- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Číselné řady
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálk=1
1
k =1+
1
2 +
1
3 +
1
4 +
1
5 +
1
6 +
1
7 +
1
8 +
1+ 12 + 14 + 14 + 18 + 18 + 18 + 18 +
=1+ 12 + 12 + 12 + =+1:
4) 2(0;1i, P1k=1 1k P1k=1 1k diverguje.
V ta(pod lovØkriterium). Nech»0 < ak proka dØ k 2 N.
Je-liproka dØ k 2 N
1) ak+1ak q < 1,pak P1k=1 ak konverguje;
2) ak+1a
k
1,pak P1k=1 ak diverguje.
Døkaz.
1) ak+1 akq a1qk, P1k=1 ak P1k=1 a1qk 1 = a11 q
2) ak+1 ak a1, P1k=1 ak P1k=1 a1 =+1
PoznÆmka. StaŁ , aby byly nerovnosti spln ny pro dosta-
teŁn velkÆ k, tj. poŁ naje n kter m k0.
V ta (limitn tvar pod lovØho kriteria). Nech» 0 ak pro
ka dØ k 2 N.Je-li
1)limk!1 ak+1ak < 1,pak P1k=1 ak konverguje;
2)limk!1 ak+1a
k
> 1,pak P1k=1 ak diverguje.
Pł klady.
1) P1k=1 1k! konverguje: ak+1a
k
= 1k+1 !0.
2) P1k=1 k!2k diverguje: ak+1ak = k+12 !+1.
3) P1k=1 1k {kr.nerozhodne: ak+1a
k
= kk+1 %1(diverguje).
4) P1k=1 1k2 {kr.nerozhodne: ak+1ak = k2(k+1)2 %1(konv.).
V ta (odmocninovØ kriterium). Nech» 0 ak pro ka dØ
k 2 N.Je-liproka dØ k 2 N
1) kpak q < 1,pak P1k=1 ak konverguje;
2) kpak 1,pak P1k=1 ak diverguje.
Døkaz. 1) ak qk, P1k=1 ak P1k=1 qk = q1 q
2) ak 1, P1k=1 ak P1k=11=+1
V ta(limitn tvarodmocninovØhokriteria). Nech»0 ak
proka dØ k 2 N.Je-li
1)limk!1 kpak < 1,pak P1k=1 ak konverguje;
2)limk!1 kpak > 1,pak P1k=1 ak diverguje.
Pł klady.
1) P1k=1 3lnk(k+1) konverguje: kpak = k
p3
ln(k+1) !0 < 1.
2) P1k=1 2kk10 diverguje: kpak = 2kpk10 !2 > 1.
3) P1k=1 kk+1 k kriteriumnerozhodne: kpak = kk+1 %1,
limk!1 ak =limk!1 1+ 1k k 1 =e 1 6=0{diverguje.
PoznÆmky.
1) StaŁ uva ovatlimsupk!1 < 1,liminfk!1 > 1.
2) OdmocninovØ kriterium je œŁinn j„ (ne, pokud existuj
ob limity), alen kdy sehøłepoŁ tÆ.
Pł klad. a2k 1 =2 k, a2k =21 kP
1
k=1 ak =
1
2 +1+
1
4 +
1
2 +
1
8 +
1
4 +
kpak !2 1=2 < 1{konvergujepodle odmocninovØhokr.
a2k
a2k 1 =2{pod lovØkriteriumnerozhodne
V ta (integrÆln kriterium). Nech» f je nezÆpornÆ neros-
touc funkce na h1;+1). Pak P1k=1 f(k) konverguje prÆv
tehdy,kdy konverguje R+11 f(x)dx.
Døkaz. f(k) R k+1k f(x)dx f(k +1),R
1
1 f(x)dx
P1
k=1 f(k) f(1)+
R1
1 f(x)dx
Pł klady.
1) P1k=1 1k diverguje: R 11 1x dx =[lnx]11 =+1.
2) P1k=1 1k konvergujepro > 1: R11 x dx = 1 1.
3) P1k=1 1klnk diverguje: R11 1xlnx dx =[lnlnx]11 =+1.
Pł klad. JakÆ je chyba P1k=1 1k2 = 16 2, pokud seŁteme
prvn ch100Łlenø?P
1
k=101 ak
R 1
101 x
2dx = 1
100 =0;01P
1
k=101 ak
R 1
100 x
2dx = 1
101
:=0;0099
V ta (Leibnizovo kriterium). Nech» (ak)1k=1 jenerostouc
posloupnostnezÆporn chŁ sel. P1k=1( 1)k 1ak = a1 a2+
a3 a4+ konvergujeprÆv tehdy,kdy limk!1 ak =0.
Døkaz. sn = Pnk=1 ak
s1 s3 s5 , s2k+1 ! s0,
s2 s4 s6
Vloženo: 23.04.2009
Velikost: 77,34 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2025 unium.cz
