Kapitola 01 (balíček)

dů ty, které představují výraz s proměnnou, od těch, které nejsou výrazem s proměnnou. 5 – 5.(x - y) (1 + 12) – (4 – 7) x + 5  10 Jde o rovnici, nikoliv samostatný výraz. s Neobsahuje proměnnou. Nejde vůbec o výraz, protože neobsahuje žádnou početní operaci. Jde o nerovnici, nikoliv samostatný výraz. Neobsahuje proměnnou. Neobsahuje proměnnou. Jednočlen, mnohočlen. Výrazy jsou tvořeny členy. Členy jsou od sebe odděleny operátory početních operací sčítání nebo odčítání. Podle počtu členů dělíme výrazy na jednočleny a mnohočleny. Jednočlen je výraz tvořen jedním členem, případně znak či číslo. 2x y.y 12yz -9a -5xy (cd):2 Mnohočlen je výraz tvořen součty nebo rozdíly jednočlenů. 2x + 3 y – 2y + y a/2 – 6a.a b - 9a – 4cb (3x – 5) + (2x – 4) Mnohočlen se dvěma jednočleny se nazývá dvojčlen. Mnohočlen se třemi jednočleny se nazývá trojčlen. … součet dvou dvojčlenů (3x – y + 2).(x + 2y – 1) … součin dvou trojčlenů a 35 Jednočlen, mnohočlen - příklad Určete počet členů výrazu a potom výraz zjednodušte: člen člen člen 3 členy … trojčlen 4 krávy 2 krávy = 2 krávy 4 x 2 x = 2 x Jednočlen, mnohočlen - příklad Vyjádři jako výraz obvod čtverce se stranou a. Dokážeš jej zapsat jako čtyřčlen i jako jednočlen? a a a a + + + čtyřčlen 4.a jednočlen Opačný výraz Výraz, ve kterém znaménka + a – změníme v opačná. 2x - 9a - 5xy a:4 - 2x 9a - a:4 5xy x - 2 3 - 2a + b 1 - 5xy – x + 2y - a:2 – 2a - x + 2 - 3 + 2a - b a:2 + 2a - 1 + 5xy + x – 2y Opačný výraz - příklady Urči, zda se jedná o dvojice opačných výrazů: 2 + x x + 2 NE! 2 - x -2 + x ANO 2.x -x.2 ANO 2 - x x - 2 ANO -x:2 x:2 ANO x:(-2) -x:2 NE! a + 3b - c a – 3b + c NE! (4 – x) -(4 – x) ANO 4u – 3uv - 5v -4u + 3uv + 5v ANO Celistvý výraz Výraz, který neobsahuje neznámou ve jmenovateli. Lomený výraz Výraz, který obsahuje neznámou ve jmenovateli. Zapamatuj si Algebraický výraz je předpis jedné či více početních operací. Číselný výraz je předpis jedné či více početních operací pouze s čísly. Výraz s proměnnou je předpis jedné či více početních operací obsahující proměnnou nebo proměnné, tedy znaky, které označují libovolné číslo z určité množiny, kterou nazýváme obor proměnné nebo definiční obor výrazu. Opačný výraz je výraz, ve kterém znaménka + a – změníme v opačná. Celistvý výraz je výraz, který neobsahuje neznámou ve jmenovateli. Lomený výraz je výraz, který obsahuje neznámou ve jmenovateli.
Algebraické výrazy:počítání s mnohočleny Opakování před zahájením učiva
o lomených výrazech. Co už známe. Zopakujme si v rychlosti základní pojmy a dovednosti: Které? Zkusíme to nejdříve bez pomoci. 1.) Co je výraz. 2.) Číselný výraz a algebraický výraz. 3.) Sčítání mnohočlenů. 4.) Odčítání mnohočlenů. 5.) Násobení mnohočlenů. 6.) Vytýkání před závorku – rozklad na součin. 7.) Úprava na součin pomocí vzorců. 1.) Výraz. K zápisu postupu řešení všech matematických i nematematických úloh a početních operací s čísly nebo proměnnými používáme výrazy. Výrazy jsou tedy zjednodušeně řečeno zápisy početních výkonů. 4 . 2,5 – 6 + 22 x – 6 + 3x (x + 2)/4 5 . (4 – 3) – 6 : 3 y2 – 6y + 9 7 : (6 – 3 . 2) – 2 . 3 2.) Číselný a algebraický výraz. Existují dva druhy výrazů podle toho, z čeho jsou sestaveny: 1.) Výrazy, v nichž se vyskytují jenom čísla: Číselné výrazy. 2.) Výrazy, v nichž se vyskytují proměnné, které zastupují čísla z určité množiny: Algebraické výrazy. 7 : (6 – 3 . 2) – 2 . 3 5 . (4 – 3) – 6 : 3 4 . 2,5 – 6 + 22 x – 6 + 3x (x + 2)/4 y2 – 6y + 9 3.) Sčítání mnohočlenů. Sčítat můžeme jen stejné členy se stejnou proměnnou a se stejným mocnitelem. To znamená čísla jen s čísly, 3 + 4 = 7 3x + 4x = 7x 3x2 + 4x2 = 7x2 proměnné jen s proměnnými, proměnné na druhou jen s proměnnými na druhou, atd. (3x2 + 7x – 5) + (-2x2 – 4x + 1) = Příklad: 3x2 + 7x – 5 – 2x2 – 4x + 1 = = 3x2 – 2x2 x2 + 3x – 4 + 7x – 4x – 5 + 1 = 4.) Odčítání mnohočlenů. Odečíst mnohočlen znamená přičíst mnohočlen k němu opačný. K danému mnohočlenu utvoříme mnohočlen opačný, změníme-li znaménka všech jeho členů na opačná. -2x2 – 4x + 1 2x2 + 4x - 1 Příklad: (3x2 + 7x – 5) - (-2x2 – 4x + 1) = 3x2 + 7x – 5 + 2x2 + 4x - 1 = = 3x2 + 2x2 5x2 + 11x – 6 + 7x + 4x – 5 - 1 = 5.) Násobení mnohočlenů. Každý člen jednoho mnohočlenu násobíme s každým členem druhého mnohočlenu a pak zjednodušíme. (2x – 1)(2x2 – 4x + 1) = 4x3 Příklad: (3x2 + 7x – 5).(-2x2 – 4x + 1) = = - 6x4 - 12x3 + 3x2 - 14x3 - 28x2 + 7x + 10x2 + 20x - 5 = = - 6x4 - 12x3 - 14x3 + 3x2 - 28x2 + 10x2 + 7x + 20x - 5 = - 8x2 + 2x - 2x2 + 4x - 1 = - 6x4 - 26x3 - 15x2 + 27x - 5 Násobení mnohočlenů - příklady 3x . 4x2 = Vynásobíme čísla spolu a proměnné spolu. 12 3x . (4x2 – 2x) = Vynásobíme člen 3x s prvním členem závorky 12x3 a s druhým členem. x3 - 6x2 (3x - 5) . (4x2 – 2x) = Vynásobíme první člen první závorky s prvním členem druhé, 12x3 - 6x2 první člen první závorky s druhým členem druhé závorky, druhý člen první závorky s prvním členem druhé závorky, druhý člen první závorky s druhým členem druhé závorky. - 20x2 + 10x = 12x3 - 26x2 + 10x Násobení mnohočlenů - příklady (3x - 5) . (4x2 – 2x + 1) = Vynásobíme první člen první závorky s prvním členem druhé, 12x3 - 6x2 první člen první závorky s druhým členem druhé závorky, druhý člen první závorky s prvním členem druhé závorky, druhý člen první závorky s druhým členem druhé závorky, + 3x - 20x2 = 12x3 - 26x2 + 13x - 5 první člen první závorky s třetím členem druhé závorky, + 10x druhý člen první závorky s třetím členem druhé závorky. - 5 = 6.) Vytýkání před závorku – rozklad na součin. Základem vytýkání (rozkladu na součin) je dělení mnohočlenu jednočlenem. (2x2 – 4x) : 2 = x2 - 2x Mnohočlen dělíme jednočlenem (různým od nuly!) tak, že jím vydělíme postupně každý člen mnohočlenu. 2x2:2 -4x:2 (2x2 – 4x) : 2x = x - 2 2x2:2x -4x:2x Jednočlen, kterým dělíme, musí být dělitelem všech členů daného mnohočlenu. 6.) Vytýkání před závorku – rozklad na součin. Provedeme si zkoušku jednoho z předcházejících příkladů. = 2x2 . 2x x.2x -2.2x (2x2 – 4x) : 2x = x - 2 Díky komutativnímu zákonu pro násobení platí, že: (x – 2) – 4x . 2x (x – 2) = 2x . (x – 2) Můžeme tedy napsat výraz 2x2 – 4x ve tvaru 2x.(x-2). Říkáme, že jsme 2x vytkli před závorku. 2x2 – 4x = 2x . (x – 2) 6.) Vytýkání před závorku – rozklad na součin. Příklad č. 1: 2x2 – 4x + 12 = Dělitelem všech členů je číslo 2, vytýkat budeme číslo 2. (2x2 – 4x + 12) : 2 = x2 – 2x + 6 2 . (x2 – 2x + 6) Příklad č. 2: 6x3 – 3x2 + 12x = Dělitelem všech členů je člen 3x, vytýkat budeme člen 3x. (6x3 – 3x2 + 12x ) : 3x = 2x2 – x + 4 3x . (2x2 – x + 4) 7.) Úprava na součin pomocí vzorců. Vzor č. 1: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (2x + 3)2 = (2x)2 + 2.2x.3 + 32 = 4x2 + 12x + 9 Vzor č. 2: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (2x - 3)2 = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = 4x2 - 12x + 9 Vzor č. 3: a2 - b2 = (a + b).(a – b) 4x2 - 9 = (2x + 3).(2x – 3) (2x)2 32 a b A nyní již vzhůru na výrazy lomené!
