Skripta_matematika_2

nx a zÆrove jej derivÆcia ’0(x) = 1x. Preto
Z dx
xlnx =
(
t = lnx
dt = dxx
)
=
Z dt
t = lnjtj+c = lnjlnxj+c;
x2(0;1) alebo x2(1;1):
c) Z
3x
p
x2 + 6dx =
(
t = x2 + 6
dt = 2xdx
)
= 32
Z p
x2 + 6 2xdx = 32
Z p
tdt =
= 32
Z
t12 dt = 32t
3
2
3
2
+c = (x2 + 6)32 +c =
q
(x2 + 6)3 +c:
d) Z
5parccotgx
1 +x2 dx =
Z
5parccotgx dx
1 +x2 =
=
(
t = arccotgx
dt = dx1+x2 ) dx1+x2 = dt
)
=
=
Z
5pt( dt) =
Z
t15 dt = t
6
5
6
5
+c = 5
5parccotg6x
6 +c:
e) Z
xe7 x2 dx =
Z
e7 x2(xdx) =
(
t = 7 x2
dt = 2xdx)xdx = 12 dt
)
=
1.2. MET DY PO¨˝TANIA NEUR¨IT HO INTEGR`LU 15
=
Z
et

12 dt

= 12
Z
etdt = 12et +c = 12e7 x2 +c:
f)
Z sinhpx
px dx =
Z
sinhpx 1pxdx =
( t =px
dt = 12pxdx) 1pxdx = 2dt
)
=
=
Z
sinht(2dt) = 2 cosht+c = 2 coshpx+c:
g)
Z tg2x
cos2xdx =
Z
tg2x dxcos2x =
(
t = tgx
dt = 1cos2 xdx
)
=
Z
t2dt =
t3
3 +c =
tg3x
3 +c:
h) Z
3xp
1 9x dx =
Z 1
p1 (3x)2 (3xdx) =
=
(
t = 3x
dt = 3x ln 3dx)3xdx = dtln 3
)
=
=
Z 1
p1 t2 dtln 3 = arcsintln 3 +c = arcsin 3
x
ln 3 +c:
i) V rie„en tohoto pr kladu vyu ijeme trigonometrickœ identitu
sin 2x = 2 sinxcosx. Z
sin 2x
sin2x+ 3 dx =
Z 1
sin2x+ 3(2 sinxcosxdx) =
=
(
t = sin2x+ 3
dt = 2 sinxcosxdx
)
=
=
Z 1
t dt = lnjtj+c = ln(sin
2x+ 3) +c:
|
PoznÆmka 3. PouŁenie z predchÆdzajœceho pr kladu m eme vo ne formulova» nasledovne
Ak R f(x)dx = F(x) +c, tak v pr slu„n ch intervaloch plat
R xf(x2)dx = 1
2F(x
2) +c; R f(lnx)
x dx = F(lnx) +c;
R f(arctgx)
1+x2 dx = F(arctgx) +c;
R f(px)p
x dx = 2F(
px) +c;
R f(sinx) cosxdx = F(sinx) +c; R f(tgx)
cos2 x dx = F(tgx) +c:
ˇal„ie podobnØ vz»ahy si Łitate m e odvodi» sÆm.
16 KAPITOLA 1. NEUR¨IT INTEGR`L
1.2.2 CviŁenia
Pou it m algebraickej œpravy (ak je potrebnÆ) a substitœcie lineÆrnej funkcie vypoŁ tajte integrÆly.
19. R sin 3xdx. 20. R dx5 3x.
21. R e3 2xdx. 22. R 3p3x 2dx.
23. R(4 7x)11dx. 24. R dxcos2 5x.
25. R dxp9 x2 . 26. R dxx2+16.
Pou it m naznaŁenej substitœcie vypoŁ tajte integrÆly.
27. R xdxpx2 4; t = x2 4.
28. R cosx1+sinxdx; t = sinx.
29. Rpcos3xsinxdx; t = cosx.
30. R xex2 dx; t = x2.
31. R dxxlnx; t = lnx.
32. R x2px3 + 1dx; t = x3 + 1.
33. R dxpx(x+4); t =
px
2 .
34. R xdx1+x4; t = x2.
35. R dxex 1; t = e x.
36. R ex
parctgex
1+e2x dx; t = arctge
x.
37. R dxxpx2 1; t = 1x.
38. R xdxpx+1; t =px+ 1.
Pou it m substituŁnej met dy vypoŁ tajte integrÆly.
39. Rp4x 11dx. 40. R 6dx5 3x.
41. R 4x4+x2 dx. 42. R 14dx(2x+3)8 .
43. R 10x(x2 + 7)4dx. 44. R xdxp3 x2 .
45. R x21+x6 dx. 46. R x 5p4 x2dx.
47. R sin6xcosxdx. 48. R sinxp2+cosxdx.
49. R dxx2+2x+2. 50. R dxp4x 4x2 .
51. R e
1x
x2 dx. 52.
R(x+ 2)ex2+4x 5dx.
53. R ln4 xx dx. 54. R cos(lnx)x dx.
1.2. MET DY PO¨˝TANIA NEUR¨IT HO INTEGR`LU 17
55. R ecos2 x sin 2xdx. 56. R cotg
px
px dx.
57. R 3
p
tg2 x
cos2 x dx. 58.
R dx
sin2 xpcotgx 1.
59. R 2xp1 4x dx. 60. R e2x4+ex dx.
61. R dx(1+x2) arctgx. 62. R 3dx
x
p
1 ln2 x
.
1.2.3 V sledky
19. 13 cos 3x+c. 20. 13 lnj3x 5j+c.
21. 12e3 2x +c. 22. 14(3x 2) 3p3x 2 +c.
23. (4 7x)1284 +c. 24. 15 tg 5x+c.
25. arcsin x3 +c. 26. 14 arctg x4 +c.
27. px2 4 +c. 28. lnj1 + sinxj+c.
29. 25pcos5x+c. 30. 12ex2 +c.
31. lnjlnxj+c. 32. 29p(x3 + 1)3 +c.
33. arctg
px
2 +c. 34.
1
2 arctgx
2 +c.
35. lnje x 1j+c. 36. 23parctg3ex +c.
37. arccos 1x +c. 38. 23p(x+ 1)3 2px+ 1.
Vo v sledkoch nasledujœcich cviŁen je e„te pred v sledkom uvedenÆ substitœcia, ktorou je mo nØ
integrÆl rie„i».
39. t = 4x 11; I = 16p(4x 11)3 +c.
40. t = 5 3x; I = 2 lnj5 3xj+c.
41. t = 4 +x2; I = 2 lnj4 +x2j+c.
42. t = 2x+ 3; I = 1(2x+3)7 +c.
43. t = x2 + 7; I = (x2 + 7)5 +c.
44. t = 3 x2; I = p3 x2 +c.
45. t = 1 +x6; I = 13 arctgx3 +c.
46. t = 4 x2; I = 512 5p(4 x2)6 +c.
47. t = sinx; I = 17 sin7x+c.
48. t = 2 + cosx; I = 2p2 + cosx+c.
49. t = x+ 1; I = arctg(x+ 1) +c.
50. t = 2x 1; I = 12 arcsin(2x 1) +c.
51. t = 1x; I = e1x +c.
52. t = ex2+4x 5; I = 12ex2+4x 5 +c.
18 KAPITOLA 1. NEUR¨IT INTEGR`L
53. t = lnx; I = 15 ln5x+c.
54. t = sin(lnx); I = sin(lnx) +c.
55. t = ecos2 x; I = ecos2 x +c.
56. t = sinpx; I = 2 lnjsinpxj+c.
57. t = tgx; I = 35 3ptg5x+c.
58. t = cotgx; I = 2pcotgx 1 +c.
59. t = 2x; I = arcsin 2xln 2 +c.
60. t = 4 +ex; I = ex 4 lnj4 +exj+c.
61. t = arctgx; I = ln(arctgx) +c.
62. t = lnx; I = 3 arcsin(lnx) +c.
1.2.4 Met da per partes (integrovanie po Łastiach)
TÆto met da je odvodenÆ zo vz»ahu pre derivÆciu sœŁinu funkci a spoŁ va v nasledovnom:
Nech funkcie u a v majœ derivÆcie v intervale (a;b). Potom
Z
u0(x)v(x)dx = u(x)v(x)
Z
u(x)v0(x)dx (1.6)
v intervale (a;b).
Ako je vidie», met da sa pou va na integrovanie sœŁinu funkci . Jednu z nich zvol me za u0, druhœ
za v a v poŁet danØho integrÆlu prevedieme na v poŁet inØho integrÆlu. Pritom za funkciu u(x) vol me
ubovo nœ (Ło najjednoduch„iu) primit vnu funkciu k funkcii u0(x).
Pr klad 8. VypoŁ tame integrÆly
a) R xexdx b) R 2x3 lnxdx c) R 3xcos 5xdx.
Rie„enie: a) Ide o integrÆl sœŁinu funkci y = x a y = ex. MÆme dve mo nosti ako po i» met du:
u0 = x v = ex u0 = ex v = x
alebo
u = x22 v0 = ex u = ex v0 = 1
Po dosaden do 1.6 dostaneme v prvej mo nosti integrÆl R x22 exdx, ktor je e„te zlo itej„ ako p vodn ,
pou it m druhej mo nosti dostaneme jednoduch integrÆl R exdx.
Z
xexdx =
(
u0 = ex v = x
u = ex v0 = 1
)
= xex
Z
ex:1dx =
= xex ex +c = (x 1)ex +c:
b) Znova mÆme dve mo nosti vo by:
u0 = 2x3 v = lnx u0 = lnx v = 2x3
alebo
u = x42 v0 = 1x u =? v0 = 6x2
1.2. MET DY PO¨˝TANIA NEUR¨IT HO INTEGR`LU 19
Pri druhej mo nosti je v tejto chv li obtia ne vypoŁ ta» aj funkciu u = R lnxdx (pre rie„enie pozri
poznÆmku na konci tejto Łasti a tie CviŁenia), preto zvol me prvœ mo nos»:
Z
2x3 lnxdx =
( u0 = 2x3 v = lnx
u = x42 v0 = 1x
)
= x
4
2 lnx
Z x4
2
1
xdx =
= x
4
2 lnx
1
2
Z
x3dx = x
4
2 lnx
x4
8 +c:
c) Z dvoch mo nost zvol me nasledovnœ (odporœŁame Łitate ovi skœsi» druhœ mo nos» a porovna»):
Z
3xcos 5xdx =
(
u0 = cos 5x v = 3x
u = sin 5x5 v0 = 3
)
= 35xsin 5x
Z
3sin 5x5 dx =
= 35xsin 5x 35
Z
sin 5xdx = 35xsin 5x+ 325 cos 5x+c:
|
Ako voli» funkcie u0 a v v met de per partes, ak chceme by» œspe„n ?
1. Nemal by by» problØm vypoŁ ta» funkcie u(x) = R u0(x)dx a v0(x).
2. IntegrÆl R u(x)v0(x)dx by mal by» ah„ ako p vodn integrÆl.
V al„om pr klade odporœŁame Łitate ovi preveri» sprÆvnos» vo by funkci u0 a v.
Pr klad 9. VypoŁ tame neurŁitØ integrÆly
a) R x arctgxdx b) R 5xcosh x2 dx c) R arcsinxdx
d) R(2x+ 3px) lnxdx e) R(x2 + 2x 1) sin 3xdxf) R x34 x2 dx
g) R e x sinxdx h) R cosxsin 3xdx i) R sin(lnx)dx.
Rie„enie: a)
Z
x arctgxdx =
( u0 = x v = arctgx
u = x22 v0 = 11+x2
)
= x
2
2 arctgx
1
2
Z x2
1 +x2 dx =
= x
2
2 arctgx
1
2
Z 1 +x2 1
1 +x2 dx =
x2
2 arctgx
1
2
Z
1dx
Z dx
1 +x2

