síly. Práce A konstantní síly je definována jako skalární součin vektoru síly F a posunutí r jejího působiště, tj.,kde φ je úhel, který svírá vektor síly F s vektorem posunutí r. Práce A je tedy skalární fyzikální veličina, jejíž jednotkou je joule, kterou značíme J. Je-li úhel mezi vektorem síly a vektorem posunutí ostrý, koná síla kladnou práci a v tomto případě se síla nazývá hybná. Je-li úhel mezi vektorem síly a vektorem posunutí tupý, koná síla práci zápornou a v tomto případě se síla nazývá odporem proti pohybu, příp. odporující silou. Svírají-li vektor síly a vektor posunutí úhel 90°, tj. jsou na sebe kolmé, pak z definice skalárního součinu rovněž plyne, že práce síly je rovna nule. Tedy rozložíme sílu na tečnou složku Ft (složka ve směru posunutí) a normálovou složku Fn, pak normálová složka práci nekoná. Jelikož pro skalární součin platí distributivní zákon, můžeme psát, že.Z rovnosti vyplývá, že práce výslednice sil F je rovna algebrajickému součtu prací jednotlivých sil, které působý na tentýž hmotný bod. Rovněž na základě distributivního zákona platí, že.Tedy předcházející rovnice vyjadřuje skutečnost, že práci, kterou vykonává konstantní síla F se po sobě provedenými posunutími r1, r2, ..., rN příslušného hmotného bodu, je rovna práci, kterou by tato síla vykonala při jednom posunutí, které představuje výslednici všech posunutí.
Zaveďte práci v kartézském souřadnicovém systému.Uvažujeme-li kartézský souřadnicový systém, pak F = (Fx, Fy, Fz) a r = (x, y, z), takže můžeme práci vyjádřit ve složkovém tvaru.Budeme-li předpokládat nekonečné malé posunutí dr, potom na základě předcházejícího vztahu dostáváme vztah pro elementární práci.
Odvoďte vztah pro kinetickou energii.Uvažujme hmotný bod o hmotnosti m, na který působí síla F, pak můžeme napsat jeho pohybovou rovnici v následujícím tvaru,kde v je rychlost uvažovaného hmotného bodu v čase t. V tomto místě neklademe žádná omezení, co se týče působící síly F. Skalárně vynásobíme předchozí pohybovou rovnici rychlostí v hmotného bodu, takže dostaneme(1)Jelikož platí, že,můžeme pomocí této rovnosti upravit rovnici (1),kdeje tzv. kinetická energie (pohybová energie) hmotného bodu.
Definujte výkon a odvoďte vztahy.Výkon je definován jako práce za čas. Podíl vykonané práce ΔA za dobu Δt definuje průměrný výkon.Výkon měříme v jednotkách zvaných watt, která má zkratku W. Dále definujeme okamžitý výkon,kde je okamžitá rychlost, kterou síla F přemisťuje hmotný bod (těleso).
Definujte účinnost.Jde o poměr užitečného výkonu stroje Pu k okamžitému potřebnému příkonu Pp. Značí se η..
Vysvětlete pojem "perpetum mobile".Mluvíme-li o perpetuu mobile, musíme rozlešovat dva druhy tohoto stroje. Perpetuum mobile I. druhu je stroj, který se bude věčně pohybovat a navíc ještě konat užitečnou práci, aniž bychom do něj museli přivádět energii. Perpetuum mobile II. druhu je pak takový stroj, který se bude věčně pohybovat bez toho, že bychom do něj museli přivádět energii. Takový stroj však nekoná práci. Ani tento stroj není možné sestrojit, jelikož nikdy nelze zcela eliminovat ztráty energie způsobené disipativními silami, díky kterým se vždy část energie přemění na neužitečné teplo, které unikne do okolí a každý stroj se bez přísunu energie nakonec po nějakém čase zastaví.
Popiště gyroskopickou sílu.Je to síla, která závisí leneárně na rychlosti hmotného bodu a má směr kolmý na tuto rychlost, z čehož vyplývá, že výkon gyroskopických sil je vždy roven nule, neboť.Příkladem gyroskopické síly je síla Coriolisova či síla Lorentzova.
