- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiál1
GRAVITAČNÍ A TÍHOVÉ POLE
Téměř žádný z nás pozemšťanů se nepozastavuje nad tím, že kámen uvolněný ze skály
padá dolů; nedivíme se ani tomu, že chodíme po podlaze a ne po stropě. Trochu více se
možná zamýšlíme při pohledu na jasnou letní oblohu: jak to, že všechna nebeská tělesa „drží
pohromadě“? jak to, že nespadnou nebo se nesrazí? Tato otázka zajímala lidi již dávno. Dnes
je již známo, že síla, která váže dohromady všechna nebeská tělesa, je gravitační síla.
Nejenom že přidržuje nás na Zemi, ale vládne i hlubinám mezigalaktického prostoru.
Gravitační síly existují medzi všemi hmotnými objekty. Nezávisejí od vlastností
prostředí, není možno je „zastínit“. Jsou to síly výhradně přitažlivé. Gravitační síly
způsobují např. pritažlivost Země a jiných nebeských těles, udržují planety na oběžných
drahách kolem Slunce, Měsíc a umělé družice na obežných drahách kolem Zeme a pod.
1 Newtonův gravitační zákon
Jako první se zkoumáním gravitačních sil vážněji zabýval ještě v 17. století anglický
vědec Isaac Newton. Traduje se jeho příhoda s padajícím jablkem, jež ho přivedla
k myšlence, že síla, která nutí jablko padat kolmo k Zemi je tatáž síla, která udržuje Měsíc na
jeho oběžné dráze. Tato tendenci všech těles přitahovat se navzájem byla nazvána gravitací.
V tom čase již byly známy zákonitosti pohybu planet které objevil německý astronom
Johannes Kepler. Newton ve snaze vysvětlit tyto zákonitosti matematicky formuloval
gravitační zákon, podle něhož dvě částice o hmotnostech m
1
a m
2
se navzájem přitahují
silou F
r
, jejíž velikost je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé
mocnině jejich vzdáleností:
2
21
r
mm
GF
g
= ,
(1)
kde G je gravitační konstanta (někdy se pro tuto konstantu užívá značeníκ ).
Její číselná hodnota je G = 6,67.10
-11
N.m
2
.kg
-2
.
Rovnice (1) platí přesně jen pro hmotné body. Můžeme ji však použít i pro reálná tělesa,
jejichž rozměry jsou zanedbatelné vůči jejich vzdálenostem. Pokud tedy v dalším výkladu
užijeme místo pojmu „hmotný bod“ pojem „těleso“, budeme mít na mysli právě takovéto
případy (např. při popisu gravitačního pole Země). Za vzdálenost r pak dosazujeme
vzdálenost jejich hmotných středů (blíže Mechanika tuhého tělesa).
2
Gravitační zákon lze však použít také pro blízká reálná tělesa (např. již zmíněná Země
a jablko), pokud vykazují kulovou symetrii. Platí totiž tzv. 1. slupkový teorém, který
formuloval Newton následovně:
Homogenní hmotná kulová slupka přitahuje vně ležící částici stejně, jako kdyby veškerá
hmota slupky byla soustředěna v jejím středu.
Zemi si pak můžeme představit jako vrstvu slupek – jedna uvnitř druhé.
Síla, kterou působí částice
2
m na částici
1
m má stejnou velikost, ale opačný směr než
síla, kterou působí náboj
1
m na
2
m .
Obr. 1 Dvě částice se přitahují podle
Newtonova gravitačního zákona.
Síly F
r
a F
r
− jsou stejně velké
a mají opačné směry: jsou ve
vztahu akce a reakce (viz
3. Newtonův pohybový zákon
v části Mechanika).
Otázka 1
Dva hmotné body, každý o hmotnosti m, se navzájem přitahují při vzdálenosti r gravitačními
silami o velikosti 2 N. Jak velkými gravitačními silami se navzájem přitahují dva hmotné
body, každý o hmotnosti 2m, je-li jejich vzdálenost 2r?
a) 0,5 N b) 1 N c) 2 N d) 4 N
1.1 Princip superpozice
Síly F
r
a F
r
− (obr. 1) nejsou ovlivněny přítomností jiných těles. Máme-li v prostoru n
těles (částic), je silové působení mezi částicí např. 1 a 4 na přítomnosti ostatních částic
nezávislé.
