- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
algebra
EAE99E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Hradec Králové)
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiál1 Základy lineární algebry
1.1 Matice
Matice je soustava čísel uspořádaných do pravoúhelníkového tvaru
A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...
am1 am2 ... amn
.
Každé číslo aij se nazývá prvek matice. Každý prvek matice označujeme dvěma indexy: první index znamená řádek,
do kterého prvek patří, druhý index sloupec. Matice o m řádcích a n sloupcích označujeme jako matici typu (m×n).
1.1.1 Speciální matice
Čtvercová matice je matice typu (n×n), tj. má stejný počet řádků jako sloupců.
Trojúhelníková matice je matice, která má všechny prvky pod nebo nad hlavní diagonálou nulové.
Diagonální matice je čtvercová matice, která má všechny prvky mimo hlavní diagonálu nulové.
Jednotková matice je diagonální matice, jejíž prvky na hlavní diagonále jsou rovny jedné.
1.1.2 Základní operace s maticemi
Sčítání a odčítání matic je definováno pouze pro matice stejného typu. Součet/rozdíl matic je matice stejného
typu, její jednotlivé prvky se rovnají součtu/rozdílu odpovídajících si prvků obou matic.
Násobení matice skalárem. Výsledkem je matice stejného typu, jejíž každý prvek je násobkem odpovídajícího
prvku matice a skaláru.
Pro obě tyto operace platí komutativní, asociativní i distributivní zákon.
Násobení matic je definováno pouze tehdy, pokud se počet sloupců první (levé) matice rovná počtu řádků druhé
(pravé). Je-li matice A typu (m×n) a matice B typu (n×r), pak jejich součin je matice C typu (m×r). Její
prvek cij je součtem součinů prvků i-té řádky matice A a příslušných prvků j-tého sloupce matice B, takže platí
cik =
nsummationdisplay
j=1
aijbjk.
Pro násobení matic platí zákon asociativní a distributivní, ne však komutativní, tzn. že AB není obecně totéž jako
BA.
Zvláštním případem je násobení matice vektorem
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...
am1 am2 ... amn
b1
b2
...
bn
=
a11b1 +a12b2 +...+a1nbn
a21b1 +a22b2 +...+a2nbn
...
am1b1 +am2b2 +...+amnbn
.
Součin matice a vektoru je lineární kombinací sloupců matice.
Transponování matice znamená, že se v dané matici vymění řádky za sloupce a sloupce za řádky. Pro transpozici
součinu matic platí (AB)T = BTAT.
Inverzní matice. Inverzní matice k matici A je matice, pro kterou platí AA−1 = A−1A = E, kde A−1 je matice
inverzní k A a E je jednotková matice. Inverzní matice existuje pouze pro čtvercové matice.
1
1.1.3 Hodnost matice
Hodnost matice je počet lineárně nezávislých řádků nebo sloupců matice – lineárně nezávislých řádků je stejně
jako lineárně nezávislých sloupců.
Poznámka: řádky a sloupce matice tvoří řádkové, resp. sloupcové vektory. Množina vektorůx1,x2,...,xn je lineárně
závislá, pokud existují taková reálná čísla a1,a2,...,an, že platí a1x1 +a2x2 +...+anxn = 0 (tj. pokud lze některý
vektor vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních). V opačném případě jsou vektory v množině lineárně nezávislé.
Hodnost matice je pak nejvyšší počet lineárně nezávislých řádků nebo sloupců v ní obsažených.
1.2 Lineární rovnice
Řešením soustavy m lineárních rovnic o n neznámých
a11x1 +a12x2 +...+a1nxn = b1
a21x1 +a22x2 +...+a2nxn = b2
... = ...
am1x1 +am2x2 +...+amnxn = bn
je každá soustava n čísel x1,x2,...,xn, která splňuje současně všech m rovnic.
Řešení soustavy lze nalézt eliminací.
Příklad: Řeště soustavu
x1 + 3x2 + 4x3 = 25
2x1 + 9x2 + 14x3 = 74
x1 + 7x2 + 14x3 = 61
Řešení: x1 = 5; x2 = 4; x3 = 2.
Příklad: Řešte soustavu
x1 + 3x2 + 4x3 = 25
2x1 + 9x2 + 14x3 = 74
x1 + 6x2 + 10x3 = 36
Řešení: rozporný výsledek, nemá řešení.
Řešení: Řešte soustavu
x1 + 3x2 + 4x3 = 38
2x1 + 9x2 + 14x3 = 74
x1 + 6x2 + 10x3 = 36
Řešení: Jedna rovnice vypadne (je lineární kombinací předchozích, tj. je zbytečná). Získáme parametrické řešení
x1 = 40 + 2x3,
x2 = −2/3−2x3.
Existuje tedy nekonečně mnoho řešení (za parametr x3 lze dosadit libovolné číslo).
2
1.2.1 Maticový zápis soustavy
Soustavu lineárních rovnic
a11x1 +a12x2 +...+a1nxn = b1
a21x1 +a22x2 +...+a2nxn = b2
... = ...
am1x1 +am2x2 +...+amnxn = bn
lze zapsat maticově ve tvaru
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...
am1 am2 ... amn
x1
x2
...
xn
=
b1
b2
...
bn
nebo stručně ve tvaru Ax = b. Matici A nazýváme maticí soustavy, x je vektor proměnných a b vektor pravých
stran. Matice
(A|b) =
a11 a12 ... a1n b1
a21 a22 ... a2n b2
...
am1 am2 ... amn bn
se nazývá rozšířená matice soustavy.
1.2.2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Soustava lineárních rovnic má řešení, pokud matice soustavy A a rozšířená matice soustavy (A|b) mají stejnou
hodnost. Soustava nemá řešení, pokud hodnost rozšířené matice je větší než hodnost matice soustavy.
Pokud má soustava řešení, pak buď pouze jedno řešení (v případě, že se hodnost matice soustavy A rovná počtu
neznámých xj), nebo má nekonečně mnoho řešení (v případě, že je hodnost matice soustavy menší než počet
neznámých).
1.2.3 Řešení soustavy lineárních rovnic
Soustavu řešíme eliminační metodou tak, že se pomocí ”povolených“ operací snažíme převést matici soustavy na
jednotkovou matici. Tyto úpravy zajistí, že vektor pravých stran b obsahuje výsledek.
”Povolené“ operace jsou tyto:
1. Vyměnit pořadí řádků rozšířené matice soustavy
2. Vynásobit libovoný řádek libovolným reálným číslem různým od nuly
3. Přičíst ke kterémukoli řádku libovolný řádek
4. Vypustit řádky tvořené pouze nulami
Pokud soustava nemá řešení, obsahuje některý řádek matice soustavy samé nuly a příslušný řádek vektoru pravých
stran nenulové číslo (tj. např. výsledek 0 = 5). To je spor. Pokud je po eliminaci a vypuštění nulových řádků řádků
rovnice méně než proměnných a řešení existuje, je možné ho vyjádřit parametricky, kde některá proměnná je zvolena
za parametr. Tato proměnná může nabývat hodnoty libovolného reálného čísla.
3
Příklad: Řeště soustavu
x1 +x2 +x3 = 3
x1 + 2x2 + 3x3 = 5
2x1 + 3x2 + 4x3 = 8
Eliminujeme rozšířenou matici soustavy
1 1 1 3
1 2 3 5
2 3 4 8
∼
1 1 1 3
0 1 2 2
0 1 2 2
∼
1 0 −1 1
0 1 2 2
0 0 0 0
∼
parenleftbigg 1 0 −1 1
0 1 2 2
parenrightbigg
Pokud zvolíme za parametr proměnnou x3, můžeme řešení vyjádřit v parametrickém stavu x1 = 1+x3, x2 = 2−2x3,
x3 ∈R.
1.3 Cvičení
Příklad: Najděte řešení homogenní soustavy
x1 +x2 +x3 +x4 = 0
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0
x1 + 3x2 + 6x3 + 10x4 = 0
x1 + 4x2 + 10x3 + 20x4 = 0
Řešení: soustava má pouze triviální řešení x1 = x2 = x3 = x4 = 0.
Příklad: Řešte soustavu
x1 +x2−x3 = −2
x1−x2 +x3 = 0
2x1 +x2−3x3 = −7
Řešení: soustava má řešení x1 =−1, x2 = 1 a x3 = 2.
Příklad: Řešte soustavu
x1−2x2 + 3x3−4x4 = 4
x2−x3 +x4 = −3
x1 + 3x2−3x4 = 1
−7x2 + 3x3 +x4 = −3
Řešení: soustava má nekonečně mnoho řešení. Můžeme je zapsat ve tvaru x1 =−8, x2 = 3 +x4 a x3 = 6 + 2x4, kde
x4 ∈R nebo ve tvaru x = (−8,3,6,0) +t(0,1,2,1), kde t∈R.
