zadania skusok

1 -7 | 0)2) urcete dim(V prunik W) a dim(V+W) jestlize vite,zeV=W=3) urcete vzajemnou polohu primek AB,CD (vzadelnost nebo prusecik auhel)A=[-1,1,1],B=[3,3,1],C=[-3,-5,-3],D=[-7,-12,-7]4) definujte inverzni matici a dokazte, ze ke kazde ctvercove maticiA existuje matice inverzni det A nerovna 05) Definujte linearni zobrazeni.Uvedte priklad lin.zobr. A: R2->R2 alinerne nezavislych vektoru a,b z R2, pro ktere A(a),A(b) jsoulinearne zavisle vektory.Zadání z minulého roku Zadání A.1. Reste soust. rovnic s rozsirenou matici soustavy (p je param.)(3 -5 2 4 | 2 )(p -4 1 3 | 5 )(5 7 -4 6 | 4 )2.Urcete bazi a dimenzi prostoru tech. aritmeticky vektoru (x1,x2,...,x5) proktere plati:x1 + x3 - 2x4 = 02x1 + 2x2 - x4 = 03. Urcete vzajemnou polohu pr AB, CD, urcete vzdalenosti (uhel, nejakou useckuatd..)A=(2,1,1) B=(0,3,1) C=(1,1,4) D=(1,0,2)4. a) definujte linearni zobrazeni-> n n -> -> ->b) a z R je zobrazeni A:R -> R , A(x) = a . x, linearni? Dokazte.5.Definujte pojem singularni a regularni matice. Proc inverzni matice existujepouze pro regularni matice?Zadání B.1. Najděte všechny matice, které komutují s maticí A:A = ( 1 2 )( -1 -1 )2. Pro které hodnoty parametru p má soustava s maticí A patrně 1 řešení( 1 p 1 -1 )A = ( 2 0 1 p )( 1 1 1 -1 )( 1 1 2 1 )3. Řešte v závislosti na parametru ax + y + z = 1x + ay = 23x + (2+a)y - az =54. Určete dim(V průnik W), dim(V+W) kdeV = W = 5. Definujte souřadnice vektoru vzhledem k upořádáné bázi.Jaké jsou souřadnice polynomu x^2 + 2x + 3 vhledem k uspořádání(1, x, x^2) ?Zadání C.1. Reste pro p z R:( 1 -1 0 0 | 0 )( 3 0 0 -2 | 2 )( 0 0 -3 7 | 8 )( 7 -1 3 -11| p )2. Najdete usporadanou bazi B lin. prostoru R^2 takovou ze vektor u=(3,3) v nima souradnice (1,1) a vektor v=(0,3) v ni ma souradnice (-2,-1).3. Urcete bod symetricky s bodem [3,-3,1] podle primky danou body [-2,2,-3],[-1,1,-1]4. Definujte inverzni matici a dokazte ze je urcena jednoznacne.5. Necht L1, L2 jsou lin. prostory a A: L1->L2 je lin. zobrazeni. a1 ... anjsou lin. zavisle vektory z L1. Dokazte ze A(a1) .. A(an) jsou take linearnezavisle.Zadání D.1. Najděte všechna netriviální řešeníAX=pX, p náleží R, kde hledaná matice je typu (3, 1)( 1 -1 0 )A = ( 0 1 -4 )(-1 0 4 )2. Vektor má bázi ((1, 3), (2, 1)) souřadnice (-6, 3). Určetesouřadnice v bázi ((1, -1), (2, 1)).3. Vzájemná poloha přímek (včetně vzálenosti, průsečíku a úhlu). AB, CD. A =(2,1,1), B = (0,3,1), C = (1,1,4), D = (1,0,4).4. Definujte lineární závislost aritmetických vektorů. Nechť a1,..., an jsouaritmetické vektory (prvky R^m, kde m je přirozené číslo). Dokažte, žea1,..., an jsou lineárně závislé právě tehdu, když existuje čísloi = {1, ..., n}, takové že vektor ai je lineární kombinací vektorů aj,j = {1, ..., n}, j se nerovná i5. Definujte jádro lineárního zobrazení. Tvoří podprostor v prostoru vzorů(dokažte)?Zadání E.1. Najděte