=
= x
2
2 arctgx
1
2(x arctgx) +c =
1
2

(x2 + 1) arctgx x

+c:
b) Z
5xcosh x2 dx =
(
u0 = cosh x2 v = 5x
u = 2 sinh x2 v0 = 5
)
=
= 10xsinh x2 10
Z
sinh x2 dx = 10xsinh x2 20 cosh x2 +c:
c) V tomto pr klade nejde o integrÆl sœŁinu, av„ak integrovanœ funkciu m eme v hodne zap sa»
v tvare sœŁinu arcsinx = 1 arcsinx! Pri poŁ tan obdr anØho integrÆlu pou ijeme substituŁnœ met du.
OdporœŁame Łitate ovi premyslie» si detaily.
Z
arcsinxdx =
( u0 = 1 v = arcsinx
u = x v0 = 1p1 x2
)
=
20 KAPITOLA 1. NEUR¨IT INTEGR`L
= xarcsinx
Z x
p1 x2 dx (t=1 x2)= xarcsinx+ 12
Z dt
pt =
= xarcsinx+
p
1 x2 +c; x2( 1;1):
d) Z
(2x+ 3px) lnxdx =
( u0 = 2x+ 3px v = lnx
u = x2 + 3x
43
4 v
0 = 1
x
)
=
=

x2 + 3x
4
3
4
!
lnx
Z
x2 + 3x
4
3
4
!
1
xdx =
=

x2 + 3x
4
3
4
!
lnx
Z
xdx 34
Z
x13 =
=

x2 + 3
3px4
4
!
lnx x
2
2
3
4
2
3px4 +c =
= x2

lnx 12

+ 34

lnx 34

3px4 +c:
e) V tomto pr klade budeme musie» pou i» met du per partes opakovane dvakrÆt.
Z
(x2 + 2x 1) sin 3xdx =
(
u0 = sin 3x v = x2 + 2x 1
u = 13 cos 3x v0 = 2x+ 2
)
=
= 13(x2 + 2x 1) cos 3x+ 23
Z
(x+ 1) cos 3x dx =
=
(
u0 = cos 3x v = x+ 1
u = 13 sin 3x v0 = 1
)
=
= 13(x2 + 2x 1) cos 3x+ 23
1
3(x+ 1) sin 3x
1
3
Z
sin 3xdx

