Kuželosečky

Kapitola VII:
Analytická geometrie - kuželosečky
KRUŽNICE
Napište rovnici kružnice ve středovém tvaru, jestliže:
má střed S = [-2, 6], r = 4
má střed S = [1, -4], r = 5
má střed S =[-2, 2], prochází bodem A = [-5,1]
má střed S = [4, -2], prochází bodem K = [-1, 2]
má průměr AB. A = [5, -1], B = [-3, 9]
má průměr KL, K = [-4, 2], L = [2, -6]
prochází body K = [-3, 2], L = [-1, 4], M = [3, 0]
je opsaná trojúhelníku ABC, A = [-5, 0], B = [2, -1], C = [1, 2]
je opsaná trojúhelníku PQR, P = [0, 0], Q = [4, 0], R = [4, 8]
je opsaná trojúhelníku PQR, P = [-1, 3], Q = [0, 2], R = [1, -1]
má střed S = [-5, 4] a dotýká se přímky p: 3x – 4y + 6 = 0
má střed S = [-1, 1] a dotýká se přímky p: y = 3x -6
se dotýká osy x v bodě T = [3, 0] a prochází bodem K = [0, 1]
se dotýká osy y v bodě Y = [0, -4] a osu x protíná v bodě X = [6, 0]
se dotýká osy x i osy y a prochází bodem M = [-2, 1]
se dotýká obou souřadných os a prochází bodem H = [-2, -4]
se dotýká obou souřadných os a prochází bodem F = [-6, -3]
sedotýká obou souřadných os a má poloměr r = 5
se dotýká obou souřadných os a její střed leží na přímce p: x + 3y – 4 = 0
se dotýká obou souřadných os a její střed leží na přímce q: y = x + 3
má střed S = [-5, 4] a na přímce p: y = 2x + 4 vytíná tětivu délky 8
se dotýká osy x a prochází body E = [3, 2], F = [1, 4]
se dotýká přímek p: x = -2 a q: y = 1 a prochází bodem L = [1, -5]
Rozhodněte, zda se jedná o rovnici kružnice, pokud ano, určete její poloměr a souřadnice středu a kružnici načrtněte:
x2 + y2 – 10 x – 6y + 2 = 0
x2 + y2 + 8x – 4y -10 = 0
x2 + y2 + 6x – 2y + 4 = 0
x2 + y2 – 2x – 10 = 0
x2 + y2 + 4y = 0
x2 + y2 – 4x + 8y – 16 = 0
x2 + y2 - 12x + 10y -3 = 0
x2 + y2 + 10x – 6y + 9 = 0
Určete souřadnice středu kružnice a vypočtěte jeho vzdálenost od přímky p:
x2 + y2 – 4x + 8y -5 = 0, p: y = 4x -3
x2 + y2 + 2x -8y - 6 = 0, p: x + 3y - 8 = 0
x2 + y2 + 6x + 2y – 1 = 0. p: x – y – 5 = 0
x2 + y2 - 8x – 2y = 0, p: y = 3x + 1
Středem kružnice veďte rovnoběžku s přímkou q:
x2 + y2 - 2x – 4y + 1 = 0, q: 2x – y – 5 = 0
x2 + y2 + 6x – 8y - 5 = 0, q: y = 3x + 1
x2 + y2 + 8x – 10y – 10 = 0, q: y = x - 8
x2 + y2 - 10x – 6y + 4 = 0, q: 6x – 3y - 1 = 0
Středem kružnice veďte kolmici k přímce r:
x2 + y2 – 4x – 8y - 7 = 0, r: 4x – 3y – 2 = 0
x2 + y2 + 2x – 8y + 2 = 0, r: y = 2x – 3
x2 + y2 + 8x – 7 = 0, r: 3x + 2y – 8 = 0
x2 + y2 + 10x – 4y - 8 = 0, r: y = 3x – 1
Určete vzdálenost středů kružnic k1 a k2:
k1: x2 + y2 - 2x – 4y + 1 = 0
k2: x2 + y2 + 8x – 7 = 0
b) k1: x2 + y2 – 10 x – 6y + 2 = 0
k2: x2 + y2 + 10x – 4y - 8 = 0
c) k1: x2 + y2 - 12x + 10y - 2 = 0
k2: x2 + y2 – 10 x – 6y + 2 = 0
Zjistěte, jaká je vzájemná poloha kružnice a přímky. V případě sečny vypočtěte délku tětivy, kterou vytíná kružnice na dané přímce:
x2 + y2 – 10 x – 6y - 6 = 0, p: 2x + y – 3 = 0
x2 + y2 = 25, p: y = - x + 9