Lomené algebraické výrazy Násobení lomených výrazů Násobení lomených výrazů. Opět zavzpomínejme na násobení zlomků. Násobení zlomků spočívá v tom, že zvlášť vynásobíme čitatele zlomků, čímž zjistíme čitatele výsledného zlomku a zvlášť vynásobíme jmenovatele zlomků, čímž zjistíme jmenovatele výsledného zlomku. Jinými slovy: Součinem dvou zlomků je zlomek, jehož čitatel je roven součinu čitatelů obou zlomků a jmenovatel je roven součinu jmenovatelů obou zlomků. Násobení lomených výrazů. Během násobení můžeme často s výhodou využít krácení zlomků, ať už nad sebou či do kříže. Pro zajímavost tentýž příklad bez průběžného krácení. Závěr: Díky postupnému krácení počítáme s „menšími čísly“. Násobení lomených výrazů. Co jsme si ukázali se zlomky, platí i při násobení lomených výrazů. Součinem lomených výrazů je lomený výraz, jehož čitatel je součin čitatelů a jmenovatel součin jmenovatelů násobených lomených výrazů. I u lomených výrazů můžeme s výhodou během násobení krátit „nad sebou“ i do kříže. Možnost krácení můžeme i podpořit rozkladem čitatelů a jmenovatelů výrazů na součin. Pamatuj: Nikdy nekrátíme „vedle sebe“!!! Násobení lomených výrazů. Příklad: Vynásobte Stejně jako u všech výpočtů s lomenými výrazy, tak ani u násobení lomených výrazů nesmíme zapomenout na určení podmínek, kdy mají výrazy smysl. Pamatuj: Nezapomínej na podmínky!!! Rozložíme na součin vytknutím čísla 2 Rozložíme na součin vytknutím proměnné y Provedeme krácení Násobení lomených výrazů. Příklad: Vynásobte Rozložíme na součin vytknutím čísla 2 Rozložíme na součin vytknutím proměnné x Provedeme krácení A co když se objeví násobení lomeného výrazu normálním „nelomeným“ výrazem? Lehce upravíme na násobení dvou lomených výrazů. Podmínky: Násobení lomených výrazů. Příklad: Vynásobte Upravíme na součin pomocí vzorce Odečteme lomené výrazy Vytkneme (-1), aby došlo k záměně znamének v celém členu A příklady mohou být ještě složitější … Podmínky: Pokrátíme Násobení lomených výrazů – příklady k procvičení. Vynásobte lomené výrazy. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. Násobení lomených výrazů – příklady k procvičení. Vynásobte lomené výrazy. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. Násobení lomených výrazů – příklady k procvičení. Vynásobte lomené výrazy. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. Násobení lomených výrazů – příklady k procvičení. Vynásobte lomené výrazy. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. Násobení lomených výrazů – příklady k procvičení. Vynásobte lomené výrazy. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. Násobení lomených výrazů – příklady k procvičení. Vynásobte lomené výrazy. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. Násobení lomených výrazů – příklady k procvičení. Vynásobte lomené výrazy. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. Násobení lomených výrazů – příklady k procvičení. Vynásobte lomené výrazy. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. Násobení lomených výrazů – příklady k procvičení. Vynásobte lomené výrazy. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. A na závěr vyzkoušej, jak ti to jde. http://www.zshorakhk.cz/tvorba/ucitele/LV/LV_nasobeni.php Test V testu pod následujícím odkazem najdeš příklady jak na násobení lomených výrazů, tak na jejich dělení. Vyzkoušej si jen prvních pět příkladů na násobení. Dělení nás teprve čeká. 