=
= 13(x2 + 2x 1) cos 3x+ 23

1
3(x+ 1) sin 3x+
1
3
2
cos 3x
!
+c =
=

x
2
3
2x
3 +
11
27
!
cos 3x+ 29(x+ 1) sin 3x+c:
f) V tomto pr klade mus me pou i» met du opakovane trikrÆt. Vo bu u0 a v vyznaŁ me len prv krÆt
a nechÆme na Łitate a doplnenie al„ ch. Z technickØho h adiska je v hodnØ prep sa» funkciu 4 x2 =
4 12
x
=
1
2
x
.
Z
x34 2xdx =
Z
x3
1
2
x
dx =
8<
:
u0 =
1
2
x
v = x3
u = 1ln 2
1
2
x
v0 = 3x2
9=
; =
= x
3
ln 2
1
2
x
+ 3ln 2
Z
x2
1
2
x
dx =
= x
3
ln 2
1
2
x
+ 3ln 2

x
2
ln 2
1
2
x
+ 2ln 2
Z
x
1
2
x
dx
!
=
1.2. MET DY PO¨˝TANIA NEUR¨IT HO INTEGR`LU 21
= x
3
ln 2
1
2
x
+ 3ln 2
0
@ x
2
ln 2
1
2
x
+ 2ln 2
0
@ x
1
2
x
ln 2
1
(ln 2)2
1
2
x1
A
1
A+c =
=
1
2
x x3
ln 2 +
3x2
(ln 2)2 +
6x
(ln 2)3 +
6
(ln 2)4
!
+c:
g) V tomto pr klade pou ijeme met du dvakrÆt, Ło nÆm umo n vyjadri» h adan integrÆl pomocou
neho samØho. Z obdr anej rovnice ho potom vypoŁ tame. Poznamenajme e„te, e v tomto pr klade
obidve vo by funkci u0 a v vedœ k rie„eniu.
Z
e x sinxdx =
(
u0 = sinx v = e x
u = cosx v0 = e x
)
= e x cosx
Z
e x cosx =
=
(
u0 = cosx v = e x
u = sinx v0 = e x
)
= e x cosx

e x sinx+
Z
e x sinxdx

=
= e x(cosx+ sinx)
Z
e x sinxdx:
Ak oznaŁ me h adan integrÆl symbolom I = R e x sinxdx, tak sme dostali rovnicu I = e x(cosx+
sinx) I, z ktorej vypoŁ tame
I = 12e x(cosx+ sinx) +c:
h) Rie„enie tohoto pr kladu je podobnØ predchÆdzajœcemu.
Z
cosxsin 3xdx =
(
u0 = cosx v = sin 3x
u = sinx v0 = 3 cos 3x
)
=
= sinxsin 3x 3
Z
sinxcos 3xdx =
(
u0 = sinx v = cos 3x
u = cosx v0 = 3 sin 3x
)
=
= sinxsin 3x 3( cosxcos 3x 3
Z
cosxsin 3xdx):
Po œprave, pri oznaŁen I = R cosxsin 3xdx, dostÆvame rovnicu
I = sinxsin 3x+ 3 cosxcos 3x+ 9I, ktorej rie„en m je
I = 18(sinxsin 3x+ 3 cosxcos 3x) +c:
i) Z
sin(lnx)dx =
(
u0 = 1 v = sin(lnx)
u = x v0 = cos(lnx) 1x
)
=
= xsin(lnx)
Z
cos(lnx)dx =
(
u0 = 1 v = cos(lnx)
u = x v0 = sin(lnx) 1x
)
=
= xsin(lnx)

