- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
hrw17
BFY2 - Fyzika 2
Hodnocení materiálu:
Vyučující: doc. RNDr. Milada Bartlová Ph.D.
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiál17
Vlny ó I
V okruhu nÏkolika desÌtek centimetr˘ od tohoto pÌseËnÈho ötÌra se v pÌsku
pohybuje brouk. M· sm˘lu. ätÌr se k nÏmu okamûitÏ natoËÌ a ulovÌ ho.
P¯itom ötÌr nem˘ûe brouka vidÏt (lovÌ z·sadnÏ v noci), ani slyöet. Jak
tedy dok·ûe tak p¯esnÏ lokalizovat svou ko¯ist
?
17.3 VLNY PŘÍČNÉ A PODÉLNÉ 439
17.1 VLNYAČÁSTICE
Když se chcete domluvit se svým přítelem ve vzdáleném
městě,můžetemunapsatdopis nebozatelefonovat.
První způsob komunikace (dopis) má povahu „čás-
tice“:hmotnýobjektsepohybujezjednohomístanadruhé
a přenáší přitom energii a informaci. Ve většině předcho-
zíchkapitoljsmestudovaliindividuálníčásticenebojejich
soustavy.
Druhýzpůsob (telefonem) má povahu „vlny“; tou se
budemezabývatvtétoavpříštíkapitole.Takévlnypřená-
šejíinformaciaenergiizmístanamísto.Přitomvšaknepu-
tují žádné hmotné objekty. Během telefonování předávají
nejprve zvukové vlny vaši zprávu od hlasivek k mikrofo-
nu. Dále přebírají štafetu elektromagnetické vlny a zpráva
je jimi přenášena měděným vodičem, optickým vláknem
nebo možná i atmosférou přes komunikační družici. Na
druhém konci je zpráva opět transformována na zvukové
vlnyaputujeodsluchátkakuchuvašehopřítele.Zprávaje
předána,avšakvášpřítelneobdrželnicztoho,čehojstese
dotkli vy. Tuto vlastnost vln pochopil Leonardo da Vinci,
když píše o vlnách na vodní hladině: „Často se stává, že
vlna uniká z místa svého zrození, zatímco voda nikoliv;
podobnějakovětremvytvořenévlnyběžípřesobilnépole,
zatímcojednotlivéklasyzůstávajínamístě.“
Částicea vlna jsou dva klíčové pojmy klasické fyzi-
ky. Tím říkáme, že se jeden nebo druhýz těchto pojmů
uplatňuje téměř v každém odvětví klasické fyziky. Přitom
jsoutopojmyzásadněodlišné.Slovočásticevyvolávápřed-
stavumateriálníhoobjektu,soustředěnéhovmalémobjemu
a schopného přenášet energii. Slovo vlna vzbuzuje před-
stavu právě opačnou. Vybavuje se nám široce rozložená
energie, vyplňující celýprostor, kterým vlna putuje. Před
námijenyníkuspráce,přikterésedozvímeovlnáchvíce.
Pojemčásticepřitom nachvíliodložímestranou.
17.2 DRUHYVLN
Setkávámesesetřemidruhy vln:
1. Vlny mechanické. Tyto vlny jsou nejznámější, pro-
tože se s nimi téměř neustále setkáváme. Běžné příklady
jsouvlnynavodníhladině,zvukovévlnyaseizmickévlny.
Všechnymechanickévlnymajíspolečnézákladnírysy:řídí
se Newtonovými zákony a mohou existovat pouze v urči-
témlátkovémprostředí(voda,vzduch,hornina).
