teorie

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Ω
ΓN
Sm¶‡•sen¶a ¶uloha
›‰R2 @›·¡D [¡N
¢u = f 8x 2›
u
flfl
fl
¡D
= `D(x;y)
@u
@~n
flfl
flfl
¡N
= `N(x;y) a5a6a5a6a5a6a5a6a5a6a5a6a5a6a5a6a5a6a5
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Ω
Γ
Γ
N
D
Deflnice: Metoda s¶‡t¶‡ - pojmy
x
y
P Pi,ji−1,j
i,j+1
i+1,jP
P
Pi,j−1
Γ
Ω
›‰R2...oblast
¡· @›...hranice oblasti
Pi;j...uzly s¶‡t•e†
...regul¶arn¶‡ uzel
⁄... neregul¶arn¶‡ uzel–
...vn•ej•s¶‡ (\zahrani•cn¶‡") uzel
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13
Deflnice: Metoda s¶‡t¶‡ pro Dirichletovu ¶ulohu pro Poissonovu rovnici
i) Regul¶arn¶‡ uzel
Z Taylorova rozvoje funkce u(x) z•rejm•e plat¶‡:
u(x+h) = u(x)+u0(x)h+u00(x)h
2
2 +u
000(x)h3
6 +O(h
4)
u(x¡h) = u(x)¡u0(x)h+u00(x)h
2
2 ¡u
000(x)h3
6 +O(h
4)
=) u(x+h)¡2u(x)+u(x¡h)h2 = u00(x)+O(h2)
Zanedb¶ame-li •clen O(h2), dostaneme aproximaci, kter¶a je 2.•r¶adu p•resnosti.
Pi¡1;j Pi;j
Pi;j+1
Pi;j¡1
Pi+1;j
h
h
r
r
r
b r
@2u
@x2 …
Ui+1;j ¡2Ui;j +Ui¡1;j
h2
@2u
@y2 …
Ui;j+1 ¡2Ui;j +Ui;j¡1
h2
uxx +uyy = f ¡! Ui¡1;j ¡2Ui;j +Ui+1;jh2 + Ui;j¡1 ¡2Ui;j +Ui;j+1h2 = fi;j
=) Ui¡1;j +Ui+1;j ¡4Ui;j +Ui;j¡1 +Ui;j+1 = h2fi;j
ii) Neregul¶arn¶‡ uzel (line¶arn¶‡ interpolace)
Z Taylorova rozvoje funkce u(x) z•rejm•e plat¶‡:
u(x¡h) = u(x)¡hu0(x)+O(h2)
u(Q) = `(Q) = u(x)+–hu0(x)+O(h2)
Prvn¶‡ rovnici vyn¶asob¶‡me – a p•ri•cteme ke druh¶e.
–u(x¡h)+`(Q) = (1+–)u(x)+O(h2)
Zanedb¶ame-li •clen O(h2), dostaneme aproximaci, kter¶a je 2.•r¶adu p•resnosti.
Pi¡1;j Pi;j
Pi;j+1
Pi;j¡1
Q Pi+1;j
h
h
–hr
r
r
b r b
x
U
P QPi−1,j i,j i+1,jP
i−1,jU
i,jU
h hδ
φ(Q)
Ui;j ¡Ui¡1;j
h =
`(Q)¡Ui;j
–h
=) (1+–)Ui;j ¡–Ui¡1;j = `(Q)
Preliminary version { June 1, 2001 { 11:17
14
ROVNICE VEDEN¶I TEPLA VLNOV¶A ROVNICE
ut = p uxx + f(x; t) utt = c2 uxx + f(x; t)
Cauchyova ¶uloha Cauchyova ¶uloha
Oblast: › =R£(0;T) nebo › =R£(0;1) Oblast: › =R£(0;T) nebo › =R£(0;1)
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a2a1a2a1a2a1a2a1a2a1a2a1a2a1a2a1a2a1a2a1a2a1a2a1a2a1a2a1a2a1a2
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x
t
T
Ω
xϕ( )
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x
t
T
Ω
x xϕ( ), ψ( )
Po•c¶ate•cn¶‡ podm¶‡nka: u(x;0) = ’(x) Po•c¶ate•cn¶‡ podm¶‡nka: u(x;0) = ’(x)
Sm¶‡•sen¶a ¶uloha Sm¶‡•sen¶a ¶uloha
Oblast: › = (a;b)£(0;T) nebo › = (a;b)£(0;1) Oblast: › = (a;b)£(0;T) nebo › = (a;b)£(0;1)
a5 a5 a5 a5 a5 a5
a5 a5 a5 a5 a5 a5
a5 a5 a5 a5 a5 a5
a5 a5 a5 a5 a5 a5
a5 a5 a5 a5 a5 a5
a5 a5 a5 a5 a5 a5
a5 a5 a5 a5 a5 a5
a5 a5 a5 a5 a5 a5
a5 a5 a5 a5 a5 a5
a5 a5 a5 a5 a5 a5
a6 a6 a6 a6 a6 a6
a6 a6 a6 a6 a6 a6
a6 a6 a6 a6 a6 a6
a6 a6 a6 a6 a6 a6
a6 a6 a6 a6 a6 a6