Výsledná síla
1
F
r
působící na částici 1 je tedy rovna vektorovému součtu gravitačních
sil, kterými na ni působí všechny ostatní částice 2, 3, 4,…, n. Říkáme, že platí princip
superpozice:
n
FFFFF
11413121
...
rrrrr
++++= . (2)
3
Příklad 1
Na obrázku je uspořádáno pět částic. Délka a = 2,0 cm, úhel
o
30=θ . Hmotnosti částic
jsou kg0,8
1
=m , kg0,2
5432
==== mmmm . Jaká je výsledná gravitační síla
1
F
r
působící
na částici
1
m od ostatních čtyř částic?
Obr. 2 a) Uspořádání pěti částic v příkladu 1 b) silový diagram pro
1
m .
Řešení:
Z rovnice (2) víme, že výslednice sil
1
F
r
působících na hmotný bod 1 je vektorovým
součtem sil
15141312
.FFFF
rrrr
+++ . Částice m
2
a m
4
jsou si rovny a protože obě částice jsou ve
stejných vzdálenostech ar 2= od první, plyne z rovnice (1)
2
21
1412
)2( a
mm
GFF == .
Stejně tak platí pro síly od částic m
3
a m
5
, které jsou ve vzdálenostech ar =
2
31
1513
a
mm
GFF == .
Z obrázku 2 b) je zřejmé, že síly
1412
, FF
rr
jsou stejně velké, ale opačného směru: tyto síly se
proto vyruší. Z obrázku je dále patrno, že u sil
1513
, FF
rr
se vyruší x-ové složky. Jejich y-ové
složky mají stejnou velikost a stejný směr, a to ve směru osy y.
Výsledná síla
1
F
r
tedy směřuje podél osy y a její velikost je dvojnásobkem y-ové složky
13
F
r
:
N10.6,4N30cos
02,0
2.8
10.67,6.2cos2cos2
6
2
11
2
31
131
−−
====
o
θθ
a
mm
GFF .
Poznámka:
Přítomnost částice m
5
mezi částicemi m
1
a m
4
nemá vliv na jejich gravitační působení: síla
mezi m
1
a m
4
zůstává stejná.
4
1.2 Měření gravitační konstanty
Newton sám dlouho nebyl přesvědčen o všeobecné platnosti gravitačního zákona.
Pokoušel se jej ověřit porovnáním známých silových účinků Země na Měsíc nebo na padající
jablko. Pro gravitační sílu, která působí mezi Zemí a Měsícem platí:
Výsledky, ke kterým Newton dospěl, jej však spíše odrazovaly. V té době neměl
dostatečně přesné údaje o poloměru Země a vzdálenosti Měsíce od Země. Navíc vztah (3) se
nedal použít – obsahoval příliš mnoho neznámých. Hmotnost vesmírných těles byla
neměřitelná a nebyla známa ani hodnota konstanty G. Klíčovým problémem bylo tedy určení
její velikosti.
To se podařilo až v roce 1798 Henrymu Cavendishovi, který sestavil pokus, jehož
princip je patrný z obrázku 3.
Obr. 3 Na tenkém vlákně torzních vah jsou upevněny malé olověné kuličky a do jejich
blízkosti jsou umístěny masivní olověné koule. V důsledku jejich gravitačního
přitahování se vlákno stáčí. Úhel natočení vlákna se určoval pomocí světelného
paprsku, který se odrážel od zrcátka upevněného na vlákně. Cavendish tím změřil
nepatrnou sílu, která působila mezi kuličkami. Gravitační konstantu vypočítal ze
vztahu (1), kam dosadil známé hmotnosti, vzdálenost a naměřenou sílu.
Určení gravitační konstanty bylo pro astronomii velmi důlěžité. Poprvé se lidstvo
dozvědělo, že hmotnost Země je M
Z
= 5,98.10
24
kg. Cavendish svůj pokus pojmenoval
„vážením Země“. Určení hodnoty gravitační konstanty umožnilo určit hmotnost všech
pozorovatelných vesmírných těles – Slunce, Měsíce, planet a hvězd.
1.3 Gravitace v blízkosti povrchu Země
Zanedbejme prozatím rotaci Země a předpokládejme, že Země je stojící homogenní
koule o hmotnosti M a poloměru R = 6 378 km. Velikost gravitační síly působící na částici
o hmotnosti m stojící ve vzdálenosti r > R od středu Země je podle rovnice (1)
2
r
mM
GF
mZ
g
= .
