- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Sbirka_prikladu_ze_STATISTIKY_I
PMSTAI - Statistika I
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálMASARYKOVA UNIVERZITA † EKONOMICKO-SPR ´AVN´I FAKULTA
LUCIE DOUDOV ´A
DAVID HAMPEL
ZUZANA HRDLI ˇCKOV ´A
JAROSLAV MICH ´ALEK
HANA PYTELOV ´A
MAREK SEDLA ˇC´IK
SB IRKA ULOH
Z PRAVD EPODOBNOSTI
A STATISTIKY
BRNO 2006 preprint
1. Mnoˇziny
Pˇr´ıklad 1.1. Bud’te A = f1;2;5;7g; B = f1;5;8;9;10g mnoˇziny. Na z´akladn´ı
mnoˇzinˇe M = f0;1;:::;10g urˇcete:
a) A[B
b) A\B
c) A[B
d) A¡B
e) B ¡A
f) A\B
g) A¡B
h) B ¡A
i) A\B
j) A\B
k) A[B
l) A[B
Pˇr´ıklad 1.2. Bud’te A = f0;1;3;4;9g; B = f1;2;3;5;8;9;10g; C = f1;3;5;11g
mnoˇziny. Na z´akladn´ı mnoˇzinˇe M = f0;1;:::;11g urˇcete:
a) (A[B)\C
b) (A\B)[C
c) (A\C)[(B \C)
d) (A[C)\(B [C)
e) A[(B \C)
f) A\(B [C)
g) (A[B)\(A[C)
h) (A[B)\(A\C)
i) (A\B)\(A[C)
j) (A\C)\(A\B \C)
Pˇr´ıklad 1.3. Pro koneˇcn´e mnoˇziny A; B zn´azornˇete pomoc´ı Vennova diagramu
de Morganova pravidla.
Pˇr´ıklad 1.4. Uvaˇzujeme 100 vybran´ych firem v ˇCR. Oznaˇcme
A1=ffirmy, kter´e v roce 2003 exportovalyg
A2=ffirmy, kter´e mˇely v roce 2003 v´ıce jak 100 zamˇestnanc˚ug
A3=ffirmy, kter´e dos´ahly v roce 2003 ziskug.
2
a) Zn´azornˇete mnoˇziny A1;A2;A3 pomoc´ı Vennova diagramu (pˇredpokl´ad´ame,
ˇze vˇsechny moˇzn´e kombinace zm´ınˇen´ych vlastnost´ı firem jsou zastoupeny).
b) Zn´azornˇete a slovnˇe popiˇste n´asleduj´ıc´ı mnoˇziny:
A1; A1 \A2; A2 [A3;
3T
i=1
Ai;
3S
i=1
Ai; A1 ¡A2
c) Ovˇeˇrte de Morganova pravidla (slovnˇe i graficky).
Pˇr´ıklad 1.5. Necht’ A;B;C jsou mnoˇziny. Na z´akladn´ı mnoˇzinˇe M zn´azornˇete
pomoc´ı Vennova diagramu:
a) A[B
b) A\B
c) A¡B
d) A¥B
e) A
f) B \C
g) A\B
h) A\B \C
i) A\B \C
j) A\B \C
Pˇr´ıklad 1.6. Urˇcete vˇsechny moˇzn´e podmnoˇziny mnoˇziny M = f3;¡4;5g.
Pˇr´ıklad 1.7. Necht’ A;B;C jsou mnoˇziny. Na z´akladn´ı mnoˇzinˇe M zjednoduˇste:
a) (A[B)\(B [A)
b) (A[B)[(B [A)
c) (A[B)[[(B [C)\(B \C)]
d) (A\B \C)[[B \(A[C)]
3
Pˇr´ıklad 1.8. Necht’ A;B;C jsou mnoˇziny. Na z´akladn´ı mnoˇzinˇe M zjednoduˇste:
a) A[(B \A)
b) (A[B)[(A[B)
c) [A[[B \(A\B)]][[(B \C)\(B [C)]
d) (A[B)\(A[B)\(A[B)
Pˇr´ıklad 1.9. Necht’ A;B;C;D jsou mnoˇziny. Na z´akladn´ı mnoˇzinˇe M ovˇeˇrte
rovnost:
a) A[(A\B) = A
b) A\B \C \D = (A\B \D)\(C [D)
c) (A\B)\C = (C [D)\(B \A\C)
d) A¡(B \C) = (A¡B)[(A¡C)
4
2. Integr´al
Pˇr´ıklad 2.1. Vypoˇctˇete obsah jednotkov´eho kruhu.