2. Vlnyelektromagnetické.Tyjsoujižznáméoněcomé-
ně,avšakpoužívámeje praktickyneustále;běžnépříklady
jsouviditelnéaultrafialovésvětlo,rádiovéateleviznívlny,
rentgenovézáření,radarovévlny.Prosvouexistencinevy-
žadují látkové prostředí. Například světlo hvězd se k nám
šíří vakuem v kosmu. Všechny elektromagnetické vlny se
vevakuušíří stejnourychlostíc:
c= 299792458m·s
−1
(rychlost světla). (17.1)
3. Vlny hmoty (de Broglieho vlny). I když se tyto vlny
běžněvyskytujívmoderníchzařízeních,nenítentodruhvln
příliš znám. Elektrony, protony, další elementární částice
adokonceatomyamolekulyseprojevujíjakovlny.Protože
běžněpředpokládáme,žeuvedenéobjektyjsoustavebními
elementy hmoty, nazýváme tyto vlny vlnami hmoty nebo
častějideBroglieho.
Vtétokapitolesevýkladzvelkéčástitýkávšechuve-
denýchdruhůvln.Nicméněkonkrétníjevybudemevysvět-
lovatnavlnáchmechanických.
17.3 VLNYPŘÍČNÉAPODÉLNÉ
Nejjednodušší mechanická vlna je vlna vyslaná podél na-
pnutéhoanajednomkonciupevněnéhoprovazu(obr.17.1).
Kdyžnadruhémkoncirychletrhneteprovazemjednouna-
horu a dolů, začne se podél něj šířit vlna ve formě pulzu
jako na obr.17.1a. Pulz se může šířit jen díky tomu, že
(a)
x
y
v
Typická hmotná částice
provazu se při průchodu
pulzu pohybuje jednou
nahoru a dolů.
(b)
x
v
Typická hmotná částice
provazu se při průchodu
vlny pohybuje nepře-
tržitě střídavě nahoru
a dolů.
Obr.17.1 (a)Vysláníizolovaného pulzupodélnataženéhopro-
vazu.(b)Vysláníspojitésinusovévlnypodélprovazu.Libovolná
hmotná částice provazu (na obrázku znázorněná tečkou) kmitá
ve směru kolmém ke směru šíření vlny. Vlna je tedy příčná
(transverzální).
440 KAPITOLA 17 VLNY — I
vprovazulzevyvolatnapětí.Kdyžtotižpřesouvámerukou
nahoru první úsek provazu, je díky napětí v provazu tažen
nahoru také přilehlýúsek. A když se již začne nahoru po-
hybovat tento přilehlýúsek, je jím opět tažen nahoru také
následujícíúsekatd.Mezitímvšakjižnašerukatáhnekonec
provazusměremdolů.Atakkaždýúsek,kterýsepohybuje
nahoru, začíná být tažen dolů sousedními úseky, které se
již pohybují směrem dolů. Celkovývýsledek vzájemného
působeníjednotlivýchúsekůpakspočívávpohybuzměny
tvaruprovazu(vpohybupulzu)podélprovazuurčitourych-
lostí v.
Když pohybujeme rukou harmonicky nahoru a dolů,
je její pohyb popsán funkcí sinus, a vlna obvykle má (při
nepříliš velkých výchylkách) také v libovolném okamžiku
sinusovýtvar,jakonaobr.17.1b.Toznamená,žetvarvlny
odpovídákřivce,představujícífunkcisinusnebokosinus.
V naší úvaze vystupuje „ideální“ provaz (vlákno,
struna), tj. neuvažujeme síly tření, které by šířící se vlnu
nakonec utlumily. Navíc předpokládáme, že provaz je do-
statečnědlouhý,anemusímesetedyzatímzabývatodrazem
vlnynavzdáleném,upevněnémkonciprovazu.
Dosud jsme studovali vlny na obr.17.1 tak, že jsme
vlastně sledovali tvarvlny při jejím pohybu směrem do-
prava.Nadruhéstraněmůžemetakésledovatpohybpevně
zvolené částice provazu, tj. sledovat její kmitání nahoru
adolůpřiprůchoduvlny.Jakjevyznačenonaobr.17.1,vý-
chylkakaždéčásticeprovazujekolmákesměrušířenívlny.
Pohyb typické částice jepříčný(transverzální), samotná
vlna se nazývávlnapříčná(transverzální). Zde se zabý-
váme jen lineárně polarizovanou vlnou, jejíž výchylka
mástálýsměr(neorientovaný).Jinédruhypolarizacezave-
demeažvčl.34.6.