(3)
5
Pokud na částici nepůsobí jiné síly, bude působením gravitační síly
g
F
r
částice padat ke
středu Země. Síle
g
F
r
odpovídá zrychlení, které nazýváme gravitační zrychlení
g
a
r
. Z části
mechanika však již víte, že podle druhého Newtonova pohybového zákona platí mezi silou
a zrychlením vztah
Dosadíme-li z rovnice (4) do (5), obdržíme po malé úpravě pro zrychlení částice m
Příklad 2
Jablko o hmotnosti 100 g se nachází na povrchu Země. a) Určete jejich vzájemné silové
působení. b) Proč pozorujeme pouze pád jablka k Zemi?
Řešení:
a) V soustavě (Země+jablko) na obrázku působí na jablko i Zemi stejně velká přitažlivá
síla. Velikost síly je podle Newtonova gravitačního zákona rovna
N98,0N
)10.378,6(
1,0.10.98,5
10.67,6
26
24
11
2
===
−
r
mM
GF
jZ
g
.
Touto silou tedy jablko přitahuje nahoru Zemi stejně silně
jako Země dolů jablko.
b) zrychlení, které jablku o hmotnosti m
j
(asi 100 gramů)
udělí Země, je podle (6) rovno
22
26
24
11
2
m.s81,9m.s
)10.378,6(
10.98,5
10.67,6
−−−
=== &
r
M
Ga
Z
j
To je naše dobře známé zrychlení těles padajících blízko povrchu Země. Země by však v této
soustavě získala zrychlení
225
2
26
11
2
m.s10.6,1
m.s
)10.378,6(
1,0
10.67,6
−−
−−
=
==
&
r
m
Ga
j
Z
Ačkoliv gravitační síla působící na každé ze dvou těles je stejně veliká, její pohybové účinky
se liší podle hmotnosti obou těles.
2
r
mM
GF
g
= .
(4)
gg
maF = .
(5)
2
r
M
Ga
g
= .
(6)
6
2 Intenzita a potenciál gravitačního pole
Prozkoumejme gravitační pole, které je vytvořeno tělesem o hmotnosti M. Do
vzdálenosti r od něj vložme další těleso s hmotností m a podívejme se na gravitační účinky
bodu M na bod m. Podle vztahu (1) je přitažlivá síla dána vztahem
Gravitační síla však není vždy vhodná pro popis gravitačního pole, neboť závisí jak od
hmotnosti tělesa M (jehož pole studujeme), tak i hmotnosti tělesa m (na něž toto pole působí).
2.1 Intenzita gravitačního pole
Veličinou, která charakterizuje silové působení gravitačního pole a přitom není závislá
na hmotnosti tělesa, na které toto pole působí, je intenzita gravitačního pole K
r
. Je
definována jako podíl gravitační síly
g
F
r
a hmotnosti m tělesa v gravitačním poli:
m
F
K
g
r
r
= (8)
Jednotkou je newton na kilogram (N.kg
-1
, resp. m.s
-2
). Porovnáním s rovnicí (5) je
zřejmé, že
Intenzita gravitačního pole je číselně i rozměrově rovna zrychlení tělesa v gravitačním poli
g
aK
r
r
= .
V následující tabulce jsou uvedeny některé hodnoty gravitačního zrychlení v různých
výškách nad povrchem Země.
h (km)
a
g
(m.s
-2
)
Mořská hladina 0 9,83
Mount Everest 8,8 9,80
Nejvyšší výška dosažená balonem s lidskou posádkou 36,6 9,71
Oběžná dráha raketoplánu 400 8,70
Komunikační satelit 37 500 0,225
Gravitační pole můžeme graficky znázornit pomocí tzv. siločar (podobně jako pole
elektrostatické). Gravitační siločáry jsou křivky, u nichž tečna v libovolném bodě je totožná
se směrem působící gravitační sily (tedy se směrem vektoru intenzity pole). Gravitační pole,
vytvořené jedním hmotným bodem (tělesem) M, má radiální charakter; gravitační siločáry
jsou prostorově symetricky rozložené polopřímky, přicházející z nekonečna a vstupující do
hmotného bodu (tělesa), který je zdrojem pole.
2
r
mM
GF
g
= .
(7)
7
To je rozdíl oproti znázornění elektrostatického pole, kde směr vektoru intenzity závisí
na znaménku náboje, jenž je zdrojem elektrického pole.
K
M
Obr. 4 Grafické znázornění radiálního gravitačního pole hmotného bodu M
2.2 Pole tíhové síly
Vlastní gravitační přitažlivá síla mezi tělesy na povrchu Země je zanedbatelná oproti
gravitační síle mezi tělesem a Zemí. Z toho důvodu je také zrychlení způsobené zemskou
gravitací, jež je dáno vztahem (6), dominantním zrychlením, s nímž se volná tělesa v okolí
Země pohybují.
