Popisna_statistika

nak
z¶‡skat sloupcov¶y diagram nebo polygon kumulativn¶‡ch•cetnost¶‡ (absolutn¶‡ch nebo re-
lativn¶‡ch).
P•r¶‡klad 1.1 Na n¶ahodn•e vybran¶em souboru student”u rozsahu n = 100 byly zji•st’o-
v¶any statistick¶e znaky X{ n¶azor na placen¶‡•skoln¶eho, Y { flnan•cn¶‡ situace rodiny a Z
{ m•es¶‡•cn¶‡ v¶y•se kapesn¶eho, kter¶e byly detailn•eji pops¶any v odstavci 1.1. V¶ysledkem je
tabulka hodnot Tab.1.2. V uveden¶e tabulce je ve sloupci P•C uvedeno po•radov¶e •c¶‡slo
vybran¶eho studenta. D¶ale v tabulce Tab.1.3 je uvedeno rozd•elen¶‡ •cetnosti znaku X
a v tabulce Tab.1.4 je uvedeno rozd•elen¶‡ •cetnost¶‡ znaku Y.
Graflck¶e zn¶azorn•en¶‡ znaku X pomoc¶‡ kruhov¶eho diagramu je na obr¶azku Obr.1.2.
Na Obr.1.3 jsou uvedena vybran¶a graflck¶a zn¶azorn•en¶‡ znaku Y.
Z graflck¶ych zn¶azorn•en¶‡ rozd•elen¶‡ •cetnost¶‡ je dob•re patrn¶e, •ze je p•rehledn¶e a lze jej s
v¶yhodou u•z¶‡t v p•r¶‡pad•e, kdy uva•zovan¶y znak m”u•ze nab¶yvat men•s¶‡ho po•ctu variant.
V p•r¶‡pad•e, kdy diskr¶etn¶‡ znak m”u•ze nab¶yvat velk¶eho po•ctu variant nebo pro spojit¶y
statistick¶y znak se •cast•eji m¶‡sto rozd•elen¶‡ •cetnost¶‡ pou•z¶‡v¶a tzv. skupinov¶e rozd•elen¶‡,
kter¶e uva•zovan¶y znak l¶epe popisuje. Bude o n•em pojedn¶ano v n¶asleduj¶‡c¶‡m odstavci.
1.3 Skupinov¶e rozd•elen¶‡ •cetnost¶‡
Rozd•elen¶‡ •cetnost¶‡ diskr¶etn¶‡ho statistick¶eho znaku, kter¶y m”u•ze nab¶yvat velk¶eho
po•ctu variant nebo spojit¶eho statistick¶eho znaku ji•z nen¶‡ v¶yhodn¶e zn¶azor•novat po-
moc¶‡ rozd•elen¶‡ •cetnost¶‡, proto•ze absolutn¶‡ •cetnosti b¶yvaj¶‡ velmi n¶‡zk¶e, •casto rovny
1 a po•cet variant r m”u•ze b¶yt bl¶‡zk¶y rozsahu souboru n. V tomto p•r¶‡pad•e se mo•zn¶e
hodnoty znaku rozd•el¶‡ do interval”u (n•ekdy se •r¶‡k¶a do t•r¶‡d nebo do t•r¶‡dn¶‡ch inter-
val”u) a do tabulky rozd•elen¶‡ •cetnosti se vypisuj¶‡ •cetnosti p•r¶‡slu•sn¶e t•emto interval”um.