xcos(lnx) +
Z
sin(lnx)dx

:
Po œprave, pri oznaŁen I = R sin(lnx)dx, dostÆvame rie„enie
I = 12x(sin(lnx) cos(lnx)) +c:
22 KAPITOLA 1. NEUR¨IT INTEGR`L
|
PoznÆmka 4. Ako sme videli v Łastiach c) a i), met du m eme pou i» aj vtedy, ak integrovanÆ
funkcia nie je sœŁinom dvoch funkci . Vtedy za druh Łinite pova ujeme kon„tantu 1. Podobne sa
rie„ia integrÆly Z
lnxdx;
Z
arctgxdx;
Z
arctgxdx;
Z
arccosxdx:
V Łastiach g), h) a i) sme videli, e niekedy po pou it met dy nedostaneme jednoduch„ integrÆl,
ale podobn p vodnØmu. Po opakovanom pou it met dy vyjadr me p vodn integrÆl pomocou neho
samØho a z obdr anej rovnice ho vypoŁ tame.
ZÆver:
Met du integrovania per partes pou vame pri integÆloch typu R P(x)f(x)dx, kde P(x) je mnohoŁlen
(m e by» aj P(x) = 1!), pr padne racionÆlna funkcia a f je trigonometrickÆ alebo transcendentnÆ
funkcia (exponenciÆlne, logaritmickÆ, cyklometrickÆ alebo hyperbolickÆ). Pritom vol me:
1. u0 = f a v = P, ak f je trigonometrickÆ, exponenciÆlna alebo hyperbolickÆ funkcia a postup
opakujeme n- krÆt, kde n je stupe polyn mu P.
2. u0 = P a v = f, ak f je cyklometrickÆ alebo logaritmickÆ funkcia. Dostaneme tak integrÆl
z racionÆlnej alebo iracionÆlnej funkcie. Pre ich v poŁet pozri nasledujœcu Łas».
CviŁenia
Pou ite naznaŁenie met dy per partes na v poŁet integrÆlov.
63. R lnxdx; u0 = 1; v = lnx.
64. R lnxdxx2 ; u0 = 1x2; v = lnx.
65. R xcosxdx; u0 = cosx; v = x.
66. R xe 2xdx; u0 = e 2x; v = x.
67. R arccotgxdx; u0 = 1; v = arccotgx.
68. R xsin2 xdx; u0 = 1sin2 x; v = x.
69. R xcosxsin3 x dx; u0 = cosxsin3 x; v = x.
70. R xsinhxdx; u0 = sinhx; v = x.
71. Rp1 x2dx; u0 = 1; v =p1 x2.
72. R xtg2xdx; u0 = tg2x; v = x.
Pou it m met dy per partes vypoŁ tajte integrÆly.
73. R xlnxdx. 74. R xsin 3xdx.
75. R 5xe 4xdx. 76. R xarctgxdx.
77. R arccosxdx. 78. R xcoshxdx.
79. R(2x+ 1) cos( 3 5x)dx. 80. R xdx5x .
81. R lnxpx dx. 82. R 4x3 ln(x5)dx.
1.2. MET DY PO¨˝TANIA NEUR¨IT HO INTEGR`LU 23
Opakovan m pou it m met dy per partes vypoŁ tajte integrÆly.
83. R x2 sinxdx. 84. R ex cos 2xdx.
85. R(x2 + 5) cosxdx. 86. R x2 sinhxdx.
87. R(x2 2x+ 5)e xdx. 88. R xln2xdx.
89. R ln2xdx. 90. R e 2x sin x2 dx.
91. R sin(lnx)dx. 92. R x2e3xdx.
93. R(x2 + 5x+ 6) cos 2xdx. 94. R x3 cosxdx.
1.2.5 V sledky