Gravitační zrychlení
g
a však není zcela totožné se zrychlením, které opravdu naměříme
na volně padajících tělesech na Zemi, a to z následujících důvodů:
• Země není homogenní (Hustota zemské kůry se mění v jednotlivých oblastech.)
• Země není koule (Země je elipsoid, zploštělý na pólech a vypuklý na rovníku.)
• Země rotuje kolem své osy (Osa rotace prochází severním a jižním pólem. Při popisu
v soustavě spojené s místem na zemském povrchu působí na těleso setrvačná odstředivá
síla
o
F
r
, která závisí od kolmé vzdálenosti od osy rotace, tj. na zeměpisné šířce ϑ .)
Vektorový součet dvou hlavních sil
působících na těleso na zemském povrchu, tj.
gravitační síly
g
F
r
a setrvačné odstředivé síly
o
F
r
, je síla tíhová
G
F
r
. Její směr označujeme
jako svislý (můžeme ho měřit např. olovnicí).
Tíhová síla určuje pole tíhové síly. Zrychlení,
které tělesu udělí tíhová síla
G
F
r
se nazývá
tíhové zrychlení g
r
, jeho velikost při povrchu
Země je přibližně 9,81 m.s
-2
.
Obr. 5 Rotace Země způsobuje rozdíl mezi tíhovým a gravitačním zrychlením a tím i mezi
gravitační a tíhovou silou (odstředivá síla je ve skutečnosti daleko menší, takže směr
síly
g
F
r
a
G
F
r
se příliš neliší).
g
F
r
G
F
r
osa
o
F
r
ϑ
8
Otázka 2
Tíhové zrychlení v gravitačním poli Země má
a) na pólech nejmenší hodnotu c) na severním pólu nejmenší hodnotu
b) na jižním pólu nejmenší hodnotu d) na rovníku nejmenší hodnotu
Pole, jehož vektor intenzity má v každém místě stejnou velikost i směr, nazýváme
homogenním. Za takové bychom mohli považovat i tíhové pole v relativně malých
Vloženo: 28.04.2009
Velikost: 360,30 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BFY1 - Fyzika 1
Reference vyučujících předmětu BFY1 - Fyzika 1
Podobné materiály
- BFY1 - Fyzika 1 - tihove_zrych
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni2
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni3
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni4
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni5
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni6
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni7
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni8
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni9
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni10
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni11
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni12
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni13
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni14
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni15
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni16
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni17
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni18
- BFY1 - Fyzika 1 - protokol_tihove_zrychleni19
- BFY1 - Fyzika 1 - vypocty_tihove_zrychleni1
- BFY1 - Fyzika 1 - vypocty_tihove_zrychleni2
- BFY1 - Fyzika 1 - vypocty_tihove_zrychleni3
- BFY1 - Fyzika 1 - vypocty_tihove_zrychleni4
- BFY1 - Fyzika 1 - vypocty_tihove_zrychleni5
- AFY1 - Fyzika 1 - Tíhové zrychlení-teorie
- AFY1 - Fyzika 1 - Tíhové zrychlení-otázky
- AFY1 - Fyzika 1 - 10 Tíhové zrychlení
- AFY1 - Fyzika 1 - 10 Tíhové zrychlení Excel
- BMA1 - Matematika 1 - Závěrečná zkouška odpolední(výsledky)
- BMA1 - Matematika 1 - Závěrečná zkouška odpolední
- BFY1 - Fyzika 1 - Elektrostatické pole
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Pole
- BSPE - Spolehlivost v elektrotechnice - Spolehlivost jako taková
- BSPE - Spolehlivost v elektrotechnice - Spolehlivost pajeného spoje a faktory,kt.ji ovlivňují
- BFY1 - Fyzika 1 - elektrostat.pole
- BFY1 - Fyzika 1 - 52, 53 - Magnetické pole vodičů a cívek
- AFY1 - Fyzika 1 - Magnetické pole cívek
- AFY1 - Fyzika 1 - Magnetické pole cívek-grafy
- AFY1 - Fyzika 1 - Magnetické pole cívek-grafy
- BFY1 - Fyzika 1 - Řešení Semestrální práce – domácího úkolu části El. pole
- AFY1 - Fyzika 1 - 52 Magnetické pole cívky
- AFY1 - Fyzika 1 - 53 Magnetické pole cívky Excel
Copyright 2024 unium.cz