5
P•C X Y Z P•C X Y Z P•C X Y Z P•C X Y Z
1 3 2 7 26 2 3 2.4 51 3 4 1 76 2 2 6.8
2 3 3 3 27 2 2 6.8 52 2 3 1.9 77 2 3 2
3 3 2 6.8 28 2 3 2.5 53 2 3 2.6 78 1 2 6.9
4 2 3 2.9 29 2 2 7.3 54 2 3 2.7 79 2 3 2.4
5 1 1 8.9 30 2 3 3.2 55 2 3 2.3 80 1 2 6.6
6 2 3 3.8 31 1 3 3 56 3 2 7.6 81 2 2 5.2
7 3 2 4.2 32 2 4 0.5 57 2 3 2 82 2 2 8.4
8 2 3 4.1 33 3 2 7.4 58 2 3 3.4 83 3 3 3.1
9 1 3 2 34 2 3 3.9 59 1 2 7.5 84 2 2 7.1
10 2 3 2.5 35 2 3 2.4 60 2 3 3.5 85 2 2 7
11 1 2 7.6 36 1 1 7.4 61 2 3 3 86 2 3 3
12 2 4 1.2 37 2 3 1.8 62 1 1 11.2 87 3 4 1.2
13 2 3 2.6 38 1 1 10.1 63 2 2 7.3 88 3 3 3
14 3 1 9.1 39 1 2 7.5 64 2 2 7.2 89 2 2 6.9
15 3 3 1.9 40 3 2 8 65 2 2 7.1 90 2 2 6.8
16 2 2 7.3 41 2 3 2.3 66 2 3 3.3 91 2 3 3.1
17 2 3 0.8 42 2 2 4.2 67 2 3 3.2 92 1 2 7.2
18 2 3 1.9 43 2 3 2.1 68 1 1 8.4 93 3 2 7.3
19 2 2 5.9 44 2 1 5.2 69 2 3 3.1 94 3 3 3.2
20 3 3 3.2 45 2 3 3.3 70 2 3 2.8 95 2 3 2.9
21 2 2 6.4 46 2 3 3.4 71 2 3 2.9 96 1 1 8.9
22 2 3 2.9 47 2 2 3.9 72 3 2 7 97 1 1 9
23 2 2 6.5 48 2 3 3.5 73 2 3 1.9 98 3 3 3
24 2 2 6.6 49 3 1 9.6 74 2 3 2.8 99 2 2 7.1
25 2 4 0.9 50 2 3 4.1 75 1 3 2.5 100 2 2 7
Tabulka 1.2: Datov¶y soubor rozsahu n = 100 se t•remi zji•st’ovan¶ymi znaky X;Y;Z.
Ve sloupci P•C je uvedeno po•radov¶e •c¶‡slo statistick¶e jednotky (studenta)
Slovn¶‡ varianta Zak¶odovan¶e Absolutn¶‡ •cetnosti Relativn¶‡ •cetnosti
znaku X varianty x[i] ni pi
ANO 1 15 0.15
NE 2 65 0.65
NEV¶IM 3 20 0.20
Sou•cet 100 1
Tabulka 1.3: Rozd•elen¶‡ •cetnost¶‡ znaku X
6
x[4]x[3]x[2]x[1]
(p4)n4
(p3)n3
(p2)n2
(p1)n1
Obr 1.1a) Sloupcov¶y diagram absolutn¶‡ch (re-
lativn¶‡ch) •cetnost¶‡ pro r = 4
x[4]x[3]x[2]x[1]
(p4)n4
(p3)n3
(p2)n2
(p1)n1
Obr 1.1b) Polygon rozd•elen¶‡ absolutn¶‡ch (rela-
tivn¶‡ch) •cetnost¶‡ pro r = 4
..............
..............
..........
.................
.............................................
..........
..........
..............
............
............
....... .......
...... ....
.... ...... .......
....... ...... ...... ...... ...... ....... .......
...... ....
.... ......
....... .......
............¶
¶
¶
¶
PPP
PP
n1(p1)
n2(p2)
n3(p3)
n4(p4)
Obr 1.1c) Kruhov¶y diagram absolutn¶‡ch (rela-
tivn¶‡ch) •cetnost¶‡ pro r = 4
Obr¶azek 1.1: Graflck¶a zn¶azorn•en¶‡ rabulky rozd•elen¶‡ •cetnosti
Mluv¶‡me pak o skupinov¶em rozd•elen¶‡m •cetnost¶‡.