Pˇr´ıklad 2.2. Vypoˇctˇete obsah plochy omezen´e kˇrivkou y = e¡x, osami x, y a
pˇr´ımkou x = 1.
Pˇr´ıklad 2.3. Urˇcete obsah plochy pod kˇrivkou y = ‚2e¡‚jxj, ‚ > 0 na intervalu
h¡2;5i.
Pˇr´ıklad 2.4. Vypoˇctˇete obsah plochy omezen´e kˇrivkami
x2 +y2 = 8 a y = x22 . £
2… + 43⁄
Pˇr´ıklad 2.5. Vypoˇctˇete obsah plochy omezen´e kˇrivkami
y2 = 2x+1, x¡y ¡1 = 0 a y = 0. £
16
3
⁄
Pˇr´ıklad 2.6. Pro ‚1 > 0, ‚2 > 0 vypoˇctˇete:
5Z
0
‚1e¡‚1x : ‚2e¡‚2(5¡x) dx:
h
‚1‚2
‚1¡‚2(e
¡5‚2 ¡e¡5‚1)
i
Pˇr´ıklad 2.7. Vypoˇctˇete:
1Z
0
x : 13 : e¡x22 dx:
£1
6
p2…⁄
Pˇr´ıklad 2.8. Je d´ana mnoˇzina
M = f[x;y] 2 R2 : y • e¡2x+1; x 2 (0;1); y ‚ 0g:
Vypoˇctˇete obsah t´eto mnoˇziny. h
e2¡1
2e
i
5
Pˇr´ıklad 2.9. Vypoˇctˇete: Z
x5lnx dx:
h
x6
6 (lnx¡
1
6)+c
i
Pˇr´ıklad 2.10. Je d´ana funkce
’(x) =
‰ ‚e¡‚x pro x > 3
0 pro x • 3
Pro ‚ > 0 vypoˇctˇete:
1Z
¡3
’(x) dx:
£e¡3‚⁄
Pˇr´ıklad 2.11. Je d´ana funkce
g(x) =
8
>>>
><
>>>>
:
x2 pro ¡4 • x < ¡2
¡3x+2 pro ¡2 • x < 0
e¡2x pro 0 • x < 2
x¡2 pro 2 • x • 5
0 jinak
Vypoˇctˇete:
1Z
¡5
g(x)dx:
£442
15 ¡
1
2e4
⁄
Pˇr´ıklad 2.12. Vypoˇctˇete objem ´utvaru vymezen´eho funkc´ı
f(x;y) =
‰ 2 pro 0 • x • 1; 0 • y • 1
0 jinak
a pˇredpisem x+y • 1.
Pˇr´ıklad 2.13. Je d´ana mnoˇzina
M = f(x1;x2) 2 R2 : x1:x2 • k; 0 < xi • 1; i = 1;2g:
Pro 0 < k < 1 vypoˇctˇete: Z Z
M
dx1dx2:
[k¡klnk]
6
Pˇr´ıklad 2.14. Vypoˇctˇete Z Z
G
2x1x2 dx1dx2;
kde
G = f(x1;x2) 2 R2 : x1 +x2 • 1; 0 • xi < 1; i = 1;2g:
£ 1
12
⁄
7
3. Kombinatorika
Nejdˇr´ıve pˇripomeneme z´akladn´ı pojmy.
Poˇcet uspoˇr´adan´ych dvojic: Ze dvou koneˇcn´ych mnoˇzin A = fa1;:::;amg,
B = fb1;:::;bng vyb´ır´ame uspoˇr´adan´e dvojice typu [al;bk], kde al 2 A, bl 2 B.
Vˇsechny moˇzn´e dvojice sestav´ıme do tabulky tak, ˇze dvojice [al;bk] bude v l-t´em
ˇr´adku a k-t´em sloupci. Kaˇzd´a dvojice bude v tabulce zaps´ana pr´avˇe jednou, tedy
poˇcet uspoˇr´adan´ych dvojic z m a n prvkov´ych mnoˇzin je mn.
Poˇcet uspoˇr´adan´ych k-tic: Nyn´ı pˇrejdˇeme ke k mnoˇzin´am A;B:::;X, je-
jich poˇcet prvk˚u bude po ˇradˇe n1;:::;nk. Z tˇechto mnoˇzin vyb´ır´ame uspoˇr´adanou
k-tici prvk˚u [ai;bj;:::;xl] tak, ˇze ai 2 A; bj 2 B;:::;xl 2 X. Pokud bychom
uvaˇzovali pouze 3 mnoˇziny, vezmeme vˇsechny uspoˇr´adan´e dvojice z prvn´ıch dvou
mnoˇzin za prvky nov´e mnoˇziny. Z pˇredchoz´ıho v´ıme, ˇze m´a tato mnoˇzina n1n2
prvk˚u. Nyn´ı tedy m˚uˇzeme pohl´ıˇzet na trojici [a;b;c] jako na dvojici [[a;b];c].
