Vypracované otázky na zkoušku

tí považovat za volné hmotné body. Souřadnicovou soustavu, která má počátek ve středu hmotnosti naší sluneční soustavy a její dvě osy směřují ke stálicím pokládáme za téměř inerciální a nazýváme ji soustavou Galileiovou.
Definujte a odvoďtě pojem síly.Hybnost je definována jako p = mv. Na základě zákona síly můžeme psát, že.Jelikož považujeme v klasické mechanice hmotnost m za nezávislou na pohybovém stavu tělesa, můžeme předešlou rovnost upravit do následujícího tvaru.Z předcházejícího vztahu je patrné, že síla je příčinou zrychlení (zrychleného pohybu) uvažovaného tělesa a má s ním stejný směr. To nám dovoluje přeformulovat zákon síly následujícím způsobem:Zrychlení je přímo úměrné působící síle, má s ní stejný směr a je nepřímo úměrné hmotnosti tělesa..
Definujte zákon o nezávislosti silového působení (princip superpozice).Působí-li na hmotný bod (těleso) současně více sil, je výsledné zrychlení rovno vektorovému součtu zrychlení, udělených hmotnému bodu (tělesu) jednotlivými silami,.
Definujte pojem "setrvačná hmotnost".Je to hmotnost, která je mírou setrvačných účinků tělesa. Značíme ji ms. Setrvačnou hmotnost určíme například tak, že jak na referenční, tak na měřené těleso budeme definovaným způsobem působit stejnou silou. Referenční těleso se bude pohybovat se zrychlením a0, kdežto měřené těleso se zrychlením aX. Označíme-li setrvačnou hmotnost referenčního tělesa ms0 a měřenou setrvačnou hmotnost tělesa msX, potom z důvodu působení stejné síly na obě tělesa můžeme psát, že.Odtud pak určíme setrvačnou hmotnost tělesa jako.Setrvačnou hmotnost určíme měřením zrychlení.
Definujte pojem "tíhová síla".Tíhovou silou rozumíme sílu, kterou je těleso přitahováno k astronomickému objektu v jeho těsné blízkosti. Určíme jí vynásobením tíhové hmotnosti tělesa příslušným tíhovým zrychlením g. Tíhovou hmotnost mt určujeme vážením.
Vysvětlite vztah mezi tíhovou a setrvačnou hmotností.Rovnost tíhových hmotností dvou různých těles určíme vážením. Rovnost dvou setrvačných hmotností se projevuje tím, že stejně veliké síly jim udělují stejně veliké zrychlení. Otázku je, zda dvě tělesa, jedno např. olověné a druhé železné, která mají stejnou tíhovou hmotnost, budou mít stejné i hmotnosti setrvačné, tj. při působení stejných sil by nabývaly stejných zrychlení. Experimentálně bylo ukázáno, že různá tělesa o stejných tíhových hmotnostech, mají i stejné setrvačné hmotnosti. Takže byla zjištěna skutečnost, že z rovnosti tíhových hmotností plyne rovnost jejich hmotností setrvačných a naopak, tedy.Vydělíme-li prvou rovnici rovnicí druhou, dostaneme.Poměr hmotnosti tíhové a setrvačné téhož tělesa je pro všechna tělesa stejný. Závisí jen na volbě jednotek, v nichž tíhovou a setrvačnou hmotnost měříme. Máme-li obě hmotnosti ve stejných jednotkách, je tento poměr roven jedné. Pak hmotnost setrvačná každého tělesa je rovna jeho hmotnosti tíhové. Tento zajímavý výsledek je z Newtonovy mechaniky nevysvětlitelný. Byl objesněn až Einsteinovou teorií gravitace, podle které tíhové a setrvačné vlastnosti jsou projevem jedné a téže fyzikální veličiny - hmotnosti.
