Ukázky testů

í dané soustavy je tedy určeno uspořádanou dvojicí funkcí (4), (5).
2. a) Rovnice 021 2 =−+ xx má kořeny 1,21 21 =−= xx , platí 021 2 >−+ xx pro
−∈ 1,21x , tedy definičním oborem funkce f je interval J = − 1,21 . Derivace funkce f je
funkce ( ) 221 41 xx xxf −+ −=′ , Jx ∈ . (Bod Jxo ∈ .)
b) Funkci f ′ rozložíme na parciální zlomky 2/12/ 2/1212/1 2 −− −=−++=′ xx xxBx Af ,
( ( )2/12/221 22 −−−=−+ xxxx ).
Použijeme vzorce pro součet geometrické řady ( )1,1,1 −∈−= qqas :
−∈−+−+−=+ 21,21,...321684221 2 432 xxxxxx ,
( )1,1,...11 1 432 −∈−−−−−−=−− xxxxxx
−∈++−+−=′ 21,21,...3117751 432 xxxxxf .
132
c) Integrací poslední řady dostaneme ( )∫ ++−+−=+′ ...5314173725 5432 xxxxxCdxxf ,
neboli ( ) =+−+ Cxx 221ln ...5314173725 5432 ++−+− xxxxx , po dosazení 0=x dostaneme
0=C . Tedy ( )221ln xx −+ = ...5314173725 5432 ++−+− xxxxx a oborem konvergence je
interval 



−
2
1,
2
1 .
3. a) Charakteristický polynom matice 




−
−−=
12
11 pA dané soustavy je kvadratický po-
lynom p2322 −++ λλ . Lineární soustava má jediný bod rovnováhy O je-li matice A regu-
lární (jsou-li její vlastní čísla nenulová). Z toho plyne,že absolutní člen charakteristického po-
lynomu musí být nenulový. Tato podmínka je splněna právě když je 23≠p .
b) Bod rovnováhy O je ohniskem, jestliže matice A má neryze imaginární vlastní čísla. Pro-
tože ( ) ( )121,121 21 −−−=−+−= pp λλ , je bod O ohniskem právě když ( )1,∞−∈p .
c) Pro 1−=p má matice A vlastní čísla komplexně sdružená. Pro i211 +−=λ je příslušný
vlastní vektor ( )TiU 1,= . Komplexní funkce reálné proměnné ( ) ( ) Uet ti21+−=Φ je řešením
soustavy. Funkce ( ) ( ) ( ) ( ) 



=Φ=Φ



−=Φ=Φ −−
t
tett
t
tett tt
2sin
2cosIm,
2cos
2sinRe
21 tvoří funda-
mentální systém řešení dané soustavy na intervalu ( )∞∞− , .
4. a)


Funkci f dodefinujeme na funkci g v intervalu >−< 4,4 tak, aby funkce g byla sudá a perio-
dicky prodloužíme na funkci f~ s periodou 82 =L na interval ( )∞∞− , .
Tvar Fourierovy řady funkce f~ je ∑
∞
=
+
1 4
cos2
k
k
o kxaa pi .
133
Fourierovy koeficienty : ( ) 2342
4
0
−=−= ∫ dxxao ,
( ) =
=′
=′−=
=−= ∫
4sin
41
4cos3
4cos32
1 4
0
xk
ku
xkvxu
dxxkxak pi
pi
pi
pi
( ) ( )( ) ,...2,1,1184cos84sin32 24
0
22
4
0
=−+−=+



 −= k
k
xk
k
xkx
k
k
pi
pi
pi
pi
pi .

b) 



 ++−−≈−
4
5cos
25
1
4
3cos
9
1
4cos
1613
2
xxxx pipipi
pi .
c) Součet ( ) 3−= xxs pro >∈< 40,x , ( ) ( ) ( ) 132210 2 −=−==−=− =xxsss ,
( ) ( ) 13420 4 =−== =xxss .
7.5 Test č.5
1. Dán nelineární systém xyeyyex xx 2cos,sin +== && .
a) Vypočtěte Jacobiovu matici daného systému a ukažte, že každým bodem fázové roviny
prochází právě jedna fázová trajektorie.
b) Určete rovnice všech fázových trajektorií tohoto systému.
c) Určete rovnicí fázové trajektorie, která prochází bodem M[0 , π/2].
2. Dán lineární systém XX 




−
−=
34
21& .
a) Zapište fundamentální systém řešení a určete obecné řešení daného systému.
b) Určete maximální řešení Cauchyovy úlohy při počáteční podmínce ( ) 



=
0
30X .
c) Zapište typ bodu rovnováhy, parametrické rovnice fázové trajektorie maximálního řešení
a znázorněte fázovou trajektorii ve fázové rovině včetně orientace.
3. Dána Cauchyova úloha: ( ) ( ) .10,10,1sin2 −=′=−=+′′ yyx xyxy
a) Zapište intervaly, v nichž jsou splněny postačující podmínky existence a jednoznačnosti
maximálního řešení a určete interval maxI pro danou úlohu.
b) Určete Taylorův rozvoj funkce 1sin−x x v bodě 0=ox a určete interval konvergence J .
[ ...6sin
3
+−= xxx ] .
c) Řešení dané úlohy aproximujte polynomem pátého stupně.

