- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
eseje otázka zk
MKVE - Kvantová a laserová elektronika
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálVlnová funkce
Ve fyzice a v matematice obecně je vlnová funkce řešení libovolné vlnové rovnice,
která je obvykle parciální diferenciální rovnicí prvního či druhého řádu. S vlnovými
rovnicemi se setkáme jak v klasické fyzice, například v teorii elektromagnetického
pole, tak v moderní fyzice.
Nejčastěji se s pojmem vlnové funkce setkáme v kvantové mechanice, kde se používá
pro matematický popis stavu fyzikálního systému. Je řešením kvantové pohybové
rovnice, kterou může být například Schrödingerova či Diracova rovnice, a je z ní
možno vypočítat výsledky měření provedených na systému. Avšak na rozdíl od
klasické fyziky, ve které se předpokládá alespoň principiální možnost jednoznačné
předpovědi měření libovolné veličiny, v kvantové mechanice lze obecně z vlnové
funkce určit pouze pravděpodobnost, s jakou naměříme určitou hodnotu fyzikální
veličiny. Z toho plyne, že ani tehdy, když provedeme totéž měření opakovaně na
několika identických systémech za stejných podmínek, nemusíme dostat ‚a
pravděpodobně ani nedostaneme) stejné výsledky. Stav částice popisuje tedy pouze
vlnová funkce. Můžeme tedy odvodit 1. postulát.
Postulát I: Pro jakýkoli stav mikročástice (elektronu, atomu, molekuly, ...)
existuje funkce Ψ , která tuto mokročástici plně popisuje. (,)
r
rt
Příklad použití vlnové fce:
Je-li fyzikální systém popsán lineární vlnovou rovnicí, platí pro něj tzv. princip
superpozice, který je velmi důležitý především pro popis šíření elektromagnetického
záření a v kvantové mechanice. Jsou-li dvě různé vlnové funkce řešením téže vlnové
rovnice, pak podle tohoto principu je řešením této vlnové rovnice také součet těchto
vlnových funkcí a obecně i jejich libovolná lineární kombinace. Princip superpozice
vlnových funkcí hraje důležitou roli pro vysvětlení a pochopení jevu interference.
T 2
Vlastní funkce a vlastní hodnoty
(vlastnosti, střední hodnoty, nalezení operátoru hybnosti)
Vlnová funkce
Úvod:
Vlnová funkce musí být funkcí konečnou (číselná hodnota pravděpodobnosti), kterou
vlnová funkce vyjádří, musí být v intervalu od 0 do 1), jednoznačnou (v daném bodu
prostoru je pouze jedna hodnota pravděpodobnosti nalezení částice) a spojitou
(pravděpodobnost výskytu částice se mění spojitě, proto musí být také vlnová funkce spojitá).
Vlastnosti vlastních funkcí
- tvoří úplný systém (plyne ze superpozice stavů mikročástice: může-li se mikročástice
nalézat ve stavech n1, n2, n3 atd., může se nalézat i ve stavu vyjádřené jako lineární
kombinace těchto stavů)
an - komplexní koeficienty; n - kvantové číslo označující kvantování určité veličiny F; k
veličině F se vztahuje také funkce ψn.
- jsou normovatelné (proces normování viz dále)
- jsou ortonormální (tvoří bázi prostoru, který je tvořen vlastními funkcemi)
Určení střední hodnoty
Určení střední hodnoty nějaké veličiny závislé pouze na poloze mikročástice:
Obecně (klasicky) platí :
V souladu se symbolikou kvantové mechaniky je
Například:
je polohový vektor částice;
Také
Vyjádření střední hodnoty hybnosti :
Postulát II:
Každé veličině (pozorovatelné klasicky) odpovídá v kvantové teorii určitý operátor.
Určení hybnosti částice nalézající se v krychli o hraně L.