Co je to první základní úloha dynamiky?Je to úloha v níž je zadán pohybový zákon pro hmotný bod, tj. kinematická rovnice hmotného bodu (r(t) nebo v(t)), pomocí kterého máme určit sílu. Sílu získáme dle druhého pohybového zákona tak, že vynásobíme zrychlení hmotného bodu jeho hmotností, tj.,Přičemž zrychlení získáme z kinematické rovnice uvážením rovnostiBED Equation.3 .
Co je to druhá základní úloha dynamiky?Je to úloha, která má za úkol najít kinematické pohybové rovnice hmotného bodu (r(t) a v(t)), známe-li sílu, která na hmotný bod působí. K vyšetření této úlohy je nutné řešit rovnici, která je matematickým vyjádřením druhého pohybového zákona. Tato rovnice má následující tvar,kde síla je obecně funkcí času, polohy a rychlosti. K tomu, abychom mohli řešit vektorovou diferenciální rovnici druhého řádu, musíme navíc znát počáteční podmínky souřadnic r(t = t0) = r0 a rychlosti v(t = t0) = v0. Chceme-li řešit tuto vektorovou diferenciální rovnici, pak ji zpravidla řešíme pro jednotlivé složky, tj. vektorová diferenciální rovnice přejde v soustavu tří skalárních diferenciálních rovnic. V kartézkých souřednicích můžeme vyjádřit ve složkovém tvaru druhý pohybový zákon jako, , ,, , , EMBED Equation.3 , , ,Tyto rovnice se nazývají pohybové rovnice ve složkovém tvaru. Pro řešení pohybových rovnic ve složkovém tvaru je nutné znát i počáteční podmínky.
Definujte klasický (Galileiův) princip relativity a odvoďte Galileiovu transformaci.Všechny inerciální vztažné soustavy jsou pro popis mechanických dějů rovnocenné a žádnými mechanickými experimenty nelze změřit absolutní pohyb dané inerciální soustavy.Uvažujme dvě inerciální vztažné souřadnicové soustavy, přičemž předpokládáme, že se čárkovaná soustava vůči té nečárkované pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí vR. Jelikož jeden ze základních postulátů klasické mechaniky je předpoklad absolutního času, pak pro obě soustavy bude platit, že t = t'. Pro polohové vektory v uvažovaných soustavách dostáváme následující vztahr = r' + R = r' + vRt.Derivací podle času, s uvážením, že vR = konst., dostaneme.neboliv = v' + vR.Následující derivací podle času obdržíme rovnostnebolia = a'.Nalezené transformační vztahyr = r' + vRt,v = v' + vR,a = a',t = t',nazýváme Galileiova transformace..
Odvoďte pohybovou rovnici pro rotující soustavu.Uvažujme rotující vztažnou soustavu, která je soustavou neinerciální a označme ji jako souřadnicovou soustavu čárkovanou. Předpokládejme, že tato soustava rotuje s okamžitou úhlovou rychlostí ( vzhledem k inerciální vztažné soustavě, kterou označíme jako nečárkovanou. Tyto souřadnicové soustavy nechť mají společný počátek, viz obrázek. Je nutné si uvědomit, že se během otáčení čárkované soustavy s časem mění orientace jejích os x1', x2'a x3'. Vzhledem k tomu, že polohový vektor v obou soustavách ukazuje na tentýž bod P, musí být tyto vektory totožné. V případě, že by vektor r byl vzhledem k rotující (čárkované) soustavě konstantní, pak by v inerciální (nečárkované) soustavě byla jeho časová změna dána vztahem pro obvodovou rychlost hmotného bodu obíhajícího po kružnici, neboť, (1)kde rR je rovnoběžná složka vektoru r s osou rotace (vektorový součin s vektorem úhlové rychlosti ( je tedy roven nulovému vektoru) a rK je kolmá složka vektoru r na osu rotace soustavy, která odpovídá polohovému vektoru ze vztahu.Avšak v obecném případě se vektor r může s časem měnit vůči rotující (čárkované) soustavě, což označíme následujícím způsobem,(2)kde čárka u pravé části rovnice značí, že se jedná o časovou změnu vůči čárkované soustavě. Potom pro celkovou změnu polohového vektoru v nečárkované můžeme s přihlédnutím ke vztahům (1) a (2) psát, že.Rovnici můžeme přepsat do následujícího tvaru.kdenazýváme absolutní rychlost budu P vzhledem k inerciální soustavě,označujeme jako relativní rychlost bodu P vzhledem k neinerciální (rotující) soustavě a nazýváme unášivou rychlostí, jež je dána vlastní rotací neinerciální soustavy.
Napište operátor pro časovou změnu libovolné vektorové veličiny v inerciální soustavě vzhledem k rotující neinerciální s počátky ve stejném bodě..
Napište a vysvětlete transformační vztah pro časovou změnu libovolné vektorové veličiny v inerciální soustavě vzhledem k rotující neinerciální s počátky ve stejném bodě.Na vektor r je možné pohlížet jako na geometrický model, jelikož bod P, na který ukazuje, se může nacházet na libovolném místě, takže polohový vektor r může nabývat libovolné velikosti a orientace, a tudíž tímto může reprezentovat jakýkoliv vektor. Vzhledem k této skutečnosti musí platit pro libovolný vektor stejný transformační vzorec, který platí pro vektor r. Z tohoto důvodu platí transformační vzhah,kde A představuje libovolný vektor.
Odvoďte pohybovou rovnici pro neinerciální (rotující) soustavu a na její pravé straně ukažte fiktivní síly, které se zde uplatňují.Již víme, že transformační vztah platí pro libovolný vektor, musí tedy platit i pro vektor rychlosti.Levá strana rovnice představuje zrychlení a bodu P vzhledem k inerciální soustavě. Za rychlost v na pravé straně dosadíme vztah v = v' + ( × v, čímž dostáváme.Provedeme časovou derivaci prvního členu na pravé straně a zároveň roznásobíme závorku u druhého členu na pravé straně.(1)První člen na pravé straně rovnice reprezentuje zrychlení bodu P vzhledem k rotující soutavě a'. Časová změna vektoru úhlové rychlosti (úhlové zrychlení) v rotující soustavěje shodná s časovou změnou vektoru úhlově rychlosti v soustavě inerciální, o čemž se snadno přesvědčíme dosazením tohoto vektoru do transformačního vztahu.(2)Dosazením rovnosti (2) do rovnosti (1) dostáváme, že.S ohledem na tuto rovnost bude mít pohybová rovnice hmotného bodu o hmotnosti m pro inerciální soustavu F = ma následující tvar.Z pohybové rovnice pro inerciální vztažnou soustavu si můžeme snadno vyjádřit pohybovou rovnici pro neinerciální (rotující) soustavu,kterou můžeme přepsat do následujícího tvaru,kde síla F je reálná (skutečná) síla působící na hmotný bod, zatímco zbývající tři síly představují síly setrvačné, jež zajišťují jakousi "korekci" pohybové rovnice, aby mohla platit pro uvažovanou neinerciální soustavu.
Napište vztah pro výpočet Eulerovy síly a Eulerova zrychlení..
Napište vztah pro výpočet Coriolisovy síly a Coriolisova zrychlení..
Napište vztah pro výpočet odstředivé síly a odstředivého zrychlení..
Odvoďte vztah pro výpočet odstředivého zrychlení.K určení směru a velikosti odstředivého zrychlení vyjdeme z obrázku. Provedeme rozklad polohového vektoru do dvou složek r = r( + r||, kde složka r( je kolmá k ose rotace, kdežto složka r|| je s ní rovnoběžná. Dosazením těchto složek do výrazu pro odstředivou sílu a následné úpravě dostanemeJe vidět, že odstředivé zrychlení je kolmé na osu otáčení a má velikost, jež je dána součinem poloměru kružnice, kolem které bod P obíhá, o kvadrátu velikosti úhlové rychlosti. Vztah pro odstředivé zrychlení je možné upravit na základě výsledku a vztahu pro velikost unášivé rychlosti hmotného bodu vu = (r( následujícím způsobem.
