skripta

antu reÆln m Ł slem fi, zm n determinant hodnotu
fi krÆt, napł. fl
flfl
fl
fia11; fia12
a21; a22
flfl
flfl = fi
flfl
flfla11; a12a
21; a22
flfl
flfl :
DÆle plat :
5. Je-li jeden łÆdek determinantu nulov vektor, je determinant roven nule.
6. Jsou-li łÆdky determinantu lineÆrn zÆvislØ vektory, je determinant roven 0.
7. Determinant se nezm n , płiŁteme-li k n kterØmu łÆdku lineÆrn kombinaci ostat-
n ch łÆdkø.
30
Podobn jako jsme zjistili hodnotu determinantu 2. łÆdu (z matice 2. łÆdu), urŁ me
i hodnotu determinantu 3. łÆdu (z matice 3. łÆdu)
jAj = a11
flfl
flfl
flfl
1; 0; 0
a21; a22; a23
a31; a32; a33
flfl
flfl
flfl+ a12
flfl
flfl
flfl
0; 1; 0
a21; a22; a23
a31; a32; a33
flfl
flfl
flfl+ a13
flfl
flfl
flfl
0; 0; 1
a21; a22; a23
a31; a32; a33
flfl
flfl
flfl :
Podle 7 je
jA1j =
flfl
flfl
flfl
1; 0; 0
a21; a22; a23
a31; a32; a33
flfl
flfl
flfl =
flfl
flfl
flfl
1; 0; 0
0; a22; a23
0; a32; a33
flfl
flfl
flfl :
Budeme-li nyn s druh m a tłet m łÆdkem d lat stejnØ œpravy jako płi v poŁtu deter-
minantu 2. łÆdu, je
jA1j =
flfl
flfl
flfl
1; 0; 0
0; 1; 0
0; 0; 1
flfl
flfl
flfla22a33 +
flfl
flfl
flfl
1; 0; 0
0; 0; 1
0; 1; 0
flfl
flfl
flfla32a23 =
= a22a33
flfl
flfl
flfl
1; 0; 0
0; 1; 0
0; 0; 1
flfl
flfl
flfl¡a32a23
flfl
flfl
flfl
1; 0; 0
0; 1; 0
0; 0; 1
flfl
flfl
flfl = a22a33 ¡a32a23 : (7)
Podobn m zpøsobem jako płi v poŁtu jA1j dostaneme
jA2j =
flfl
flfl
flfl
0; 1; 0
a21; a22; a23
a31; a32; a33
flfl
flfl
flfl =
flfl
flfl
flfl
0; 1; 0
a21; 0; a23
a31; 0; a33
flfl
flfl
flfl = ¡
flfl
flfl
flfl
a21; 0; a23
0; 1; 0
a31; 0; a33
flfl
flfl
flfl =
= ¡(a21a33 ¡a31a23): (8)
jA3j =
flfl
flfl
flfl
0; 0; 1
a21; a22; a23
a31; a32; a33
flfl
flfl
flfl =
flfl
flfl
flfl
a21; a22; 0
a31; a32; 0
0; 0; 1
flfl
flfl
flfl = a21a32 ¡a31a22 : (9)
Abychom toti płi œpravÆch podle (7) vypoŁ tali hodnotu determinantu v (8) a (9),
mus me jedniŁku z prvn ho łÆdku płesunout na hlavn diagonÆlu matice tak, aby poład
zb vaj c ch łÆdkø zøstalo zachovÆno. K tomu jsme v pł pad (8) potłebovali jednu
a v pł pad (9) dv zÆm ny łÆdkø.
Odtud dostÆvÆme:
V poŁet determinantu 3. łÆdu
jAj =
flfl
flfl
flfl
a11; a12; a13
a21; a22; a23
a31; a32; a33
flfl
flfl
flfl = a11
flfl
flfla22; a23a
32; a33
flfl
flfl¡a12
flfl
flfla21; a23a
31; a33
flfl
flfl+ a13
flfl
flfla21; a22a
31; a32
flfl
flfl =
= a11a22a33 ¡a11a23a32 ¡a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ¡a13a22a31 : (10)
31
Postup v poŁtu podle (10) se naz vÆ rozvoj determinantu podle 1. łÆdku.
