Přednášky Horcik

0
3.Pricteni (-nasobku i-teho radku k j-temu
(plati i pro sloupcove upravy)
Hodnost matice
Maximalni pocet linearne nezavislych radku matice A
znacime hodA a definujeme: hodA=dim
Transponovana matice
Necht A=(aij) je matice typu (m,n).Matici AT=(aji),ktera je typu (n,m) nazveme transponovanou matici k matici A.
(A*B)T=BT*AT; detAT=detA
Jednotkova matice
A*E=A; E*A=A
Inverzni matice
Ctvercovou matici typu (n,n) X nazveme inverzni k ctvercove matici A typu (n,n) n-teho radu pokud plati AX=E=XA,kde E je jednotkova matice.
Podminky existence: hodA=n,detA(0-regulrni matice,A (E,radky matice A tvori LN podmnozinu Rn
A-1=1/D*(Dij)T
Regularni matice
Ctvercova matice A se nazyva regularni pokud existuje A-1 (detA(0).V opacnem pripade se jedna o matici singularni.
Pokud jsou A a B regularni,pak A*B je take regularni.
Determinant
Necht A je horni (dolni) trojuhel. matice pak determinantem nazyvame cislo,ktere je soucinem clenu na hlavni diagonale.
Necht jsou matice A aB typu (n,n) pak det(A*B)=detA*detB, detAT=detA
Vlastnosti determinantu
1.Prohozeni radku matice meni znamenko determinantu (-1*detA
2.vynasobeni i-teho radku real. cislem ((0((*detA
3. Pricteni (-nasobku i-teho radku k j-temu(nemeni determinant!
(plati i pro sloupcove upravy)
Pokud ma ctvercova matice A dva radky stejne,pak detA=0
Frobeinova veta
Soustava A*x=b p.t.k. hodA=hod(A|b) (hod(A|b)=hodnost rozsirene matice soustavy)
A ma jedno reseni p.t.k. je regularni
A nema zadne nebo nekonecne mnoho reseni p.t.k. je singularni
Cramerovo pravidlo
Necht A je regularni ctvercova matice.Pro i-tou slozku reseni soustavy A*x=b plati (i=detBi/detA ,kde matice Bi je matice ktera vznikla z matice A nahrazenim i-teho sloupce sloupcem pravych stran.
Proste lin.zobrazeni
pokud pro vsechna x1,x2(L1,t.z. x1(x2 plati A(x1) (A(x2).
Podminky lin. zobrazeni
A(x+y)=A(x)+A(y), A((*x)= (A(x)
Jadro lin.zobrazeni
kerA={x(L1|A(x)=o2}nazveme jadrem lin zobrazeni A,kde L1,L2 jsou lin. prostory,o2 je nul. vektor L2 a A:L1(L2 je lin zobrazeni.
Jadro lin.zobr. A:L1(L2 tvori lin. podprostor lin. prostoru L1
Defekt
defA=dim KerA

Polynom
Zobrazeni f:R(R se nazyva real. polynom,
pokud existuji a0,a1...an (R takova,ze f(x)=anxn+an-1xn-1+...a1x+a0 kde x(R a a0,a1...an (R se nazyvaji koeficienty.
Zobrazeni C(C se nazyva komplexni polynom pokud existuji b0,b1...bm(C t.z g(x)=bnxn+bn-1xn-1+...b1x+b0 kde x(C
Pokud jsou f a g polynomy,pak plati:
st f ( g (max{st f,st g}
st cf=st f c(0
st fg=stf+stg ;fg(0
Koreny
Realne (komplexni) cislo c nazveme korenem polyn. f,pokud f(c)=0
Komplexni cislo c je korenem polynomu f p.t.k. je f delitelny x-c.
Necht f(R(x) a st f je lichy, pak f ma alespon jeden realny koren.
Nasobnost:Realne(komplexni )cislo c nazveme k-nasobnym korenem pol. f,pokud k je nejvetsi priroz. cislo, t.z. (x-c)k deli f.Cislo k se nazyva nasobnost.
Zakladni veta algebry: Kazdy polynom stupne alespon prveho ma v C koren.
Linearni prostor
Lin. prostorem nazyvame kazdou neprazdnou mnozinu L,na ktere je def. scitani+:Lxl(L a nasobeni rel. cislem RxL(L a tyto operace splnuji pro x,y,z(L a (((R vlastnosti:1.x+y=y+x, 2.(x+y)+z=x+(y+z), 3.(((x)= ((()x , 4. ((x+y)= (x+(y, 5. ((+()x=(x+(x, 6.1x=x, 7.0x=o
Linearni podprostor
Neprazdna mnozina M lin. prostoru L se nazyva lin. podprostorem prostoru L,pokud pro vsechna x,y(M a (((R plati 1. x+y (M a (x(M
Linearni zavislost a nezavislost
konecnou poslopnost vektoru x1...xn nazyvame LZ,pokud existuje netrivialni kombinace vektoru x1...xn,ktera je rovna nulovemu vektoru.V opacnem pripade ji nazyvame LN
Linearni obal
Necht L je lin. prostor a M(L. Linearni obal je mnozina vsech lin. kombinaci prvku z M tj. ={(x1+...+(nxn(n(N, x1...nxn(M, (...(n(R }
Baze
Necht L je lin. prostor a B(L. B se nazyva baze lin. prostoru L,pokud 1. B je LN , 2.=L
Dimenze
Necht L je lin. prostor a B je baze. Pak dimenze je pocet prvku B. t.j. dimL=(B(
Souradnice v usporadane bazi
Necht (B)=(b1,b2,...,bn) je usporadana baze lin. prostoru La x(L. Usporadanou n-tici real. cisel ((1... (n) nazyvame souradnicemi vektoru x vzhledem k usporadane bazi (B), pokud plati: x=(1b1+...+(nbn
Izomorfni lin. prostory
Lin. zobrazeni A:L1(L2 nazyvame izomorfizmus,pokud je proste a na.. Rikame ze dva lin. prostory L1 a L2 jsou izomorfni,pokud exist. izomorfizmus A: L1(L2.Tento fakt znacime L1(L2
Necht A: L1(L2 je izomorfizmus. Pak A-1: L1(L2 existuje a je take izomorfizmus.
Dva lin. prostory L1 a L2 jsou izomorfni p.t.k. maji stejnou dimenzi.
Ekvivalentni upravy matic (nemeni reseni)
1.Prohozeni dvou radku
2.vynasobeni i-teho radku realnym cislem ((0
3.Pricteni (-nasobku i-teho radku k j-temu
(plati i pro sloupcove upravy)
Hodnost matice
Maximalni pocet linearne nezavislych radku matice A
znacime hodA a definujeme: hodA=dim
Transponovana matice
Necht A=(aij) je matice typu (m,n).Matici AT=(aji),ktera je typu (n,m) nazveme transponovanou matici k matici A.
(A*B)T=BT*AT; detAT=detA
Jednotkova matice
A*E=A; E*A=A
Inverzni mat