, kde
podobně:
Nalezení operátoru hybnosti (úpravy jsou zřejmé a spočívají v dosazování podle
uvedených vlastností vlastních funkcí):
Příslušný operátor lze nalézt i pro jiné veličiny. Zná-li se operátor určité veličiny, lze např.
určit její střední hodnotu podle vzorce
T 3 Operátory v kvantové teorii (definice, vlastnosti, přehled základních
operátorů, fyzikální význam)
Operátorem A
ˆ
nazýváme v matematice takové zobrazení, kterým nějaké funkci f
přiřazujeme funkci g, tzn.
gfA =
ˆ
,
kde . Působením operátoru Y,X ∈∈ gf A
ˆ
na f tedy získáme g. Říkáme, že na X je dán
operátor A
ˆ
, zobrazující prostor X do prostoru Y.
Operátor obvykle značíme stříškou, např. apod. pH ˆ,
ˆ
Prvek nazýváme vzorem (originálem), prvek X∈f Y∈g obrazem.
Vlastnosti:
- jsou lineární (platí princip superpozice)
- jsou hermitovské (střední hodnoty veličin musí být reálné)
∫∫
∗∗∗
=
VV
dVFdVF ψψψψ
ˆˆ
.
Přehled základních operátorů:
1
Fyzikální význam:
Každé klasicky pozorovatelné fyzikální veličině A je v kvantové mechanice přiřazen
(hermitovský) operátor A
ˆ
(Postulát II). Pokud tu fyzikální veličinu měříme, tak naměřitelné
hodnoty jsou reálná čísla {a
i
}, která tvoří konečnou (případně nekonečnou) množinu reálných
čísel, které jsou vlastními čísly příslušného operátoru A
ˆ
:
iii
aA ψψ =
ˆ
.
Obecný vektor stavu systému může být zapsán jako lineární superpozice vlastních
funkcí ψ
i
daného operátoru, popřípadě skupiny operátorů, které navzájem komutují a tvoří
úplný systém současně měřitelných veličin. Tato funkce se tedy dá rozvinou tak, jak je tomu
třeba u známých fourierovských analýz:
∑
=
i
ii
cψψ ,
koeficienty c
i
jsou obecně komplexní, ale kvadrát
2
i
c už je reálné číslo a vyjadřuje
pravděpodobnosti jednotlivých výsledků a
i
při měření veličiny A
ˆ
. Pro úplný systém platí, že
jestliže se částice může vyskytovat ve stavech i = 1, 2, 3, …, může se nalézat i ve stavu
vyjádřeném jako lineární kombinace těchto stavů. Dá se tedy říci, že stav systému je lineární
kombinace všech možných stavů.
Pomocí operátoru můžeme vypočítat střední hodnotu nějaké veličiny (např. F) podle
vzorce:
Postulát III: Dovolené hodnoty (tzv. vlastní hodnoty F
n
), kterých zkoumaná veličina může
nabývat, jsou dané rovnicí . Řešením rovnice jsou vlastní funkce ψψψ FF =
ˆ
n
a vlastní
hodnoty F
n
(diskrétní hodnoty zkoumané veličiny F) vztahující se k operátoru . F
ˆ
Postulát IV: Vlnová funkce (funkce stavu)
je daná řešením rovnice . Ψ=Ψ EH
ˆ
2
Schrödingerova rovnice
Schrödingerova rovnice je pohybová rovnice nerelativistické kvantové teorie.
Její tvůrce je Ervin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (12.8. 1887, Vídeň – 4.1.
1961,Vídeň). V roce 1926 - publikoval revoluční práce o vlnové mechanice a obecné teorii
relativity. V roce 1925 ji formuloval Erwin Schrödinger. Popisuje časový vývoj vlnové
funkce částice, která se pohybuje v poli sil. Matematicky jde o parciální diferenciální rovnici,
kterou zapisujeme jako
[1]
kde i je imaginární jednotka, je Planckova konstanta, je vlnová funkce, m je
hmotnost částice, Δ je Laplaceův operátor a je potenciální energie pole.