V„imn me si bl e souŁtu v (10). Ka d sŁ tanec obsahuje prÆv jeden prvek łÆdku,
resp. sloupce matice A, ve kterØm se kł łÆdek se sloupcem. Tłi sŁ tance jsou se
znamØnkem plus a tłi se znamØnkem minus. Płip „eme-li ke tłem sloupcøm matice 1.
a pak 2. sloupec, dostaneme jednoduchØ schema pro Ł slo (10). Nejdł ve nÆsob me prvky
ve sm ru „ipek shora zleva dolø doprava a seŁteme
a11 a12 a13 a11 a12
& & &
a21 a22 a23 a21 a22
& & &
a31 a32 a33 a31 a32
a nÆsob me potom shora zprava dolø doleva a odeŁteme.
a11 a12 a13 a11 a12
. . .
a21 a22 a23 a21 a22
. . .
a31 a32 a33 a31 a32
Tomuto postupu se ł kÆ Sarrusovo pravidlo.
Subdeterminant a algebraick dopln k
Rozvoj determinantu v (10) pou ijeme k zaveden determinantø vy„„ ch łÆdø. Determi-
nant jDijj, kter vznikne z determinantu jAj łÆdu n vynechÆn m i-tØho łÆdku a j-tØho
sloupce, se naz vÆ subdeterminant k prvku aij. Subdeterminant jDijj se znamØnkem
(¡1)i+j se naz vÆ algebraick dopln k Aij prvku aij.
Determinant n-tØho łÆdu
Determinant matice A łÆdu n de nujeme indukc .
Pro n = 1 je matice A = (a) a jAj = a.
Pro n ‚ 1 je determinant z matice A Ł slo
jAj = a11A11 + a12A12 + ¢¢¢ + a1nA1n :
Determinant mø eme rozvinout i podle i-tØho łÆdku, i • n. StaŁ ho płesunout na 1. łÆ-
dek tak, aby poład zbyl ch łÆdkø bylo zachovÆno. To dokÆ eme i¡1 zÆm nami łÆdkø,
kdy płi ka dØ zÆm n mus me zm nit znamØnko. Vznikl determinant pak rozvineme
podle tohoto novØho 1. łÆdku. Dostaneme
jAj = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ¢¢¢ + ainAin : (11)
Odtud plyne, e determinant horn , resp. doln trojœheln kovØ matice je roven souŁinu
diagonÆln ch prvkø.
32
Determinant transponovanØ matice
Płipome me, e transponovanÆ matice k matici A je matice AT, pro jej prvky plat
aTij = aji, tj. matice, ve kterØ łÆdky jsou sloupce matice A a obrÆcen . Bez døkazu
uvedeme tvrzen
jATj = jAj:
Proto e płi transponovÆn matice se z łÆdkø stÆvaj sloupce, plat v„echna tvrzen ,
kterÆ jsme odvodili pro łÆdky determinantu tØ pro sloupce determinantu.
AdjungovanÆ matice
Matice A⁄, jej prvky jsou a⁄ij = Aji (tj. algebraickØ dopl ky prvkø matice A), se
naz vÆ adjungovanÆ matice k matici A.
Napł. pro matici 4. łÆdu mÆ tvar
A⁄ =
0
BB
@
A11; A21; A31; A41
A12; A22; A32; A42
A13; A23; A33; A43
A14; A24; A34; A44
1
CC
A :
PoŁ tejme souŁin matice A s adjungovanou matic A⁄
A¢A⁄ =
0
BB
@
a11; a12; a13; a14
a21; a22; a23; a24
a31; a32; a33; a34
a41; a42; a43; a44
1
CC
A
0
BB
@
A11; A21; A31; A41
A12; A22; A32; A42
A13; A23; A33; A43
A14; A24; A34; A44
1
CC
A :
Podle (11) a vlastnosti 6 determinantø je
A¢A⁄ =
0
BB
@
jAj; 0; 0; 0
0; jAj; 0; 0
0; 0; jAj; 0
0; 0; 0; jAj
1
CC
A = jAj¢E:
Snadno se płesv dŁ me, e takØ plat A¢A⁄ = A⁄ ¢A. Odtud dostÆvÆme
E = A¢A⁄ 1jAj : (12)
Inverzn matice
Matice X, pro kterou plat
A¢X = X¢A = E;
se naz vÆ inverzn matice k matici A a znaŁ me ji A¡1.