Příklad: Řešte soustavu
x1 + 2x2 + 4x3−3x4 = 1
x2 + 6x3−5x4 = −2
Řešení: soustava má nekonečně mnoho řešení. Lze je vyjádřit ve tvaru x1 = 5 + 8x3−7x4, x2 = −2−6x3 + 5x4,
x3,x4 ∈R nebo x = (5,−2,0,0) +t1(8,−6,1,0) +t2(−7,5,0,1), kde t1,t2 ∈R.
4
Příklad: Řešte soustavu
x1 + 2x2 + 3x3 = 4
2x1 +x2−x3 = 3
3x1 + 3x2 + 2x3 = 10
Řešení: soustava nemá řešení (rovnice jsou rozporné).
1.4 Výpočet inverzní matice
Inverzní matici můžeme také získat elminační metodou. Pro výpočet inverzní matice k matici A sestavíme ”rozšíře-
nou matici soustavy (A|E). Pokud eliminací převedeme matici A na jednotkovou matici, získáme na druhé straně
inverzní matici A−1, tedy parenleftbigE|A−1parenrightbig.
Příklad: Spočtěte inverzní matici k matici
1 3 4
2 9 14
1 7 14
Postupujeme takto:
1 3 4 1 0 0
2 9 14 0 1 0
1 7 14 0 0 1
∼
1 3 4 1 0 0
0 3 6 −2 1 0
0 4 10 −1 0 1
∼...∼
1 0 0 143 −73 1
0 1 0 −73 53 −1
0 0 1 56 −23 −12
Inverzní matice je tedy
14
3
−7
3 1−7
3
5
3 −15
6
−2
3
−1
2
5
2 Funkce
Def: Říkáme, že fce f(x) je v bodě x0 rostoucí, jestliže existuje okolí θ bodu x0 takové, že:
f(x) >f(x0) pro x>x0
f(x) 0 ... pak v bodě x0 nastává lokální minimum
fprimeprime(x0) < 0 ... pak v bodě x0 nastává lokální maximum
( Plyne z geometrického výynamu druhé derivace. fprimeprime < 0 ⇒ graf fce lezi nad tečnou. fprimeprime < 0 ⇒ graf fce leží pod
tečnou.)
Pozn.: Hledání absolutního extrému: nalezneme lokální extrémy, v lokálních extrémech vypočteme funkční hodnoty
a podle nich nalezneme absolutní extrém.
Věta: Je-li fprime(x0) > 0 je fce f v bodě x0 rostoucí. Je-li fprime(x0) < 0 je fce f v bodě x0 klesající.
Věta: Je-li fprimeprime(x0) > 0 je fce f(x) v bodě x0 konvexní.
Je-li fprimeprime(x0) < 0 je fce f(x) v bodě x0 konkávní.
Věta: Je-li fprimeprime(x0) = 0 a fprimeprimeprime(x0)negationslash= 0 má f(x) v x0 inflexi.
8
Příklady: Najděte extrémy fcí:
a) f(x) = 3x2−2x3 na [−1,3]
b) f(x) = x2−2x+ 2 na (0,3)
c) f(x) = x3
d) f(x) = x4
Výsledky: a) v bodě x0 = [0] má fce lokální minimum, v bodě x0 = 1 lokální max.
b) lokální minimum v x = 1
c) v x0 = 0 inflexní bod
d) v x0 = 0 minimum
2.
Vloženo: 28.03.2011
Velikost: 234,45 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu EAE99E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Hradec Králové)
Reference vyučujících předmětu EAE99E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Hradec Králové)
Podobné materiály
- ESE06E - Matematické metody pro statistiku a operační výzkum - Lineární algebra
- ESE06E - Matematické metody pro statistiku a operační výzkum - lin algebra
- ESE06E - Matematické metody pro statistiku a operační výzkum - vety algebra
- EAE26E - Matematické metody v ekonomii a managementu - Algebra
- EAE82E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Cheb) - algebra
- EAE96E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Jičín) - algebra
- EAE98E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Klatovy) - algebra
- EAE97E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Litoměřice)) - algebra
- EAEA1E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Most) - algebra
- EAEA7E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Sezimovo Ústí) - algebra
- EAEA9E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Šumperk) - algebra
Copyright 2024 unium.cz