Vysvětlete význam Coriolisovy síly a odvoďte vzorec pro její velikost.Coriolisova síla závisí na rychlosti, se kterou se vzhledem k rotující soustavě hmotný bod pohybuje. Je-li hmotný bod v klidu anebo se pohybuje rovnoběžně s osou otáčení, Coriolisova síla na něj nepůsobí. Největší vliv má Coriolisova síla na pohyby kolmé k ose otáčení. Coriolisova síla má vždy kolmý směr na pohyb hmotného bodu, a tedy se jedná o sílu gyroskopickou. Coriolisovu sílu je možné fyzikálně demonstrovat na následujícím příkladu. Uvažujme rotující disk s úhlovou rychlostí ω a o poloměru r, v jehož středu se nachází zařízení, které vystřelí kuličku rychlostí v, tak aby zasáhla terč umístěný na okraji disku. Kulička, kterou reprezentujeme hmotným bodem, se bude tedy pohybovat k okraji rotujícího disku a my její pohyb budeme pozorovat jak z pozice pozorovatele, který se nachází v inerciální soustavě (mimo disk), tak z pozice pozorovatele, jenž se nachází ve středu rotujícího disku, tedy v neinerciální vztažné soustavě. Nejdříve se budeme věnovat pozorovateli, který se nachází v inerciální soustavě, viz první obrázek. Na prvním obrázku a) je zachycena situace v počátečním čase t0. Díky tomu, že se disk otáčí úhlovou rychlostí ω, nezasáhne kulička terč. Z pohledu pozorovatele v inerciální soustavě se kulička pohybuje po přímce rychlostí v a v čase t dosáhne kraje disku, tj. r = vt, jak je zachyceno na obrázku b). Za čas t se terč posunul o úsek Δs, jemuž odpovídá středový úhel Δφ, takže platí.(1)Jinak pohyb kuličky vidí pozorovatel, který se nachází ve středu otáčejícího se disku. Tento pozorovatel je součástí neinerciální rotující vztažné soustavy. Pro tohoto pozorovatele se otáčí objekty mimo disk úhlovou rychlostí ω, avšak v opačném směru, než rotuje disk vzhledem k inerciální vztažné soustavě. Popsaná situace se nachází na druhém obrázku a). Pozorovatel v neinerciální soustavě samozřejmě rovněž pozoruje, že kulička nezasáhla terč. Jenže příčinu toho, že kulička, ač byla vystřelena přesně na terč, nezasáhla terč vidí z pohledu své soustavy jinak. Tento pozorovatel měl za to, že se kulička bude pohybovat rovnoměrně přímočaře, avšak vidí, že výsledný pohyb se děje po křivce, viz obr. b). Protože na základě zákona setrvačnosti se těleso pohybuje rovnoměrně přímočaře, dokud není přinuceno vnější silou jinak, usoudí pozorovatel z neinerciální soustavy, že na kuličku (hmotný bod) musela působit nějaká síla. Složka této síly, která je kolmá ke směru pohybu, způsobila odklon kuličky od terče Δs. Je-li hmotnost kuličky m a označíme-li onu sílu působící na kuličku FC, potom můžeme psát, že.(2)Jelikož kulička pro oba pozorovatele musí dopadnou do stejného místa, potom i dráhové úseky (1) a (2) musí být stejné. Dáme-li pravé strany výrazů do rovnosti, pak dostaneme, že.Porovnáním levé a pravé strany rovnice je zřejmé, že se síla FC musí rovnat následujícímu výrazu.
Odvoďte pohybovou rovnici pro neinerciální translační soustavu.Mějme inerciální soustavu, kterou označ