63. xlnx x+c. 64. lnxx 1x +c.
65. xsinx+ cosx+c. 66. 12xe 2x 14e 2x +c.
67. xarccotgx+ 12 ln(1 +x2) +c. 68. xcotgx+ lnjsinxj+c.
69. x2 sin2 x 12 cotgx+c. 70. xcoshx sinhx+c.
71. 12(xp1 x2 + arcsinx) +c. 72. xtgx+ lnjcosxj x22 +c.
Vo v sledkoch nasledujœcich cviŁen je e„te pred v sledkom uvedenÆ vo ba funkcie u0 v met de per
partes, ktorou je mo nØ integrÆl rie„i». Funkciu v si Łitate dopln .
73. u0 = x; I = 12x2 lnx 14x2 +c.
74. u0 = sin 3x; I = 13xcos 3x+ 19 sin 3x+c.
75. u0 = e 4x; I = 54xe 4x 516e 4x +c.
76. u0 = x; I = x22 arctgx x2 + 12 arctgx+c.
77. u0 = 1; I = xarccosx p1 x2 +c.
78. u0 = coshx; I = xsinhx coshx+c.
79. u0 = cos( 3 5x); I = 2x+15 sin( 3 5x) + 225 cos( 3 5x) +c.
80. u0 = 5 x; I = x5 xln 5 5 xln2 5 +c.
81. u0 = 1px; I = 2pxlnx 4px+c.
82. u0 = 4x3; I = 5x4 lnx 54x4 +c.
83. u0 = sinx; I = x2 cosx+ 2xsinx+ 2 cosx+c.
84. u0 je jedno, I = ex5 (cos 2x+ 2 sin 2x) +c.
85. u0 = cosx; I = (x2 + 3) sinx+ 2xcosx+c.
86. u0 = sinhx; I = (x2 + 2) coshx 2xsinhx+c.
87. u0 = e x; I = e x(x2 + 5) +c.
88. u0 = x; I = 12x2(ln2x lnx) + 14x2 +c.
89. u0 = 1; I = xln2x 2xlnx+ 2x+c.
24 KAPITOLA 1. NEUR¨IT INTEGR`L
90. u0 je jedno, I = 817e 2x(sin x2 + 14 cos x2 ) +c.
91. u0 = 1; I = x2 (sin(lnx) cos(lnx)) +c.
92. u0 = e3x; I = e3x27 (9x2 6x+ 2) +c.
93. u0 = cos 2x; I = 2x2+10x+114 sin 2x+ 2x+54 cos 2x+c.
94. u0 = cosx; I = (x3 6x) sinx+ (3x2 6) cosx+c.
1.3 Integrovanie elementÆrnych funkci
1.3.1 Integrovanie racionÆlnych funkci
Zopakujme, e racionÆlnou funkciou rozumieme podiel dvoch mnohoŁlenov.
Integrovanie mnohoŁlenov
Postup pri integrovan mnohoŁlenu vypl va zo vz»ahu (1.3) a integrÆlu mocninnej funkcie.
Pr klad 10. VypoŁ tame R(5x7 12x3 + 3x2 9)dx.
Rie„enie: Z
(5x7 12x3 + 3x2 9)dx =
= 5
Z
x7dx 12
Z
x3dx+ 3
Z
x2dx 9
Z
1dx =
= 58x8 3x4 +x3 9x+c:
|
Integrovanie r dzo racionÆlnych funkci
Ka dœ r dzo racionÆlnu funkciu m eme vyjadri» v tvare sœŁtu elementÆrnych zlomkov ([H], Łas»
6.4.2). Preto k integrovaniu r dzo racionÆlnych funkci staŁ vedie» integrova» v„etky „tyri typy ele-
mentÆrnych zlomkov.
a) IntegrÆl prvØho typu zlomkov prevedieme jednoduchou œpravou na zÆkladn integrÆl:
Z a
x rdx
(t=x r)= aZ dt
t = alnjtj+c = alnjx rj+c:
|
Pr klad 11. VypoŁ tame R 32 5xdx.
Rie„enie: Z
3
2 5xdx =
3
5
Z dx
x 25
(t=x 25 )= 3
5 ln