P•redpokl¶adejme, •ze mno•zina variant kardin¶aln¶‡ho znaku X (obor hodnot znaku X)
je interval (a;b), ¡1 < a < b < 1. Tento interval m”u•zeme zapsat jako sjednocen¶‡ k
podinterval”u I1 = (a0;a1i;I2 = (a1;a2i;:::;Ik = (ak¡1;ak);a0 = a;ak = b; kter¶e se
nep•rekr¶yvaj¶‡ a jejich•z sjednocen¶‡m je interval (a;b). Tedy Ii\Ij =?;i 6= j;Skj=1 Ij =
(a;b);a = a0 < a1 < a2 < ::: < ak = b. D¶ale ozna•c¶‡me di = ai¡ai¡1 d¶elku intervalu
Ii a si = 12(ai ¡ai¡1) st•red intervalu Ii;i = 1;2;:::;k.
Nab¶yv¶a-li znak X na dan¶em statistick¶em souboru hodnoty x1;x2;:::;xn, m”u•zeme
stanovit •cetnosti jednotliv¶ych interval”u a vyn¶est je do tabulky rozd•elen¶‡ •cetnost¶‡,
kde v prvn¶‡m sloupci budou m¶‡sto variant znaku t•r¶‡dn¶‡ intervaly. Dostaneme tak ta-
bulku skupinov¶eho rozd•elen¶‡ •cetnosti znaku X. Ozna•cen¶‡ •cetnosti ponech¶ame
stejn¶e jako v p•redchoz¶‡m odstavci. Tedy zna•c¶‡me
ni ::: absolutn¶‡ •cetnost i-t¶eho intervalu (tj. po•cet t•ech hodnot z x1;:::;xn, kter¶e
7
..............
..............
..........
.................
.............................................
..........
..........
..............
............
............
....... .......
...... ....
.... ...... .......
....... ...... ...... ...... ...... ....... .......
...... ....
.... ......
....... .......
............‰
‰‰
‰
ZZ
ZZ
ANO
NEV¶IM
NE
p1=0:15
p3=0:2
p2=0:65
Obr¶azek 1.2: Kruhov¶y diagram relativn¶‡ch •cetnost¶‡ znaku X
Slovn¶‡ Zak¶odovan¶e Absolutn¶‡ Relativn¶‡ Kumulativn¶‡ Kumulativn¶‡
varianta varianty •cetnosti •cetnosti absolutn¶‡ relativn¶‡
znaku Y znaku Y •cetnosti •cetnosti
y[i] ni pi Ni Pi
V¶yborn¶e 1 10 0.10 10 0.10
Dobr¶e 2 35 0.35 45 0.45
Uspokojiv¶e 3 50 0.50 95 0.95
Neuspokojiv¶e 4 5 0.05 100 1.00
Sou•cet 100 1.00 { {
Tabulka 1.4: Tabulka rozd•elen¶‡ •cetnost¶‡ znaku Y.
padnou do intervalu Ii;i = 1;:::;k)
pi = ni=n ::: relativn¶‡ •cetnost i-t¶eho intervalu
Ni = Pij=1 nj ::: absolutn¶‡ kumulativn¶‡ •cetnost intervalu Ii
Pi = Pij=1 pj ::: relativn¶‡ kumulativn¶‡ •cetnost intervalu Ii
Krom•e toho zav¶ad¶‡me je•st•e tzv. •cetnostn¶‡ hustotu. Ozna•c¶‡me
fi = pi=di ::: •cetnostn¶‡ hustota i-t¶eho intervalu Ii
a funkci
f⁄(x) =
8
><
>:
fi pro ai¡1 < x • ai;i = 1;2;:::;k ¡1;
fk pro ak¡1 < x • ak;
0 jinak:
nazveme •cetnostn¶‡ hustotou.