33
Podle (12) pro inverzn matici, pro kterou jAj6= 0, plat
A¡1 = 1jAjA⁄:
Matice, kterØ maj determinant røzn od nuly naz vÆme regulÆrn matice. Tud ke
ka dØ regulÆrn matici existuje matice inverzn .
Pł klad 2. UrŁ me inverzn matici k maticiA =
1; 2
¡3; ¡1
¶
a k maticiB =
0
@
1; 2; ¡1
3; 0; 1
¡3; 1; ¡2
1
A.
Determinanty dan ch matic jsou jAj = ¡1 + 6 = 5 a jBj = ¡3¡6¡1 + 12 = 2 a k nim
adjungovanØ matice
A⁄ =
¡1; ¡2
3; 1
¶
; B⁄ =
0
@
¡1; 3; 2
3; ¡5; ¡4
3; ¡7; ¡6
1
A:
Potom inverzn matice jsou
A¡1 = 15
¡1; ¡2
3; 1
¶
; B¡1 = 12
0
@
¡1; 3; 2
3; ¡5; ¡4
3; ¡7; ¡6
1
A:
Plat :
(A¢B)¡1 = B¡1 ¢A¡1 ; (A¡1)¡1 = A; (fiA)¡1 = 1fiA¡1 ; (AT)¡1 = (A¡1)T
jATj = jAj; jA¢Bj = jAj¢jBj; jEj = 1 =) jA¡1j = 1jAj
PoznÆmka. V œvodu pov dÆn o determinantech jsme łe„ili soustavu dvou rovnic pro
dv neznÆmØ. Tuto soustavu, i jej łe„en , mø eme tØ zapsat pomoc matic
a
11; a12
a21; a22
¶ x
y
¶
=
b
1
b2
¶
=)
x
y
¶
=
a
11; a12
a21; a22
¶¡1 b
1
b2
¶
:
Po v poŁtu inverzn matice a provedenØm nÆsoben dostÆvÆme znÆmØ rovnice. VyjÆd-
łen łe„en t mto zpøsobem se naz vÆ Cramerovo pravidlo.
Pł klad 3 - LineÆrn regrese. V R2 je dÆno n bodø [x1;y1];:::;[xn;yn]. UrŁeme
lineÆrn funkci y = kx+q tak, aby se jej funkŁn hodnoty y1;:::;yn v bodech x1;:::;xn
34
co nejmØn li„ily od płedepsan ch hodnot y1;:::;yn. Za kritØrium se zde bere minimum
souŁtu
s = (y1 ¡y1)2 + ¢¢¢ + (yn ¡yn)2 :
e„en . Je
s = (y1 ¡kx1 ¡q)2 + ¢¢¢ + (yn ¡kxn ¡q)2 :
OznaŁ me y = (y1;:::;yn), x = (x1;:::;xn), e = (1;:::;1) vektory v Rn. Potom
s = (y ¡kx ¡qe)2. lohu lze tedy formulovat takto:
V Rn jsou dÆny vektory y, x, e. UrŁete lineÆrn kombinaci vektorø x, e tak, aby jej
vzdÆlenost od vektoru y byla minimÆln . To bude, podobn jako v E3, platit tehdy,
bude-li vektor y ¡ y kolm jak na vektor x, tak na vektor e, tj. bude-li
(y ¡kx ¡qe)x = 0 a (y ¡kx ¡qe)e = 0:
Tedy
k(x ¢ x) + q(e ¢ x) = y ¢ x;
k(x ¢ e) + q(e ¢ e) = y ¢ e:
e„en soustavy najdeme Cramerov m pravidlem
k =
flfl
flfl
flfl
xy; xe
ey; ee
flfl
flfl
flfl
flfl
flfl
flfl
xx; xe
xe; ee
flfl
flfl
flfl
; q =
flfl
flfl
flfl
xx; xy
ex; ye
flfl
flfl
flfl
flfl
flfl
flfl
xx; xe
xe; ee
flfl
flfl
flfl
:
y
y
x
e
y - y
Pł klad 4. Rovnici roviny, kterÆ je urŁena bodem A = [a1;a2;a3] a vektory u =
(u1;u2;u3), v = (v1;v2;v3), mø eme napsat pomoc determinantu.
OznaŁ me X = [x;y;z] libovoln bod roviny. Złejm ka dØ tłi vektory ze zam łen
roviny jsou lineÆrn zÆvislØ a tud determinant s takov mi łÆdkov mi vektory je nulov
flfl
flfl
flfl
x¡a1; y ¡a2; z ¡a3
u1; u2; u3
v1; v2; v3
flfl
flfl
flfl = 0:
Determinant v tØto rovnici mø eme rozvØst podle prvn ho łÆdku. Potom
(x¡a1)
flfl
flflu2 u3v
2 v3
flfl
flfl¡ (y ¡a2)
flfl
flflu1 u3v
1 v3
flfl
flfl+ (z ¡a3)
flfl
flflu1 u2v
1 v2
flfl
flfl = 0
je obecnÆ rovnice roviny.
35
Vektorov souŁin dvou vektorø
Jsou-li u;v 2 V3, pak existuje prÆv jeden vektor w 2 V3 tak, e pro ka d vektor
x 2 V3 plat
[x;u;v] = w ¢ x: (13)
Tvrzen snadno ov ł me. Jestli e x = (x1;x2;x3), u = (u1;u2;u3), v = (v1;v2;v3),
w = (w1;w2;w3), je
[x;u;v] =
flfl
flfl
flfl
x1; x2; x3
u1; u2; u3
v1; v2; v3
flfl
flfl
flfl = x1
flfl
flflu2; u3v
2 ;v3
flfl
flfl¡x2
flfl
flflu1; u3v
1; v3
flfl
flfl+ x3
flfl
flflu1; u2v
1; v2
flfl
flfl ;
w ¢ x = w1x1 + w2x2 + w3x3 :
MÆ-li rovnost platit pro ka d vektor x 2 V3, mus b t
w1 =
flfl
flflu2 u3v
2 v3
flfl
flfl ; w2 = ¡
flfl
flflu1 u3v
1 v3
flfl
flfl ; w3 =
flfl
flflu1 u2v
1 v2
flfl
flfl :
Vektor w dan rovnost (13) naz vÆme vektorov souŁin vektorø u, v a znaŁ me ho
u £ v.
Vlastnosti vektorovØho souŁinu
1. Vektorov souŁin nezÆvis na volb soustavy souładnic, tj. kladnØ ortonormÆln
bÆzi.
Plyne z toho, e rovnost (13) nezÆvis na volb kartØzskØ soustavy souładnic.
2. u £ v = o , u;v jsou lineÆrn zÆvislØ.
u;v jsou lineÆrn zÆvislØ, potom u £ v = o plyne z vlastnosti 6 determinantø,
u;v jsou lineÆrn nezÆvislØ, potom existuje x 2 V3 tak, e x;u;v je bÆze, a tud
[x;u;v] 6= o a takØ w 6= o.
3. u ¢ w = 0; v ¢ w = 0
StaŁ dosadit do (13) x = u, resp. x = v.
4. u £ v = ¡v £ u.
5. (cu) £ v = c(u £ v), c 2R.
6. u £ (v + v0) = u £ v + u £ v0.
4.,5.,6. plyne z (2), (4), (3).
36
7. jwj = juj¢jvjsin’, kde ’ je œhel vektorø u a v.
Vol me kartØzskou soustavu souładnic tak, e u = (juj;0;0), v = (jvjcos’;jvjsin’;0),
potom u £ v = (0;0;juj¢jvjsin’), a tedy jwj = juj¢jvjsin’.
8. Jsou-li vektory u;v lineÆrn nezÆvislØ, potom w;u;v je kladnÆ bÆze.
Do (13) dosad me x = w a dostaneme [w;u;v] = w2.
Soustavy lineÆrn ch rovnic
Soustava homogenn ch rovnic
SouŁin
A¢ x = o; (1)
kde A je danÆ matice typu (m;n), mÆ smysl, jestli e neznÆm vektor x 2Rn a vektor
o 2 Rm jsou sloupcovØ vektory. Rovnice (1) je maticov m zÆpisem soustavy m line-
Ærn ch homogenn ch rovnic pro n neznÆm ch. Matici A naz vÆme matice soustavy.
