Úkoly a teorie

veličiny, kde součet pravděpodobností všech možných výsledků rovněž dával jedničku. Pokud bychom ale chtěli spočítat pravděpodobnost pro jednu hodnotu spojité náhodné veličiny, zjistíme, že je rovna nule, neboť plošný útvar intervalu „degeneroval“ na úsečku kolmou k ose x a obsah úsečky je nulový.
Hustota pravděpodobnosti je provázaná s distribuční funkcí spojité náhodné veličiny a to tak, že hustota pravděpodobnosti je derivace distribuční funkce a také naopak distribuční funkce je integrál hustoty pravděpodobnosti. Střední hodnota i směrodatná odchylka spojité náhodné veličiny mají stejný význam jako u diskrétní náhodné veličiny. Představíme-li si interval hodnot náhodné veličiny jako tyč o celkové hmotnosti 1 jednotka s různou hustotou materiálu v jednotlivých částech tyče, pak těžiště této tyče lze chápat jako střední hodnotu.
Směrodatná odchylka slouží k měření variability hodnot náhodné veličiny. Kvantity jsou charakteristiky, které udávají rozdělení náhodné veličiny v určitém pravděpodobnostním poměru. Jejich význam spočívá v tom, že rozdělují osu s náhodnými veličinami na dva intervaly tak, že např. 90% (devadesáti-procentní) kvantil je číslo označované x0,90 takové, že veličina je s pravděpodobností 0,90 menší než x0,90 (první interval)a s pravděpodobností 0,10 větší než x0,90 (druhý interval). Hodnoty přesně x0,90 nabývá spojitá veličina s pravděpodobností 0. Speciálním kvantilem je medián, což je 50%-ní kvantil.

Jitka Čechová
Sk. 121
5.12.2007
Pravděpodobnostní statistika
Úkol č. 6 – Teoretická část
Zadání: Ukažte příklady použití diskrétního dvojrozměrného náhodného vektoru. Vysvětlete význam koeficientu korelace.
Vypracování:
Příklad na diskrétní dvojrozměrný náhodný vektor
Pravděpodobnost, že při přenosu digitální informace dojde k silné, resp. střední, resp. žádné deformaci bitu je 0.1, 0.3, 0.6. Předpokládejme, že jsou přeneseny dva bity a rozsah deformace je pro každý bit nezávislý.
Náhodný vektor X = [X1,X2]T udává počet bitů se silnou (X1) a střední (X2) deformací.
Oborem hodnot náhodného vektoru X je množina X = {[0, 0]T, [0, 1]T, [0, 2]T, [1, 0]T, [1, 1]T, [2, 0]T}.
Nejprve vypočteme pravděpodobnostní funkci p(x1, x2):
P(X1 = 0,X2 = 0) = 0.6 · 0.6 = 0.36 pro [x1, x2]T = [0, 0]T
P(X1 = 0,X2 = 1) = 2 · 0.3 · 0.6 = 0.36 pro [x1, x2]T = [0, 1]T
P(X1 = 0,X2 = 2) = 0.3 · 0.3 · = 0.09 pro [x1, x2]T = [0, 2]T
P(X1 = 1,X2 = 0) = 2 · 0.1 · 0.6 = 0.12 pro [x1, x2]T = [1, 0]T
P(X1 = 1,X2 = 1) = 2 · 0.1 · 0.3 = 0.06 pro [x1, x2]T = [1, 1]T
P(X1 = 2,X2 = 0) = 0.1 · 0.1 = 0.01 pro [x1, x2]T = [2, 0]T

Výsledek zapíšeme do pravděpodobnostní tabulky 1 a znázorníme graficky, viz. obrázek 1.
Tabulka 1: Pravděpodobnostní tabulka náhodného vektoru X = [X1,X2]T
x2\x1
0
1
2
p(x2)
0
0.36
0.12
0.01
0.49
1
0.36
0.06
0
0.42
2
0.09
0
0
0.09
p(x1)
0.81
0.18
0.01
1

Obrázek 1: Graf nenulových hodnot pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru X = [X1,X2] (v ostatních bodech je pravděpodobnostní funkce nulová).
Z pravděpodobnostní funkce odvodíme distribuční funkci, která je zapsána v tabulce 2.
Tabulka 2: Distribuční funkce F(x1, x2) náhodného vektoru X = [X1,X2]T
x2\x1
(-∞,0>
(0,1>
(1,2>
(2, ∞>
(-∞,0>
0
0
0
0
(0,1>
0
0.36
0.48
0.49
(1,2>
0
0.72
0.90
0.91
(2, ∞>
0
0.81
0.99
1
Postup výpočtu hodnot distribuční funkce F(x1, x2) z pravděpodobnostní funkce p(x1, x2) ukážeme na F(1.5, 0.5), tj. na výpočtu hodnoty distribuční funkce na intervalu (1, 2>× (0, 1>:
F(1.5, 0.5) = P(X1 < 1.5, X2 < 0.5) =
= P((X1 = 0 v X1 = 1) ^ (X2 = 0)) =
= P((X1 = 0 ^ X2 = 0) v (X1 = 1 ^ X2 = 0)) =
= p(0, 0) + p(1, 0) = 0.36 + 0.12 = 0.48
Koeficient korelace:
Korelační koeficient ρ(X1,X2) spolu s kovariancí C(X1,X2) charakterizují vzájemný vztah dvou náhodných veličin. Označme μ1, μ2 střední hodnoty a σ1, σ2 směrodatné odchylky veličin X1, X2. Kovariance veličin X1, X2 je definována vztahem:
C (X1,X2) = E([X1 − μ1] · [X2 − μ2])
Z definice je zřejmé, že je-li nadprůměrná hodnota X1 obvykle doprovázena nadprůměrnou hodnotou X2 a podprůměrná hodnota X1 je obvykle doprovázena podprůměrnou hodnotou X2, pak kovariance těchto dvou veličin je kladná (tyto veličiny se ovlivňují v „kladném“ smyslu). Např. mezi výškou a váhou osob je kladná kovariance.
Jestliže nadprůměrná hodnota X1 je zpravidla doprovázena podprůměrnou hodnotou X2 a podprůměrná hodnota X1 je doprovázena nadprůměrnou hodnotou X2, pak kovariance těchto dvou veličin je záporná.
Nevýhodou kovariance je ale to, že nevíme, zda zjištěná závislost je malá nebo velká. Proto užíváme spíše koeficient korelace, který ukazuje, jak moc jsou náhodné veličiny závislé. Je definován vztahem:
ρ(X1,X2) =C(X1,X2)/ μ1*μ2
Z definice je patrné, že korelační koeficient má stejné znaménko jako kovariance. Lze dokázat,
že vždy platí
−1 ≤ ρ(X1,X2) ≤1
Např. korelační koeficient mezi výškou osob v centimetrech a jejich hmotností v kilogramech je přibližně 0,4. Je-li ρ(X1,X2) = 0,
pak veličiny X1, X2 se nazývají nekorelované. Platí implikace, že jsou-li dvě veličiny nezávislé,
pak jsou nekorelované. Jsou-li ale náhodné veličiny nekorelované, nemusí být nutně nezávislé. Bez přidání dalších předpokladů je pouze jisté, že mezi nekorelovanými náhodnými veličinami neexistuje lineární závislost.