Uveden¶e•cetnosti a•cetnostn¶‡ hustotu lze uspo•r¶adat do tabulky Tab.1.5. Tato tabulka
se pak naz¶yv¶a tabulkou skupinov¶eho rozd•elen¶‡ •cetnost¶‡ znaku X:
8
n1 =5
n1 =50
n1 =35
n1 =10
y[i]
ni
4321
50
40
30
20
10
0
Obr 1.3a) Sloupcov¶y diagram absolutn¶‡ch
•cetnost¶‡ znaku Y
y[i]
pi
4321
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Obr 1.3b) Polygon relativn¶‡ch •cetnost¶‡ znaku Y
y[i]
pi
4321
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Obr 1.3c) Sloupcov¶y diagram kumulativn¶‡ch re-
lativn¶‡ch •cetnost¶‡ znaku Y
y[i]
pi
4321
100
80
60
40
20
0
Obr 1.3d) Polygon kumulativn¶‡ch absolutn¶‡ch
•cetnost¶‡ znaku Y
Obr¶azek 1.3: Graflck¶e zn¶azorn•en¶‡ •cetnost¶‡ znaku Y
Obecn•e nen¶‡ t•reba volit t•r¶‡dn¶‡ intervaly stejn¶e d¶elky. V p•r¶‡pad•e, •ze d1 = d2 = ::: =
dk, mluv¶‡me o ekvidistantn¶‡ch intervalech.
Graflck¶ym zn¶azorn•en¶‡m tabulky skupinov¶eho rozd•elen¶‡ je histogram nebo polygon.
Polygon skupinov¶eho rozd•elen¶‡ •cetnost¶‡ (absolutn¶‡ch, relativn¶‡ch, absolutn¶‡ch kumu-
lativn¶‡chneborelativn¶‡chkumulativn¶‡ch)konstruujemestejn•ejakopolygonrozd•elen¶‡
•cetnost¶‡, jenom na osu x se m¶‡sto variant znaku x[1];:::;x[r] vyn¶a•sej¶‡ st•redy t•r¶‡d¶‡c¶‡ch
interval”u s1;:::;sk. Polygon •cetnostn¶‡ hustoty z¶‡sk¶ame tak, •ze ¶use•ckami spoj¶‡me
body o sou•radnic¶‡ch [si;fi];i = 0;1;2;:::;k;k + 1, p•ri•cem•z klademe f0 = fk+1 = 0
a s0 = a0 ¡ 12d1;sk+1 = ak + 12dk.
Histogramemrozum¶‡megraf,kter¶yz¶‡sk¶ame,kdy•znaosuxvynesemehranicet•r¶‡dn¶‡ch
interval”u a nad ka•zd¶ym t•r¶‡dn¶‡m intervalem zn¶azorn¶‡me ¶use•cku rovnob•e•znou s osou
x ve v¶y•sce fi nad intervalem Ii. Kdy•z potom svisl¶ymi ¶use•ckami spoj¶‡me hranice
t•r¶‡dn¶‡ch interval”u s krajn¶‡mi body ¶use•cek, kter¶e jsme z¶‡skali vynesen¶‡m •cetnostn¶‡
hustoty, z¶‡sk¶ame obd¶eln¶‡ky a obsah i-t¶eho z takto z¶‡skan¶ych obd¶eln¶‡k”u je pi. Scho-
dovit¶a •c¶ara, kter¶a shora omezuje histogram je grafem •cetnostn¶‡ hustoty f⁄(x) a
obsah plochy pod •cetnostn¶‡ hustotou je 1, proto•ze p1 + p2 + ¢¢¢pk = 1. P•r¶‡klad
histogramu je pro k = 4 na Obr.1.4.
9
•Cetnosti •Cetnostn¶‡
T•r¶‡dn¶‡ interval St•red intervalu ni pi Ni Pi hustota
I1 = (a0;a1i s1 n1 p1 N1 P1 f1
I2 = (a0;a2i s2 n2 p2 N2 P2 f2