- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Skripta Vybrané partie z matematiky
BVPA - Vybrané partie z matematiky
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálF2
∂z
parenrightbigg
i+
parenleftbigg∂F
1
∂z −
∂F3
∂x
parenrightbigg
j+
parenleftbigg∂F
2
∂x −
∂F1
∂y
parenrightbigg
k
Rotaci vektorov´eho pole lze pˇrehlednˇe napsat pomoc´ı symbolick´eho determinantu tˇret´ıho
ˇr´adu
rot−→F =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
F1 F2 F3
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
,
kde kaˇzd´y souˇcin, napˇr. i
parenleftBig
∂
∂y
parenrightBig
F3, ch´apeme jako parci´aln´ı derivaci n´asobenou vektorem
standardn´ı b´aze, tedy ∂F3∂y i.
V´yhodnˇejˇs´ı je vˇsak poˇc´ıtat rotaci vektorov´eho pole −→F rozvojem v´yˇse uveden´eho determi-
nantu podle prvn´ıho ˇr´adku, viz n´asleduj´ıc´ı pˇr´ıklad.
28 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Pˇr´ıklad 1.14 Vypoˇctˇete rotaci vektorov´eho pole −→F = (xyz,x+y+z,xz2).
rot−→F =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
xyz x+y+z xz2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
= i·
parenleftbigg∂(xz2)
∂y −
∂(x+y+z)
∂z
parenrightbigg
−
−j·
parenleftbigg∂(xz2)
∂x −
∂(xyz)
∂z
parenrightbigg
+k·
parenleftbigg∂(x+y+z)
∂x −
∂(xyz)
∂y
parenrightbigg
=
= i·(0−1)−j·(z2 −xy) +k·(1−xz) = (−1,xy−z2,1−xz).
Necht’ −→F,−→H : G→V(R3), G⊂R3, jsou vektorov´a pole tˇr´ıdy C1 na otevˇren´e mnoˇzinˇe G,
f : G→R funkce tˇr´ıdy C1 na G, pak plat´ı:
1) rot(−→F +−→H) = rot−→F + rot−→H
2) rot(f ·−→H) = f ·rot−→H + (gradf)×−→H
3) div(−→F ×−→H) = −→H squaresmallsolidrot−→F −−→F squaresmallsolidrot−→H
4) rot gradf = o
5) div rot−→F = o
6) div gradf = ∂
2f
∂x2 +
∂2f
∂y2 +
∂2f
∂z2
V tvrzen´ıch 4), 5), 6) je tˇreba, aby f,−→F ∈C2(G).
Ukaˇzme si napˇr´ıklad platnost identity 2). f ·−→H = (f ·H1,f ·H2,f ·H3) a plat´ı
L = rot(f ·−→H) =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
f ·H1 f ·H2 f ·H3
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
= i·
parenleftbigg∂(f ·H
3)
∂y −
∂(f ·H2)
∂z
parenrightbigg
−
−j·
parenleftbigg∂(f ·H
3)
∂x −
∂(f ·H1)
∂z
parenrightbigg
+k·
parenleftbigg∂(f ·H
2)
∂x −
∂(f ·H1)
∂y
parenrightbigg
=
= i·
parenleftbigg∂f
∂y ·H3 +f ·
∂H3
∂y −
∂f
∂z ·H2 −f ·
∂H2
∂z
parenrightbigg
−j·
parenleftbigg∂f
∂x ·H3 +f ·
∂H3
∂x −
−∂f∂z ·H1 −f · ∂H1∂z
parenrightbigg
+k·
parenleftbigg∂f
∂x ·H2 +f ·
∂H2
∂x −
∂f
∂y ·H1 −f ·
∂H1
∂y
parenrightbigg
=
= f ·
parenleftbigg
i
parenleftbigg∂H
3
∂y −
∂H2
∂z
parenrightbigg
−j
parenleftbigg∂H
3
∂x −
∂H1
∂z
parenrightbigg
+k
parenleftbigg∂H
2
∂x −
∂H1
∂y
parenrightbiggparenrightbigg
+
+i·
parenleftbigg∂f
∂y ·H3 −
∂f
∂z ·H2
parenrightbigg
−j·
parenleftbigg∂f
∂x ·H3 −
∂f
∂z ·H1
parenrightbigg
+k·
parenleftbigg∂f
∂x ·H2 −
∂f
∂y ·H1
parenrightbigg
=
Vybran´e partie z matematiky 29
= f ·
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
H1 H2 H3
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
+
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
i j k
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
H1 H2 H3
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
= f ·rot−→H + (gradf)×−→H = P.