Algebraické výrazy:lomené výrazy Podmínky řešitelnosti.
Určení podmínek, pro které má výraz smysl. Lomené výrazy. Algebraické výrazy, které jsou zapsány ve tvaru zlomku. Lomené výrazy jsou výrazy zapsané ve tvaru zlomku, v jehož jmenovateli se vyskytuje proměnná. Lomené výrazy. S lomenými výrazy se pracuje podobně jako se zlomky. Víme například, že jmenovatel žádného zlomku nesmí být roven nule. Totéž platí i pro lomené výrazy. Proto musíme vždy vyloučit ty hodnoty jednotlivých proměnných, po jejichž dosazení by byl jmenovatel roven nule. Říkáme, že určujeme podmínky, pro které má lomený výraz smysl. … x ≠ 0 … 2x ≠ 0  x ≠ 0 … x - 2 ≠ 0  x ≠ 2 Kdy má lomený výraz smysl? Když se jmenovatel nerovná nule. Určujeme tedy, čemu se nesmí rovnat proměnná ve jmenovateli. Ukážeme si to ještě na dalších příkladech. 2x - 6 ≠ 0 2x ≠ 6 x ≠ 6 : 2 x ≠ 3 Výraz má smysl, když se x ≠ 3. Výraz má tedy smysl pro všechna reálná čísla x, kromě čísla 3. Kdy má lomený výraz smysl? Když se jmenovatel nerovná nule. Určujeme tedy, čemu se nesmí rovnat proměnná ve jmenovateli. 2x + 6 ≠ 0 2x ≠ - 6 x ≠ - 6 : 2 x ≠ - 3 Výraz má smysl, když se x ≠ -3. Výraz má tedy smysl pro všechna reálná čísla x, kromě čísla -3. Kdy má lomený výraz smysl? Když se jmenovatel nerovná nule. Určujeme tedy, čemu se nesmí rovnat proměnná ve jmenovateli. x2 - 4 ≠ 0 x2 ≠ 4 Výraz má smysl, když x ≠ 2 a x ≠ -2. Výraz má tedy smysl pro všechna reálná čísla x, kromě čísel 2 a -2. x ≠ √4 x ≠ ±2 Kdy má lomený výraz smysl? Když se jmenovatel nerovná nule. Určujeme tedy, čemu se nesmí rovnat proměnná ve jmenovateli. x2 + 4 ≠ 0 x2 ≠ - 4 Výraz má smysl pro všechna reálná čísla. Nemůže nastat případ, že by druhá mocnina byla záporným číslem. ! Kdy má lomený výraz smysl? Když se jmenovatel nerovná nule. Určujeme tedy, čemu se nesmí rovnat proměnná ve jmenovateli. Výraz má smysl, když se x ≠ 3/5. Výraz má tedy smysl pro všechna reálná čísla x, kromě čísla 3/5. Kdy má lomený výraz smysl? Když se jmenovatel nerovná nule. Určujeme tedy, čemu se nesmí rovnat proměnná ve jmenovateli. Výraz má smysl, když se x ≠ 3/5y. To znamená, kdyby například y = 5, x ≠ 3, nebo y = 10, x ≠ 6, atd. Kdy má lomený výraz smysl? Když se jmenovatel nerovná nule. Určujeme tedy, čemu se nesmí rovnat proměnná ve jmenovateli. Výraz má smysl, když se