Popište disipativní sílu.Je to síla, která je namířena proti směru pohybu hmotného bodu. Dá se zapsat ve tvaru,kde λ je kladná skalární funkce, která může obecně záviset na poloze a rychlosti hmotného bodu. Pomocí těchto sil se projevuje odpor prostředí při pohybu hmotných bodů či těles ve spojitém prostředí (tekutinách) nebo při vzájemném styku těles. Obecný zákon působení těchto sil nebyl dosud nalezen, takže se zpravidla využívá následujícího empirického vzorce,kde k značí konstantu úměrnosti a exponent n nabývá nezáporných hodnot. Fyzikálními příčinami těchto sil jsou viskozita, tlakový odpor, vlnový odpor.
Popište potenciálovou sílu a zaveďte potenciální energii.Potenciálnové síly je možné vyjádřit ve tvaru,kde U je skalární funkce (pole), kterou nazýváme potenciální energie hmotného bodu. Je-li potenciální energie pouze funkcí polohy, tj. U = U(r), potom sílu s ní spojenou nazýváme stacionární potenciálovou silou, je-li potenciální energie navíc funkcí času, tj. U = U(r,t), potom sílu s ní spojenou nazýváme nestacionární potenciálovou silou.Pro úplný diferenciál potenciální energie U = U(r,t) je možné psát, že.Na základě těchto vztahů je možné vyjádřit element práce jako,odtud pak dostáváme vztah pro okamžitý výkon nestacionární potenciálové síly.
Odvoďte zákon zachování mechanické energie.Předpokládejme, že na hmotný bod působí nestacionární potenciálová síla, disipativní síla a gyroskopická síla, takže jejich výslednicí je síla.Pro okamžitý výkon můžeme dále psát, že.(1)Ze vztahu pro kinetickou energii vyplývá rovnost,s jejíž pomocí můžeme dále upravit výraz (1) následujícím způsobem.(2)Součet kinetické a potenciální energie představuje celkovou mechanickou energii a budeme ji značit E, tedy E = T + U. Takže můžeme tímto přepsat rovnici (2) jako,(3)resp. s ohledem na vztah pro disipativní sílu.Z rovnice pro časovou změnu celkové mechanické energie je vidět, že gyroskopické síly nemají na časovou změnu celkové mechanické energie žádný vliv, a že časová změna celkové mechanické energie je dána časovou změnou potenciální energie a existencí (okamžitým výkonem) disipativních sil. S ohledem na vztah je zřejmé, že okamžitý výkon disipativních sil je vždy záporný, takže disipativní síly se podílejí na poklesu celkové mechanické energie. Nepůsobí-li na hmotný bod disipativní síly a jedná-li se o potenciálové síly stacionární, potom ze vztahu (3) plyne, že.Tento vztah vyjadřuje zákon zachování mechanické energie. Jelikož se celková mechanická energie E zachovává, neboli konzervuje, nazývají se stacionární potenciálové síly jako konzervativní, resp. pole těchto sil se nazývá konzervativním silovým polem.
xxx
Co je to vazba (vazebná síla) a jak vazby rozdělujeme?V případě, že je pohyb hmotných bodů nějak omezen, mluvíme o existenci tzv. vazev. Charakter vazeb může být rozmanitý. Matematicky je vazba vyjádřena buď rovnicí f = 0, pak mluvíme o vazbě oboustranné (udržující), nebo rovnicí f ( 0, resp. f ( 0 a v tomto případě mluvíme o vazbě jednostranné (neudržující).Oboustrannou vazbu můžeme vyjádřit následovně,resp..Předešlá vazba se nazývá geometrická. V případě, že vazebná podmínka obsahuje i rychlost,pak se tato vazba nazývá kinematická. Zderivujeme-li vazebnou podmínku geometrické vazby podle času, pak dostanemeneboli.Integrabilní vazba je kinetická vazba převoditelná na geometrickou a naopak. Každá geometrická nebo kinematická vazba, která je integrabilní, se nazývá holonomní. Vazba, která tuto vlastnost nemá se nazývá neholonomní (anholonomní). Neobsahuje-li vazebná podmínka explicitně čas, pak se jedná o vazbu stacionární (skleronomní). Závisí-li vazebná podmínka na čase, nazývá se nestacionární (rheonomní). Je-li soustava podrobena pouze holonomním vazbám, pak se tato soustava nazývá holonomní soustavou. Typickými holonomními vazbami jsou vazbym které údržují hmotné body při jejich pohybu na stanovených plochách, případně křivkách, nebo v daných vzájemných vzdálenostech. Jestliže se tvar ani poloha těchto ploch, příp. křivek, nebo vzájemné vzálenosti nemění, jde pak zároveň o vazbu skleronomní.
