- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálSoučet všech hodnot pravděpodobnostní funkce se rovná jedné, tj.
Distribuční funkce
Distribuční funkcí náhodné veličiny nazýváme reálnou funkci, kterou
označíme , definovanou pro každé reálné číslo x takto:
distribuční funkce vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou náhodná veličina nabude hodnot z intervalu
Střední hodnota
Střední hodnota je nejdůležitější charakteristikou náhodné veličiny , kterou
značíme .
Střední hodnotu diskrétní náhodné veličiny vypočítáme pomocí tohoto
vzorce:
on.3
Střední hodnota představuje průměrnou hodnotu (ve smyslu váženého
průměru), které veličina nabývá.
Směrodatná odchylka
Směrodatná odchylka vyjadřuje jak jsou hodnoty náhodné veličiny rozloženy kolem střední hodnoty.
, což je rozptyl diskrétní náhodné veličiny X, vypočítáme pomocí vzorce:
Výpočtové úlohy
Úkol č. 1 – 61 / 4
Zadání:
Do půjčovny aut přijde za den průměrně 3,8 zákazníků. Určete pravděpodobnost, že během dne přijdou aspoň tři zákazníci.
Řešení:
Pokus:Zjištění, kolik zákazníků přijde do půjčovny během jednoho dne.
NVX: Počet zákazníků, kteří přijdou do půjčovny během jednoho dne.
Poissonovo rozdělení EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =
=
:
Interpretace výsledků:
Provedeme-li více pokusů, pak pravděpodobnost, že do půjčovny aut přijdou během dne aspoň 3 zákazníci je 0,731.
Úkol č. 2 – 61 / 9
Zadání:
V jednom metrickém centu skloviny bývají průměrně tři kamínky. Ze skloviny se
dělají láhve o váze 2 kg. Jestliže je ve stěně láhve aspoň jeden kamínek, je vadná.
Odhadněte procento vadných lahví.
Řešení:
Pokus:Zjištění, kolik procent lahví je vadných.
NVX:Počet vadných lahví.
Celkový počet vyrobených lahví:
Poissonovo rozdělení
=
Interpretace výsledků:
Provedeme-li větší počet pokusů, pak asi 5,82% lahví bude vadných.
Úkol č. 3 – 61 / 11
Zadání:
Tramvaj jezdí po trati na níž jsou tři křižovatky řízené světly. Každou křižovatkou buď
projede bez zastavení s pravděpodobností 2/3 nebo na ní zůstane stát s pravděpodobnosti 1/3. Určete střední hodnotu počtu křižovatek, které tramvaj projede bez zastavení.
Řešení:
Pokus:Jízda tramvaje křižovatkami.
Jev A :Tramvaj projede křižovatkou bez zastavení.
NVX:Počet křižovatek, které tramvaj projede bez zastavení.
Binomické rozdělení
Interpretace výsledků:
Provedeme-li větší počet pokusů, pak střední hodnota počtu křižovatek, které tramvaj
projede bez zastavení, kolísá kolem hodnoty 2.
Pravděpodobnostní statistika
Samostatná práce č. 5
Jméno a příjmení:Margarit Shahbazyan
Ročník:druhý
Kruh:227
Teoretická otázka
Zadání:
Vysvětlete na příkladu, co popisuje spojitá náhodná veličina. Co popisuje hustota pravděpodobnosti, distribuční funkce, střední hodnota, směrodatná odchylka a kvantily?
Spojitá náhodná veličina
Spojité náhodné veličiny nabývají všech hodnot z intervalu reálné osy, přičemž, každýbod tohoto intervalu má nulovou pravděpodobnost.
Náhodná veličina je dále spojitá, jestliže existuje nezáporná reálná funkce f(x) nazvanáhustota pravděpodobnosti taková, že pro všechna reálná X platí:
Např.: životnost elektroniky, životnost baterie, délka určitého předmětu, vzdálenost dvou poboček, …
Hustota pravděpodobnosti
Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje prostřednictvímfunkce, kterou označujeme jako hustota rozdělení pravděpodobnosti (hustotapravděpodobnosti).
Hustota pravděpodobnosti je nezáporná a splňuje podmínku:
Je to funkce f(x), která nám říká, jak „hustě“ jsou hodnoty spojité náhodné veličiny Xrozloženy na ose x.
Distribuční funkce
Distribuční funkce je funkce, která každému reálnému číslu přiřazujepravděpodobnost, s jakou náhodná veličina nabude hodnot, která je menší nebo rovnatomuto číslu. Distribuční funkce je nezáporné číslo menší nebo rovno jedné Je funkcí neklesající, která je spojitá zprava.
Střední hodnota
Střední hodnota je parametr rozdělení náhodné veličiny, který je definován jakovážený průměr daného rozdělení. Jde o nejdůležitější číselnou charakteristikou spojiténáhodné veličiny X označená Equation.3 .
Střední hodnota spojité náhodné veličiny X je definována integrálem:
Směrodatná odchylka
Směrodatná odchylka vyjadřuje jak jsou hodnoty náhodné veličiny rozloženy kolemstřední hodnoty. Je rovná druhé odmocnině rozptylu náhodné veličiny:
Kvantily
Kvantily jsou míry polohy rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny. Udávají, jak
je obor hodnot náhodné veličiny X rozdělen v určitém pravděpodobnostním poměru.
Jedním z nejdůležitějších kvantilů je medián. Je to kvantil rozdělující statistickýsoubor na dvě stejně početné množiny, tzn. jedná se o kvantil .
Výpočtové úlohy
Úkol č. 1 - 79 / 3
Zadání:
Stroj vyrábí olověné broky. Průměr broku je náhodnou veličinou, měřenou v milimetrech, o níž předpokládáme, že má rozdělení Kolik procent broku je při kontrole vyřazeno, jestliže broky, lišící se více než o 0,1 milimetrů od střední hodnoty jsou vyřazovány?
Řešení:
Pokus:Zjištění průměru broku.
NVX: Průměr broku.
Interpretace výsledků:
Při kontrole je vyřazeno asi 4, 55% broků.
Úkol č. 2 - 79 / 7
Zadání:
Životnost elektrické baterie, měřená v hodinách, má normální rozdělení se střední
hodnotou 300 hodin a směrodatnou odchylkou 35 hodin. Kolik procent baterií má
životnost větší 320 hodin?
Řešení:
Pokus:Zjištění životnosti elektrické baterie.
NVX:Životnost baterie.
Interpretace výsledků:
Asi 28, 4% baterie má životnost větší než 320 hodin.
Úkol č. 3 - 12 / 80
Zadání:
Stroj vyrábí součástky, jejichž délky mají náhodné odchylky od normou stanovené
hodnoty. Tyto odchylky mají normální rozdělení se směrodatnou odchylkou 5 mm.
Kolik procent výrobků je I. třídy, jestliže se do této třídy zařazují výrobky s odchylkou délek v absolutní hodnotě menšími než 3 mm?
Za jakou, v absolutní hodnotě největší hodnotu odchylek v milimetrech se lze zaručit s pravděpodobností 0,9?
Řešení:
Pokus:Zjištění odchylky.
NVX:Velikost odchylky.
a)
b)
Interpretace výsledků:
Asi 45,15% výrobků patří do I. třídy.
Při odchylce 8,25 lze zaručit pravděpodobnost 0,9.
Úkol č. 4 - 14 / 80
Zadání:
Doba jízdy nákladního auta s betonovou směsí od betonárky na staveniště má
exponenciální rozdělení. Minimální doby jízdy je 5 minut, střední hodnota doby jízdy
je 11 minut. Do kolika minut se uskuteční 95% příjezdů auta?
Řešení:
Pokus:Zjištění doby jízdy nákladního automobilu s betonovou směsí.
NVX:Doba jízdy.
[min]
Interpretace výsledků:
Asi do 23 minut se uskuteční 95% příjezdů aut.
Pravděpodobnostní statistika
Samostatná práce č. 6
Jméno a příjmení:Margarit Shahbazyan
Ročník:druhý
Kruh:227
Teoretická otázka
Zadání:
Ukažte příklady použití diskrétního dvourozměrného náhodného vektoru. Vysvětletevýznam koeficientu korelace.
Náhodný vektor diskrétního typu
Náhodný vektor má rozdělení diskrétního typu, pokud jím zobrazené prvky zezákladního prostoru jsou v rovině reálných čísel zobrazeny dvojicemi , kde a .
Pravděpodobnost, že náhodný vektor nabude hodnot vyjádřímezápisem . Tyto pravděpodobnosti jsou hodnotami tzv. simultánnípravděpodobnostní funkce náhodného vektoru , kterou značíme a jejíž hodnoty platí:
Součet hodnot simultánní pravděpodobnostní funkce přes všechny dvojice , jeroven jedné.
Příklady použití diskrétního dvourozměrného náhodného vektoru
Studenty ekonomického minima považujeme za prvky základního prostoru. Studentpíše nejdříve zápočtovou písemku pak dělá zkoušku. Pomocí diskrétníhodvourozměrného náhodného vektoru můžeme zjistit:
Kolik procent studentů, kteří měli u zápočtového testu známku C, udělalo zkoušku za A.
Kolik procent studentů, kteří byli připuštění ke zkoušce, tudíž byli ohodnocení známkou A - E, neudělalo zkoušku, byli hodnocení známkou F.
Kolik procent studentů dosáhli maximálního bodového ohodnocení (100%) z obou absolvovaných testu, tzn. byli ohodnocení známkou A.
V hudební soutěži SUPERSTAR hodnotí porota 20 účastníku, kteří se dostali do finále soutěže. Členové poroty je mohou ohodnotit body 1 – 10.
Koeficient korelace
Koeficient korelace je charakteristikou pro měření lineární stochastické závislosti mezi náhodnými veličinami X a Y, které jsou složkami náhodného vektoru.
Koeficient korelace náhodného vektoru označíme EMBED Equation.3 a vypočteme ho pomocí níže uvedeného vzorce:
.
Nejdůležitější vlastnosti koeficientu korelace:
= , tj. korelace mezi náhodnými veličinami X a Y nezáleží na jejích pořadí.
, což značí, že koeficient korelace je normován a jeho absolutní hodnota nepřevýší číslo 1.
= právě tehdy, když náhodné veličiny X a Y jsou lineárně závislé.
Lineární stochastická závislost:
libovolný výskyt z hodnot jedné
náhodné veličiny ovlivňuje výskyt hodnot druhé náhodné veličiny.
Výpočtové úlohy
Úkol č. 1 – 114 / 5
Zadání:
Prodejna tiskáren jednoho typu má pobočky v Praze a Bratislavě. Analyzujte tržbuprodejny v letech 2003 a 2004 pomocí složených individuálních indexů, jestliže jsouníže uvedeny počty prodaných kusů a ceny za kus v jednotlivých pobočkách:
rok 2003: Praha 12 ks po 26 000 Kč, Bratislava 18 ks po 25 000 Kč,
rok 2004: Praha 15 ks po 25 000 Kč, Bratislava 16 ks po 24 000 Kč.
Řešení:
Pobočky
Počet kusů
Cena za kus
Tržba
2003
2004
2003
2004
2003
2004
Praha
12
15
26 000
25 000
312 000
375 000
Bratislava
18
16
25 000
24 000
450 000
384 000
q0
q1
p0
p1
Q0
Q1
Složené individuální indexy:
Interpretace výsledků:
Tržby prodejen v roce 2004 klesly oproti roku 2003 o 0,4%.
Předpokládáme-li počet kusů tiskáren na úrovni roku 2003, pak tržba prodejen klesla o3,9% vlivem změn ceny za kus v jednotlivých pobočkách.
Předpokládáme-li cenu za kus na úrovni roku 2004, pak tržba prodejen vzrostla o 3,7% vlivem změn počtu kusů v jednotlivých pobočkách.
Vloženo: 26.04.2009
Velikost: 291,05 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu PRS - Pravděpodobnostní statistika
Reference vyučujících předmětu PRS - Pravděpodobnostní statistika
Podobné materiály
Copyright 2023 unium.cz. Abychom mohli web rozvíjet a dále vylepšovat podle preferencí uživatelů, shromažďujeme statistiky o návštěvnosti, a to pomocí Google Analytics a Netmonitor. Tyto systémy pro unium.cz zaznamenávají, které stránky uživatel na webové stránce navštívil, odkud se na stránku dostal, kam z ní odešel, jaké používá zařízení, operační systém či prohlížeč, či jaký má preferenční jazyk. Statistiky jsou anonymní, takže unium.cz nezná identitu návštěvníka a spravuje cookies tak, že neumožňuje identifikovat konkrétní osoby. Používáním webu vyjadřujete souhlas použitím cookies a následujících služeb: