Studijní materiály

Zpět

Hromadně přidat materiály

skuskovy test

X01ALG - Úvod do algebry

Hodnocení materiálu:

Zjednodušená ukázka:

Stáhnout celý tento materiál

Protože normálové vektory těchto rovin jsou lineárně nezávislé, jsou tyto roviny různoběžné. Určíme jejich
průsečnici a úhel, který svírají.
Průsečnici tvoří body, které leží v obou rovinách, musí proto vyhovovat oběma rovnicím rovin. Řešíme soustavu:
−2x − 2y + 3z = −3
x − 4y − z = −5
Matice soustavy: parenleftbigg
−2 −2 3 −3
1 −4 −1 −5
parenrightbigg
∼
parenleftbigg 1 −4 −1 −5
0 −10 1 −13
parenrightbigg
Řešním nehomogenní soustavy je např. vektor (−4,1−3), řešením přidružené homogenní soustavy je lineární
obal vektoru (14,1,10). Bodová rovnice průsečnice tedy je X = (−4,1,−3) + t(14,1,10),t ∈ IR.
Zřejmě je úhel rovin ρ a σ roven úhlu jejich normálových vektorů. Platí:
3
cosϕ = |(−2,−2,3)·(1,−4,−1)|√17·√18 = |−2 + 8−3|√17·√18 = |3|3·√34 = 1√34
Roviny jsou různoběžné, svírají úhel ϕ = arccos 1√34, jejich průsečnice má rovnici X = (−4,1,−3)+t(14,1,10),t ∈
IR.
5. Najděte bod souměrně sdružený s bodem A = (−2−2,2) podle roviny ρ : 2x + 2y −3z −3 = 0.
Řešení:
Bod B souměrně sdružený s bodem A podle roviny ρ leží na přímce p, která je kolmá k rovině ρ a prochází bodem
A, ve stejné vzdálenosti od roviny ρ jako bod A, na opačné straně. Směrový vektor přímky p je normálovým
vektorem roviny ρ, bodová rovnice přímky p je např. X = (−2,−2,2)+t(2,2,−3),t ∈ IR. Najdeme průsečík P
přímky p s rovinou ρ. Je jím bod, který vyhovuje rovnici roviny i rovnici přímky, tedy po dosazení
2(−2 + 2t) + 2(−2 + 2t)−3(2−3t)−3 = 0
17t−17 = 0
t = 1
Průsečíkem je bod P = (0,0,−1). Bod B leží na přímce p, jeho vzdálenost od A je dvojnásobkem vzdálenosti
bodu P od A, v bodové rovnici přímky p tedy položíme t = 2. Bod B má souřadnice (2,2,−4).
6. Najděte bod souměrně sdružený s bodem A = (2−1,−2) podle přímky p : X = (1,1,1) + t(1,2,2),t ∈ IR.
Řešení:
Bod B souměrně sdružený s bodem A podle přímky p leží na přímce q, která je kolmá k přímce p a prochází
bodem A, ve stejné vzdálenosti od přímky p jako bod A, na opačné straně. Směrový vektor přímky q je kolmý
ke směrovému vektoru přímky p. Takových kolmých vektorů je ale nekonečně mnoho. Všechny leží v rovině
kolmé k přímce p. Označme tedy ρ rovinu kolmou k přímce p a procházející bodem A. Normálový vektor této
roviny je roven směrovému vektoru přímky p, rovina prochází bodem A, její obecná rovnice je např.
x + 2y + 2z + 4 = 0.
Najdeme průsečík přímky p s rovinou ρ analogicky jako v předchozím příkladě.
1 + t + 2(1 + 2t) + 2(1 + 2t) + 4 = 0
9t + 9 = 0
t = −1
Průsečíkem je tedy bod P = (0,−1,−1). Přímka q prochází body A a P, její bodová rovnice je X = (2,−1,−2)+
t(−2,0,1),t ∈ IR. Bod B leží na přímce q, jeho vzdálenost od A je dvojnásobkem vzdálenosti bodu P od A,
v bodové rovnici přímky q tedy položíme t = 2. Bod B má souřadnice (−2,−1,0).
4

Stáhnout celý tento materiál

Předchozí

1 2 3

Vloženo: 25.06.2009

Velikost: 56,81 kB

Stáhnout celý tento materiál

Komentáře

Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.

Mohlo by tě zajímat:

Skupina předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Reference vyučujících předmětu X01ALG - Úvod do algebry

Podobné materiály