a6 a6 a6 a6 a6 a6
a6 a6 a6 a6 a6 a6
a6 a6 a6 a6 a6 a6
a6 a6 a6 a6 a6 a6
a6 a6 a6 a6 a6 a6
a7 a7 a7 a7 a7 a7a8 a8 a8 a8 a8 a8
xϕ( )
Ω
T
t
x
α( ) β( )t t
a b
a9 a9 a9 a9 a9 a9
a9 a9 a9 a9 a9 a9
a9 a9 a9 a9 a9 a9
a9 a9 a9 a9 a9 a9
a9 a9 a9 a9 a9 a9
a9 a9 a9 a9 a9 a9
a9 a9 a9 a9 a9 a9
a9 a9 a9 a9 a9 a9
a9 a9 a9 a9 a9 a9
a9 a9 a9 a9 a9 a9
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a10 a10 a10 a10 a10
a10 a10 a10 a10 a10
a10 a10 a10 a10 a10
a10 a10 a10 a10 a10
a10 a10 a10 a10 a10
a10 a10 a10 a10 a10
a10 a10 a10 a10 a10
Ω
T
t
x
α( ) β( )t t
a b
ϕ( ), ψ( )x x
Po•c¶ate•cn¶‡ podm¶‡nka: u(x;0) = ’(x) Po•c¶ate•cn¶‡ podm¶‡nka: u(x;0) = ’(x)
ut(x;0) = ˆ(x)
Okrajov¶e podm¶‡nky: u(a;t) = fi(t) Okrajov¶e podm¶‡nky: u(a;t) = fi(t)
u(b;t) = fl(t) u(b;t) = fl(t)
Podm¶‡nky souhlasu: ’(x = a) = fi(t = 0) Podm¶‡nky souhlasu: ’(x = a) = fi(t = 0)
’(x = b) = fl(t = 0) ’(x = b) = fl(t = 0)
fit(t = 0) = ˆ(x = a)
flt(t = 0) = ˆ(x = b)
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SCHEMATA PRO ROVNICI VEDEN¶I TEPLA
ut = p uxx
Explicitn¶‡ schema
Un+1i ¡Uni
¿ = p
Uni+1 ¡2Uni +Uni¡1
h2
Un+1i = Uni¡1 +(1¡2 )Uni + Uni+1
IUn+1 = AEUn
x
t
i−1 i i+1
n
n+1
= p ¿h2 < 0:5
O(h2;¿)
Implicitn¶‡ schema
Un+1i ¡Uni
¿ = p
Un+1i+1 ¡2Un+1i +Un+1i¡1
h2
¡ Un+1i¡1 +(1+2 )Un+1i ¡ Un+1i+1 = Uni
AIUn+1 = IUn
x
t
i−1 i i+1
n
n+1
= p ¿h2 > 0
O(h2;¿)
Crank-Nicolsonovo schema
Un+1i ¡Uni
¿ =
p
2
•Un
i+1 ¡2U
n
i +U
n
i¡1
h2 +
Un+1i+1 ¡2Un+1i +Un+1i¡1
h2
‚
¡ Un+1i¡1 +(1+2 )Un+1i ¡ Un+1i+1 = Uni¡1+(1¡2 )Uni + Uni+1
AIUn+1 = AEUn
x
t
i−1 i i+1
n
n+1
= p ¿h2 > 0
O(h2;¿2)
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16
SCHEMATA PRO VLNOVOU ROVNICI
utt = c2 uxx + f
Explicitn¶‡ schema
i−1 i+1
n
n+1
i
n−1
x
t
= c¿h •1
O(h2;¿2)
Un+1i ¡2Uni +Un¡1i
¿2 = c
2 U
n
i+1 ¡2U
n
i +U
n
i¡1
h2 +f
n
i
Un+1i = 2 Uni¡1 +2(1¡ 2)Uni + 2 Uni+1 ¡Un¡1i +¿2fni
Implicitn¶‡ schema
i−1 i+1
n
n+1
i
n−1
x
t
= c¿h > 0
O(h2;¿2)
Un+1i ¡2Uni +Un¡1i
¿2 =
c2
2
•Un¡1
i+1 ¡2U
n¡1
i +U
n¡1
i¡1
h2 +
Un+1i+1 ¡2Un+1i +Un+1i¡1
h2
‚
+fni
¡ 2Un+1i¡1 +2(1+ 2)Un+1i ¡ 2Un+1i+1 = 2Un¡1i¡1 ¡2(1+ 2)Un¡1i + 2Un¡1i+1 +4Uni +2¿2fni
N¶ahrada po•c¶ate•cn¶‡ podm¶‡nky
i) N¶ahrada •r¶adu O(¿)
u(xi;¿) = u(xi;0)+¿ @u@t(xi;0)+O(¿2)
=) @u@t(xi;0) = u(xi;¿)¡u(xi;0)¿ +O(¿)
=) U1i ¡U0i¿ = ˆ(xi)
=) U1i = ’(xi)+¿ˆ(xi)
ii) N¶ahrada •r¶adu O(¿2)
u(xi;¿) = u(xi;0)+¿ @u@t(xi;0)+ ¿22 @2u@t2 (xi;0)+O(¿3)
=) @u@t(xi;0) = u(xi;¿)¡u(xi;0)¿ ¡ ¿2 @
2u
@t2 (xi;0)| {z }
c2 @2u@x2 (xi;0)+f(xi;0)
+O(¿2)
=) U1i ¡U0i¿ = c2¿2 U
0
i+1¡2U
0
i +U
0
i¡1
h2 +
¿
2f
0
i +ˆ(xi)
=) U1i = 22
h
’(xi¡1)+’(xi+1)
i
+(1¡ 2)’(xi)+¿ˆ(xi)+ ¿22 f0i
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