x2 + y2 – 2x + 4y - 175 = 0, p: x – 2y – 10 = 0
x2 + y2 – x – 2y = 0, p: x + 2y – 5 = 0
x2 + y2 + 4x – 8y + 3 = 0, p: y = 2x + 1
x2 + y2 – 2x – 16y + 5 = 0, p: 3x – y – 1 = 0
x2 + y2 = 10, p: y = x - 2
Napište rovnice tečen ke kružnici, které jsou rovnoběžné s danou přímkou:
x2 + y2 – 10 x + 15 = 0, p: 3x – y – 1 = 0
x2 + y2 – 4 = 0, p: y = x
x2 + y2 - 8x – y + 5 = 0, p: 2x – y + 2 = 0
Napište rovnice tečen ke kružnici, které jsou kolmé k dané přímce:
x2 + y2 - x – 2y = 0, p: y = 2x + 6
x2 + y2 + 4x – 2y + 3 = 0, p: x + y – 5 = 0
x2 + y2 –6y + 1 = 0, p: x – y – 10 = 0
Vypočtěte, jak velký úhel svírají tečny vedené z bodu ke kružnici:
x2 + y2 + 4x = 0, M = [0, 3]
x2 + y2 – 2y = 0, M = [-3, 0]
x2 + y2 + 2x – 2 = 0, M = [1, 0]
Napište rovnici tečen ke kružnici v daném bodě T:
x 2 + y2 – 2x + 4y = 0, T = [2, -4]
x2 + y2 = 25, T = [3, 4]
Určete hodnotu parametru h tak, aby přímka byla tečnou kružnice:
x2 + y2 = h2, p: x + 2y – 1 = 0
x2 + y2 + 2x – 1 = 0, p: x = - 1 + t, y = h – t
x2 + y2 + 2x = 0, p: hx – y – h = 0
x2 + y2 – 2 = 0, p: y = x + h
13. Určete souřadnice středů kružnic daných rovnicemi x2 + y2 + 2x + 4y + 1 = 0, x2 + y2 - 8x + 6y + 9 = 0 a napište rovnici přímky, která těmito středy prochází.
ELIPSA
Napište rovnici elipsy, jestliže má:
ohniska E = [-3, 2], F = [3, 2] a hlavní poloosu a = 5
ohniska E = [1, 8], F = [1, 0] a vedlejší poloosu b = 3
ohniska E = [3, 1], F = [5, 1] a hlavní vrchol A = [7, 1]
ohniska E = [-2, -2], F = [-2, 6] a hlavní vrchol A = [-2, 7]
ohnisko E = [3, -2] a vedlejší vrcholy C = [6, 2], D = [6, -6]
hlavní vrcholy A = [-4, -1], B = [3, -1] a vedlejší vrchol C = [-0,5, 1,5]
vedlejší vrcholy C = [1, 1], D = [1, 7], hlavní vrchol A = [-4, 4]
hlavní vrchol B = [6, 2], hlavní poloosu a = 5 a excentricitu e = 3
ohnisko E = [6, 2], střed S = [3, 2] a vedlejší poloosu b = 4
osy rovnoběžné se souřadnými osami, dotýká se osy x a y a má střed S = [6, 2]
osy rovnoběžné se souřadnými osami, dotýká se osy x a y a má střed S = [-3, -5]
osy rovnoběžné se souřadnými osami, dotýká se osy x v bodě X = [-4, 0] a y v bodě Y = [0, -3]
osy rovnoběžné se souřadnými osami a dotýká se osy x v bodě X = [6, 0] a osy y v bodě Y = [0, -3]
hlavní osu totožnou s osou x, střed v počátku, hlavní poloosu a = 4 a prochází bodem M = [-2√3, 1]
hlavní osu totožnou s osou y, střed v počátku, hlavní polosu délky 4 a prochází bodem K = [-2√2, 4]
osy totožné se souřadnými osami a prochází body K = [-6, √7] a L = [3√2, 4]
osy rovnoběžné se souřadnými osami, střed S = [-2, 3] a prochází body U = [-2, 4] a V = [-5, 3].
Převeďte rovnici elipsy do středového tvaru, určete její základní parametry a elipsu načrtněte:
4x2 + y2 = 20
x2 + 4y2 - 6x + 1 = 0
4x2 + 9y2 – 8x – 36y + 4 = 0
2x2 + 3y2 – 12x + 6y + 20 = 0
4x2 + 9y2 – 16x – 18y - 11 = 0
2x2 + 3y2 + 12x – 6y + 9 = 0
9x2 + 25y2 - 54x - 100y -