Obr.17.2znázorňujevznikzvukovévlnyvdlouhétru-
bici, která je vyplněna vzduchem a na jednom konci uza-
vřena pístem. Jestliže rychle postrčíme píst doprava a pak
hneddoleva,vyšlemedotrubicezvukovýpulz.Pohybpístu
doprava vyvolá pohyb vzduchu těsně za pístem také smě-
remdoprava.Těsněvpravozapístemtakvznikáoblastvyš-
šíhotlakuvzduchu.Tatooblastvyvíjítlaksměremdoprava
astlačujevzduchvsousednímobjemovémelementu,umís-
těnémsměremdopravapodélosytrubice.Mezitímvšakjiž
vznikl těsně za pístem podtlak, nebotquoteright jsme jej posunuli
směrem
doleva. Pohyb libovolné částice vzduchu směrem do-
pravajetaknásledovánpohybemsměremdoleva.Posunutí
jednotlivých částic a současně změny tlaku tak putují jako
pulzsměremdopravapodélosytrubice.
Jestliženynípohybujemepístemstřídavědopravaado-
leva, uskutečňuje píst harmonickýpohyb a podél osy tru-
bice se šíří sinusová vlna. Jak je naznačeno na obr.17.2,
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;; ;; ;
;
;
;
;
;
;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;;;;;;;
v
vzduch
typická částice se
pohybuje dopředu
a dozadu
Obr.17.2 Pohybempístudopředuadozaduvyšlemedotrubice
naplněné vzduchem zvukovou vlnu. Částice vzduchu (na ob-
rázkujeznázorněnačernoutečkou)přitomkmitárovnoběžněse
směrempostupu vlny. Vlna je tedy podélná (longitudinální).
typickáčásticevzduchuse přitom pohybuje vesměru rov-
noběžném s osou trubice, a tedy také se směrem šíření
vlny. Tento pohyb označujeme jako podélný (longitudi-
nální),samotnouvlnunazývámevlnoupodélnou(longitu-
dinální).Vtétokapitolesezaměřímenapříčnévlnyaspe-
ciálněnavlny,vznikajícívestrunách.Vkap.18sebudeme
věnovatvlnámpodélnýmaspeciálněvlnámzvukovým.
Zatímjsmeprobíralivlnypostupné;typostupujízjed-
nohomístanadruhé.Taknapříkladvlnanaobr.17.1postu-
puje od jednoho konce provazu směrem k druhému konci,
vlna naobr.17.2 postupujeod jednohokonce trubicesmě-
remkdruhémukonci.Všimněmesi,žepostupujeskutečně
pouze vlna a nikoliv látka (to jest částice provazu nebo
částicevzduchu),kterousevlnašíří.
Štírnaúvodnífotografiitétokapitolyvyužívákzamě-
ření své kořisti jak příčné, tak podélné vlny. Brouk totiž
při každém svém pohybu nepatrně pohybuje zrnky písku
a vysílá tak podél povrchu písku pulzy (obr.17.3). Jsou to
jednak pulzy podélné, šířící se rychlostí v
l
= 150m·s
−1
,
jednakpulzypříčné,postupujícírychlostív
t
= 50m·s
−1
.
d
v
l
v
t
v
l
v
t
brouk
podélné
pulzy
příčné
pulzy
Obr.17.3 Pohybembroukajsouvyvolánypodélpovrchupísku
rychlépodélnépulzyapomalejšípulzypříčné.Štírtedynejprve
zachytí pulzy podélné. Na obrázku je znázorněno, jak jsou tyto
podélné pulzy nejdříve zachyceny pravou nejzadnější (čtvrtou)
končetinou.
17.4 POSTUPNÉ VLNY 441
Osm končetin štíra je při lovu rozloženo zhruba na
kružnici o průměru 5cm. Štír tedy přijímá svými konče-
tinami nejprve rychleji postupující podélné pulzy. Azimut
kořistijeurčenkončetinou,kterázachytilapulzyjakoprv-
ní.Potéštírvyhodnotíčasovýinterval Delta1tmezizachycením
prvního podélného pulzu a prvního pomalejšího, příčného
pulzu.Označíme-livzdálenostkořistid, platí
Delta1t =
d
v
t
−
d
v
l
,
atotedyznamená
d =(75m·s
−1
)Delta1t.