Co je to "stupeň volnosti"?Stupněm volnosti s rozumíme nejmenší počet nezávislých údajů (parametrů), kterými lze jednoznačně určit polohu systému (objektu). Je-li systém N hmotných bodů s R holonomními vazbami, pak pro stupeň volnosti platí, že.
Co je to konfigurace soustavy?Uvažujme soustavu N hmotných bodů s holonomními vazbami, která má stupeň volnosti s. Polohu všech těchto bodů v daném časovém okamžiku vzhledem ke zvolené vztažné soustavě nazýváme konfigurací soustavy. Konfiguraci soustavy v daném časovém okamžiku můžeme jednoznačně vyjádřit s nezávislými parametry q1(t), q2(t), ..., qs(t), které nazveme zobecněné souřadnice.
Co jsou to zobecněné souřadnice?Zobecněné souřadnice představují kombinaci různých typů souřadnic a parametrů (zpravidla vzdálenosti a úhly). Jejich volba není předem ničím předepsána, jediným omezením je, aby zvolené zobecněné souřadnice q1(t), q2(t), ..., qs(t) jednoznačně popisovali všechny možné polohy hmotných bodů soustavy, tj. konfiguraci soustavy. Počet zobecněných souřadnic odpovídá stupni volnosti soustavy. Zobecněné souřadnice q1, q2, ..., qs vymezují takzvaný konfigurační prostor všech možných poloh (konfigurací) soustavy. Máme-li N hmotných bodů určených obecnými souřadnicemi q1(t), q2(t), ..., qs(t), potom si můžeme soustavu obecných souřadnic představit jako souřadnice jednoho bodu v prostoru dimenze s = 3N - R. Je potřeba si uvědomit, že konfigurační prostor není prostorem fyzikálních stavů soustavy, jelikož vypovídá pouze o polohách, tedy konfiguracích, všech uvažovaných hmotných bodů soutavy. Pro úplnou informaci o úplném fyzikálním stavu soustavy je nutné znát také jejich rychlosti. Proto konfigurační prostor musíme doplnit o tzv. zobecněné rychlosti . Teprve spojením informací o polohách a rychlostech vzniká prostor fyzikálních stavů dané mechanické soustavy, jehož dimenze je 2s a je tedy parametrizovaný souřadnicemi které určují fyzikální stav mechanické soustavy v čase t v tom smyslu, že zahrnuje nezbytné údaje k určení časového vývoje této soustavy.
Odvoďte nejobecnější tvar Lagrangeovy rovnice 2. druhu.Uvažujme soustavu N hmotných bodů, která je podrobena R holonomním vazbám, u nichž připouštíme časovou závislost (rheonomní vazby). Celkovou kinetickou energii uvažované soustavy můžeme vyjádřit jako.(1)Dále derivováním vztahu, ( = 1, 2, ..., N; i = 1, 2, 3. (2)podle času obdržíme, že.(3)Provedeme-li derivaci podle dostaneme.(4)Dosadíme-li rovnost (3) do výrazu pro celkovou energii soustavy (1), pak můžeme psát, žeNyní provedeme následující parciální derivace kinetické energie:Pomocí rovnosti (3) upravíme předešlé vztahyDerivací předešlého vztahu podle času dostanemeVyužitím vztahu předminulého a minulého můžeme psát, žekde F(,i je i-tá složka síli a Qj je j-tá složka zobecněné síly.Tímto jsme odvodili Lagrangeovy rovnice II. druhu v nejobecnějším tvarukteré řešíme s následujícími počátečními podmínkami.
Vysvětlete, co to znamená, že jsou Lagrangeovy rovnice druhého druhu invariantní při přechodu z jedné soustavy souřadnic k soustavě jiné.Volba nezávislých zobecněných souřadnic je zcela libovolná, pakliže jednoznačně popisuje konfigurace soustavy. Kdybychom zvolili jinou soustavu nezávislých zobecněných souřadnic, našli bychom Lagrangeovy rovnice stejného tvaru.
Literatura
[1]Bednařík, M.: Fyzika 1 pro KyR. ČVUT, Praha, 2010
[2]cs.wikipedia.org