Závorka na pravé straně rovnice se jmenuje Hamiltonův operátor nebo krátce hamiltonián. Je
pojmenovaný po siru W. R. Hamiltonovi a značí se . Vyjadřuje energii částice jako součet
její kinetické a potenciální energie. Matematicky jde o hermitovský diferenciální operátor nad
komplexní vlnovou funkcí. Zapisujeme jej jako
[2]
Výraz na levé straně [1], odpovídá působení operátoru energie na vlnovou funkci.
Na levé straně rovnice vystupuje první parciální derivace vlnové funkce podle času, na pravé
straně se derivuje dvakrát podle prostorových souřadnic (Laplaceův operátor). To naznačuje,
že Schrödingerova rovnice není v souladu se speciální teorií relativity, protože není
invariantní vůči Lorentzově transformaci. Relativisticky správnou obdobou Schrödingerovy
rovnice je pak Diracova rovnice nebo Kleinova-Gordonova rovnice.
Schrödingerovy rovnice lze zapsat také v bezčasovém neboli stacionárním tvaru. Bezčasová
Schrödingerova rovnice pro časově nezávislý hamiltonián je rovnicí pro určeni všech
fyzikálně možných energetických stavů systémů (spektra Hamiltonova operátoru.
Schrödingerova rovnice se užívá při popisu všech nerelativistických jevů mikrosvěta. Jejím
relativistickým zobecněním je rovnice Dirakova a Kleinova-Gordonova.
[3]
Stacionární tvar Schrodingerovi rovnice
Schrödingerova rovnice umožňuje jednoduše formulovat a vyřešit v kvantové mechanice
problémy jako lineární harmonický oscilátor, částice v potenciálové jámě nebo vodíku
podobný atom. Vysvětluje stabilitu atomů, která byla pro klasickou fyziku záhadou. Umožnila
pevné propojení fyziky s chemií protože vysvětlila nejen ionizační energie prvků, ale i
různorodost jejich chemického chování pomocí orbitalů tvořících atomový obal. Tyto
poznatky umožnily vysvětlit čáry ve spektru zářících těles a pochopit tak stavbu a vývoj
hvězd analýzou jejich světla.
Schrödingerova rovnice je deterministickou rovnicí, tak jako Newtonovy nebo Einsteinovy
pohybové rovnice. Jestliže tedy zadáme hodnotu vlnové funkce v daném časovém okamžiku,
dá se přesně předpovědět, jaké hodnoty nabude vlnová funkce v budoucnosti, nebo jakou
hodnotu měla v minulosti (viz např. analogii s Newtonovými pohybovými rovnicemi, které
popisují pohyb planet ve Sluneční soustavě, …). Rovnice tedy popisuje chování, které je vůči
času zcela vratné.
Představme si určitou vlnovou funkci, která matematicky reprezentuje chování elektronu, na
který se zrovna nedíváme. Tato funkce v sobě zahrnuje všechny možnosti, které mohou
nastat, když budeme elektron sledovat pomocí nějakého měřícího zařízení (fluorescenční
stínítko, …). To vlastně neznamená nic jiného, než že Schrödingerova rovnice umožňuje
předpovědět všechny možné případy vývoje chování elektronu, pokud ho v budoucnosti
budeme sledovat. A co je důležitější: dovoluje zpětně určit všechny možné historie chování
elektronu, které by při jeho pozorování v minulosti nastaly.
Je přirozené přejít od vlnové funkce, která obsahuje všechny potenciální možnosti vývoje
systému, k určení toho, co se skutečně stane při experimentu. Jinými slovy je třeba přejít k
samotnému procesu měření. Jestliže provedeme jedno konkrétní měření, elektron bude
zaznamenán tak, jako když dopadne právě do jednoho bodu stínítka. Takže časově symetrická
vlnová funkce, a tím i samotný systém, projde během procesu měření jistou transformací.