Jestliže vezmeme například Delta1t = 4,0ms, vychází d =
= 30cm. Tím je kořist perfektně zaměřena a zbytek je již
proštírarutinní záležitost.
17.4 POSTUPNÉVLNY
K úplnému popisu vlny ve struně (tj. k popisu pohybu její
libovolnéčástice)potřebujemeznátfunkci,kteráurčujetvar
vlny. Formálněji řečeno, potřebujeme znát funkční závis-
losty =y(x,t).Ta určujepříčnou výchylku určitéčástice
strunyjakofunkcičasutapolohyxtétočásticepodélstru-
ny. Pro vlny sinusového tvaru (nazývané též harmonické),
jako jsou vlny na obr.17.1b, je výchylka y dána funkcí
sinus(nebo kosinus).
Má-li sinusová vlna na obr.17.1b postupovat stálou
rychlostívesměruosyx,musíbýtpříčnávýchylkayčástice
strunyosouřadnicixv časet určenavztahem
y(x,t)=y
m
sin(kx−ωt). (17.2)
Zde y
m
je amplituda vlny; index m znamená maximum.
Amplituda vlny udává velikost maximální výchylky libo-
volné částice struny. (Amplituda y
m
je tedy vždy kladná
veličina.) Veličinyk aωjsou konstanty; jejich význam se
právěchystámediskutovat.Veličinakx−ωtsenazýváfáze
vlny.
Patrně si kladete otázku, proč jsme si k podrobněj-
šímu studiu vybrali právě vlny sinusové, tj. vlny popsané
rov.(17.2), když přece existuje nekonečně mnoho vln růz-
ných jiných tvarů. Náš výběr je ale moudrý. Jak uvidíme
v čl.17.8, všechny jiné tvary vln — počítaje v to i pulz na
obr.17.1a — lze vytvořit sčítáním sinusových vln. Stačí,
když u jednotlivých sčítanců pečlivě vybereme amplitudy
a konstantyk. Klíčem k pochopení vln obecného tvaru je
tedystudiumvlnsinusových.
(a)
x
y
x
1
y
m
λ
(b)
t
y
y
m
t
1
T
Obr.17.4 (a) Snímek struny, zaznamenanýv okamžiku t =
= 0. Na struně postupuje sinusová vlna určená rov.(17.2). Na
obrázku je vyznačena vlnová délka: je to podélná vzdálenost
mezi dvěma nejblíže po sobě následujícími částicemi struny
(jsou vyznačeny tečkami), v nichž se situace opakuje (stejná
příčnávýchylkavestejnéčástikřivky).Naobrázkujevyznačena
takéamplitudavlnyy
m
,tj.největšípříčnávýchylkajednotlivých
částic. (b) Závislost výchylky částice se souřadnicí x = 0na
čase při průběhu sinusové vlny tímto místem. Na obrázku je
vyznačena typická periodaT: je to doba mezi nejdříve po sobě
následujícími okamžiky, ve kterýchje stavčástice shodný. Tyto
časové okamžiky odpovídají dvěma tečkámna obrázku.
Funkcevrov.(17.2)mádvěnezávisleproměnné(sou-
řadnicixa čast). Úplné znázorněnífunkční hodnotyyje-
dinoukřivkouvdvojrozměrnémobrázkutedynenímožné.
Ke zviditelnění pohybu celé vlny v reálném čase bychom
potřebovali videokameru. Nicméně hodně se můžeme do-
zvěděti studiemdvojicekřivekna obr.17.4.