x ≠ y, x ≠ -y. To znamená, kdyby například y = 5, x ≠ ±5, nebo y = -2, x ≠ ±2, atd. Součin dvou výrazů není roven nule, pokud ani jeden z výrazů není roven nule. Vzorec Kdy má lomený výraz smysl? Když se jmenovatel nerovná nule. Určujeme tedy, čemu se nesmí rovnat proměnná ve jmenovateli. Výraz má smysl, když se x ≠ (2/3)y, x ≠ (-2/3)y. To znamená, kdyby například y = 3, x ≠ ±2, nebo y = -6, x ≠ ±4, atd. Součin dvou výrazů není roven nule, pokud ani jeden z výrazů není roven nule. Vzorec Kdy má lomený výraz smysl? Když se jmenovatel nerovná nule. Určujeme tedy, čemu se nesmí rovnat proměnná ve jmenovateli. Výraz má smysl, když se x ≠ 0, y ≠ 3, y ≠ -3. Součin tří výrazů není roven nule, pokud ani jeden z výrazů není roven nule. Vytýkání Vzorec Pozor na formulaci otázky. Vždy si dobře a pozorně přečtěte, jak zní otázka a co se v ní od vás žádá. Výraz nemá smysl pro x = 0 nebo x = 2. Porovnejte následující otázky ke stejnému výrazu. Příklad č. 1: Určete, pro která reálná čísla x nemá výraz smysl. Příklad č. 2: Určete, pro která reálná čísla x má výraz smysl. Řešení by bylo stejné, ale odpověď jiná. Výraz má smysl pro všechna reálná čísla kromě 0 a 2. A pozor i na další formulaci otázky. Výraz se rovná nule pro x = 5. Příklad č. 1: Určete, pro která reálná čísla x se výraz rovná nule. I u takto formulované otázky samozřejmě nejdříve musíme zjistit, pro která x výraz nemá smysl. Jelikož jmenovatel být roven nule nemůže, bude výraz roven nule, pokud se nule bude rovnat čitatel. A pozor i na další formulaci otázky. Podle posledních výpočtů by měl být výraz roven nule pro x = 0 nebo x = 2. Číslo 2 je však v rozporu s podmínkou vypočítanou v úvodu příkladu. Číslo 2 tedy řešením být nemůže, což znamená, že výraz je roven nule jen pro x = 0! Příklad č. 2: Určete, pro která reálná čísla x se výraz rovná nule. Víte proč bylo u předcházejícího příkladu uvedeno, že i u takto formulované otázky samozřejmě nejdříve musíme zjistit, pro která x výraz nemá smysl? Opět platí, že jelikož jmenovatel být roven nule nemůže, bude výraz roven nule, pokud se nule bude rovnat čitatel. Ne? Tak si to nyní ukážeme. Kdy má lomený výraz smysl? Příklady č. 1: Pro která reálná čísla nemají smysl následující výrazy? Příklady č. 2: Pro která reálná čísla mají předcházející výrazy smysl?
Lomené algebraické výrazy Krácení lomených výrazů Krácení lomených výrazů. S pojmem krácení jsme se seznámili již při početních operacích se zlomky. Krátit lomený výraz znamená vydělit čitatele i jmenovatele stejným výrazem, různým od nuly. Krácení znamená dělení čitatele i jmenovatele stejným číslem, různým od nuly. Podobně postupujeme i u lomených výrazů. Krácení lomených výrazů. Tak tedy ještě jednou. Kraťte lomený výraz: Při krácení dochází k dělení. A jak již dlouho víme, nelze dělit nulou. Proto podobně jako výraz ve jmenovateli, který nesmí být roven nule, nesmí být roven nule ani výraz, kterým při krácení lomeného výrazu dělíme! U lomených výrazů nesmíte nikdy zapomenout na určení podmínek řešitelnosti (kdy má výraz smysl)! Je dobré s nimi proto začínat. Krácení lomených výrazů. Jak zjistíme výraz, kterým při krácení dělit? Výraz, kterým se krátí? Zjistili jsme, že: Podíváme se ještě jednou na předcházející příklad, ale využijeme při tom znalosti rozkladu výrazu na součin. nebo A tato rovnost platí, je-li: Krácení lomených výrazů. Z řešení předcházejícího příkladu je zřejmé, že abychom mohli krátit, musíme rozložit výrazy v čitateli i jmenovateli lomeného výrazu na součin v základním tvaru. Jak je vidět, tak ze součinového tvaru určíme mnohem snadněji i podmínky, pro které má výraz smysl. Lomený výraz má tedy smysl, pokud se x ≠ 0 a x ≠ -4. Za tohoto předpokladu můžeme krátit výrazem x+4, jelikož máme zajištěno, že není nulový (nulou nelze dělit!). Můžeme vytknout číslo 2 Můžeme vytknout člen 2x Vzorec Krácení lomených výrazů. Zjistili jsme, že a tato rovnost platí, je-li Můžeme tedy krátit výrazem x+4, jelikož máme zajištěno, že není nulový (nulou nelze dělit!). A samozřejmě vykrátit můžeme i číslo 2. Krácení lomených výrazů. Rovnost mezi daným a upraveným výrazem platí, je-li x ≠ 0 a x ≠ y. Celý postup krácení si projdeme ještě jednou na jiném příkladu: Nejdříve rozložíme výraz do součinového tvaru. Vytkneme člen 2x Vytkneme člen 3x2 Vytkneme číslo (-1) Využijeme komutativního zákona pro záměnu činitelů a sčítanců Krácení lomených výrazů – příklady k procvičení. Kraťte lomené výrazy a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. Krácení lomených výrazů – příklady k procvičení. Kraťte lomené výrazy a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. Krácení lomených výrazů – příklady k procvičení. Kraťte lomené výrazy a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. Krácení lomených výrazů – příklady k procvičení. Kraťte lomené výrazy a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. Krácení lomených výrazů – příklady k procvičení. Kraťte lomené výrazy a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. Krácení lomených výrazů – příklady k procvičení. Kraťte lomené výrazy a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. Krácení lomených výrazů – příklady k procvičení. Kraťte lomené výrazy a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál. A na závěr vyzkoušej, jak ti to jde. (http://www.zshorakhk.cz/tvorba/ucitele/LV/LV_kraceni.php) Test
Lomené algebraické výrazy Rozšiřování lomených výrazů Rozšiřování lomených výrazů. S pojmem rozšiřování jsme se seznámili již při početních operacích se zlomky. Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit čitatele i jmenovatele stejným výrazem, různým od nuly. Rozšíření znamená násobení čitatele i jmenovatele stejným číslem, různým od nuly. Podobně postupujeme i u lomených výrazů. Rozšiřování lomených výrazů. Tak tedy ještě jednou. Rozšíříme lomený výraz U lomených výrazů nesmíte nikdy zapomenout na určení podmínek řešitelnosti (tedy kdy má výraz smysl)! výrazem Rozšiřování lomených výrazů. Rozšiřování lomených výrazů budeme potřebovat především při převádění výrazů na společného jmenovatele. Vyzkoušejme si tedy příklad rozšíření lomeného výrazu na požadovaného jmenovatele. Příklad: Rozšiřte lomený výraz tak, aby jeho jmenovatel byl 6x2. Daný výraz tedy rozšíříme výrazem 2x. Zapomenout nesmíme na podmínky, pro které proměnné nemá výraz smysl. Rozšiřování lomených výrazů. Z řešení předcházejícího příkladu je zřejmé, že známe-li jmenovatele, na kterého musíme lomený výraz převést, musíme zjistit, čím budeme lomený výraz rozšiřovat. Jak je vidět, tak ze součinového tvaru snadno určíme, čím budeme lomený výraz rozšiřovat, stejně jako podmínky, pro které má výraz smysl. K tomu nám pomůže rozložení jmenovatele lomeného výrazu na součin v základním tvaru. Příklad: Rozšiřte lomený výraz tak,