Dojde k okamžitému a nespojitému zúžení z jedné formy vlnové funkce, které v sobě
osahovala všechny možnosti dalšího vývoje, na jednu jedinou konkrétní, která odpovídá jedné
hodnotě zaznamenané během měření.
Tato transformace, která z hromady pravděpodobných možností vybere jednu, se nazývá
zúžení (kolaps) vlnové funkce. Ze všech možností vyskočí z „krabičky“ právě jedna, když
„zatáhneme“ za vlnovou funkci.
T 5 Časové změny stavů (postulát pravděpodobnosti, Lorentzovo rozložení,
časová závislost pravděpodobnosti)
Postulát pravděpodobnosti:
Předpokládejme (pro jednoduchost), že vlastní hodnoty energie určitého systému mají
spojité spektrum a vlnovou funkci popisující stav systému ve tvaru s časovou závislostí
pro t = 0 je (označením čárkou se pouze rozlišují hodnoty energie v první a druhé rovnici):
Pravděpodobnost, že v čase t > 0 se systém nalézá ve svém počátečním stavu (kdy t =
0), je (viz „teorie poruch“):
t = 0 t >0
t
W(0) = 1
(1) (2)
W(t) < 1
Nyní lze dosadit a postupně provést úpravy:
2
()
j
Et
EE EE
VE E
Wt a dE a e dEdVψψ
−
∗∗
′′
′
⎛⎞⎛ ⎞
′=
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
∫∫ ∫
h
Wt a ae dVdEdE
EE
j
Et
EE
VEE
()=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
′
′
∗
−
′
∗
′
∫∫∫
h
ψψ
2
Wt a e dE
E
j
Et
E
()=
−
∫
2
2
h
.
1
Lorentzovo rozložení:
Pravděpodobnost W(t) závisí pouze na energetickém rozložení a
E
2
. Předpokládejme, že
energetické rozložení má tvar Lorentzova rozložení
Analyticky:
()
a
E
EE
E
E
2
0
2
2
1
2
2
=
−+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
π
Δ
Δ
, (1)
přičemž platí: adE
E
E
2
1=
∫
. (2)
Časová závislost pravděpodobnosti:
Po dosazení (1) do (2) a integraci je
Et
etW
Δ−
=
h
1
)(.
Graficky:
2
T 6 Kingkuba Princip neurčitosti (doba života, princip neurčitosti mezi energií a časem,
další případy principu neurčitosti)
Statistická termodynamika
Heisenbergův princip neurčitosti
Úvod
Princip neurčitosti nám říká, že vesmír je stále bouřlivější místo, pokud ho zkoumáme
na stále kratších vzdálenostech a časových úsecích. S jistou formou důkazu jsme se již
setkali v předchozí kapitole, když jsme se snažili určit polohu elektronů: mohli jsme
jejich pozici určovat stále přesněji zvyšováním frekvence fotonů, kterými jsme si na
elektrony svítili, ovšem za cenu toho, že jsme svým pozorováním stále více narušovali
pohyb elektronů. Vysokofrekvenční fotony mají dost energie, díky níž do elektronu
prudce “kopnou” a značně tím změní jeho rychlost. V místnosti narvané zdivočelými
dětmi můžete znát přesně pozici každého z nich, aniž byste měli kontrolu nad směrem
pohybu i velikostí jeho rychlosti – a podobná nemohoucnost určit polohu i rychlost
částice znamená, že mikroskopická říše je svou podstatou nezkrotná.
Ačkoliv z tohoto příkladu lze vyčíst základní vztah mezi neurčitostí a chaosem,
odhaluje jen část pravdy. Mohl by vás třeba vést k názoru, že neurčitost se objeví jen
tehdy, pokud my – neohrabaní pozorovatelé přírody – zakopneme o jeviště. To ale není
pravda. Příklad elektronu, který divoce reaguje na naši snahu uvěznit ho do stále menší
krabičky tím, že v ní rachtá stále větší rychlostí, nás snad vede blíže k pravdě. Dokonce i
bez “přímých zásahů” experimentátorovým záškodnickým fotonem se rychlost elektronu
od jednoho okamžiku ke druhému prudce a nepředpovídatelně mění. Ale ani tento příklad
úplně neodhaluje ohromující mikroskopické rysy přírody, které Heisenbergův objev
vynesl na světlo. Dokonce i za nejklidnějších podmínek, které si lze představit a jaké
najdeme v prázdné oblasti prostoru, nám princip neurčitosti říká, že z mikroskopického
úhlu pohledu lze spatřit obrovskou aktivitu. A tato aktivita je stále silnější na stále
kratších vzdálenostech a časových měřítcích.
Klíčem k pochopení posledních vět jsou “kvantové bankovní mechanismy”.
Analogicky lze říci, že právě jako lze vypůjčením peněz překonat důležitou finanční
překážku, částice jako elektron si dočasně může půjčit energii, aby překonala doslovnou
fyzikální překážku. Tak jest. Ale kvantová mechanika nás nutí s analogií učinit ještě
jeden důležitý krok vpřed. Představte si někoho, kdo chodí od kamaráda ke kamarádovi a
pod nátlakem si od nich neustále půjčuje peníze. Čím je kratší doba, na kterou kamarád
může obnos půjčit, tím více peněz shání. Půjčuje si a vrací, půjčuje a vrací – a tak stále
dokola s neochabující intenzitou si bere peníze jen proto, aby je mohl obratem splatit.
Jako ceny akcií na Wall Street za divokého dne, obsah peněženky chronického
“vypůjčovatele” v každém okamžiku extrémně kolísá, aby se nakonec stav jeho financí
ukázal být asi tak stejný, jako když začal.
Analýza
Nyní se postuluje: Pravděpodobnost, že v čase t > 0 se systém nalézá ve svém
počátečním stavu (kdy t = 0), je (viz „teorie poruch“):
.
2
() ( ,0) ( ,)
V
Wt r rtdV
∗
⎛⎞
=Ψ Ψ
⎜⎟
⎝⎠
∫
rr
t = 0 t >0
t
W(0) = 1
(1) (2)
W(t) < 1
Nyní lze dosadit a postupně provést úpravy:
2
()
j
Et
EE EE
VE E
Wt a dE a e dE dVψψ
−
∗∗
′′
′
⎛⎞⎛ ⎞
′=
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
∫∫ ∫
h
Wt a ae dV dEdE
EE
j
Et
EE
VEE
()=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
′
′
∗
−
′
∗
′
∫∫∫
h
ψψ
2
Wt a e dE
E
j
Et
E
()=
−
∫
2
2
h
.
Pravděpodobnost W(t) závisí pouze na energetickém rozložení a
E
2
. Předpokládejme,
že energetické rozložení má tvar Lorentzova rozložení
Obr. 3.1 Lorentzovo rozložení
2
πΔE
2
E
a
1
πΔE
E
E
0
ΔE
Analyticky:
()
a
E
EE
E
E
2
0
2
2
1
2
2
=
−+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
π
Δ
Δ
,
přičemž platí: adE
E
E
2
1=
∫
.
Po dosazení a integraci je
Wt e
Et
()=
−
1
h
Δ
.
Graficky:
W
1
1/e
Obr. 3.2 Časová závislost W(t)
Definujeme se doba života stavu systému v t = 0:
τ =
h
ΔE
, pak Wt e
t
()=
−
τ
.
Doba života určitého stavu systému představuje časový interval, během něhož klesne
pravděpodobnost tohoto stavu 2,7 krát. Lze uvidět závislost
τΔE = h ,
která vyjadřuje princip neurčitosti mezi energií a časem.
0 t h
ΔE
Jádro
Zavedení pojmů okolo principu neurčitosti:
Mluvme o střední hodnotě dané veličiny F ve stavu (normovaném, ) jako
o
Neurčitostí veličiny F (ve stavu , tento index budeme dále vynechávat) mějme na
mysli
Ujasněte si, že je právě když je vlastním vektorem .
Ptejme se nyní, zda mohou dvě (reálné) fysikální veličiny dané (hermitovskými)
operátory nabývat společně přesných hodnot, a hned si odpovězme: pokud
komutují, je možné vytvořit basi celého ze společných vlastních vektorů. V opačném
případě je
možné nalézt společné vlastní vektory jen ty, které jsou navíc vlastními vektory
komutátoru příslušející nulovému vlastnímu číslu. Přesnější vztah pro neurčitosti
nám poskytuje
Heisenbergův princip neurčitosti. Podle něho je pro hermitovské F,G
což má například následující důsledek, přejdeme-li do nekonečnědimensionálních
prostorů:
Pro operátory platí , střední hodnota tohoto komutátoru je vždy , a tak
Poznamenejme, že rovnost nastává pro vlnovou funkci ve tvaru
Gaussovy křivky , tedy pro tzv. minimalisující vlnový balík.
Pro důkaz (jsme opět v konečné dimensi) si uvědomme, že operátory
mají stejný komutátor díky bilinearitě komutátoru a faktu, že číslo
apod. komutuje se vším. Upravujme: první nerovnost je Cauchyova, zde značí
imaginární část, v předposlední úpravě užijeme samoadjungovanost F,G a v poslední
rovnost komutátorů.
Paradox kvantové kočky
Abych vás neochudil o zajímavý myšlenkový experiment, popíši zde jako ukázku
paradoxů, které vymýšlejí fyzikové té nejznámější - Schrodingerův paradox kvantové
kočky. Kočka je zavřena v krabici se zařízením sestávajícím se z radioaktivního
materiálu a ampulky s jedem. Proces rozpadu radioaktivního materiálu je procesem, který
se řídí kvantovou mechanikou. Známe jen poločas rozpadu, což je doba, za kterou se
rozpadne polovina z radioaktivního materiálu, ale neznáme, kdy se rozpadne jeden atom.
Přístroj v krabici pracuje tak, že když se rozpadne atom z radioaktivního materiálu,
rozbije se ampulka s jedem a kočka zemře.
Podle běžných měřítek je kočka buď živá nebo mrtvá. Podle zastánců kvantové teorie
se až do okamžiku pozorování atom nachází někde mezi stavy rozpadlý a nerozpadlý.
Tedy kočka není ani živá ani mrtvá, až do té doby, dokud se profesor nerozhodne podívat
do krabice. Schrodinger tímto napadl neurčitost kvantové mechaniky dané vlnovou
funkcí tak, že přešel na popis objektů makrosvěta.
Závěr:
Heisenbergův princip neurčitosti tvrdí, že podobně šíleně se pohybuje tam a zpět
energie a hybnost (hmotnost vynásobená rychlostí) na mikroskopických vzdálenostech
vesmíru a v mikroskopických časových intervalech, a to ustavičně. Dokonce i v prázdné
oblasti prostoru – například v prázdné krabici – princip neurčitosti říká, že energie a
hybnost jsou neurčité: fluktuují mezi extrémy, které jsou stále větší, pokud je krabice
stále menší a pokud je typický čas, po který prostor sledujeme, kratší a kratší. Oblast
prostoru uvnitř krabice se chová jako chronický “vypůjčovatel” energie a hybnosti,
nepřetržitě si od okolního vesmíru vyzvedává “půjčky”, aby je obra
Vloženo: 24.04.2009
Velikost: 2,07 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu MKVE - Kvantová a laserová elektronika
Reference vyučujících předmětu MKVE - Kvantová a laserová elektronika
Podobné materiály
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T1 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T10 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T11 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T12 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T13 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T14 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T15 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T16 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T17 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T18 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T19 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T2 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T20 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T21 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T22 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T23 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T24 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T3 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T4 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T5 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T6 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T7 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T8 otázka zk
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - T9 otázka zk
Copyright 2024 unium.cz