Vlnovádélkaaúhlovývlnočet
Naobr.17.4avidímezměnupříčnévýchylkyvjednomda-
ném okamžiku v závislosti na poloze částicex. Výchylka
je určena rov.(17.2). Uvedenýokamžik jsme zvolili libo-
volně, ale pevně; můžeme jej označitt = 0. Jinak řečeno,
uvedenákřivkapředstavuje„snímek“vlnyvtomtookamži-
ku.Jestližetedy vrov.(17.2)položímet = 0,dostaneme
y(x,0)=y
m
sinkx (t= 0). (17.3)
Křivkanaobr.17.4apředstavujeprávětutofunkci;ukazuje
tedyokamžitýtvarvlny včase t = 0.
Vlnovádélkaλvlny je nejmenší vzdálenost (měřená
vesměrušířenívlny),nakterédocházíkopakovánítvaruvl-
ny.Typickávlnovádélkajevyznačenanaobr.17.4a.Podle
uvedenédefinicejepříčnávýchylkastejnánaoboukoncích
442 KAPITOLA 17 VLNY — I
intervalu délky λ, tedy v místech x = x
1
a x = x
1
+λ.
Včaset = 0jeovšemvýchylkavlibovolnémmístěurčena
rov.(17.3).Dostávámetedy
y
m
sin(kx
1
)=y
m
sin(k(x
1
+λ))=
=y
m
sin(kx
1
+kλ). (17.4)
Funkcesinussezačínáopakovat,jestližezvětšímejejíargu-
ment(úhel)o2D4rad;pronejkratšívzdálenostλvyhovující
rov.(17.4) tedyplatíkλ= 2D4,tj.
k=
2D4
λ
(úhlovývlnočet). (17.5)
Konstantuknazývámeúhlovýmvlnočtemdané vlny; její
jednotkouvsoustavěSIjeradiánnametr.(Zdůrazněme,že
symbolkzde nemá významtuhostipružiny,jaktomubylo
vpředchozíchkapitolách.)
Perioda,úhlováfrekvenceafrekvence
Naobr.17.4bvidímečasovouzávislostvýchylkyyčástice
sesouřadnicíx.Závislostjevyčíslenapodlerov.(17.2)pro
polohux= 0.Kdybychommohlinafilmovatpohybstruny,
viděli bychom, jak se uvedená částice pohybuje nahoru
a dolů. Přesněji: částice uskutečňuje harmonickýpohyb.
Pohyb částice je tedy popsán rov.(17.2), v níž položíme
x= 0:
y(0,t)=y
m
sin(−ωt)=
=−y
m
sinωt (x= 0). (17.6)
Zde jsme použili vztahu sin(−α)=−sinα, platného pro
libovolnýúhel α. Obr.17.4b demonstruje právě uvedenou
časovouzávislost; není tedyzobrazenímtvaru vlny.
Periodu kmitů vlny definujeme jako dobu mezi nej-
dříve po sobě následujícími okamžiky, ve kterých je stav
(tj.výchylkairychlost)určitéčásticestrunystejný(poloha
částicex je přitom libovolná, ale pevná). Typická perioda
je vyznačena na obr.17.4b. Když použijeme rov.(17.6) na
oba časové okamžiky, ohraničující uvedenýinterval, musí
seobavýsledkyshodovat.Tak dostáváme
−y
m
sinωt
1
=−y
m
sinω(t
1
+T)=
=−y
m
sin(ωt
1
+ωT). (17.7)
Pro nejkratší dobu T vyhovující této rovnici tedy platí
ωT = 2D4,tj.
ω=
2D4
T
(úhlová frekvence). (17.8)
Veličinaωsenazýváúhlováfrekvence(úhlovýkmitočet)
danévlny;jejíjednotkavsoustavěSIjeradiánzasekundu.
Frekvencevlnyf jedefinovánajako1/T asúhlovou
frekvencíωsouvisívztahem
f =
1
T
=
ω
2D4
(frekvence). (17.9)
Podobně jako frekvence harmonického pohybu v kap.16
představuje frekvence f počet kmitů za jednotku času.
V nynější souvislosti kmitá částice struny při průchodu
vlny místem, ve kterém je částice umístěna. Stejně jako
v kap.16 vyjadřujeme frekvenci obvykle v hertzích nebo
v jejichnásobcích.
K
ONTROLA1:Naobrázkujsouuvedenysnímkytřívln,
postupujícíchpodélstruny.Fázetěchtovlnjsouurčeny
vztahy(a)2x−4t,(b)4x−8t a(c)8x−16t.Přiřadquoterightte
uvedenéfázejednotlivýmvlnámnaobrázku.
y
x
123
17.5 RYCHLOSTPOSTUPNÉVLNY
Na obr.17.5 vidíme dva snímky vlny určené rov.(17.2).
Snímky byly vytvořeny v malém časovém odstupu Delta1t.
Vlna postupuje ve směru osy x (na obr.17.5 směrem do-
prava). Celá křivka,znázorňující tvar vlny, se tedy posune
v uvedeném směru za dobuDelta1t o vzdálenostDelta1x. Zlomek
Delta1x/Delta1t představuje rychlostvlny (v limitě infinitezimál-
níchpřírůstkůpřecházízlomeknaderivacidx/dt).Jakmů-
žemetuto rychlosturčit?
y
x
A
v
Delta1x
vlnav časet=0
vlnav časet
prime
=Delta1t
Obr.17.5 Dva snímky postupné vlny popsané v rov.(17.2).
První snímek zachycuje vlnu v čase t = 0, druhýv pozděj-
ším časet
prime
=Delta1t. Během časového intervaluDelta1t se celá křivka
posunula ovzdálenostDelta1xdoprava.
Při postupu vlny na obr.17.5 si zachovává každýbod
na křivce (jako například bod A) svou výchylku y.(Zde
17.5 RYCHLOST POSTUPNÉ VLNY 443
nehovoříme o částicích vlákna, jejichž výchylka se nepo-
chybně mění s časem, ale o bodech na křivce, mající tvar
vlny.) Pro každýtakovýbod musí být argument funkce
sinusv rov.(17.2)konstantní:
kx−ωt = konst. (17.10)
Všimnětesi,žeačkolivjetentoargument(zvanýfáze)kon-
stantní,veličinyxatsemění.Vzrůstá-ličast,musívzrůstat
ipolohaxtak,abysefázeneměnila.Tímmámepotvrzeno,
žesebodAaobecnějiicelávlnapohybujívesměruosyx.
K určení rychlosti vlnyvzderivujeme podle času obě
stranyrov.(17.10).Tak získáme
k
dx
dt
−ω= 0
neboli
dx
dt
=v=
ω
k
. (17.11)
Když nyní použijeme rov.(17.5) (tj. vztah k = 2D4/λ)
a rov.(17.8) (tj. vztahω = 2D4/T), můžeme rychlost vlny
vyjádřitjako
v=
ω
k
=
λ
T
=λf (rychlost vlny). (17.12)
Rovnice v = λ/T nám říká, že rychlost vlny vyjadřuje
posuv o jednu vlnovou délku za periodu: za dobu jedné
periodypostoupívlnao jednuvlnovoudélku.
Rov.(17.2) popisuje vlnu, která postupuje ve směru
osyx. Jestliže nahradíme v rov.(17.2) proměnnout výra-
zem −t, získáme rovnici vlny, která postupuje opačným
směrem.To odpovídápodmínce
kx+ωt = konst., (17.13)
kdynaopak(srovnejtesrov.(17.10))klesáxsrostoucímt.
Vlna, která postupuje proti směru osy x, je tedy popsána
rovnicí
y(x,t)=y
m
sin(kx+ωt). (17.14)
Kdybychom studovali vlnu určenou rov.(17.14) na-
prostostejnýmpostupem,jakýjsmepředchvílípoužilipro
vlnupodlerov.(17.2),dostalibychomprojejírychlost
dx
dt
=−
ω
k
. (17.15)
Záporné znaménko (v porovnání se znaménkem plus
vrov.(17.11))zdeukazuje,ževlnanynískutečněpostupuje
protisměruosyx.Tímjsmezpětněověřilisprávnostzměny
znameníu časovéproměnné.
