Po·adavky na látku staré písemky (2)

limity, kde x je jdoucí k „+(“ nebo „-(“. V tomto případě se při výpočtu postupuje stejně jako u výpočtu limity posloupnosti (dělíme čitatele i jmenovatele nejvyšší mocninou x u typu ( / ().
Spojitost funkce, věty o spojitosti
Funkce f(x) je spojitá v bodě a jestliže limx(a f(x) = f(a)
Funkce f(x) je spojitá na intervalu, je-li spojitá v každém bodě intervalu.
Věty o spojitosti:
Všechny elementární základní funkce jsou spojité na svém definičním oboru
Všechny aritmetické operace a skládání funkcí zachovávají spojitost
Je-li funkce f(x) spojitá a existuje-li limx(a g(x) = c ( limx(a f(g(x)) = f(limx(a g(x)) = f(c)
Spojitá funkce f(x) ne intervalu (a,b( je ohraničená a nabývá své největší a nejmenší hodnoty: (x1((a,b(, že f(x1) = max(a,b(f(x), (x2((a,b(, že f(x2)=min(a,b(f(x)
Spojitá funkce na (a,b( nabývá všech hodnot mezi f(a) a f(b)
Je-li f(x) spojitá na (a,b( a je-li f(a)*f(b)(0 ( existuje kořen f(x): (c((a,b(, že f(c)=0 (tato věta se používá při metodě půlení intervalu)
Derivace – definice, rovnice tečny. Výpočet, derivace složené funkce
Zavedení: Je dána úloha určit rovnici tečny ke grafu f(x) v bodě x0. Tečna je limitním případem sečen. Směrnice tečny je
Definice: Derivací funkce f(x) v bodě x0 nazveme limitu
Derivace v bodě je limita ( může být vlastní i nevlastní. Existují jednostranné derivace (pravo a levostranná)
Derivace na intervalu, kde pro každý bod je dán předpis pro výpočet nové hodnoty f(f’ … dostáváme funkci „derivace“.
Věta (derivace základních funkcí):
konstanta
je-li k(R ( (k)´=0
odmocniny
je-li r(R ( (xr)´=r.xr-1 , pro všechna x, pro něž existuje pravá strana
exponenciely - a(0 ( (ax)´ = ax.ln a; pro x(R
logaritmus - 1(a(0 ( (logax)´ = 1/ x. ln a; pro x(0
goniometrické funkce
cyklometrické funkce
specialitky
(x)´= 1
((x)´= ˝x-˝
(ex)´=ex . lne = ex
(ln x)´= 1/x
Věta (derivování operací):
Nechť f,g jsou funkce, nechť je definována funkce f+g, resp. f-g, f.g, f/g, f[g], pak:
(f+g)´= f´+ g´
(f-g)´= f´- g´
(f.g)´= f´.g + f.g´
(f/g)´= f´.g + f.g´/g2
(f[g])´= f´[g] . g´ - derivace složené funkce
jestliže je jedna z funkcí konstanta, kde k(R ( (k.g)´= k´g + kg´= kg´
Definice (rovnice tečny):
předpokládám, že funkce má derivaci v bodě c
y= f(c) + f´(c) . (x-c) je rovnice tečny
y= f(c) + f’(c) – 1/f’(c) . (x-c) je normálou tečny
Neurčité výrazy, LHospitalovo pravidlo
Při výpočtu limity funkce. Základní typy:
„( - (“
„0. (“
„( / (“
„0 / 0“
„1( „
„00 „
„(0 „
L’Hospitalovo pravidlo: Mějme . Nechť existuje . Pak existuje i EMBED Equation.3 .
Pravidlo lze použít i opakovaně. Další neurčité výrazy je nutné převést na podíl, a pak použít LHPr.
Typ „0. (“ převedeme na podíl.
Typ „( - (“ převedeme na společného jmenovatele
Typ „1( „,„00 „,„(0 „ neboli lim f(x)g(x) převádíme zlogaritmováním a použitím pomocné limity exponentu, kterou již lze upravit LHPr. („0. (“) a výslednou limitu dosazujeme zpět do původní funkce.
(pomocná limita)
Monotonie, lokální a globální extrémy
Monotonie:
je-li f’(x) > 0, je pro všechna x v intervalu I f(x) rostoucí
je-li f’(x) < 0, je pro všechna x v intervalu I f(x) klesající
Lokální extrém:
Funkce f(x) má v bodě C lokální maximum, jestliže existuje prstencové delta okolí, že f(c) > f(x), pro všechna x v delta okolí
Funkce f(x) má v bodě D lokální minimum, jestliže existuje prstencové delta okolí, že f(d) < f(x), pro všechna x v delta okolí
Body, kde f’(c) = 0, se nazývají stacionární body = body podezřelé z extrému, je nutné provést druhou derivaci, pokud je ( 0 ( lok.min., pokud je ( 0 ( lok.max.
Konvexnost, konkávnost, inflexní body
Funkce f(x) se nazývá KONVEXNÍ ne intervalu I, jestliže pro libovolné 3 body x1,x2,x3(I, takové, že x1 ( x2 ( x3 , je bod P2(x2, f(x2)( pod přímkou procházející body P1(x1, f(x1)( a P3(x3, f(x3)(. Leží-li P2 nad přímkou, funkce se nazývá KONKÁVNÍ.
V bodech, kde se konvexnost mění na konkávnost (nebo naopak) má funkce f(x) INFLEXI.
Je-li f’’(x)>0, pro x(I ( f(x) je na I konvexní
Je-li f’’(x