134
4. Periodická funkce f je periodickým prodloužením funkce ( ) ( )40 ,x,xxg ∈= s periodou
2L = 4.
a) Znázorněte graf funkce f v intervalu >−< 8,8 . Zapište tvar Fourierovy řady pro danou
funkci a vypočtěte Fourierovy koeficienty.
b) Zapište částečný součet Fourierovy řady až po 4.harmonickou ( k=4 ).
c) Zapište součet Fourierovy řady funkce f v intervalu a určete součet řady v bodě
17=x .
Vypracování:
1. a) Postačující podmínky k tomu, aby každým bodem fázové roviny procházela právě
jedna fázová trajektorie daného systému:
(1) spojitost funkcí ( ) ( ) xyeyxQyeyxP xx 2cos,,sin, +== v každém bodě fázové roviny,
(2) spojitost Jacobiovy matice ( ) 




−+= yeye
yeyeyxJ
xx
xx
sin2cos
cossin, v každém bodě fázové ro-
viny. Protože funkce yex sin , yex cos jsou spojité pro libovolnou dvojici ( ) ℜ×ℜ∈yx, ,
jsou postačující podmínky splněny.
b) Určíme obecné řešení diferenciální rovnice ye xyedxdy x
x
sin
2cos += .
Rovnice ( ) 0sin2cos =−+ dyyedxxye xx je exaktní v 2E :
( ) ( ) yexyeyxye xxx sin/sin/2cos −=∂−∂=∂+∂ pro každou dvojici ( ) 2, Eyx ∈ . Tedy exis-
tuje funkce ( )yxu , pro níž platí (A) =∂∂xu xyex 2cos + a (B) =∂∂yu - yex sin . Po integraci
(A) podle x dostaneme ( ) ( )yKxyeyxu x ++= 2cos, , tedy =∂∂yu - yex sin + ( )dyydK a po-
rovnáním s (B) dostaneme diferenciální rovnici ( )dyydK = 0 , tedy K(y) = C, kde C je libovol-
ná reálná konstanta. Fázové trajektorie daného systému jsou určeny rovnicí
0cos 2 =++ Cxye x .
c) Po dosazení 2/,0 pi== yx do poslední rovnice určíme C = 0. Rovnice fázové trajektorie
procházející bodem M je tedy 0cos 2 =+ xye x .
2. a) Vypočteme vlastní čísla matice A : Charakteristická rovnice
05234 21 2 =++=−− −− λλλλ má kořeny i212,1 ±−=λ . Souřadnice vlastního vektoru U
příslušejícího vlastnímu číslu 1λ jsou řešením rovnice ( ) 0222 21 =−− uui . Všechna řešení
této rovnice tvoří jednorozměrný vektorový prostor. Za bázi prostoru vybereme jedno
z nekonečně mnoha řešení tak, že zvolíme 11 =u , pak .12 iu −= Vlastnímu číslu 1λ a vlast-
nímu vektoru ( )TiU −= 1,1 přísluší řešení daného systému ve tvaru ( ) =Φ t ( ) ( )tiT ei 21.1,1 +−− .
Reálné vektorové funkce reálné proměnné t ( ) ( ) ( ) ( )tttt Φ=ΦΦ=Φ Im,Re 21 tvoří funda-
mentální systém řešení dané soustavy na intervalu ( )∞∞− , .
135
( ) ( ) 




+=


 +




−=Φ
−−
tt
tetite
it
tt
2sin2cos
2cos2sin2cos
1
1Re
1 ,
( ) ( ) 




+−=


 +




−=Φ
−−
tt
tetite
it
tt
2sin2cos
2sin2sin2cos
1
1Im
2 . Obecné řešení dané soustavy:
( )
( ) ( )( ) ( )∞∞−∈



−++
+=
−
−
,,2cos2sin2sin2cos 2sin2cos
21
21 t
ttCttCe
tCtCeX
t
t
.
b) Řešení Cauchyovy úlohy.
Dosadíme 0,3,0 === yxt do obecného řešení, dostaneme soustavu dvou rovnic pro ne-
známé 0,3:, 21121 =−= CCCCC . Tedy 32 =C a maximálním řešením Cauchyovy úlohy
je vektorová funkce ( ) ( )∞∞−∈



 += − ,,
2sin6
2sin2cos3 t
t
tteX t .
c) Bod rovnováhy O je ohnisko. Fázová trajektorie maximálního řešení dána parametricky
rovnicemi =x ( )tte t 2sin2cos3 +− , =y te t 2sin6 − , ( )∞∞−∈ ,t . Směrový vektor tečny tra-
jektorie v bodě M [ ]0,3= : ( ) ( )4,1312,3 ==Mτr . Doplňte orientaci v obrázku!


3. a) Funkce ( ) ( ) 1sin,22 −== x xxfxxa jsou spojité v intervalech ( ) ( )∞=∞−= ,1,1, 21 II ,
10 Ixo ∈= . Tedy jednoznačné maximální řešení dané úlohy existuje v 1max