x 2
5

+c:
|
b) IntegrÆl druhØho typu zlomkov rie„ime analogicky. Pre n> 1
Z a
(x r)n dx
(t=x r)= aZ t ndt = a t n+1
n+ 1 +c =
a
(1 n)(x r)n 1 +c:
1.3. INTEGROVANIE ELEMENT`RNYCH FUNKCI˝ 25
Pr klad 12. VypoŁ tame R 8(2x+3)4 dx.
Rie„enie: Z
8
(2x+ 3)4 dx = 8
Z dx
24(x+ 32)4
(t=x+ 32 )= 1
2
Z
t 4dt =
= 12 t
3
3 +c =
1
6(x+ 32)3 +c:
|
c) Tret typ zlomku ax+bx2+px+q, kde p2 4q< 0, integrujeme nasledovne:
1. Algebraick mi œpravami rozdel me zlomok na dva zlomky, ktor ch menovatele sœ zhodnØ s me-
novate mi p vodnØho zlomku. ¨itate prvØho je lineÆrna funkcia, ktorÆ je Ł seln m nÆsobkom
derivÆcie menovate a a Łitate druhØho je Ł slo:
ax+b
x2 +px+q =
a
2(2x+p)
x2 +px+q +
b ap2
x2 +px+q:
2. Prv zlomok integrujeme nasledovne:
Z a
2(2x+p)
x2 +px+qdx
(t=x2+px+q)= a
2
Z dt
t =
a
2 ln(x
2 +px+q) +c:
PreŁo netreba v poslednom logaritme p sa» absolœtnu hodnotu?
3. IntegrÆl druhØho zlomku œpravami a substitœciou prevedieme na R dtt2+1.
Pr klad 13. VypoŁ tame integrÆl R 3x 1x2+4x+10 dx.
Rie„enie:
1. Najsk r uprav me integrovan zlomok na sœŁet dvoch zlomkov s pop san mi vlastnos»ami
3x 1
x2 + 4x+ 10 =
3
2(2x+ 4)
x2 + 4x+ 10 +
7
x2 + 4x+ 10:
2. PoŁ tame prv integrÆl
3
2
Z 2x+ 4
x2 + 4x+ 10 dx
(t=x2+4x+10)= 3
2
Z dt
t =
3
2 lnjtj+c =
= 32 ln(x2 + 4x+ 10) +c:
3. PoŁ tame druh integrÆl
Z 7
x2 + 4x+ 10 dx = 7
Z dx
x2 + 4x+ 10 = 7
Z dx
(x+ 2)2 + 6 =
= 76
Z dx
x+2
p6
2
+ 1
=
(t=x+2p6 )
= 76
Z p6dt
t2 + 1 =
= 7p6 arctgt+c = 7p6 arctg x+ 2p6 +c:
V sledok je sœŁtom obidvoch integrÆlov:
Z 3x 1
x2 + 4x+ 10 dx =
3
2 ln(x
2 + 4x+ 10) 7p
6 arctg
x+ 2p
6 +c:
26 KAPITOLA 1. NEUR¨IT INTEGR`L
|
d) IntegrÆly zo zlomkov „tvrtØho typu ax+b(x2+px+q)n pre n > 1 sa poŁ tajœ zlo itou rekurentnou
met dou. Pre v slednØ vz»ahy pozri [E], Łas» Integrovanie racionÆlnych funkci .
Pr klad 14. VypoŁ tame integrÆl R 4x3 14x2+28x 7(x 2)2(x2 2x+5) dx.
Rie„enie: lohu budeme rie„i» v nieko k ch krokoch.
1. Integrovanœ r dzo racionÆlnu funkciu rozlo me na elementÆrne zlomky
4x3 14x2 + 28x 7
(x 2)2(x2 2x+ 5) =
2
x 2 +
5
(x 2)2 +
2x 3
x2 2x+ 5:
2. Integrujeme prv integrÆl Z
2
x 2 dx = 2 lnjx 2j+c:
3. Integrujeme druh integrÆl Z
5
(x 2)2 dx =
5
x 2 +c:
4. Podobne ako v predchÆdzajœcom pr klade integrujeme tret integrÆl. Podrobnosti nechÆme na
Łitate a. Z 2x 3
x2 2x+ 5 dx =
Z 2x 2
x2 2x+ 5
1
x2 2x+ 5

dx =
= ln(x2 2x+ 5) 14
Z dx
(x 1)2 + 4 =
= ln(x2 2x+ 5) 14
Z dx
x 1
2
2
+ 1
=
= ln(x2 2x+ 5) 12 arctg
x 1
2

+c:
5. SŁ tame v„etky vypoŁ tanØ integrÆly
Z 4x3 14x2 + 28x 7
(x 2)2(x2 2x+ 5) dx =
= 2 lnjx 2j 5x 2 + ln(x2 2x+ 5) 12 arctg
x 1
2

+c:
|
Integrovanie racionÆlnych funkci
Pri integrovan racionÆlnych funkci vyu vame znÆmy fakt (pozri [H]):
Ka dÆ racionÆlna funkcia sa dÆ vyjadri» ako sœŁet mnohoŁlena a r dzo racionÆlnej funkcie.
Pr klad 15. VypoŁ tame integrÆl R x8+11x6+15x4+3x3+12x2 18x+27x5+9x3 dx.
1.3. INTEGROVANIE ELEMENT`RNYCH FUNKCI˝ 27
Rie„enie:
1. Danœ racionÆlnu funkciu rozlo me na sœŁet mnohoŁlena a r dzo racionÆlnej funkcie. Rozklad
menovate a na sœŁin je x3(x2 + 9). DostÆvame
x8 + 11x6 + 15x4 + 3x3 + 12x2 18x+ 27
x5 + 9x3 =
= x3 + 2x+ 1x 2x2 + 3x3 4x 5x2 + 9:
2. IntegrÆl mnohoŁlena je jednoduch R(x3 + 2x)dx = x44 +x2 +c.
3. IntegrÆly prv ch troch zlomkov sœ jednoduchØ, integrÆl poslednØho je
Z 4x 5
x2 + 9 dx = 2
Z 2x
x2 + 9 dx 5
Z dx
x2 + 9 = 2 ln(x
2 + 9) 5
3 arctg
x
3 +c:
4. V sledok je sœŁtom v„etk ch integrÆlov
Z x8 + 11x6 + 15x4 + 3x3 + 12x2 18x+ 27
x5 + 9x3 dx =
= x
4
4 +x
2 + lnjxj+ 2
x
3
2x2 2 ln(x
2 + 9) + 5
3 arctg
x
3 +c:
|
CviŁenia
VypoŁ tajte integrÆly r dzo racionÆlnych funkci .
95. R dxx2+2x. 96. R dxx2 1.
97. R dxx3+x. 98. R dx(x 1)(x+2)(x+3).
99. R dxx(x+1)2 . 100. R 2x2+41x 91(x 1)(x+3)(x 4) dx.
101. R 2dxx2+2x+5. 102. R dx3x2+5.
103. R dxx3+1 dx. 104. R dxx3+x2+x.
VypoŁ tajte integrÆly racionÆlnych funkci .
105. R x2 5x+9x2 5x+6 dx. 106. R 5x3+2x3 5x2+4xdx.
107. R x2 dxx2 6x+10. 108. R x3+x+1x(x2+1) dx.
109. R (x 1)2x2+3x+4 dx. 110. R x4x4 1 dx.
111. R 2x 3(x2 3x+2)2 dx. 112. R x3+x 1x(x2+1) dx.
28 KAPITOLA 1. NEUR¨IT INTEGR`L
V sledky
95. 12 ln

xx+2

+c. 96. ln
r
x 1
x+1

+c.
97. lnjxj 12 ln(x2 + 1) +c. 98. 112 ln

(x 1)(x+3)2(x+2)4

+c.
99. 1x+1 + ln

xx+1

+c. 100. ln

(x 1)4(x 4)5(x+3)7

+c.
101. arctg x+12 +c. 102. 1p15 arctg
q3
5x

+c.
103. 16 ln (x+1)2x2 x+1 + 1p3 arctg 2x 1p3 +c.
104. 12 ln x2x2+x+1 1p3 arctg 2x+1p3 +c.
105. x+ 3 lnjx 3j 3 lnjx 2j+c.
106. 5x+ ln

px(x 4) 1616
(x 1) 73

+c.
107. x+ 3 ln(x2 6x+ 10) + 8 arctg(x 3) +c.
108. x+ ln

xpx2+1

+c.
109. x 52 ln(x2 + 3x+ 4) + 9p7 arctg 2x+3p7 +c.
110. x+ 14 ln

x 1x+1

12 arctgx+c.
111. 12(x2 3x+2)2 +c.
112. x+ ln
px2+1
jxj +c.
1.3.2 Integrovanie trigonometrick ch funkci
Pri integrovan trigonometrick ch funkci je v Ł„inou viac mo nost ako postupova». IntegrÆl z ubo-
vo nej racionÆlnej funkcie z funkci sin a cos, t.j. funkcie obsahujœcej algebraickØ operÆcie (sŁitanie,
odŁ tanie, nÆsobenie a delenie) a funkcie sin a cos (a teda aj tg a cotg), m eme pomocou substitœcie
t = tg x2; x2( ; );
previes» na integrÆl z racionÆlnej funkcie. Postupujeme pritom tak, e vyjadr me inverznœ funkciu, jej
diferenciÆl dx a tie funkcie sinx a cosx s pomocou premennej t
x = 2 arctgt; dx = 2dt1 +t2; sinx = 2t1 +t2; cosx = 1 t
2
1 +t2:
Pr klad 16. VypoŁ tame R 1+tgx1 tgxdx.
Rie„enie: Sk r ne zaŁneme poŁ ta», uvedomme si, e œlohu m eme rie„i» v ubovo nom intervale,
v ktorom je integrovanÆ funkcia de novanÆ, t.j. v ubovo nom intervale ( 2 +k ; 3 4 )+k alebo (3 4 +
1.3. INTEGROVANIE ELEMENT`RNYCH FUNKCI˝ 29
k ; 2 +k ), k2Z. IntegrÆl uprav me a prevedieme spom nanou substitœciou na integrÆl z racionÆlnej
funkcie. Z
1 + tgx
1 tgxdx =
Z cosx+sinx
cosx
cosx sinx
cosx
dx =
Z cosx+ sinx
cosx sinxdx =
Z 1 t2
1+t2 +
2t
1+t2
1 t2
1+t2
2t
1+t2
2dt
1 +t2 =
Z 2t2 4t 2
(t2 + 1)(t2 + 2t 1) dt:
R dzo racionÆlnu funkciu v poslednom integrÆle rozlo me na sœŁet elementÆrnych zlomkov
2t2 4t 2
(t2 + 1)(t2 + 2t 1) =
2t
t2 + 1
1
t+ 1 +p2
1
t+ 1 p2
a tieto integrujeme.
Z 2t2 4t 2
(t2 + 1)(t2 + 2t 1) dt =
Z 2t
t2 + 1 dt
Z dt
t+ 1 +p2
Z dt
t+ 1 p2 =
ln(t2 + 1) lnjt+