Zˇrejmˇe m´a n1n2n3 prvk˚u. Matematickou indukc´ı pak zjist´ıme, ˇze z k mnoˇzin,
kde i-t´a m´a ni prvk˚u, i = 1;:::;k, m˚uˇzeme vytvoˇrit n1 £¢¢¢£nk uspoˇr´adan´ych
k-tic.
Variace: Je d´an n prvkov´y z´akladn´ı soubor A = fa1;:::;ang. Libovolnou us-
poˇr´adanou k-tici [aj1;:::;ajk]; aj1 2 A;:::;ajk 2 A budeme naz´yvat uspoˇr´adan´y
v´ybˇer rozsahu k ze z´akladn´ıho souboru. Poˇcet vˇsech takov´ych v´ybˇer˚u bude zˇrejmˇe
z´aleˇzet na tom, zda se prvky v k-tici mohou, nebo nemohou opakovat. Kdyˇz se
prvky v uspoˇr´adan´em v´ybˇeru nemohou opakovat, tvoˇr´ı tento uspoˇr´adan´y v´ybˇer va-
riaci bez opakov´an´ı k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚u. Kdyˇz se mohou opakovat, tvoˇr´ı uspoˇr´adan´y
v´ybˇer variaci s opakov´an´ım k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚u.
Poˇcet variac´ı bez opakov´an´ı: Pˇredpokl´adejme, ˇze n ‚ k. Pak prvn´ı prvek
v´ybˇeru m˚uˇze b´yt vybr´an z n moˇzn´ych prvk˚u z´akladn´ıho souboru, druh´y uˇz pouze
z n¡1 prvk˚u atd. Variace bez opakov´an´ı tedy odpov´ıd´a uspoˇr´adan´e k-tici vybran´e
postupnˇe z mnoˇzin rozsahu n1 = n; n2 = n¡1;:::;nk = n¡k+1. Tedy poˇcet
variac´ı bez opakov´an´ı je (n)k = n(n¡1)¢¢¢(n¡k + 1). Zˇrejmˇe (n)k = 0 pro
k > n. Pro x 2 R klademe (x)k = x(x¡1)£¢¢¢£(x¡k +1):
Poˇcet permutac´ı bez opakov´an´ı Pokud n = k ud´avaj´ı variace bez opakov´an´ı
poˇcet vˇsech uspoˇr´ad´an´ı n prvkov´e mnoˇziny a naz´yvaj´ı se permutace. Poˇcet per-
mutac´ı je (n)n = n(n¡1)¢¢¢1 = n!. Klademe 0! = 1:
8
Poˇcet variac´ı s opakov´an´ım: Jak bylo ˇreˇceno, pokud se prvky ze z´akladn´ıho
souboru mohou v uspoˇr´adan´em v´ybˇeru opakovat, mluv´ıme o variaci s opakov´an´ım
(uspoˇr´adan´em v´ybˇeru s opakov´an´ım). Kaˇzd´y prvek v´ybˇeru rozsahu k vol´ıme z n
prvk˚u z´akladn´ıho souboru. Variace s opakov´an´ım tedy odpov´ıd´a uspoˇr´adan´e k-
tici, kdyˇz n1 = ::: = nk = n. Proto je poˇcet variac´ı s opakov´an´ım k-t´e tˇr´ıdy z n
prvk˚u roven nk.
Kombinace: Nyn´ı budeme pˇred pˇredpokl´adat, ˇze z n prvkov´eho z´akladn´ıho
souboru A = fa1;:::;ang vyb´ır´ame k-prvkov´y soubor, pˇriˇcemˇz na uspoˇr´ad´an´ı
prvk˚u ve v´ybˇeru nez´aleˇz´ı. Libovoln´y takov´y vybran´y soubor naz´yv´ame kombinac´ı
k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚u. Pokud se prvky v kombinaci nemohou opakovat, mluv´ıme o
kombinaci bez opakov´an´ı, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe o kombinaci s opakov´an´ım. Kom-
binace k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚u tedy odpov´ıdaj´ı neuspoˇr´adan´emu v´ybˇeru rozsahu k z
n prvkov´eho z´akladn´ıho souboru.