všechny matice, které komutijí s maticí A.A = ( 1 1 )( 2 1 )2. Pro které hodnoty parametr p z R jsou vektory (1, -1, 0, p), (p, 2, 1, -2),(p-1, 5, 1, -1), (p, 2, 0, -p) lineárně závislé?3. Řeště v závislosti na parametru a z R.ax - y - z = 3(a-1)x + z = 3(2a-1)x - y + az = 64. Určete dim(V průnik W), dim(V+W), kdeW = aV = .5. Definujte determinant matice. Co platí pro determinanty transponované ainverzní matice?Zadání F.1. Řešte soustavu rovnic s rozšířenou maticí soustavy (p je parametr)( 6 2 4-p | 4-p )( p-1 p+1 p-1 | -4 )( 5 2 3-p | 2-p )2. Určete matici lineárního zobrazení A pro které je A(-1,4)=(-9,-3),A(2,1)=(0,6). Najděte obraz vektoru (1, 3) v tomto zobrazení.3. Vzájemná poloha přímek (včetně vzálenosti, průsečíku a úhlu). AB, CD.A = (-2,2,-1), B = (1,5,-1), C = (-1,4,2), D = (-2,4,5).4. Jak de definován stupeň polynomu? Nech polynom P má reálné koeficienty alichý stupěň. Pak existuje alespoň jeden reélný kořen polynomu P. Dokažte.5. Formulujte větu o rozvoji determinantu podle řádku (bez důkazu). Uvažujtematici A typu (2, 2), která má všechny doplňky Dij; i, i = {1, 2} rovnyjedné. Najděte všechny prvky matice A.Zadání G.1. Pro všechna p el. R řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticísoustavy:( 1-p , 1 , -p | 0 )( 1 , 1-p , 0 | p^2 )( p , -2 , 2+p| p )2. Jsou dána lineární zobrazení A: R3 -> R2 a B: R2 -> R3, pro která platíA(x1,x2,x3) = (x1-2x2+2x3, x1+2x2-x3) a B(x1,x1) = (x1+2x2,2x1+x2,x1-2x2).Rozhodněte, zda složené lineární zobrazení BoA: R3 -> R3 je prosté(zduvodněte). Pokud ano, najděte matici inversního lineárního zobrazení (BoA)-1vzhledem ke standartním bazím. Pokud ne, najděte bázi a dimensi jádra zobrazení(BoA).3. Určete bod symetrický s bodem [4,-4,1] podle roviny určené body [1,2,1],[2,1,-2], [-1,-1,2].4. Definujte součin matic. Najděte protipříklad, který ilustruje neplatnostkomutativního zákona násobení čtvercových matic.5. Definujte pojem dimenze lineárního prostoru nebo podprostoru. Nechť M jelineárním podprostorem L a dimL = dimM je konečné číslo. Dokažte, že pak L = M.Zadání H.1. Pro a vypočtete det A a det A(-1)1 0 a a3 1 0 3a 1 0 a1 3 2 1Celkem v pohode pozor na podmínky!!! v det A^(-1)2. Najdete uporadanou bazi B linearniho zobrazeni prostoru R^(2),takovou, ževektor U = (2,3) ma k vzhledem k ni souradnice (1,1), a vektor V = (3,4) mavzhledem k ni souradnice (1,2)Výpočet: (2,3)= 1(a,b) + 1(c,d)(3,4)= 1(a,b) + 2(c,d)Potom Baze B = ((a,b),(c,d))3. Určete vzájemnou polohu přímek AB, CD (vzdalenost, uhel, prusecik)A(-3,5,3), B(1,7,1), C(-5,4,-2), D(-9,2,-6)4. Necht M, N jsou linearni podprostory prostoru L dokažte, že M (prunik) N jerovnež linearní podprostor L. M=((1,2,2),(3,6,4)) N=((1,0,2),(3,4,2)) Najdetebazi M(prunik)N.5. Definujte pojem přidružená homogeni soustava linearnich rovnic. A necokolem toho. Chtela napstat ty definice co jsou