Uvažmenynívlnuobecnéhotvarupostupujícíve směru
osyxstálourychlostív.(Vlnupostupujícíprotisměruosyx
lze vyjádřit záměnou v →−v.) Takovou vlnu můžeme
vždypopsatrovnicí
y(x,t)=h(x−vt), (17.16)
kde h je libovolná funkce. Jednou z možností je právě
funkce sinus,jako v rov.(17.2) zapsanéve tvaruy(x,t)=
= y
m
sin
parenleftbig
k(x−
ω
k
t)
parenrightbig
. Z rov.(17.16) je vidět (a dokázali
bychom to jako výše), že vlna se beze změny tvaru pohy-
bujestálourychlostívpodélosyx(prov>0).Atakéob-
ráceně,rovnici libovolné postupné vlny s konstantní rych-
lostí v lze zapsat ve tvaru (17.6). Tak například rovnice
y(x,t) =
√
ax+bt popisuje možnou (ačkoliv fyzikálně
snad poněkud bizarní) postupnou vlnu. Na druhé straně
vztahy(x,t)= sin(ax)cos(bt) není rovnicí postupné vl-
ny.
PŘÍKLAD17.1
Uvažmesinusovou vlnu popsanou rovnicí
y= 0,00327sin(72,1x−2,72t), (17.17)
což je stručnýzápis, běžně užívanýnamísto přesnějšího, ale
méněpřehledného zápisu
y(x,t)=(0,00327m)sin(72,1rad·m
−1
x−2,72rad·s
−1
t).
(a)Jakou má vlna amplitudu?
ŘEŠENÍ: Přisrovnánídanérovnicesrov.(17.2)vidíme,že
y
m
= 0,00327m = 3,27mm. (Odpovědquoteright)
(b) Jakou má vlnovou délku, periodu a frekvenci?
ŘEŠENÍ: Vyjdemezrov.(17.17),vekteréjsouzadányhod-
noty úhlového vlnočtu a úhlové frekvence. Dále použijeme
rov.(17.5):
λ=
2D4
k
=
2D4rad
(72,1rad·m
−1
)
=
= 8,71cm. (Odpovědquoteright)
Periodu dostaneme z rov.(17.9):
T =
2D4
ω
=
2D4rad
(2,72rad·s
−1
)
=
= 2,31s. (Odpovědquoteright)
Frekvenceje podle rov.(17.9)
f =
1
T
=
1
(2,31s)
= 0,433Hz. (Odpovědquoteright)
(c)Jak rychle tato vlna postupuje?
444 KAPITOLA 17 VLNY — I
ŘEŠENÍ: Použijeme rov.(17.12), podle které
v=
ω
k
=
(2,72rad·s
−1
)
(72,1rad·m
−1
)
= 0,0377m·s
−1
=
= 3,77cm·s
−1
. (Odpovědquoteright)
(d)Jakájepříčnávýchylkay na souřadnici x = 22,5cm
v časet = 18,9s?
ŘEŠENÍ: Po dosazení za k,x,ω a t do rov.(17.17) vyjde
argumentfunkcesinus−35,1855rad.Dáleprobíhávyčíslení
výchylky takto:
y=(0,00327m)sin(−35,1855rad)=
=(0,00327m)(0,588)=
= 0,00192m = 1,92mm. (Odpovědquoteright)
Příčná výchylka je tedy kladná. (Před vyčíslením funkce si-
nus se přesvědčte, že kalkulačku máte nastavenu do modu
obloukové míry.)
PŘÍKLAD17.2
V př.17.1d jsme studovali vlnu určenou rov.(17.17). Vypo-
četli jsme příčnou výchylku y částice struny o souřadnici
x = 0,225m v čase t = 18,9s. Velikost výchylky vyšla
1,92mm.
(a)Jakájepříčnárychlostutéžečásticestrunyvtomtéžčase
a pro tutéž vlnu? (Příčná rychlost je spojena s příčným kmi-
táním uvedené částice, má tedy stejnýsměr jako výchylka,
tj.směrosyy.Nezaměňujmejiskonstantnírychlostí
Vloženo: 18.05.2009
Velikost: 906,96 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2024 unium.cz