Poˇcet kombinac´ı bez opakov´an´ı: Pˇredpokl´adejme nejdˇr´ıve, ˇze se prvky v ne-
uspoˇr´adan´em v´ybˇeru nemohou opakovat. Prvky kaˇzd´eho takov´eho v´ybˇeru mohou
b´yt uspoˇr´ad´any k! zp˚usoby. Z pˇredchoz´ıho v´ıme, ˇze poˇcet vˇsech variac´ı bez opa-
kov´an´ı je (n)k. Tedy pokud poˇcet vˇsech kombinac´ı bez opakov´an´ı rozsahu k z n
prvk˚u oznaˇc´ıme x, pak xk! = (n)k. Odtud x = (n)kk! = n!(n¡k)!k! = ¡nk¢ pro k • r.
Klademe ¡nk¢ = 0 pro k > n a ¡xk¢ = (x)kk! pro x 2 R.
Poˇcet kombinac´ı s opakov´an´ım: Kombinac´ı s opakov´an´ım rozum´ıme neu-
spoˇr´adan´y v´ybˇer k prvk˚u, kter´e vyb´ır´ame z n-prvkov´e z´akladn´ı mnoˇziny tak, ˇze
se vyb´ıran´e prvky mohou opakovat (a na poˇrad´ı vybran´ych prvk˚u nez´aleˇz´ı). Je-
jich poˇcet odpov´ıd´a poˇctu vˇsech rozklad˚u ˇc´ısla k na souˇcet k1 + k2 + ¢¢¢ + kn,
kde ki ‚ 0 je poˇcet v´yskyt˚u i-t´eho prvku z´akladn´ıho souboru ve vybran´em sou-
boru, i = 1;:::;n. Libovolnou kombinaci s opakov´an´ım m˚uˇzeme zapsat po-
moc´ı posloupnosti ”⁄” a ”j”. Napˇr. kombinace s opakov´an´ım ze z´akladn´ı mnoˇziny
M = fa1;a2;a3g m˚uˇze b´yt tvoˇrena prvky a1;a3;a1;a1. Tuto kombinaci z opa-
kov´an´ım, kdy prvek a1 byl vybr´an tˇrikr´at, prvek a2 nebyl vybr´an a prvek a3
byl vybr´an pr´avˇe jednou, lze zn´azornit pomoc´ı posloupnosti symbol˚u ”⁄” a ”j”
typu j ⁄ ⁄ ⁄ jj ⁄ j. Pˇriˇcemˇz poˇcet ”⁄” mezi sousedn´ımi prvky typu ”j” ch´apeme
jako poˇcet prvk˚u v pˇrihr´adce, vymezen´e dvˇema n´asledn´ymi symboly ”j” (tzv.
hranice pˇrihr´adek). Kdyˇz v dan´e posloupnosti uveden´ych symbol˚u nepoˇc´ıt´ame
pevn´e krajn´ı hranice pˇrihr´adek, je d´elka takov´e posloupnosti k + (n ¡ 1) (k-
kr´at je obsaˇzena ”⁄” a (n ¡ 1)-kr´at je obsaˇzena hranice pˇrihr´adky ”j”). Protoˇze
um´ıstˇen´ım hranic pˇrihr´adek ”j” na m´ısta t´eto posloupnosti jednoznaˇcnˇe urˇc´ıme
jednu z moˇzn´ych kombinac´ı s opakov´an´ım, odpov´ıd´a poˇcet kombinac´ı s opa-
kov´an´ım poˇctu vˇsech rozm´ıstˇen´ı (n¡1) hranic pˇrihr´adek ”j” na vybran´a m´ısta po-
sloupnosti d´elky k+(n¡1). Rozm´ıstˇen´ı tedy m˚uˇzeme popsat jako neuspoˇr´adan´y
v´ybˇer rozsahu n¡1 hranic pˇrihr´adek ”j” z mnoˇziny n+k ¡1 pozic. Tedy poˇcet
vˇsech kombinac´ı s opakov´an´ım je roven ¡n+k¡1n¡1 ¢.