V rovnici (1) provedeme nÆsoben
a11x1 + a12x2 + ¢¢¢ + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ¢¢¢ + a2nxn = 0
a31x1 + a32x2 + ¢¢¢ + a3nxn = 0 (2)
::::::::::::::::::
am1x1 + am2x2 + ¢¢¢ + amnxn = 0:
Soustava (2) homogenn ch rovnic je zÆpis lineÆrn kombinace sloupcov ch vektorø sj 2
Rm matice A v souładnic ch, tj.
x1s1 + x2s2 + ¢¢¢ + xnsn = o: (3)
Jestli e sloupcovØ vektory v (3) jsou lineÆrn nezÆvislØ, tj. hodnost matice soustavy
je n, existuje prÆv jedno łe„en soustavy (2) homogenn ch rovnic, a to triviÆln x = o.
Jestli e sloupcovØ vektory v (3) jsou lineÆrn zÆvislØ a hodnost matice soustavy je h,
h < n, existuje nekoneŁn mnoho łe„en soustavy (2) homogenn ch rovnic zÆvisl ch na
n ¡ h parametrech. Jsou-li lineÆrn nezÆvislØ vektory s1;s2;:::;sh, zb vaj c ch n ¡ h
vektorø v rovnici (3) płevedeme na pravou stranu rovnice
x1s1 + x2s2 + ¢¢¢ + xhsh = ¡xh+1sh+1 ¡¢¢¢¡xnsn : (4)
Ka d z vektorø sh+1;:::;sn je lineÆrn kombinac vektorø s1;:::;sh (jinak by hodnost
matice byla v t„ ne h), i ka d vektor ¡xh+1sh+1 ¡¢¢¢¡xnsn je lineÆrn kombinac
vektorø s1;:::;sh, tj. pro ka dØ xh+1;:::;xn mÆ rovnice (4) łe„en .
37
Nejdł ve tedy łe„ me rovnici (4) pro nÆsleduj c volby koe cientø xh+1;:::;xn:
1; 0; 0; :::; 0
0; 1; 0; :::; 0
0; 0; 1; :::; 0
::::::::::::::::::
0; 0; 0; :::; 1
tj. prÆv n¡h zpøsoby. Ke ka dØ volb potom dopoŁ tÆme ze (4) łe„en . Dostaneme
tak n¡h lineÆrn nezÆvisl ch vektorø xi, i = 1;:::;n¡h,
x1 = (x11;x12;:::;x1h;1;0;0;:::;0)
x2 = (x21;x22;:::;x2h;0;1;0;:::;0)
x3 = (x31;x32;:::;x3h;0;0;1;:::;0) (5)
:::::::::::::::::::::
xn¡h = (xn¡h1;xn¡h2;:::;xn¡hh;0;0;0;:::;1):
Soustava Ax = o o m lineÆrn ch homogenn ch rovnic ch pro n neznÆm ch mÆ v dy
łe„en , a to
1. triviÆln , tj. x = o, je-li hodnost matice A rovna n,
2. nekoneŁn mnoho łe„en , je-li hodnost matice A rovna h < n, ka dØ jej łe„en je
lineÆrn kombinac n¡h lineÆrn nezÆvisl ch vektorø (5).
Pł klad 1. Ka dÆ ze tł rovnic soustavy
3x¡ 4y + 3z = 0
3x + 6y ¡ 2z = 0
x + 3y ¡ 2z = 0
je rovnic roviny, kterÆ prochÆz poŁÆtkem soustavy souładnic. Jedno z łe„en tØto
soustavy je trojice (0;0;0). Abychom zjistili, zda je to jedinØ łe„en , urŁeme hodnost
matice soustavy
0
@
3; ¡4; 3
3; 6; ¡2
1; 3; ¡2
1
A ;
0
@
0; 10; ¡5
0; 3; ¡4
1; 3; ¡2
1
A ;
0
@
0; 0; 1
0; 3; ¡4
1; 3; ¡2
1
A :
Matice mÆ hodnost 3. Soustava mÆ pouze jedinØ łe„en , a to triviÆln . Roviny jsou
navzÆjem røznob nØ, maj prÆv spoleŁn jenom poŁÆtek soustavy souładnic.
