- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Skripta Vybrané partie z matematiky
BVPA - Vybrané partie z matematiky
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálnavz´ajem r˚uzn´e kladn´e konstanty.
Tedy u∈ 〈0,∞), v ∈ 〈0,2pi) a plat´ı
x = aucosv
y = businv (u,v) ∈M.
z = u2
Odtud x
2
a2 +
y2
b2 = u
2 cos2v+u2 sin2v = u2 = z.
Tedy z = x
2
a2 +
y2
b2 ,
coˇz je rovnice eliptick´eho paraboloidu. Je-li a = b, pak mluv´ıme o rotaˇcn´ım para-
boloidu.
Geometrick´y v´yznam zobrazen´ı f je na obr´azku 1.8.
Rovnice y = x2a2 + z2b2 je opˇet rovnice eliptick´eho paraboloidu s definuj´ıc´ımi rovnicemi
x = aucosv
y = u2 (u,v) ∈M,
z = businv
kter´y m´a osu nikoliv v ose z, ale v ose y, viz obr´azek 1.9.
Podobnˇe i x = y2a2 + z2b2 je rovnice eliptick´eho paraboloidu s osou v ose x.
16 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
v
u
2p
M
f
z
y
x
1 ba
Obr´azek 1.8: Eliptick´y paraboloid
x
y
z
b
a
1
Obr´azek 1.9: Eliptick´y paraboloid s osou v ose y
Pˇr´ıklad 1.5 Necht’ M ⊂R2, f = (f1,f2,f3) : M →R3, M = (−∞,∞)×〈0,2pi),
f(u,v) = (aucosv,businv,u),
kde a,b jsou obecnˇe navz´ajem r˚uzn´e kladn´e konstanty.
Tedy u∈ (−∞,∞), v ∈ 〈0,2pi) a plat´ı
x = aucosv
y = businv (u,v) ∈M.
z = u
Odtud x
2
a2 +
y2
b2 = u
2 cos2v+u2 sin2v = u2 = z2.
Tedy z2 = x
2
a2 +
y2
b2 ,
Vybran´e partie z matematiky 17
v
u
2p
M
f
x
z
y
1a b
Obr´azek 1.10: Eliptick´a kuˇzelov´a plocha
coˇz je implicitn´ı rovnice eliptick´eho kuˇzelov´e plochy. Je-lia = b, pak jedn´a se o rotaˇcn´ı
kuˇzelovou plochu.
Geometrick´y v´yznam zobrazen´ı f je na obr´azku 1.10.
Rovnice z =
radicalBig
x2
a2 +
z2
b2 , resp. z = −
radicalBig
x2
a2 +
z2
b2 , je rovnic´ı ”horn´ı“, resp. ”doln´ı“ kuˇzelov´e
plochy.
Podobnˇe x2 = y2a2 + z2b2 , resp. y2 = x2a2 + z2b2 , je rovnice kuˇzelov´e plochy s osou v ose x, resp.
v ose y.
Pˇr´ıklad 1.6 Necht’ M ⊂R2, f = (f1,f2,f3) : M →R3, M = 〈0,2pi)×(−∞,∞),
f(u,v) = (acosu,bsinu,v),
kde a,b jsou obecnˇe navz´ajem r˚uzn´e kladn´e konstanty.
Tedy u∈ 〈0,2pi), v ∈ (−∞,∞) a plat´ı
x = acosu
y = bsinu (u,v) ∈M.
z = v
Odtud x
2
a2 +
y2
b2 = cos
2u+ sin2u = 1.
Tedy x
2
a2 +
y2
b2 = 1,
coˇz je implicitn´ı rovnice eliptick´e v´alcov´e plochy, z ∈ (−∞,∞), s osou v ose z. Je-li
a = b, jedn´a se o rotaˇcn´ı v´alcovou plochu, tj x2 +y2 = R2.
Geometrick´y v´yznam zobrazen´ı f je na obr´azku 1.11.
Podobnˇe i x2a2 + z2b2 = 1, resp. y2a2 + z2b2 = 1, jsou eliptick´e v´alcov´e plochy s osami v ose y,
resp. v ose x.
18 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
v
u2p
M f
x
y
z
ba
Obr´azek 1.11: Eliptick´a v´alcov´a plocha
Analogicky x2 +z2 = R2, resp. y2 +z2 = R2, jsou rotaˇcn´ı v´alcov´e plochy s osami v ose y,
resp. v ose x.
Odtud plyne, ˇze rovnice kuˇzeloseˇcek v rovinˇe jsou v prostoru rovnicemi v´alcov´ych ploch.