Identita je dok´az´ana.
Necht’ nyn´ı −→F = (F1,F2) : G → V(R2), G ⊂ R2, je tˇr´ıdy C1 na otevˇren´e mnoˇzinˇe G.
Rotac´ı rovinn´eho pole −→F naz´yv´ame skal´arn´ı pole
rot−→F = ∂F2∂x − ∂F1∂y .
V aplikac´ıch se pouˇz´ıv´a oper´ator ∇ (ˇcteme ”nabla“), zaveden´y anglick´ym matematikem
W. R. Hamiltonem:
∇ =
parenleftbigg ∂
∂x,
∂
∂y,
∂
∂z
parenrightbigg
= ∂∂xi+ ∂∂yj+ ∂∂zk,
pomoc´ı nˇehoˇz lze gradf, div−→F, rot−→F form´alnˇe zapsat:
gradf = ∇f (”n´asobek vektoru ∇ skal´arem f“)
div−→F = ∇squaresmallsolid−→F (”skal´arn´ı souˇcin vektor˚u ∇,−→F“)
rot−→F = ∇×−→F (”vektorov´y souˇcin vektor˚u ∇,−→F“)
V teorii parci´aln´ıch diferenci´aln´ıch rovnic se setk´av´ame s Laplaceov´ym oper´atorem ∆
definovan´ym pˇredpisem
∆f = div gradf = ∂
2f
∂x2 +
∂2f
∂y2 +
∂2f
∂z2.
Plat´ı tedy ∆ = ∇squaresmallsolid∇ (”skal´arn´ı souˇcin nabla oper´ator˚u“).
Samozˇrejmˇe analogick´ym zp˚usobem jako u zaveden´ı div−→F vRn m˚uˇzeme vRn zav´est nabla
oper´ator ∇ i Laplace˚uv oper´ator ∆.
Cviˇcen´ı
Pˇr´ıklad 1 Vypoˇctˇete derivaci funkce f : G → R, G ⊂ Rn v bodˇe p ∈ G podle vektoru
u ∈V(Rn), kdyˇz
a) f(x,y) = xy, p = (1,0), u = (1,1) [fprimeu(1,0) = 0]
b) f(x,y,z) = x3 +y2 +z3 −3xyz, p = (1,0,1), u =parenleftbig23, 23, 13parenrightbig [fprimeu(1,0,1) = 1]
Pˇr´ıklad 2 Zjistˇete, zda existuje parci´aln´ı derivace ∂2f∂x∂y(0,0) funkce f zadan´e pˇredpisem
f(x,y) =
braceleftbigg 2xy
x2+y2 , (x,y) negationslash= (0,0)
0, (x,y) = (0,0) [ ∂2f
∂x∂y(0,0) neexistuje.]
30 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Pˇr´ıklad 3 Vypoˇctˇete Jacobiovu matici zobrazen´ı
a) Ψ = (Ψ1,Ψ2) : R3 →R2, Ψ(x,y,z) = (x2yz,ysin(x+z))bracketleftbigg
Ψprime =
parenleftbigg 2xyz x2z x2y
ycos(x+z) sin(x+z) ycos(x+z)
parenrightbiggbracketrightbigg
b) Ψ = (Ψ1,Ψ2) : G→R3, G = {(x,y) ∈R2 : xnegationslash= 0,y negationslash= 0}, Ψ(x,y) =
parenleftBig
x
y,
y
x,xy
parenrightBig
Ψprime =
1
y −
x
y2
− yx2 1x
y x
Pˇr´ıklad 4 Vypoˇc´ıtejte divergenci vektorov´ych pol´ı −→F : R3 →V(R3):
a) −→F(x,y,z) = xyzi+ (2x+ 3y+z)j+ (x2 +y2)k [div−→F = yz + 3]
b) −→F(x,y,z) = (6x2y2 −z3 +yz−5)i+ (4x3y+xz + 2)j+ (xy−3xz2 −3)k
[div−→F = 12xy2 + 4x3 −6xz]
Pˇr´ıklad 5 Necht’ f,g : G→R, G⊂R3, vypoˇc´ıtejte
a) div(f gradf) [div(f gradf) = |gradf|2 +f ·∆f]
b) div(f gradg) [div(f gradg) = gradf squaresmallsolidgradg+f ·∆g]
Pˇr´ıklad 6 Vypoˇc´ıtejte rotaci vektorov´eho pole −→F:
a) −→F(x,y,z) = y2zi+z2xj+x2yk [rot−→F = (x2 −2xz)i+ (y2 −2xy)j+ (z2 −2yz)k]
b) −→F(x,y,z) = xyzi+ (2x+ 3y−z)j+ (x2 +y2)k
[rot−→F = (2y+ 1)i+ (xy−2x)j+ (2−xz)k]
Pˇr´ıklad 7 Dokaˇzte, ˇze pro vektorov´e pole −→F = (F1,F2,F3) plat´ı
rot
parenleftBig
rot−→F
parenrightBig
= grad
parenleftBig
div−→F
parenrightBig
−∆−→F, kde ∆−→F = ∆F1i+ ∆F2j+ ∆F3k.
Vybran´e partie z matematiky 31
2 Integr´aln´ı poˇcet funkc´ı v´ıce promˇenn´ych
2.1 Pojem n-rozmˇern´eho integr´alu v Rn
V pˇredmˇetu BMA1 jste poznali pojem Cauchyova-Riemannova integr´alu ohraniˇcen´e re´aln´e
funkce jedn´e re´aln´e promˇenn´e pˇres kompaktn´ı (tj. ohraniˇcen´y uzavˇren´y) interval v R1.
Nyn´ı tuto definici zobecn´ıme na funkce v´ıce promˇenn´ych. Nejprve budeme definovat n-
rozmˇern´y objem n-rozmˇern´eho intervalu v Rn (pro n = 1 budeme mluvit pˇrirozenˇe o
d´elce, pro n = 2 o obsahu).
Je-li I ⊂ R1 jednorozmˇern´y ohraniˇcen´y interval o krajn´ıch bodech a,b (a < b) (I m˚uˇze
b´yt otevˇren´y, uzavˇren´y ˇci polouzavˇren´y), pak jeho d´elkou (”jednorozmˇern´ym objemem“)
naz´yv´ame ˇc´ıslo
ν1(I) = b−a.
Je-li I ⊂ Rn n-rozmˇern´y ohraniˇcen´y interval, pak se d´a vyj´adˇrit jako kart´ezsk´y souˇcin n
jednorozmˇern´ych ohraniˇcen´ych interval˚u i1,...,in :
I = i1 ×i2 ×···×in.
Potom n-rozmˇern´ym objemem intervalu I naz´yv´ame ˇc´ıslo
νn(I) = ν1(i1)ν1(i2)···ν1(in).
Bude-li patrn´e, jak´e je n, budeme m´ısto νn ps´at pouze ν. Jak jsme jiˇz poznamenali v´yˇse
u dvourozmˇern´eho intervalu, mluv´ıme m´ısto o ”dvourozmˇern´em objemu“ o obsahu.
Necht’ I ⊂Rn je kompaktn´ı interval. Dˇelen´ım intervalu I nazveme koneˇcn´y soubor
D = (J1,...,Jm)
kompaktn´ıch interval˚u Ji (i = 1,...,m), kter´e se nepˇrekr´yvaj´ı (tj. ˇz´adn´e dva intervaly
Ji,Jk, inegationslash= k, nemaj´ı spoleˇcn´e vniˇrrn´ı body) a takov´ych, ˇze I =
muniontext
i=1
Ji.
Normou dˇelen´ı D nazveme nejvˇetˇs´ı z pr˚umˇer˚u interval˚u Ji (i = 1,...,m), tuto normu
oznaˇc´ıme bardblDbardbl.
Poznamenejme, ˇze pro (n-rozmˇern´y) objem ν(I) plat´ı rovnost
ν(I) = ν(J1) +···+ν(Jm).
ˇR´ık´ame, ˇze objem je aditivn´ı funkc´ı intervalu.
Pˇr´ıklad dˇelen´ı dvourozmˇern´eho intervalu je naznaˇcen na obr. 2.1
Jsou-li J,I dva kompaktn´ı intervaly v Rn, J ⊂ I, pak existuje takov´e dˇelen´ı intervalu I,
ˇze J je jedn´ım z interval˚u tohoto dˇelen´ı.
Jsou-li D = (J1,...,Jm), Dprime = (Jprime1,...,Jprimek) dvˇe dˇelen´ı intervalu I, pak ˇr´ık´ame, ˇze Dprime je
zjemnˇen´ım dˇelen´ı D, jestliˇze kaˇzd´y interval Jprimei je subintervalem nˇekter´eho intervalu Jr.
Pozn´amka. Jsou-li D1 = (J1,...,Jm), D2 = (K1,...,Ks) dvˇe dˇelen´ı intervalu I, pak
existuje dˇelen´ı D3, kter´e je zjemnˇen´ım dˇelen´ı D1 i dˇelen´ı D2. Takov´e dˇelen´ı m˚uˇzeme
32 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
a0
a0
a0
a0
a0
a0a0
bardblDbardbl
Obr´azek 2.1: Dˇelen´ı dvourozmˇern´eho intervalu a jeho norma.
sestrojit tak, ˇze utvoˇr´ıme vˇsechny moˇzn´e pr˚uniky Ji ∩Kj (i = 1,...,m;j = 1,...,s) a
z nich vezmeme vˇsechny ty, kter´e jsou opˇet n-rozmˇern´ymi intervaly (tj. maj´ı nepr´azdn´e
vnitˇrky). Tyto pak tvoˇr´ı zjemnˇen´ı obou dˇelen´ı D1, D2.
Necht’ nyn´ı re´aln´a funkce f je ohraniˇcen´a na kompaktn´ım intervalu I ⊂Rn.
Necht’ D1 = (J1,...,Jk) je dˇelen´ı intervalu I. Doln´ım souˇctem funkce f pˇr´ısluˇsn´ym
k dˇelen´ı D nazveme ˇc´ıslo
SD(f) =
ksummationdisplay
i=1
miν(Ji), kde mi = inf
p∈Ji
f(p).
Horn´ım souˇctem funkce f pˇr´ısluˇsn´ym k dˇelen´ı D nazveme ˇc´ıslo
SD(f) =
ksummationdisplay
i=1
Miν(Ji), kde Mi = sup
p∈Ji
f(p).
Kromˇe doln´ıch a horn´ıch souˇct˚u se zav´ad´ı t´eˇz Cauchyovy integr´aln´ı souˇcty funkce f
pˇr´ısluˇsn´e k dˇelen´ı D s vybran´ymi body pi ∈Ji :
SD,(pi) =
ksummationdisplay
i=1
f(pi)ν(Ji).
Zˇrejmˇe
mν(I) ≤SD(f) ≤SD,(pi)(f) ≤SD(f) ≤Mν(i),
kde m = inf
p∈I
f(p), M = sup
p∈I
f(p).
D´ale plat´ı: Je-li Dprime zjemnˇen´ım dˇelen´ı D, pak
SD(f) ≤SDprime(f) ≤SDprime(f) ≤SD(f).
Vybran´e partie z matematiky 33
Definice 2.1 Jestliˇze se supr´emum vˇsech doln´ıch souˇct˚u funkce f (pˇr´ısluˇsn´ych vˇsem
moˇzn´ym dˇelen´ım intervalu I) rovn´a infimu vˇsech horn´ıch souˇct˚u funkce f, tj. jestliˇze
sup
D
SD(f) = inf
D
SD(f), (2.1)
pak tuto spoleˇcnou hodnotu naz´yv´ame Cauchyov´ym-Riemannov´ym integr´alem funkce
f pˇres interval I ⊂Rn. Mluv´ıme pˇresnˇeji o n-rozmˇern´em integr´alu a znaˇc´ıme jej
integraldisplay
I
fdν nebo
integraldisplay
I
f(p)dp nebo
n−kr´atbracehtipdownleftbracehtipuprightbracehtipupleftbracehtipdownrightintegraldisplay
···
integraldisplay
I
f(x1,...,xn)dx1...dxn.
Mnoˇzinu I naz´yv´ame integraˇcn´ım oborem, funkci f naz´yv´ame integrandem.
Funkci f, kter´a m´a integr´al pˇres I, naz´yv´ame integrovatelnou na I.
Dvourozmˇern´y integr´al naz´yv´ame ˇcastˇeji dvojn´ym integr´alem funkce f(x,y) a znaˇc´ıme
jej
integraldisplayintegraldisplay
I
f(x,y)dxdy;
trojrozmˇern´y integr´al naz´yv´ame ˇcastˇeji trojn´ym integr´alem funkce f(x,y,z) a znaˇc´ıme
integraldisplayintegraldisplayintegraldisplay
I
f(x,y,z)dxdydz.