38
Pł klad 2. TakØ v tomto pł pad ka dÆ ze tł rovnic soustavy
3x + 6z = 0
3x + 6y ¡ 2z = 0
x + 3y ¡ 2z = 0
je rovnic roviny, kterÆ prochÆz poŁÆtkem soustavy souładnic. Op t urŁeme hodnost
matice soustavy 0
@
1; 0; 2
3; 6; ¡2
1; 3; ¡2
1
A ;
0
@
0; 3; ¡4
0; 6; ¡8
1; 3; ¡2
1
A :
Hodnost matice je 2. Proto e napł. prvn dva sloupce matice jsou lineÆrn nezÆvislØ,
vol me z jako parametr a łe„ me ekvivalentn soustavu
x + 3y = 2z
3y = 4z
pro dv neznÆmØ zÆvislØ na parametru z. Odtud y = 43z a x = ¡2z. e„en m je ka d
vektor x = (¡2z; 43z; z) = 13z(¡6;4;3), tj. jednorozm rn podprostor V1 = h(¡6;4;3)i
prostoru R3. Roviny maj spoleŁnou pł mku se sm rov m vektorem (¡6;4;3) jdouc
poŁÆtkem.
Pł klad 3. e„me soustavu tł rovnic pro p t neznÆm ch
0
@
1; ¡2; ¡3; 1; 0
2; 1; 4; ¡3; 5
1; 3; 7; ¡4; 5
1
A
0
BB
BB
@
x1
x2
x3
x4
x5
1
CC
CC
A
=
0
@
0
0
0
1
A
Z ekvivalentn matice k matici soustavy
0
@
1; ¡2; ¡3; 1; 0
0; 5; 10; ¡5; 5
0; 5; 10; ¡5; 5
1
A
vid me, e jej hodnost je 2. Vol me tud tłi z prom nn ch za parametry. Proto e
prvn dva sloupce jsou lineÆrn nezÆvislØ, mohou to b t x3;x4;x5. Potom z ekvivalentn
soustavy rovnic
x1 ¡ 2x2 = 3x3 ¡x4
x2 = ¡2x3 + x4 ¡x5
mø eme vypoŁ tat x1 = ¡x3 + x4 ¡ 2x5. V„echna łe„en danØ soustavy jsou dÆna
vektorem zÆvisl m na tłech zvolen ch parametrech x3;x4;x5
x = (¡x3 + x4 ¡ 2x5 ; ¡2x3 + x4 ¡x5 ; x3;x4;x5):
39
Ten mø eme napsat jako souŁet tł vektorø
x = x3(¡1;¡2;1;0;0) + x4(1;1;0;1;0) + x5(¡2;¡1;0;0;1); (6)
kde x3;x4;x5 jsou libovolnÆ reÆlnÆ Ł sla. Hodnost matice soustavy byla 2, neznÆm ch
bylo v soustav 5, proto je łe„en urŁeno jako lineÆrn kombinace (6) tł lineÆrn nezÆ-
visl ch vektorø.
Soustava nehomogenn ch rovnic
SouŁin
A¢ x = b; (7)
kde A je danÆ matice typu (m;n), mÆ smysl, jestli e neznÆm vektor x 2Rn a vektor
(nenulov ) b 2Rm jsou sloupcovØ vektory. Rovnice (7) je maticov m zÆpisem soustavy
m lineÆrn ch nehomogenn ch rovnic pro n neznÆm ch. V rovnici (7) provedeme nÆsoben
a11x1 + a12x2 + ¢¢¢ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ¢¢¢ + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + ¢¢¢ + a3nxn = b3 (8)
:::::::::::::::::::::
am1x1 + am2x2 + ¢¢¢ + amnxn = bm :
Soustava rovnic (8) je zÆpis lineÆrn kombinace sloupcov ch vektorø sj 2Rm matice A
v souładnic ch, kterÆ je rovna vektoru b tj.
x1s1 + x2s2 + ¢¢¢ + xnsn = b: (9)
Na jednoduch ch pł kladech si ukÆ eme, jakØ mo nosti mohou nastat, zji„»ujeme-li
poŁet łe„en soustavy nehomogenn ch rovnic.
a) x + y = 1;
x + 2y = 2;
b) x + 2y = 1;
¡x¡ 2y = 2;
c) x¡ 2y = 1;
¡x + 2y = ¡1:
40
V pł pad a) mÆ soustava prÆv jedno łe„en x = 0, y = 1.
V pł pad b) nemÆ soustava łe„en .
V pł pad c) mÆ soustava nekoneŁn mnoho łe„en . Jednu z neznÆm ch x;y mø eme
zvolit a druhou pak dopoŁ tÆme.
Nyn budeme zji„»ovat, jakØ mo nosti, co do poŁtu łe„en , mohou nastat pro soustavu
(8) nehomogenn ch rovnic. Nejdł ve n kolik pojmø.
Matice tvołenÆ prvky aij, i = 1;:::;m, j = 1;:::;n, se jako u soustavy homogenn ch
rovnic, naz vÆ matice soustavy (8) nehomogenn ch rovnic. Płip „eme-li k n sloup-
cov vektor b (sloupec prav ch stran soustavy (8)), dostaneme matici typu (m;n+ 1),
kterÆ se naz vÆ roz„ łenÆ matice soustavy (8) nehomogenn ch rovnic. Nahrad me-
li v soustav (8) sloupec prav ch stran nulov m vektorem o, dostaneme soustavu (2)
homogenn ch rovnic, kterÆ se naz vÆ soustava płidru enÆ k soustav (8) nehomo-
genn ch rovnic.
Jestli e mÆme dv łe„en (x01;:::;x0n) a (x001;:::;x00n) soustavy (8), tj. plat -li
x01s1 + ¢¢¢ + x0nsn = b a x001s1 + ¢¢¢ + x00nsn = b;
odeŁten m t chto rovnic dostaneme
(x01 ¡x001)s1 + ¢¢¢ + (x01 ¡x00n)sn = o:
Odvodili jsme tedy tvrzen : Rozd l dvou łe„en soustavy (8) je łe„en płidru enØ sou-
stavy (2). ObrÆcen m postupem dostaneme: PłiŁteme-li k łe„en soustavy (8) łe„en
płidru enØ soustavy (2), dostaneme op t łe„en soustavy (8).
Je złejmØ, e soustava (8) mÆ łe„en prÆv tehdy, je-li sloupec b lineÆrn kombinac
vektorø s1;:::;sn. Tud plat :
Soustava (8) nehomogenn ch rovnic mÆ łe„en prÆv tehdy, je-li hodnost
matice soustavy rovna hodnosti roz„ łenØ matice soustavy.
Je-li hodnost matice i hodnost roz„ łenØ matice soustavy (8) rovna h < n, existuje ne-
koneŁn mnoho łe„en soustavy (8). Toto łe„en dostaneme bu tak, e k jednomu
łe„en płiŁ tÆme v„echna łe„en płidru enØ soustavy, nebo pł mo:
V tom pł pad najdeme bÆzi prostoru V = hs1;:::;sni. Jsou-li to vektory s1;:::;sh,
płevedeme ostatn vektory ve vektorovØ rovnici (9) na pravou stranu. Dostaneme vek-
torovou rovnici
x1s1 + x2s2 + ¢¢¢ + xnsh = b ¡xh+1sh+1 ¡¢¢¢¡xnsn : (10)
Ke ka dØ volb Ł sel xh+1;:::;xn pak existuje prÆv jedno łe„en .
SpeciÆln jsou-li vektory s1;:::;sn lineÆrn nezÆvislØ, tj. h = n a plat m = n, tvoł
vektory s1;:::;sn bÆzi vektorovØho prostoru Rn. Potom ka d vektor z Rn, tedy i vek-
tor b, lze napsat jako jejich lineÆrn kombinaci. Soustava mÆ v tomto pł pad prÆv
jedno łe„en .
41
Pł klad 4. Ka dÆ ze tł rovnic soustavy
x¡y ¡z = 1
x + 3y + z = 0 (11)
5x + 3y ¡z = 3
je rovnic roviny. Abychom urŁili jejich vzÆjemnou polohu, hledejme jejich spoleŁnØ
body, tj. łe„en danØ soustavy. UrŁeme hodnost matice soustavy roz„ łenØ o sloupec
prav ch stran
0
@
1; ¡1; ¡1 j 1
1; 3; 1 j 0
5; 3; ¡1 j 3
1
A ;
0
@
1; ¡1; ¡1 j 1
0; 4; 2 j ¡1
0; 8; 4 j ¡2
1
A :
Matice mÆ hodnost 2. Jednu neznÆmou mø eme volit libovoln . Proto e prvn dva
sloupce matice jsou lineÆrn nezÆvislØ, mø e to b t z. Ekvivalentn soustava
x¡y = 1 + z
4y = ¡1 ¡ 2z
mÆ łe„en y = ¡14 ¡ 12z a x = 34 + 12z zÆvislØ na z. UspołÆdanou trojici x łe„en mø eme
upravit na souŁet dvou trojic
x =
3
4 +
1
2z; ¡
1
4 ¡
1
2z; z
¶
=
3
4;¡
1
4;0
¶
+ z
1
2;¡
1
2;1
¶
:
Roviny danØ rovnicemi (11) maj spoleŁnou pł mku urŁenou bodem A = [34;¡14;0]
a sm rov m vektorem u = (12;¡12;1).
Ka dØ łe„en soustavy (11) je souŁtem trojice A = [34;¡14;0] { bodu a nÆsobku trojice
u = (12;¡12;1) { vektoru. Dosad me-li bod A do soustavy (11) vid me, e je jej m
łe„en m. Dosad me-li vektor u, nebo jeho nÆsobek, do lev ch stran rovnic soustavy
(11) vid me, e je anuluje, tj. je łe„en m płidru enØ soustavy homogenn ch rovnic.
Pł klad 5. e„me soustavu tł rovnic pro p t neznÆm ch z pł kladu 3 s nenulovou
pravou stranou
0
@
1; ¡2; ¡3; 1; 0
2; 1; 4; ¡3; 5
1; 3; 7; ¡4; 5
1
A
0
BB
BB
@
x1
x2
x3
x4
x5
1
CC
CC
A
=
0
@
2
3
¡1
1
A
Z matice ekvivalentn k roz„ łenØ matici soustavy o vektor pravØ strany
0
@
1; ¡2; ¡3; 1; 0 j 2
0; 5; 10; ¡5; 5 j ¡1
0; 5; 10; ¡5; 5 j ¡1
1
A
42
vid me, e jej hodnost je 2. Vol me tud tłi z prom nn ch za parametry. Proto e prvn
dva sloupce matice jsou lineÆrn nezÆvislØ, mohou to b t x3;x4;x5. Potom z ekvivalentn
soustavy rovnic
x1 ¡ 2x2 = 2 + x3 ¡x4
5x2 = ¡1 ¡ 10x3 + 5x4 ¡ 5x5
vypoŁ tÆme x2 = ¡15 ¡ 2x3 + x4 ¡ x5, x1 = 85 ¡ 3x3 + x4 ¡ 2x5. Ka dØ łe„en danØ
soustavy je dÆno vektorem zÆvisl m na tłech zvolen ch parametrech x3;x4;x5
x =
8
5 ¡ 3x3 + x4 ¡ 2x5 ; ¡
1
5 ¡ 2x3 + x4 ¡x5 ; x3;x4;x5
¶
:
Ten mø eme napsat jako souŁet Łtył vektorø z R5
x =
8
5;¡
1
5;0;0;0
¶
+ x3(¡3;¡2;1;0;0) + x4(1;1;0;1;0) + x5(¡2;¡1;0;0;1);
kde x3;x4;x5 jsou libovolnÆ reÆlnÆ Ł sla.
V„echna łe„en soustavy dostaneme tak, e k bodu [85;¡15;0;0;0] płiŁ tÆme lineÆrn
kombinace skupiny vektorø f(¡3;¡2;1;0;0); (1;1;0;1;0); (¡2;¡1;0;0;1)g
Pł klad 6 - V poŁet inverzn matice. K regulÆrn matici A łÆdu n urŁ me inverzn
matici.
Nech» Ei;j(c) je matice, kterÆ se od jednotkovØ matice li„ pouze t m, e na m st (i;j)
(v i-tØm łÆdku a j-tØm sloupci) mÆ Ł slo c, napł. pro n = 5 je
E3;3(c) =
0
BB
BB
@
1; 0; 0; 0; 0
0; 1; 0; 0; 0
0; 0; c; 0; 0
0; 0; 0; 1; 0
0; 0; 0; 0; 1
1
CC
CC
A
; E3;5(c) =
0
BB
BB
@
1; 0; 0; 0; 0
0; 1; 0; 0; 0
0; 0; 1; 0; c
0; 0; 0; 1; 0
0; 0; 0; 0; 1
1
CC
CC
A
:
Z nÆsoben matic vypl vÆ, e nÆsob me-li zleva matici A matic Ei;j(c), tak v pł pad ,