9
Poˇcet permutac´ı s opakov´an´ım: Nyn´ı hled´ame poˇcet zp˚usob˚u, jak´ymi m˚uˇze
b´yt rozdˇeleno n prvk˚u z´akladn´ı mnoˇziny do k mnoˇzin, kde prvn´ı m´a n1, druh´a n2
a posledn´ı nk prvk˚u. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze m´a b´yt rozdˇeleno vˇsech n prvk˚u z´akladn´ı
mnoˇziny, tj. n = n1 +¢¢¢+nk. Nejprve vybereme do prvn´ı mnoˇziny n1 prvk˚u ze
z´akladn´ı mnoˇziny, n2 prvk˚u pro druhou mnoˇzinu vyb´ır´ame uˇz pouze ze zbyl´ych
n¡n1 prvk˚u z´akladn´ı mnoˇziny, atd. Po v´ybˇeru do (k ¡1)-v´e mnoˇziny uˇz zb´yv´a
pouze nk prvk˚u pro v´ybˇer do k-t´e mnoˇziny. Tedy poˇcet vˇsech tˇechto rozm´ıstˇen´ı je
n
n1
¶ n¡n
1
n2
¶ n¡n
1 ¡n2
n3
¶
¢¢¢
n¡n
1 ¡¢¢¢¡n(k¡1)
nk
¶
:
Po rozeps´an´ı kombinaˇcn´ıch ˇc´ısel a ´upravˇe dost´av´ame, ˇze poˇcet tˇechto rozm´ıstˇen´ı
je
n!
n1!n2!:::nk!:
Toto ˇc´ıslo ud´av´a poˇcet uspoˇr´ad´an´ı n prvkov´e mnoˇziny, kde je n1 stejn´ych prvk˚u
typu 1, :::, nk stejn´ych prvk˚u typu k. Takov´a uspoˇr´ad´an´ı se naz´yvaj´ı permutace s
opakov´an´ım.
Vlastnosti kombinaˇcn´ıch ˇc´ısel
n
k
¶
=
n
n¡k
¶ n
1
¶
=
n
n¡1
¶
= n
n
n
¶
=
n
0
¶
= 1
Pascal˚uv troj´uheln´ık
n
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
... ...
¡0
0
¢
¡1
0
¢ ¡1
1
¢
¡2
0
¢ ¡2
1
¢ ¡2
2
¢
¡3
0
¢ ¡3
1
¢ ¡3
2
¢ ¡3
3
¢
¡4
0
¢ ¡4
1
¢ ¡4
2
¢ ¡4
3
¢ ¡4
4
¢
...
10
Binomick´a vˇeta
(x+y)n =
nX
k=0
n
k
¶
xkyn¡k =
=
n
0
¶
x0yn +
n
1
¶
x1yn¡1 +
n
2
¶
x2yn¡2 + ::: +
n
n
¶
xny0
(1+1)n = 2n =
nP
k=0
n
k
¶
. . . poˇcet vˇsech podmnoˇzin n-prvkov´e mnoˇziny
n
k
¶
. . . poˇcet k-prvkov´ych podmnoˇzin n-prvkov´e mnoˇziny
11
Pˇr´ıklad 3.1. Zjistˇete, ˇcemu je rovno ¡nk¢+¡ nk+1¢ h¡
n+1
k+1
¢i
Pˇr´ıklad 3.2. Zjistˇete, ˇcemu je rovno
a) ¡44¢+¡54¢+¡64¢+¡74¢+¡84¢
b) ¡22¢+¡32¢+¡42¢+:::+¡202¢
£¡9
5
¢¡21
3
¢⁄
Pˇr´ıklad 3.3. Ovˇeˇrte, ˇze plat´ı vztah
nP
k=0
¡a
k
¢¡ b
n¡k
¢ = ¡a+b
n
¢pro a = 3, b = 4, n = 5.
[21]
Pˇr´ıklad 3.4. ˇReˇste n´asleduj´ıc´ı rovnice:
a) ¡ xx¡2¢¡¡x+1x ¢ = 4
b) ¡x+11 ¢3 +6¡x+12 ¢¡6¡x3¢ = 9x2 ¡25
[a) x = 5; (x = ¡2 nevyh:); b) ?]
Pˇr´ıklad 3.5. Seˇctˇete vybran´y ˇr´adek Pascalova troj´uheln´ıka.
[2n]
Pˇr´ıklad 3.6. Ukaˇzte, ˇze plat´ı:
a) ¡n0¢¡¡n1¢+¡n2¢¡¡n3¢+:::+(¡1)n¡nn¢ = 0
b) ¡n0¢+ 2¡n1¢+ 22¡n2¢+ 23¡n3¢+:::+ 2n¡nn¢ = 3n
Pˇr´ıklad 3.7. Zjistˇete,
a) kolik pˇrirozen´ych pˇeticifern´ych ˇc´ısel lze utvoˇrit z ˇc´ıslic 1, 5, 6, 8, 9.
b) D´ale zjistˇete poˇcet pˇrirozen´ych ˇctyˇrcifern´ych ˇc´ısel, kter´a lze utvoˇrit z ˇc´ıslic
1, 5, 6, 8, 9, v pˇr´ıpadˇe, ˇze se ˇc´ıslice nesmˇej´ı opakovat a
c) tak´e v pˇr´ıpadˇe, ˇze se ˇc´ıslice opakovat mohou.
£a) 5!; b) 120; c) 54⁄
Pˇr´ıklad 3.8. Kolika zp˚usoby lze rozesadit 5 ˇzen a 5 muˇz˚u kolem kulat´eho stolu
tak, aby ˇz´adn´e dvˇe osoby t´ehoˇz pohlav´ı nesedˇely vedle sebe?
[2¢5!¢5!]
12
Pˇr´ıklad 3.9. Kolik pˇrirozen´ych ˇc´ısel menˇs´ıch neˇz 5000 lze vytvoˇrit z ˇc´ıslic 0, 3,
4, 5, jestliˇze se ˇz´adn´a ˇc´ıslice neopakuje?
[42]
Pˇr´ıklad 3.10. Vojenskou kolonu budou tvoˇrit dva ter´enn´ı vozy UAZ, tˇri auta Praga
V3S a ˇctyˇri Tatry 138. Kolika zp˚usoby lze kolonu seˇradit, jestliˇze
a) stejn´a vozidla maj´ı jet za sebou
b) stejn´a vozidla maj´ı jet za sebou a pˇritom ter´enn´ı vozy UAZ mus´ı b´yt pˇred
vozy Tatra 138
c) na poˇrad´ı vozidel nejsou kladeny ˇz´adn´e podm´ınky
[a) 3!; b) 3; c) 1260]
Pˇr´ıklad 3.11. Pˇri v´yrobˇe urˇcit´e souˇc´astky je tˇreba prov´est ˇctyˇri operace A, B, C,
D, pro kter´e plat´ı n´asleduj´ıc´ı podm´ınky:
1. Operace B nesm´ı b´yt prvn´ı a operace A nesm´ı b´yt posledn´ı.
2. Operaci C mus´ıme prov´est dˇr´ıve neˇz operaci D.
Kolik r˚uzn´ych postup˚u existuje pˇri v´yrobˇe t´eto souˇc´astky?
[7]
Pˇr´ıklad 3.12. Tˇri muˇzi a dvˇe ˇzeny hledaj´ı m´ısto. Ve mˇestˇe jsou tˇri z´avody, kde
berou jen muˇze, dva, kde berou jen ˇzeny a dva, kde berou muˇze i ˇzeny. Kolika
zp˚usoby se m˚uˇze pˇetice lid´ı rozm´ıstit do tˇechto z´avod˚u?
[2000]
Pˇr´ıklad 3.13. Je d´ano k pˇredmˇet˚u, kter´e se maj´ı rozm´ıstit do n rozliˇsiteln´ych
pˇrihr´adek. Kolika zp˚usoby to lze prov´est, jsou-li pˇredmˇety
a) rozliˇsiteln´e,
b*) nerozliˇsiteln´e.
h
a) nk; b)¡n¡1+kk ¢
i
Pˇr´ıklad 3.14. Je d´ano k pˇredmˇet˚u, kter´e se maj´ı rozm´ıstit do n rozliˇsiteln´ych
pˇrihr´adek tak, aby v kaˇzd´e pˇrihr´adce byl alespoˇn jeden pˇredmˇet. Kolika zp˚usoby
to lze prov´est, jsou-li pˇredmˇety nerozliˇsiteln´e. h¡
k¡1
k¡n
¢i
13
Pˇr´ıklad 3.15. Je d´ano k pˇredmˇet˚u a n rozliˇsiteln´ych pˇrihr´adek. Kolik existuje
zp˚usob˚u rozm´ıstˇen´ı pˇredmˇet˚u do pˇrihr´adek, kdyˇz v pˇredem dan´e pˇrihr´adce m´a b´yt
pr´avˇe r pˇredmˇet˚u, jsou-li pˇredmˇety
a) rozliˇsiteln´e,
b*) nerozliˇsiteln´e.
h
a)¡kr¢(n¡1)k¡r; b)¡n¡2+k¡rk¡r ¢
i
Pˇr´ıklad 3.16. Kolika zp˚usoby lze rozm´ıstit k pˇredmˇet˚u do n rozliˇsiteln´ych pˇrihr´adek,
m´a-li b´yt pr´avˇe m pˇrihr´adek pr´azdn´ych (0 • m • n), jsou-li pˇredmˇety ne-
rozliˇsiteln´e. h¡
n
m
¢¡ k¡1
k¡n+m
¢i
Pˇr´ıklad 3.17. Je d´ano n pˇrihr´adek. Do prvn´ı pˇrihr´adky m´ame um´ıstit k1 pˇredmˇet˚u,
atd., aˇz do n-t´e pˇrihr´adky kn pˇredmˇet˚u. Pˇredmˇety jsou rozliˇsiteln´e a jejich celkov´y
poˇcet je k = k1 +k2 +:::+kn. Kolika zp˚usoby lze rozm´ıstˇen´ı prov´est?h
k!
k1!k2!:::kn!
i
Pˇr´ıklad 3.18. * Existuj´ı ˇctyˇri krevn´ı skupiny, kter´e oznaˇcujeme A, B, AB, 0.