Ve vˇsech pˇr´ıpadech vˇsek m˚uˇzeme pouˇz´ıvat struˇcnˇejˇs´ıho oznaˇcen´ı integraltext
I
fdν.
K tomu, aby platila rovnost 2.1 je nutn´e a staˇc´ı, aby k libovoln´emu ε existovalo takov´e
dˇelen´ı D, ˇze
SD(f)−SD(f) 0 existuje koneˇcn´a posloupnost interval˚u (Jk),
kter´a pokr´yv´a mnoˇzinu N, tj.
N ⊂
uniondisplay
k
Jk,
pˇriˇcemˇz
summationdisplay
k
ν(Jk) 0.
Objem tohoto intervalu je
ν(J) = 2δ(b2 −a2)···(bn −an).
Necht’ ε> 0 je libovoln´e. Zvol´ıme-li nyn´ı δ tak, aby
δ< ε2(b
2 −a2)···(bn −an)
, pak ν(J) k.
Funkce f〈k〉 jsou nez´aporn´e a ohraniˇcen´e a plat´ı
f〈1〉 ≤f〈2〉 ≤ ··· ≤f〈k〉 ≤ ··· ≤f,
lim
k→∞
f〈k〉(p) = f(p)
pro kaˇzd´e p∈A; je-li f ohraniˇcen´a, je f〈k〉 = f od urˇcit´eho k0 poˇc´ınaje.
Jsou-li funkce f〈k〉 integrovateln´e, plat´ı
integraldisplay
A
f〈1〉dν ≤
integraldisplay
A
f〈2〉dν ≤ ··· ≤
integraldisplay
A
f〈k〉dν ≤ ··· ,
takˇze existuje limita t´eto posloupnosti. Pˇritom je
νn+1(Pk) =
integraldisplay
A
f〈k〉dν,
takˇze
νn+1(P) = lim
k→∞
integraldisplay
A
f〈k〉dν.
Chceme-li tud´ıˇz, aby platilo
νn+1(P) =
integraldisplay
A
fdν
jako v pˇr´ıpadˇe ohraniˇcen´e funkce, jev´ı se rozumn´e definovat integr´al nez´aporn´e funkce
takto:
Definice 2.7 I. Necht’ A je ohraniˇcen´a mˇeˇriteln´a mnoˇzina a f nez´aporn´a funkce defino-
van´a na A. Jsou-li funkce f〈k〉 (k = 1,2,...) integrovateln´e na A, definujeme
integraldisplay
A
fdν = lim
k→∞
integraldisplay
A
f〈k〉dν (2.9)
Vybran´e partie z matematiky 55
a ˇr´ık´ame, ˇze tento integr´al existuje.
Je-li limita v 2.9 koneˇcn´a, ˇr´ık´ame, ˇze integraltextAfdν konverguje, a funkci f naz´yv´ame inte-
grovatelnou na A. Je-li limita v 2.9 +∞, ˇr´ık´ame, ˇze integraltextAfdν diverguje (k +∞).
II. Necht’ f je funkce definovan´a na A. Pak definujemeintegraldisplay
A
fdν =
integraldisplay
A
f+dν−
integraldisplay
A
f−dν, (2.10)
existuj´ı-li integr´aly na prav´e stranˇe 2.10 a je-li aspoˇn jeden z nich koneˇcn´y (rozd´ıl uvaˇzujeme
v R∗). Jsou-li oba integr´aly koneˇcn´e, ˇr´ık´ame, ˇze integr´al integraltextAfdν konverguje, a funkci f
naz´yv´ame integrovatelnou na A. Jsou-li oba integr´aly nekoneˇcn´e nebo nˇekter´y z nich
neexistuje, ˇr´ık´ame, ˇze integraltextAfdν neexistuje.
Pozn´amka. Integr´al nez´aporn´e funkce f pˇres mnoˇzinu A existuje, pr´avˇe kdyˇz existuj´ı
integr´aly integraltextAf〈k〉dν. K tomu staˇc´ı, aby funkce f byla skoro vˇsude spojit´a v A.
Pˇr´ıklad 2.9 Zjistˇete, pro kter´a p> 0 konverguje integr´al
S =
integraldisplayintegraldisplay
A
dxdy
(x2 +y2)p, A = {(x,y) ∈R
2 : x2 +y2 ≤ 1}
Integrovan´a funkce je kladn´a a spojit´a pro (x,y) negationslash= (0,0) a tedy neohraniˇcen´a v libovoln´em
okol´ı poˇc´atku. Plat´ı tedy pro k ∈N
f〈k〉(x,y) = min{f(x,y),k} =
braceleftBigg 1
(x2+y2)p pro
1
(x2+y2)p ≤k
k pro 1(x2+y2)p >k
1
(x2 +y2)p ≤k ⇔ x
2 +y2 ≥parenleftbig1
k
parenrightbig1
p- coˇz je vnˇejˇsek kruˇznic se stˇredem v poˇc´atku
1
(x2 +y2)p >k ⇔ x
2 +y2 1
Pro p = 1 je Sk =
integraldisplay 2pi
0
[lnρ]1(1
k)
12 dϕ = 2pi
parenleftBig
−lnparenleftbig1kparenrightbig12
parenrightBig
= −2piln
radicalBig
1
k → +∞
Z´avˇer:
integraldisplayintegraldisplay
A
dxdy
(x2 +y2)p = limk→∞
integraldisplayintegraldisplay
A
f〈k〉(x,y)dxdy =
braceleftbigg pi
1−p pro p< 1
+∞ pro p≥ 1.
Uved’me nyn´ı druh´y pˇr´ıstup k v´ypoˇctu integr´alu neohraniˇcen´e funkce pˇres ohraniˇcenou
mnoˇzinu, kter´y je v´yhodn´y v pˇr´ıpadˇe nez´aporn´e neohraniˇcen´e funkce:
Necht’ X ∈Rn je bod, (Ak)∞1 posloupnost mnoˇzin z Rn s n´asleduj´ıc´ımi vlastnostmi:
1) X ∈Ak pro k = 1,2,...
2) lim
k→∞
dk = 0 (dk je pr˚umˇer mnoˇziny Ak, tj. dk = sup
(X,Y )∈Ak
ρ(X,Y).)
Pak posloupnost (Ak)∞1 nazveme zuˇzuj´ıc´ı posloupnost´ı k bodu X.
Necht’ M je mˇeˇriteln´a, ohraniˇcen´a oblast, M ⊂ Rn, X ∈ M. D´ale necht’ f : M → Rn je
neohraniˇcen´a na nˇejak´em okol´ı boduX, ale ohraniˇcen´a a integrovateln´a na kaˇzd´e mnoˇzinˇe
M\A, kdeAje mˇeˇriteln´a oblast obsahuj´ıc´ı bodX. Jestliˇze pro kaˇzdou zuˇzuj´ıc´ı posloupnost
(Ak)∞1 k bodu X mˇeˇriteln´ych mnoˇzin Ak existuje
lim
k→∞
integraldisplay
M\Ak
f(x1,...,xn)dx1...dxn = I, pak
integraldisplay
M
f(x1,...,xn)dx1...dxn = I.
Lze dok´azat, ˇze v pˇr´ıpadˇe nez´aporn´e funkce staˇc´ı vyˇsetˇrit existenci limity pro jednu
zuˇzuj´ıc´ı posloupnost.
Tedy v pˇredch´azej´ıc´ım pˇr´ıkladˇe, jelikoˇz f je na A kladn´a, staˇc´ı zvolit zuˇzuj´ıc´ı posloupnost
(Ak)∞1 k bodu (0,0) ve tvaru
Ak = {(x,y) ∈R2 : x2 +y2 < 1k},
tedy A\Ak = {(x,y) ∈R2 : 1k ≤x2 +y2 ≤ 1} a bude platit
integraldisplayintegraldisplay
A
dxdy
(x2 +y2)p = limk→∞
integraldisplayintegraldisplay
A\Ak
dxdy
(x2 +y2)p
Ovˇeˇrte si v´ypoˇctem, ˇze v´ysledek je totoˇzn´y s v´ysledkem pˇr´ıkladu 2.9.
Vybran´e partie z matematiky 57
2.10 Integr´al funkce pˇres neohraniˇcenou mˇeˇritelnou mnoˇzinu
Necht’ A ⊂ Rn je mˇeˇriteln´a mnoˇzina, kter´a nemus´ı b´yt ohraniˇcen´a, f funkce definovan´a
na A.
Nejdˇr´ıve budeme definovat integr´al pro pˇr´ıpad, ˇze f je na A nez´aporn´a. Chceme opˇet, aby
integr´al byl m´ırou podgrafu funkce f. Tentokr´at budeme podgraf ”uˇrez´avat ze stran“, aby
podstava podgrafu byla ohraniˇcen´a mnoˇzina.
Necht’ Ak = A∩ 〈−k,k〉n,mnoˇzina Ak je pro kaˇzd´e k ∈ N ohraniˇcen´a a mˇeˇriteln´a, m´a
zˇrejmˇe koneˇcnou m´ıru. Pˇritom
A1 ⊂A2 ⊂ ··· ⊂Ak ⊂..., A =
∞uniondisplay
k=1
Ak.
Existuje-li pro kaˇzd´e k ∈N integr´al integraltextA
k
fdν, plyne z nez´apornosti funkce f,ˇze
integraldisplay
A1
fdν ≤
integraldisplay
A2
fdν ≤ ··· ≤
integraldisplay
Ak
fdν ≤ ··· ;
existuje tedy limita posloupnosti tˇechto integr´al˚u.
Definice 2.8 Je-li f nez´aporn´a funkce na mˇeˇriteln´e mnoˇzinˇe A a existuj´ı-li integr´alyintegraltext
Ak fdν, kde Ak = A∩〈−k,k〉
n, (k = 1,2,...), definujeme
integraldisplay
A
fdν = lim
k→∞
integraldisplay
Ak
fdν
a ˇr´ık´ame, ˇze tento integr´al existuje.
Je-li tato limita koneˇcn´a, ˇr´ık´ame, ˇze integraltextAfdν konverguje, a funkci f naz´yv´ame integro-
vatelnou na A. Je-li limita +∞, ˇr´ık´ame, ˇze integraltextAfdν diverguje (k +∞).
Nab´yv´a-li f na mnoˇzinˇe A i z´aporn´ych hodnot, definujeme integr´al integraltextAfdν ´uplnˇe stejnˇe
jako v II. ˇc´asti definice odst. 2.9.
Pozn´amka. Integr´al nez´aporn´e funkce existuje napˇr. tehdy, je-li funkce f skoro vˇsude
spojit´a na A.
V definici integr´alu nez´aporn´e funkce jsme se omezili na speci´aln´ı mnoˇzinyAk (viz definici
m´ıry v odst. 2.8). M´ısto nich m˚uˇzeme vz´ıt mnoˇziny A∩Km, kde Km ⇒ Rn (viz odst.
2.9). To n´am umoˇzˇnuje tato vˇeta:
Vˇeta 2.9 Necht’ Km, (m = 1,2,...) jsou ohraniˇcen´e mˇeˇriteln´e mnoˇziny a Km ⇒ Rn.
Necht’ f je nez´aporn´a funkce na A. Integr´aly integraltextA
k
fdν (k = 1,2,...) existuj´ı, pr´avˇe kdyˇz
existuj´ı integr´aly integraltextA∩Km fdν (m = 1,2,...), pˇriˇcemˇz plat´ı
integraldisplay
A
fdν = lim
m→∞
integraldisplay
A∩Km
fdν.
58 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Pˇr´ıklad 2.10 Vypoˇctˇete integr´alintegraldisplayintegraldisplay
x2+y2≥1
dxdy
(x2 +y2)p ,p> 0
a zjistˇete, pro kter´a p> 0 konverguje.
Integrand je kladn´a spojit´a funkce, dan´y integr´al tedy existuje. Je tˇreba zjistit, kdy bude
m´ıt koneˇcnou hodnotu. Vzhledem k ”tvaru“ integraˇcn´ıho oboru A i k ”tvaru“ integrovan´e
funkce se nab´ız´ı moˇznost volit mnoˇzinyKm = {(x,y) ∈R2 : x2+y2 ≤m2} (m = 1,2,...).
Zˇrejmˇe Km ⇒ R2 a mnoˇziny A∩Km jsou pro m> 1 mezikruˇz´ı. Je vhodn´e zav´est pol´arn´ı
souˇradnice.integraldisplayintegraldisplay
A∩Km
dxdy
(x2 +y2)p =
integraldisplayintegraldisplay
1≤x2+y2≤m2
dxdy
(x2 +y2)p =
integraldisplay pi
−pi
parenleftbiggintegraldisplay m
1
ρ
ρ2p dρ
parenrightbigg
dϕ =
=
braceleftbigg 2pilnm pro p = 1
pi
p−1
parenleftbig1− 1
m2(p−1)
parenrightbig pro pnegationslash= 1.
Odtudintegraldisplayintegraldisplay
x2+y2≥1
dxdy
(x2 +y2)p = limm→∞
integraldisplayintegraldisplay
A∩Km
dxdy
(x2 +y2)p =
braceleftbigg pi
p−1 pro p> 1
+∞ pro p≤ 1.
Dan´y integr´al konverguje pouze pro p> 1 a m´a hodnotu pip−1.
Pˇr´ıklad 2.11 Vypoˇctˇete integr´al
S =
integraldisplayintegraldisplay
R2
e−(x2+y2)dxdy.
Integrovan´a funkce je kladn´a spojit´a funkce, dan´y integr´al tedy existuje. Pˇritom podle
definice je
S = lim
k→∞
integraldisplayintegraldisplay
〈−k,k〉×〈−k,k〉
e−(x2+y2)dxdy = lim
k→∞
parenleftbiggintegraldisplay k
−k
e−x2dx·
integraldisplay k
−k
e−y2dy
parenrightbigg
=
= lim
k→∞
parenleftbiggintegraldisplay k
−k
e−x2dx
parenrightbigg2
=
parenleftbiggintegraldisplay ∞
−∞
e−x2dx
parenrigh
Vloženo: 28.05.2009
Velikost: 2,82 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BVPA - Vybrané partie z matematiky
Reference vyučujících předmětu BVPA - Vybrané partie z matematiky
Podobné materiály
- BFSL - Finanční služby - Skripta
- BPC1 - Počítače a programování 1 - Skripta Počítače a programování
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analaogové el.obvody-lab.cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody- počítačová a laboratorní cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody-počítačová cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody
- BASS - Analýza signálů a soustav - Signály a systémy skripta
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Dskrétní signály a diskrétní systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy 2.část
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a testování el.systémů
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a zkušebnictví
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Speciální diagnostika
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnický seminář
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1 - Laboratorní a počítačová cvičení
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Technická dokumentace
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta elektrotechnika II
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2006
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2008
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta počítačové cvičení 200
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Analýza el. obvodů programem
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Elektrické filtry
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektotechnické materiály a výrobní procesy
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - lab. cvičení
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Materiály v elektrotechncie
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky - Laboratorní cvičení
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2002
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2007
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Fyzikální seminář
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Průvodce studia předmětu Fyzika 1
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta kmity
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Optika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta termofyzika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Vlny
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematický seminář
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1 Počítačová cvičení Maple
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 3
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta matematický seminář
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta Matematika I
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta Matematika II
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Matematika 3
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Sbírka Matematika 3
- BMFV - Měření fyzikálních veličin - Skripta Měření fyz.veličin - návody do lab.cvičení
- BMPS - Modelování a počítačová simulace - Skripta Modelování a počítačová simulace- Počítačová cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD Laboratorní cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část materiály v elektrotechnice
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část Technická dokumentace - počítačová a konstrukční cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část technická dokumentace
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Měření v elektrotechnice - Lab.cviceni -skripta
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Meření v elektrotechnice- návody k lab. cvič.
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - lab.cvičení II
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - laboratorní cvičení
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Skripta 2008
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Stará skripta
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - Skripta
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Blažek 1975
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Elektr.přístroje část II
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Lab.cv. Vysoké napětí
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napěti el.stroje
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napětí část I.
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta laboratoře
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - skripta
- BESO - Elektronické součástky - nová skripta
- AMA2 - Matematika 2 - skripta
- BEKE - Ekologie v elektrotechnice - Něco ze zkoušek, skripta atd..
- BRR2 - Řízení a regulace 2 - Skripta Řízení a regulace 2
- BVPM - Vybrané partie z matematiky - BVPM - skripta k předmětu
- BEPO - Etika podnikání - BEPO (XEPO) - Skripta
- BNAO - Návrh analogových integrovaných obvodů - Skripta BNAO 2010
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - BEVA 2 skripta - přednášky a sbírka úloh.zip
- BMPT - Mikroprocesorová technika - BMPT 2011 zadani PC cviceni + skripta s ucivem
- ABSN - Biosenzory - Skripta
- ALDT - Lékařská diagnostická technika - Skripta
- BMVA - Měření v elektrotechnice - Skripta BMVA
- MTOC - Theory of Communication - Teorie sdělování-skripta
- BASS - Analýza signálů a soustav - Matlab vybrané klávesové zkratky atd.
- BVPA - Vybrané partie z matematiky - Vybrané partie z matiky
- BMA1 - Matematika 1 - Scriptum matematiky
Copyright 2024 unium.cz