V pˇr´ıpadˇe rovnice paraboly, resp. hyperboly, mluv´ıme o parabolick´e v´alcov´e ploˇse (viz
obr´azky 1.12 a 1.13), resp. hyperbolick´e v´alcov´e ploˇse.
z
y
x x
z
y
Obr´azek 1.12: Parabolick´a v´alcov´a
plocha y = x2
Obr´azek 1.13: Parabolick´a v´alcov´a
plocha y2 = x
Na parabolickou v´alcovou plochuy = x2 se m˚uˇzeme d´ıvat jako na zobrazen´ı f = (f1,f2,f3) :
M →R3, kde M = (−∞,∞)×(−∞,∞), f(u,v) = (u,u2,v), tj.
x = u
y = u2 (u,v) ∈M,
z = v
Vybran´e partie z matematiky 19
podobnˇe y2 = x lze reprezentovat zobrazen´ım f = (f1,f2,f3) : M → R3, kde M =
(−∞,∞)×(−∞,∞), f(u,v) = (u2,u,v), tj.
x = u2
y = u (u,v) ∈M.
z = v
Uvaˇzujme nyn´ı zobrazen´ıvectorf : A→V(Rm).
V tomto pˇr´ıpadˇe sloˇzky vektorov´e funkce vectorf urˇcuj´ı v kaˇzd´em bodˇe p souˇradnice vektoru
vectorf(p) ∈V(Rm). Oznaˇc´ıme-li tyto sloˇzky opˇet napˇr. f1,...,fm, p´ıˇseme
vectorf = [f1,...,fm].
Je tedyvectorf(p) vektor o souˇradnic´ıch f1(p),...,fm(p) (rozum´ı se ve standarn´ı b´azi prostoru
V(Rm)).
Vektorovou funkc´ı v Rn budeme rozumˇet zobrazen´ıvectorf : A → V(Rm), A ⊂ Rn. Speci´alnˇe
pro A⊂R, tedy n = 1, hovoˇr´ıme o vektorov´e funkci skal´arn´ıho argumentu.
Zcela analogicky jako u zobrazen´ı m˚uˇzeme vektorovou funkci vyj´adˇrit pomoc´ı souˇradnic
v n´asleduj´ıc´ım tvaru:
Je-li p ∈ A, pak vectorf(p) = f1(p)e1 +f2(p)e2 + ··· +fm(p)em, kde e1,...,em je standardn´ı
b´aze v V(Rm).
Poznamenejme, ˇze funkce jedn´e nebo v´ıce promˇenn´ych tj. f : A → R, A ⊂ Rn, n ≥ 1,
budeme naz´yvat skal´arn´ımi funkcemi.
Zejm´ena ve fyzik´aln´ıch aplikac´ıch budeme v pˇr´ıpadˇe vektorov´e funkce vectorf : A → V(Rn),
A⊂Rn, hovoˇrit ovektorov´em polivectorf a analogicky v pˇr´ıpadˇe skal´arn´ı funkce oskal´arn´ım
poli.
Pˇr´ıklad 1.7 Zvol´ıme-li v R3 kart´ezskou soustavu souˇradnic tak, aby hmotn´y bod o hmot-
nosti M leˇzel v jej´ım poˇc´atku O, je intenzita gravitaˇcn´ıho pole vytvoˇren´eho t´ımto hmotn´ym
bodem
−→E = −κ M
|r|3 r,
kde r je r´adiusvektor libovoln´eho bodu pnegationslash= O. Toto pole m˚uˇzeme t´eˇz vyj´adˇrit vzorcem
−→E = −κ M
|p−O|3 (p−O), p∈R
3, pnegationslash= O.
Vektor −→E = −→E(p) je vektor intenzity gravitaˇcn´ıho pole v bodˇe p.
V kart´ezsk´e soustavˇe (O;e1,e2,e3) vyj´adˇr´ıme pole −→E pomoc´ı souˇradnic n´asledovnˇe:
−→E = −κ M
(x2 +y2 +z2)3/2 (xe1 +ye2 +ze3),
kde p = (x,y,z) negationslash= (0,0,0), nebo t´eˇz
−→E =parenleftbigg −κMx
(x2 +y2 +z2)3/2 ,
−κMy
(x2 +y2 +z2)3/2 ,
−κMz
(x2 +y2 +z2)3/2
parenrightbigg
.