Urˇcete poˇcet vˇsech moˇznost´ı rozdˇelen´ı deseti osob podle uveden´ych krevn´ıch sku-
pin.
[286]
Pˇr´ıklad 3.19. * Kolika zp˚usoby lze rozm´ıstit do dev´ıti pˇrihr´adek sedm b´ıl´ych a
dvˇe ˇcern´e koule? £¡
10
2
¢¡15
7
¢⁄
Pˇr´ıklad 3.20. * Kolika zp˚usoby si mohou 4 dˇeti rozdˇelit 10 modr´ych, 15 ˇcerven´ych
a 8 zelen´ych kuliˇcek, jestliˇze kaˇzd´e d´ıtˇe mus´ı dostat alespoˇn 1 kuliˇcku kaˇzd´eho
druhu? £¡
9
3
¢¡14
3
¢¡7
3
¢⁄
Pˇr´ıklad 3.21. * Ve v´yzkumn´em ´ustavu pracuje 67 lid´ı. Z nich 47 ovl´ad´a an-
gliˇctinu, 35 nˇemˇcinu, 20 francouzˇstinu, 23 nˇemˇcinu a angliˇctinu, 12 angliˇctinu
a francouzˇstinu, 11 nˇemˇcinu a francouzˇstinu a 5 lid´ı vˇsechny tˇri jazyky. Kolik
pracovn´ık˚u ´ustavu neovl´ad´a ˇz´adn´y z tˇechto jazyk˚u?
[6]
Pˇr´ıklad 3.22. * Do v´ytahu pˇetiposchod’ov´e budovy nastoupilo 8 osob. Kolika
zp˚usoby se mohou rozm´ıstit do jednotliv´ych poschod´ı, kdyˇz v kaˇzd´em poschod´ı
vystoup´ı alespoˇn jedna osoba?
[126000]
14
4. Pravdˇepodobnost
Klasick´a pravdˇepodobnost
P(A) = m(A)m(›)
P(
n[
i=1
Ai) =
nX
i=1
P(Ai)¡
n¡1X
i=1
nX
j=i+1
P(Ai \Aj)+
n¡2X
i=1
n¡1X
j=i+1
nX
k=j+1
P(Ai \Aj \Ak)¡
+ ::: +(¡1)n¡1P(A1 \A2 \:::\An)
Geometrick´a pravdˇepodobnost
Q(B) = mes(B)mes(G)
Podm´ınˇen´a pravdˇepodobnost
P(AjH) = P(A\H)P(H)
P(
n\
i=1
Ai) = P(A1)¢P(A2jA1)¢P(A3jA1\A2)¢ ::: ¢P(AnjA1\A2\:::\An)
P(A) =
X
i2I
P(Hi)¢P(AjHi)
P(HkjA) = P(Hk)¢P(AjHk)P
i2I
P(Hi)¢P(AjHi)
15
4.1 Klasick´a pravdˇepodobnost
Pˇr´ıklad 4.1. Pˇri hodu 2 kostkami budeme sledovat souˇcet ok na obou kostk´ach. S
jakou pravdˇepodobnost´ı dostaneme souˇcet
a) roven 6,
b) vˇetˇs´ı neˇz 7?
[a) 0;139; b) 0;417:]
Pˇr´ıklad 4.2. Pˇri hodu 3 kostkami budeme sledovat souˇcet ok na vˇsech tˇrech
kostk´ach.
a) S jakou pravdˇepodobnost´ı dostaneme souˇcet 8?
b) Kter´y souˇcet je pravdˇepodobnˇejˇs´ı, 9 nebo 10?
[a) 0;097; b) 10:]
Pˇr´ıklad 4.3. Paradox Chevaliera de M´er´e. Ch. de M´er´e pozoroval, ˇze pˇri h´azen´ı
tˇremi kostkami pad´a souˇcet 11 ˇcastˇeji neˇz souˇcet 12, i kdyˇz podle jeho n´azoru (ne-
spr´avn´eho) maj´ı oba souˇcty stejnou pravdˇepodobnost. Stanovte pravdˇepodobnost
obou jev˚u.
[a) 0:125; b) 0:1157:]
Pˇr´ıklad 4.4. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze pˇri hodu dvˇema kostkami bude
a) souˇcin
b) souˇcet
ok sud´e ˇc´ıslo.
[0:75; 0:5:]
Pˇr´ıklad 4.5. Hod´ıme tˇrikr´at jednou minc´ı. Urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze
a) padne dvakr´at l´ıc a jednou rub,
b) padne tˇrikr´at l´ıc,
c) padne tˇrikr´at rub,
d) padne jednou l´ıc a dvakr´at rub.
£a) p = 3=23; b) p = 1=23; c) p = 1=23; d) p = 3=23:⁄
16
Pˇr´ıklad 4.6. Hod´ıme pˇetkr´at minc´ı. Jak´a je pravdˇepdobnost, ˇze l´ıc padne pr´avˇe
tˇrikr´at?
[0:3125:]
Pˇr´ıklad 4.7. Hod´ıme n-kr´at minc´ı. Jak´a je pravdˇepdobnost, ˇze l´ıc padne pr´avˇe
k-kr´at? £¡
n
k
¢=2n:⁄
Pˇr´ıklad 4.8. Z ´upln´e hry 32 karet vyt´ahneme dvakr´ate po sobˇe po jedn´e kartˇe, pˇri
ˇcemˇz prvn´ı kartu nevrac´ıme zpˇet do hry. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze obˇe vytaˇzen´e
karty jsou esa?
[3=248:]
Pˇr´ıklad 4.9. Z ´upln´e hry karet vyt´ahneme 2-kr´at po sobˇe po jedn´e kartˇe, pˇri ˇcemˇz
prvn´ı kartu vr´at´ıme zpˇet do hry. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze obˇe vytaˇzen´e karty
jsou t´eˇze barvy?
[1=4:]
Pˇr´ıklad 4.10. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, ˇze lze sestrojit troj´uheln´ık ze tˇrech
´useˇcek, kter´e n´ahodnˇe vybereme
a) ze 4 ´useˇcek o d´elk´ach 4, 6, 8 a 10,
b) z 5 ´useˇcek o d´elk´ach 5, 8, 10, 13 a 15.
[a) 3=4; b) 7=10:]
Pˇr´ıklad 4.11. ˇC´ısla 1;2;:::;n jsou n´ahodnˇe uspoˇr´ad´ana. Urˇcete pravdˇepodobnost
toho, ˇze ˇc´ısla a) 1 a 2, b) 1, 2 a 3 jsou uspoˇr´ad´ana hned vedle sebe v uveden´em
poˇr´adku. £
a) n¡1; b) 1=(n(n¡1)):⁄
Pˇr´ıklad 4.12. Hr´aˇc A h´aˇze ˇsesti hrac´ımi kostkami a vyhraje, pokud padne alespoˇn
jedna jedniˇcka. Hr´aˇc B h´aˇze dvan´acti hrac´ımi kostkami a vyhr´av´a, pokud padnou
alespoˇn dvˇe jedniˇcky. Kdo m´a vˇetˇs´ı pravdˇepodobnost v´yhry?
Pˇr´ıklad 4.13. Najdˇete pravdˇepodobnost toho, ˇze mezi k n´ahodnˇe vybran´ymi ˇc´ıs-
licemi nebudou ˇz´adn´e dvˇe stejn´e. h
pk = 10!(10¡k)!10¡k:
i
Pˇr´ıklad 4.14. Ve v´ytahu, kter´y zastavuje v n poschod´ıch, n ‚ k, je na zaˇc´atku k
osob. Jak´a je pravdˇepodobnost p toho, ˇze ˇz´adn´e dvˇe osoby nevystoup´ı ve stejn´em
poschod´ı, kdyˇz pˇredpokl´ad´ame, ˇze osoba vol´ı poschod´ı, v nˇemˇz vystoup´ı n´ahodnˇe
a nez´avisle na ostatn´ıch osob´ach. £
p = n¡kn!=(n¡k)!:⁄
17
Pˇr´ıklad 4.15. H´az´ıme n hrac´ıch kostek. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, ˇze padne
n1 jedniˇcek, :::, n6 ˇsestek, n1 +n2 +:::+n6 = n.
[p = n!=(n1!n2!:::n6!¢6n):]
Pˇr´ıklad 4.16. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, ˇze ve
Vloženo: 26.04.2009
Velikost: 401,72 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2024 unium.cz