20 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Vektorov´e polevectorf : A→V(Rn), A⊂ Rn pro n = 2,n = 3 zn´azorˇnujeme tak, ˇze v kaˇzd´em
bodˇe p∈A zobraz´ıme vektorvectorf(p) jako orientovanou ´useˇcku (ˇsipku) s poˇc´ateˇcn´ım bodem
p a koncov´ym bodem p+vectorf(p), viz obr´azek 1.14.
y
x
y
x
V( )
A
p+ (p)
p
p
f
f
RR 22
fi
fi
Obr´azek 1.14: Vektorov´e pole
1.3 Derivace ve smˇeru, parci´aln´ı derivace
V tomto odstavci si pˇripomeneme pojem smˇerov´e a parci´aln´ı derivace, zaveden´y jiˇz v kurzu
BMA1, avˇsak z pohledu line´arn´ı algebry, zejm´ena line´arn´ıch forem, kter´e n´am umoˇzn´ı
logickou ”v´ystavbu“ v´yˇse uveden´ych pojm˚u vˇcetnˇe n´azorn´ych odliˇsnost´ı derivace funkc´ı
jedn´e promˇenn´e a derivace funkc´ı v´ıce promˇenn´ych.
Definice 1.2 Necht’ f : G → R, G ⊂ Rk a necht’ p ∈ G je vnitˇrn´ı bod mnoˇziny G,
a ∈V(Rk). Existuje-li koneˇcn´a limita
lim
h→0
f(p+ha)−f(p)
h ,
naz´yv´ame ji derivac´ı funkce f v bodˇe p ∈ G podle vektoru a ∈ V(Rk) a znaˇc´ıme
fprimea(p). Je-li vektor a jednotkov´y, hovoˇr´ıme o smˇerov´e derivaci.
Smˇerov´e derivace fprimee1,fprimee2,...,fprimeek, kde e1,e2,...,ek jsou vektory standardn´ı b´aze (tj.
e1 = (1,0,...,0), e2 = (0,1,0,...,0),..., ek = (0,...,0,1) ), naz´yv´ame parci´aln´ımi
derivacemi funkce f. Smˇerovou derivaci fprimeej, (j = 1,...,k) naz´yv´ame parci´aln´ı derivac´ı
1. ˇr´adu vzhledem k j-t´e souˇradnici (k j-t´e promˇenn´e) a znaˇc´ıme ∂f∂xj . V pˇr´ıpadˇe k = 2,
respektive k = 3, budeme znaˇcit promˇenn´e x,y, respektive x,y,z a parci´aln´ı derivace ∂f∂x,
∂f
∂y , respektive
∂f
∂x,
∂f
∂y,
∂f
∂z .
Pˇredpokl´adejme nyn´ı, ˇze v bodˇe p ∈ G existuje smˇerov´a derivace fprimea(p) ∀a ∈ V(Rk) a ˇze
zobrazen´ı F : a mapsto→fprimea(p) je line´arn´ı formou vektoru a, tedy:
1) F(c·a) = c·F(a), tj. fprimec·a(p) = c·fprimea(p), pro libovoln´e c∈R, a ∈V(Rk).
Vybran´e partie z matematiky 21
2) F(a+b) = F(a) +F(b), tj. fprimea+b(p) = fprimea(p) +fprimeb(p), pro libovoln´e a,b ∈V(Rk).
Je zˇrejm´e,ˇze existuje-lifprimea(p), pak existuje ifprimec·a(p),c∈Ra plat´ıfprimec·a(p) = c·fprimea(p). Naproti
tomu, z existence smˇerov´ych derivac´ı fprimea(p),fprimeb(p) obecnˇe neplyne existence fprimea+b(p) a
v pˇr´ıpadˇe, ˇze fprimea+b(p), existuje, nemus´ı platit
fprimea(p) +fprimeb(p) = fprimea+b(p). (1.7)
Pˇr´ıklad 1.8 Necht’ p = (0,0),a = (1,0),b = (0,1). Uvaˇzujme funkci
f(x,y) =
braceleftbigg xy
x2+y2 , (x,y) negationslash= (0,0)
0, (x,y) = (0,0).
Pak fprimea(p) = lim
h→0
f ((0,0) +h·(1,0))−f(0,0)
h = limh→0
f(h,0)−f(0,0)
h = limh→0
0
h = 0.
Podobnˇe fprimeb(p) = lim
h→0
f ((0,0) +h·(0,1))−f(0,0)
h = limh→0
f(0,h)
h = 0.
fprimea+b(p) = lim
h→0
f ((0,0) +h·((1,0) + (0,1)))−f(0,0)
h = limh→0
f(h,h)
h = limh→0
h2
h2+h2
h =
= lim
h→0
1
h =
braceleftbigg ∞, h→ 0+
−∞, h→ 0−
Limita a tedy fprimea+b(p) v bodˇe p neexistuje.
Pˇr´ıklad 1.9 Necht’ p = (0,0),a = (1,0),b = (0,1). Uvaˇzujme funkci
f(x,y) =
braceleftbigg xy(x+y)
x2+y2 , (x,y) negationslash= (0,0)
0, (x,y) = (0,0).
fprimea(p) = lim
h→0
f ((0,0) +h·(1,0))−f(0,0)
h = limh→0
f(h,0)−f(0,0)
h = limh→0
0
h = 0.
fprimeb(p) = lim
h→0
f ((0,0) +h·(0,1))−f(0,0)
h = limh→0
f(0,h)
h = limh→0
0
h = 0.
fprimea+b(p) = lim
h→0
f ((0,0) +h·((1,0) + (0,1)))−f(0,0)
h = limh→0
f(h,h)
h =
= lim
h→0
h2 (h+h)
h2+h2
h = limh→01 = 1.
Tedy fprimea+b(p) = 1 negationslash= 0 = fprimea(p) +fprimeb(p).
22 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Jestliˇze vˇsak fprimea existuje v jist´em okol´ı U(p) bodu p a je v bodˇe p spojit´a a existuje-li
fprimeb(p), pak existuje i fprimea+b(p), pˇriˇcemˇz
fprimea+b(p) = fprimea(p) +fprimeb(p).
Necht’ nyn´ı a = a1e1 +···+akek, pak F(a) = a1F(e1)+···+akF(ek), tj. fprimea(p) = F(a) =
asquaresmallsolidw, kde w = (F(e1),...,F(ek)) = (fprimee1(p),...,fprimeek(p)) =
parenleftBig
∂f
∂x1(p),...,
∂f
∂xk(p)
parenrightBig
Vektor w =
parenleftBig
∂f
∂x1(p),...,
∂f
∂xk(p)
parenrightBig
naz´yv´ame derivac´ı funkce f v bodˇe p nebo tak´e gra-
dientem funkce f v bodˇe p a znaˇc´ıme fprime(p) nebo gradf(p).
Funkce f m´a v bodˇe p gradient, pr´avˇe kdyˇz funkce F : a mapsto→ fprimea(p) je line´arn´ı formou a
plat´ı
fprimea(p) = asquaresmallsolidgradf(p).
Z existence gradientu funkce f v bodˇe p, tedy vˇsech parci´aln´ıch derivac´ı v bodˇe p, obecnˇe
neplyne spojitost funkcef v bodˇep, coˇz je podstatn´y rozd´ıl oproti funkci jedn´e promˇenn´e,
kde z existence derivace v libovoln´em bodˇe x0 ∈R plynula spojitost funkce f v bodˇe x0.
Pˇr´ıklad 1.10 Uvaˇzujme funkci
f(x,y) =
braceleftbigg xy
x2+y2 , (x,y) negationslash= (0,0)
0, (x,y) = (0,0).
Plat´ı ∂f(0,0)∂x = fprimee1(0,0) = lim
h→0
f ((0,0) +h·(1,0))−f(0,0)
h = limh→0
f(h,0)
h = 0,
podobnˇe ∂f(0,0)∂y = fprimee2(0,0) = lim
h→0
f ((0,0) +h·(0,1))−f(0,0)
h = limh→0
f(0,h)
h = 0.
Tedy parci´aln´ı derivace v bodˇe (0,0) existuj´ı a plat´ı gradf(0,0) = (0,0).
Nyn´ı vyˇsetˇr´ıme spojitost funkce f v bodˇe (0,0), uk´aˇzeme, ˇze f v poˇc´atku nen´ı spojit´a.
K tomu staˇc´ı uk´azat, ˇze nˇekter´e jej´ı z´uˇzen´ı (restrikce) na mnoˇzinu obsahuj´ıc´ı poˇc´atek
nen´ı v poˇc´atku spojit´a.
Necht’ h je z´uˇzen´ı funkce f na mnoˇzinu
M = {(x,y) ∈R2 : y = kx, k negationslash= 0},
coˇz je svazek pˇr´ımek proch´azej´ıc´ıch poˇc´atkem (h = f|M).
Tedy h(x) = f(x,kx) =
braceleftBigg
kx2
x2(1+k2) =
k
1+k2 , xnegationslash= 0
0, x = 0.
Vid´ıme, ˇze limita z´uˇzen´ı h(x) pro x → 0 z´avis´ı na konstantˇe k, tedy napˇr´ıklad pro k =
1,k = 2, tedy pˇr´ımky y = x,y = 2x, dost´av´ame dva r˚uzn´e v´ysledky:
k = 1 : limx→0h(x) = 12
k = 2 : limx→0h(x) = 25
Odtud plyne, ˇze limita funkcef v poˇc´atku neexistuje, tedyf nen´ı v poˇc´atku spojit´a, pˇriˇcemˇz
parci´aln´ı derivace v poˇc´atku existuj´ı.
Vybran´e partie z matematiky 23
Tedy existence parci´aln´ıch derivac´ı funkce f v bodˇe p je pomˇernˇe slab´ym pˇredpokladem
o chov´an´ı funkce v bodˇe p. Je patrn´e, ˇze samotn´a existence parci´aln´ıch derivac´ı ve smyslu
v´yˇse uveden´e definice nen´ı vhodn´ym zobecnˇen´ım pojmu diferencovatelnosti funkce jedn´e
promˇenn´e na pˇr´ıpad funkce v´ıce promˇenn´ych.
Jedin´ym vhodn´ym zobecnˇen´ım je pojem diferencovatelnosti, tak jak jej nyn´ı budeme
definovat:
ˇRekneme, ˇze funkce f : G → R definovan´a v otevˇren´e mnoˇzine G ⊂ Rk je diferencova-
teln´a (m´a diferenci´al) v bodˇe p∈G, existuje-li gradf(p) a plat´ı-li
lima→o f(p+a)−f(p)−gradf(p)squaresmallsolida|a| = 0.
Line´arn´ı formu
F(a) = fprimea(p) = gradf(p)squaresmallsolida
nazveme diferenci´alem (tot´aln´ım diferenci´alem) funkce f v bodˇe p a znaˇc´ıme df(p,a).
Plat´ı tedy
df(p,a) = gradf(p)squaresmallsolida
Je-li p = (x1,...,xk), a = (a1,...,ak), pak
df(p,a) =
parenleftbigg∂f
∂x1(p),
∂f
∂x2(p), ...,
∂f
∂xk(p)
parenrightbigg
squaresmallsolid(a1,...,ak) =
= ∂f∂x
1
(p)·a1 + ∂f∂x
2
(p)·a2 +···+ ∂f∂x
k
(p)·ak
nebo v tradiˇcn´ım tvaru
df(p,a) = ∂f∂x
1
(p)·dx1 + ∂f∂x
2
(p)·dx2 +···+ ∂f∂x
k
(p)·dxk.
Pˇr´ıklad 1.11 Vypoˇctˇete diferenci´al funkcef(x,y) = lnradicalbigx2 +y2 v bodˇep = (x,y) negationslash= (0,0).
Plat´ı ∂f∂x(p) = xx2 +y2 , ∂f∂y = yx2 +y2 .
Tedy df(p,a) = ∂f∂x(p)·dx+ ∂f∂y(p)·dy = xx2 +y2 dx+ yx2 +y2 dy.
Velice d˚uleˇzit´a vlastnost diferencovateln´ych funkc´ı je, ˇze je-li funkce f diferencovateln´a
v bodˇe p∈G⊂Rk, pak je jiˇz v bodˇe p spojit´a.
ˇRekneme, ˇze funkce f je diferencovateln´a na otevˇren´e mnoˇzinˇe G⊂Rk, je-li diferencova-
teln´a v kaˇzd´em bodˇe p∈G.
ˇRekneme, ˇze funkce f je tˇr´ıdy C1 na otevˇren´e mnoˇzinˇe G⊂Rk, existuje-li na G gradient
funkce f a je spojit´y, p´ıˇseme f ∈C1(G).
Plat´ı: f ∈C1(G) ⇒ f je diferencovateln´a na G ⇒ f je spojit´a na G.
24 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Uvaˇzujme nyn´ı funkcif : G→R,G⊂Rk, kter´a m´a v nˇejak´em okol´ı bodup∈Gsmˇerovou
derivaci fprimea. Pak existuje v bodˇe p smˇerov´a derivace (fprimea)primeb(p) funkce fprimea ve smˇeru vektoru
b, kterou nazveme smˇerovou derivac´ı druh´eho ˇr´adu v bodˇe p ve smˇeru vektor˚u a, b a
znaˇc´ıme fprimeprimea,b(p).
Obecnˇe indukc´ı definujeme smˇerovou derivace n-t´eho ˇr´adu:
f(n)u1,u2,...,un =parenleftbigf(n−1)u1,u2,...,un−1parenrightbigprimeu
n
Smˇerov´e derivace n-t´eho ˇr´adu ve smˇeru vektor˚u standardn´ı b´aze e1,e2,...,ek tj. smˇerov´e
derivace
f(n)ej
1,...,ejn
,
kde (j1,j2,...,jn) je libovoln´a permutace s opakov´an´ım mnoˇziny index˚u (1,2,...,n),
naz´yv´ame parci´aln´ımi derivacemi n-t´eho ˇr´adu funkce f a budeme znaˇcit
∂nf
∂xjn ···∂xj1 .
Necht’ f : G → R, G ⊂ Rk je funkce, kter´a m´a parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu ∂2f∂xi∂xj,
kde i negationslash= j, i,j ∈ {1,2,...,k}, pak pˇr´ısluˇsn´e derivace ∂2f∂xi∂xj naz´yv´ame sm´ıˇsen´ymi
parci´aln´ımi derivacemi druh´ehoˇr´adu. Existuj´ı-li sm´ıˇsen´e parci´aln´ı derivace ∂2f∂xi∂xj(p),
∂2f
∂xj∂xi(p), nemus´ı platit rovnost
∂2f
∂xi∂xj(p) =
∂2f
∂xj∂xi(p)
Pˇr´ıklad 1.12 Uvaˇzujme funkci
f(x,y) =
braceleftBigg
xy x2−y2x2+y2 , (x,y) negationslash= (0,0)
0, (x,y) = (0,0).
V libovoln´em bodˇe r˚uzn´em od poˇc´atku plat´ı
∂f
∂x = y·
parenleftbiggx2 −y2
x2 +y2 +
4x2y2
(x2 +y2)2
parenrightbigg
, ∂f∂y = x·
parenleftbiggx2 −y2
x2 +y2 −
4x2y2
(x2 +y2)2
parenrightbigg
.
V poˇc´atku pak plat´ı
∂f
∂x(0,0) = limh→0
f((0,0) +h·(1,0))−f(0,0)
h = limh→0
f(h,0)
h = limh→0
0
h = 0,
podobnˇe ∂f∂y(0,0) = 0.
Nyn´ı spoˇcteme sm´ıˇsen´e parci´aln´ı derivace v poˇc´atku:
∂2f
∂x∂y = limh→0
∂f
∂x((0,0) +h·(0,1))−
∂f
∂x(0,0)
h = limh→0
∂f
∂x(0,h)
h = limh→0
−h
h = −1
∂2f
∂y∂x = limh→0
∂f
∂y((0,0) +h·(1,0))−
∂f
∂y(0,0)
h = limh→0
∂f
∂y(h,0)
h = limh→0
h
h = 1.
Tedy sm´ıˇsen´e derivace se v poˇc´atku nerovnaj´ı.
Vybran´e partie z matematiky 25
Existuj´ı-li vˇsak sm´ıˇsen´e derivace ∂2f∂xi∂xj(p) , ∂2f∂xj∂xi(p), i negationslash= j, i,j ∈ {1,2,...,k}, a jsou
spojit´e na G, pak plat´ı
∂2f
∂xi∂xj(p) =
∂2f
∂xj∂xi(p).
ˇRekneme, ˇze funkce f je tˇr´ıdy Cn na otevˇren´e mnoˇzinˇe G ⊂ Rk, m´a-li f na G spojit´e
parci´aln´ı derivace n-t´eho ˇr´adu, p´ıˇseme f ∈Cn(G).
Definice 1.3 Necht’ Ψ = (Ψ1,...,Ψn) : G→Rn, G⊂Rk, pak vektor
Ψprimeu(p) = lim
h→0
Ψ(p+h·u)−Ψ(p)
h
nazveme smˇerovou derivac´ı zobrazen´ı v bodˇe p ∈ G ve smˇeru vektoru u ∈ V(Rk),
(|u| = 1).
Smˇerov´e derivaceΨprimeej(p) naz´yv´ame parci´aln´ımi derivacemi zobrazen´ıΨpodle j-t´e promˇenn´e.
Plat´ı, ˇze derivace Ψprimeu(p) existuje pr´avˇe tehdy, kdyˇz existuj´ı derivace vˇsech souˇradnic
v bodˇe p ve smˇeru u, tj.
Ψprimeu(p) = ((Ψ1)primeu(p),...,(Ψn)primeu(p))
Prostˇrednictv´ım souˇradnic zobrazen´ı lze analogicky zav´est pojem diferencovatelnosti zob-
razen´ı.
Uvaˇzujme nyn´ı zobrazen´ı Ψ : G→Rn diferencovateln´e na otevˇren´e mnoˇzinˇe G⊂Rk, pak
pro kaˇzd´e u = (u1,...,uk) ∈V(Rk) plat´ı:
Ψprimeu = ((Ψ1)primeu,...,(Ψn)primeu) = (gradΨ1 squaresmallsolidu ,...,gradΨn squaresmallsolidu) =
=
parenleftbiggparenleftbigg∂Ψ
1
∂x1 ,...,
∂Ψ1
∂xk
parenrightbigg
squaresmallsolid(u1,...,uk) ,...,
parenleftbigg∂Ψ
n
∂x1 ,...,
∂Ψn
∂xk
parenrightbigg
squaresmallsolid(u1,...,uk)
parenrightbigg
=
=
parenleftBigg ksummationdisplay
i=1
∂Ψ1
∂xi ·ui ,...,
ksummationdisplay
i=1
∂Ψn
∂xi ·ui
parenrightBigg
=
∂Ψ1
∂x1
∂Ψ1
∂x2 ···
∂Ψ1
∂xk
∂Ψ2
∂x1
∂Ψ2
∂x2 ···
∂Ψ2
∂xk.
.. ... ...
∂Ψn
∂x1
∂Ψn
∂x2 ···
∂Ψn
∂xk
squaresmallsolid
u1
u2
...
uk
=
= Ψprime squaresmallsolidu.
Matici Ψprime naz´yv´ame Jacobiovou matic´ı nebo derivac´ı zobrazen´ı Ψ na G. Je-li k = n,
pak determinant Jacobiovy matice naz´yv´ame jakobi´anem zobrazen´ı Ψ a znaˇc´ıme DΨ
Uveden´e pojmy budou hr´at d˚uleˇzitou roli pˇri formulov´an´ı vˇety o substituci v n-rozmˇern´em
integr´alu.
Pˇr´ıklad 1.13 Necht’ Ψ = (Ψ1,Ψ2,Ψ3) : R3 →R3,
Ψ(x,y,z) = (xyz,x2 +y2,x+z).
26 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
V naˇsem pˇr´ıpadˇe
Ψ1(x,y,z) = xyz
Ψ2(x,y,z) = x2 +y2
Ψ3(x,y,z) = x+z,
tj. Jacobiova matice m´a tvar
Ψprime =
∂Ψ1
∂x
∂Ψ1
∂y
∂Ψ1
∂z
∂Ψ2
∂x
∂Ψ2
∂y
∂Ψ2
∂z
∂Ψ3
∂x
∂Ψ3
∂y
∂Ψ3
∂z
=
yz xz xy
2x 2y 0
1 0 1
.
Jacobi´an DΨ je pak tvaru
DΨ =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
yz xz xy
2x 2y 0
1 0 1
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle= 2y2z−2y2x−2x2z.
1.4 Vektorov´a anal´yza
Uvaˇzujme nyn´ı otevˇrenou mnoˇzinu G ⊂ R3 a funkci f : G → R, f ∈ C1(G). Oznaˇc´ıme-li
i, j, k vektory standardn´ı b´aze prostoru V(R3), pak plat´ı pro bod p∈G
gradf(p) =
parenleftbigg∂f
∂x(p),
∂f
∂y(p),
∂f
∂z(p)
parenrightbigg
= ∂f∂x ·i+ ∂f∂y ·j+ ∂f∂z ·k.
Jestliˇze f : G → R je skal´arn´ı pole tˇr´ıdy C1 na G, pak zobrazen´ı gradf : G → V(R3) je
vektorov´e pole definovan´e na G.
Necht’ f,g : G→R, f,g ∈C1(G), α∈R, pak plat´ı:
1) grad(f +g) = gradf + gradg
2) grad(α·f) = α·gradf
3) grad(f ·g) = f ·gradg+g·gradf
Definice 1.4 Necht’ G ⊂ R3 je otevˇren´a mnoˇzina, −→F = (F1,F2,F3) : G → V(R3) vekto-
rov´e pole, −→F ∈C1(G). Divergenc´ı pole −→F naz´yv´ame funkci div−→F : G→R definovanou
pˇredpisem
div−→F = ∂F1∂x + ∂F2∂y + ∂F3∂z
Necht’ −→F,−→H : G → V(R3) jsou vektorov´a pole tˇr´ıdy C1 na G, α ∈ R, f : G → R funkce
tˇr´ıdy C1 na G, pak plat´ı:
1) div(−→F +−→H) = div−→F + div−→H
Vybran´e partie z matematiky 27
2) div(α·−→F) = α·div−→F
3) div(f ·−→F) = f ·div−→F +−→F squaresmallsolidgradf
Ukaˇzme si napˇr´ıklad platnost identity 3). Oznaˇcme L, resp. P, levou, resp. pravou stranu
identity. Pak f ·−→F = (f ·F1,f ·F2,f ·F3) a plat´ı
L = div(f ·−→F) = div(f ·F1,f ·F2,f ·F3) = ∂(f ·F1)∂x + ∂(f ·F2)∂y + ∂(f ·F3)∂z =
= ∂f∂x ·F1 +f · ∂F1∂x + ∂f∂y ·F2 +f · ∂F2∂y + ∂f∂z ·F3 +f · ∂F3∂z =
= f ·
parenleftbigg∂F
1
∂x +
∂F2
∂y +
∂F3
∂z
parenrightbigg
+
parenleftbigg∂f
∂x +
∂f
∂y +
∂f
∂z
parenrightbigg
squaresmallsolid(F1,F2,F3) =
= f ·div−→F + gradf squaresmallsolid−→F = P.
Identita je dok´az´ana.
Divergenci vektorov´eho pole lze definovat obecnˇe v Rn:
Necht’ −→F = (F1,...,Fn) : G → V(Rn), G ⊂ Rn, je vektorov´e pole tˇr´ıdy C1 na G, pak
definujeme
div−→F = ∂F1∂x
1
+ ∂F2∂x
2
+···+ ∂Fn∂x
n
.
Definice 1.5 Necht’ −→F = (F1,F2,F3) : G → V(R3), G ⊂ R3, je vektorov´e pole tˇr´ıdy C1
na otevˇren´e mnoˇzinˇe G. Rotac´ı vektorov´eho pole −→F naz´yv´ame vektorov´e pole definovan´e
pˇredpisem
rot−→F =
parenleftbigg∂F
3
∂y −
∂
Vloženo: 28.05.2009
Velikost: 2,82 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BVPA - Vybrané partie z matematiky
Reference vyučujících předmětu BVPA - Vybrané partie z matematiky
Podobné materiály
- BFSL - Finanční služby - Skripta
- BPC1 - Počítače a programování 1 - Skripta Počítače a programování
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analaogové el.obvody-lab.cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody- počítačová a laboratorní cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody-počítačová cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody
- BASS - Analýza signálů a soustav - Signály a systémy skripta
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Dskrétní signály a diskrétní systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy 2.část
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a testování el.systémů
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a zkušebnictví
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Speciální diagnostika
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnický seminář
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1 - Laboratorní a počítačová cvičení
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Technická dokumentace
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta elektrotechnika II
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2006
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2008
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta počítačové cvičení 200
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Analýza el. obvodů programem
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Elektrické filtry
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektotechnické materiály a výrobní procesy
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - lab. cvičení
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Materiály v elektrotechncie
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky - Laboratorní cvičení
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2002
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2007
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Fyzikální seminář
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Průvodce studia předmětu Fyzika 1
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta kmity
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Optika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta termofyzika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Vlny
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematický seminář
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1 Počítačová cvičení Maple
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 3
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta matematický seminář
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta Matematika I
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta Matematika II
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Matematika 3
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Sbírka Matematika 3
- BMFV - Měření fyzikálních veličin - Skripta Měření fyz.veličin - návody do lab.cvičení
- BMPS - Modelování a počítačová simulace - Skripta Modelování a počítačová simulace- Počítačová cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD Laboratorní cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část materiály v elektrotechnice
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část Technická dokumentace - počítačová a konstrukční cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část technická dokumentace
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Měření v elektrotechnice - Lab.cviceni -skripta
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Meření v elektrotechnice- návody k lab. cvič.
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - lab.cvičení II
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - laboratorní cvičení
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Skripta 2008
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Stará skripta
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - Skripta
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Blažek 1975
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Elektr.přístroje část II
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Lab.cv. Vysoké napětí
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napěti el.stroje
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napětí část I.
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta laboratoře
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - skripta
- BESO - Elektronické součástky - nová skripta
- AMA2 - Matematika 2 - skripta
- BEKE - Ekologie v elektrotechnice - Něco ze zkoušek, skripta atd..
- BRR2 - Řízení a regulace 2 - Skripta Řízení a regulace 2
- BVPM - Vybrané partie z matematiky - BVPM - skripta k předmětu
- BEPO - Etika podnikání - BEPO (XEPO) - Skripta
- BNAO - Návrh analogových integrovaných obvodů - Skripta BNAO 2010
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - BEVA 2 skripta - přednášky a sbírka úloh.zip
- BMPT - Mikroprocesorová technika - BMPT 2011 zadani PC cviceni + skripta s ucivem
- ABSN - Biosenzory - Skripta
- ALDT - Lékařská diagnostická technika - Skripta
- BMVA - Měření v elektrotechnice - Skripta BMVA
- MTOC - Theory of Communication - Teorie sdělování-skripta
- BASS - Analýza signálů a soustav - Matlab vybrané klávesové zkratky atd.
- BVPA - Vybrané partie z matematiky - Vybrané partie z matiky
- BMA1 - Matematika 1 - Scriptum matematiky
Copyright 2023 unium.cz. Abychom mohli web rozvíjet a dále vylepšovat podle preferencí uživatelů, shromažďujeme statistiky o návštěvnosti, a to pomocí Google Analytics a Netmonitor. Tyto systémy pro unium.cz zaznamenávají, které stránky uživatel na webové stránce navštívil, odkud se na stránku dostal, kam z ní odešel, jaké používá zařízení, operační systém či prohlížeč, či jaký má preferenční jazyk. Statistiky jsou anonymní, takže unium.cz nezná identitu návštěvníka a spravuje cookies tak, že neumožňuje identifikovat konkrétní osoby. Používáním webu vyjadřujete souhlas použitím cookies a následujících služeb: