- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Skripta Vybrané partie z matematiky
BVPA - Vybrané partie z matematiky
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálVybran´e partie z matematiky
Doc. RNDr. Zdenˇek ˇSmarda, CSc.
Mgr. Irena R˚uˇziˇckov´a
´USTAV MATEMATIKY
Vybran´e partie z matematiky 1
Obsah
1 Nˇekter´e pojmy z diferenci´aln´ıho poˇctu funkce v´ıce promˇenn´ych 5
1.1 Metrika, metrick´e prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Zobrazen´ı euklidovsk´ych prostor˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Derivace ve smˇeru, parci´aln´ı derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Vektorov´a anal´yza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Integr´aln´ı poˇcet funkc´ı v´ıce promˇenn´ych 31
2.1 Pojem n-rozmˇern´eho integr´alu v Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Geometrick´a interpretace dvojn´eho integr´alu . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Fyzik´aln´ı interpretace trojn´eho integr´alu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 V´ypoˇcet n-rozmˇern´eho integr´alu postupnou integrac´ı . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Mˇeˇriteln´e mnoˇziny, element´arn´ı oblasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Integr´aly na mˇeˇriteln´ych mnoˇzin´ach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7 Transformace integr´al˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8 M´ıra neohraniˇcen´ych mnoˇzin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.9 Integr´al neohraniˇcen´e funkce pˇres ohraniˇcenou mnoˇzinu . . . . . . . . . . . 52
2.10 Integr´al funkce pˇres neohraniˇcenou mˇeˇritelnou mnoˇzinu . . . . . . . . . . . 57
3 Kˇrivkov´e a ploˇsn´e integr´aly 60
3.1 Kˇrivky v Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Neorientovan´y kˇrivkov´y integr´al v Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Orientovan´y kˇrivkov´y integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Nez´avislost orientovan´eho kˇrivkov´eho integr´alu na cestˇe . . . . . . . . . . . 78
3.5 Greenova vˇeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6 Plochy v R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.7 Orientovan´y ploˇsn´y integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.8 Integr´aln´ı vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4 Syst´emy obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic 120
4.1 Z´akladn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2 Existence a jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı syst´em˚u dif. rovnic I. ˇr´adu . . . . . . . . 124
4.3 Syst´em line´arn´ıch diferenci´aln´ıch rovnic I. ˇr´adu . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4 Line´arn´ı syst´emy s konstantn´ımi koeficienty . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.4.1 Eliminaˇcn´ı metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4.2 Metoda charakteristick´ych ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.4.3 V´ypoˇcet exponenci´aly matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.4.4 Metoda neurˇcit´ych koeficient˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.5 Stabilita ˇreˇsen´ı syst´em˚u diferenci´aln´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.5.1 Stabilita line´arn´ıch syst´em˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.5.2 Hurwitzovo krit´erium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5.3 Michajlovovo krit´erium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Seznam obr´azk˚u
1.1 Stejnomˇern´a odchylka (vzd´alenost) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Metrika v R∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Kubick´a metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Oktaedrick´a metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Pˇr´ıklad vnitˇrn´ıho a hraniˇcn´ıho bodu mnoˇziny. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Kulov´a plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Trojos´y elipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 Eliptick´y paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Eliptick´y paraboloid s osou v ose y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 Eliptick´a kuˇzelov´a plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.11 Eliptick´a v´alcov´a plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.12 Parabolick´a v´alcov´a plocha y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.13 Parabolick´a v´alcov´a plocha y2 = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.14 Vektorov´e pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1 Dˇelen´ı dvourozmˇern´eho intervalu a jeho norma. . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Kv´adr o v´yˇsce mi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Kv´adr o v´yˇsce Mi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 ˇRez podgrafu G rovinou x = ξ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Elem. oblast typu [x,y] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Elem. oblast typu [y,x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7 f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8 f+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9 f− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.10 ”Uˇrez´av´an´ı“ podgrafu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1 Jednotkov´e teˇcn´e pole... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 ...a pole k nˇemu opaˇcn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Pˇr´ıklady ´utvar˚u, kter´e jsou ((a),(b),(c)) a nejsou ((d),(e),(f)) kˇrivkami . . . 66
3.4 Geometrick´y v´yznam neorientovan´eho kˇrivkov´eho integr´alu . . . . . . . . . 69
3.5 Souˇcet oblouk˚u A1 a A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.6 Konst. vektorov´e pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.7 Cesta L = A1 +···+A6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.10 Trojn´asobnˇe souvisl´a oblast. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.11 Kladnˇe orientovan´a hranice trojn´asobnˇe souvisl´e oblasti. . . . . . . . . . . 84
3.12 Souhlasn´a orientace okraje ∂B s listem B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.13 Nesouhlasn´a orientace okraje ∂B s listem B . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.14 Souhlasnˇe orientovan´e pˇrilehl´e listy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.15 Nesouhlasnˇe orientovan´e pˇrilehl´e listy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.16 Trojn´asobnˇe souvisl´a oblast s kladnˇe orientovanou hranic´ı . . . . . . . . . . 114
4.1 Trajektorie syst´emu z pˇr´ıkladu 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2 Charakteristika syst´emu z pˇr´ıkladu 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Vybran´e partie z matematiky 3
4.3 Trivi´aln´ı ˇreˇsen´ı je stabiln´ı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.4 Trivi´aln´ı ˇreˇsen´ı nen´ı stabiln´ı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5 Trivi´aln´ı ˇreˇsen´ı je stejnomˇernˇe stabiln´ı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.6 Trivi´aln´ı ˇreˇsen´ı je asymptoticky stabiln´ı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.7 Michajlovova kˇrivka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.8 Michajlovovy kˇrivky pro n = 1,2,3,4,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.9 Michajlovova kˇrivka k pˇr´ıkladu 4.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.10 Michajlovova kˇrivka z pˇr´ıkladu 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.11 Michajlovova kˇrivka z pˇr´ıkladu 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.12 Michajlovova kˇrivka z pˇr´ıkladu 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.13 Michajlovova kˇrivka z pˇr´ıkladu 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
´Uvod
Tento uˇcebn´ı text by mˇel slouˇzit pˇredevˇs´ım posluchaˇc˚um bakal´aˇrsk´eho studia FEKT VUT,
kteˇr´ı uvaˇzuj´ı pokraˇcovat v navazuj´ıc´ım magistersk´em studiu. Vzhledem k redukci poˇctu
hodin matematiky v bakal´aˇrsk´em smˇeru bylo nutn´e vypustit nˇekter´e t´ematick´e celky, kter´e
byly souˇc´ast´ı v´yuky v 1. a 2. roˇcn´ıku dˇr´ıvˇejˇs´ıho pˇetilet´eho magistersk´eho studia a kter´e
jsou nutn´e k pochopen´ı matematick´ych pˇredmˇet˚u i aplikac´ı v navazuj´ıc´ım magistersk´em
studiu.
C´ılem tohoto textu je tedy vytvoˇren´ı kontinuity matematick´ych znalost´ı absolvent˚u ba-
kal´aˇrsk´eho studia pˇri pˇrechodu na navazuj´ıc´ı magistersk´e studium. Jeho obsahem je v´yklad
integr´aln´ıho poˇctu funkce v´ıce promˇenn´ych, kˇrivkov´eho a ploˇsn´eho integr´alu, syst´em˚u
zejm´ena line´arn´ıch diferenci´aln´ıch rovnic s ohledem na kvalitativn´ı metody ˇreˇsen´ı a stabi-
lity ˇreˇsen´ı. Jde o standartn´ı souˇc´ast matematick´e anal´yzy, kter´a m´a velk´y v´yznam v apli-
kac´ıch.
Zvl´adnut´ı t´eto l´atky je pomˇernˇe obt´ıˇzn´e, protoˇze vyˇzaduje znalost zejm´ena diferenci´aln´ıho
poˇctu funkce v´ıce promˇenn´ych a z´akladn´ıch pojm˚u line´arn´ı algebry, coˇz je n´apln´ı zejm´ena
I. kapitoly. Dalˇs´ı obt´ıˇz spoˇc´ıv´a v tom, ˇze je nutn´e zav´est pojem ”n-rozmˇern´eho integr´alu“
a n´aslednˇe pojm˚u kˇrivka, plocha, kˇrivkov´y a ploˇsn´y integr´al. Pˇrestoˇze jde o intuitivnˇe
jasn´e pojmy, jejich matematick´a definice je pomˇernˇe komplikovan´a. Pro potˇreby inˇzen´yrsk´eho
studia je nutn´e udˇelat kompromis mezi obecnost´ı, matematickou pˇresnost´ı a n´azornost´ı
v´ykladu. Pro pˇr´ıpadn´e z´ajemce o podrobnˇejˇs´ı v´yklad lze doporuˇcit napˇr. [2], [3], [10].
V´yklad nov´ych d˚uleˇzit´ych pojm˚u obvykle motivujeme a doprov´az´ıme ilustruj´ıc´ım pˇr´ıkladem.
Kromˇe toho je v textu zaˇrazena ˇrada ˇreˇsen´ych i neˇreˇsen´ych pˇr´ıklad˚u, ˇcasto i s aplikaˇcn´ım
charakterem. Jejich poˇcet je dostateˇcn´y k osvojen´ı l´atky i samostatn´emu studiu.
Brno, ˇr´ıjen 2004 Autoˇri
Vybran´e partie z matematiky 5
1 Nˇekter´e pojmy z diferenci´aln´ıho poˇctu funkce v´ıce
promˇenn´ych
1.1 Metrika, metrick´e prostory
Pojmem metriky na dan´e mnoˇzinˇe chceme vystihnout co nejobecnˇeji pojem vzd´alenosti
objekt˚u, kter´e dan´e mnoˇzinˇe n´aleˇz´ı. Mˇeˇren´ı vzd´alenost´ı objekt˚u je vyvol´ano potˇrebami
praxe.
Vzd´alenost´ı dvou bod˚u p,q na pˇr´ımce, v rovinˇe, resp. v prostoru se zpravidla rozum´ı tzv.
euklidovsk´a vzd´alenost. Vzd´alenost bod˚u je vˇsak relativn´ı pojem. Demonstrujme to na
tomto pˇr´ıkladˇe:
Mˇejme v rovinˇe nˇejakou mnoˇzinu bod˚u M (pro jednoduchost koneˇcnou) a d´ale necht’ je
d´an syst´em L lomen´ych ˇcar takov´ych, ˇze kaˇzd´e dva body pi,pj ∈ M lze spojit aspoˇn
jednou lomenou ˇcarou L∈ L (viz obr´azek).
a99p1
a99
p4
a99p3 a99p2
a99p5
a8a8
a8a8
a8a8a72a72a72
a72
a0a0
a35a35
a35a35
a35
a64a17a17
a17a17
a17a17
a0
a0
a0
a0
a0
a0
a0
a0
Necht’ body p1,p2,··· ∈ M pˇrestavuj´ı obce a lo-
men´e ˇc´ary pˇredstavuj´ı cesty. Pro zemˇemˇeˇriˇce je po-
jem vzd´alenosti dvou obc´ı jasn´y, je to ”nejkratˇs´ı“
vzd´alenost tˇechto obc´ı, tedy pro malou ˇc´ast zemsk´eho
povrchu v podstatˇe euklidovsk´a vzd´alenost (napˇr.
vzd´alenost ”obc´ı“ p1,p5 je vyznaˇcena na obr´azku
pˇreruˇsovanou ˇcarou. Pro cestovatele, kter´y se chce
z jedn´e obce dostat do jin´e a pouˇz´ıv´a k tomu
pouze existuj´ıc´ıch cest, je vˇsak euklidovsk´a vzd´alenost
zbyteˇcn´a. Z jeho hlediska je uˇziteˇcnˇejˇs´ı charakterizo-
vat vzd´alenost patrnˇe takto:
Vzd´alenost bod˚u pi,pj je d´elka nejkratˇs´ı lomen´e ˇc´ary ze syst´emu L, kter´a tyto body
spojuje.
Hovoˇrili jsme zat´ım o vzd´alenosti geometrick´ych bod˚u. S rozvojem vˇedy a techniky se uka-
zuje, ˇze je tˇreba se d´ıvat na pojem vzd´alenosti z obecnˇejˇs´ıho hlediska v tom smyslu, ˇze je
zapotˇreb´ı kvantitativnˇe vystihnout ”vzd´alenost“ nebo, jak se tak´e nˇekdy ˇr´ık´a, ”odchylku“
i jin´ych objekt˚u, neˇz jsou geometrick´e body. Uved’me n´asleduj´ıc´ı pˇr´ıklad:
Pomoc´ı nˇekter´eho fyzik´aln´ıho syst´emu (napˇr. elektrick´eho obvodu) chceme generovat
sign´al (z matematick´eho hlediska funkci ˇcasov´e promˇenn´e), kter´y by mˇel ˇz´adan´y tvar.
Zpravidla se n´am nepodaˇr´ı vytvoˇrit z dan´ych prvk˚u syst´em tak, aby generoval ˇz´adan´y
sign´al. Zde si m˚uˇzeme poloˇzit zjednoduˇsen´y probl´em: sestrojit takov´y syst´em, kter´y by
vytv´aˇrel sign´al, jenˇz by se od ˇz´adan´eho v jist´em smyslu do nejm´enˇe odchyloval. Vid´ıme,
ˇze je tedy ´uˇceln´e zav´est pojem vzd´alenosti i pro funkce.
Nˇekdy potˇrebujeme charakterizovat odchylku dvou sign´al˚u f,g z hlediska jejich hodnot
v jednotliv´ych ˇcasov´ych okamˇzic´ıch t∈ 〈a,b〉. V tomto pˇr´ıpadˇe je pˇrirozen´e vz´ıt v ´uvahu
absolutn´ı hodnoty vˇsech moˇzn´ych rozd´ıl˚u funkˇcn´ıch hodnot: |f(t)−g(t)| a jako odchylku
dvou sign´al˚u vz´ıt maximum z tˇechtoˇc´ısel (viz obr. 1.1), tj. definovat odchylku (vzd´alenost)
sign´al˚u f,g vztahem
ρ(f,g) = max
t∈〈a,b〉
|f(t)−g(t)|
6 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Takov´a odchylka (”vzd´alenost“) funkc´ı se naz´yv´a stejnomˇern´a.
y
t
y=g(t)
y=f(t)
(f,g)r
ba
Obr´azek 1.1: Stejnomˇern´a odchylka (vzd´alenost)
Chceme-li vˇsak posoudit, jak se liˇs´ı dva sign´aly f,g z hlediska energetick´eho, pak je
´uˇcelnˇejˇs´ı definovat odchylku (”vzd´alenost“) sign´al˚u f,g vztahem
σ(f,g) =
radicalBiggintegraldisplay
b
a
(f(t)−g(t))2 dt.
(Tato tzv. stˇrednˇe kvadratick´a odchylka nem´a ovˇsem tak n´azorn´y geometrick´y v´yznam
jako stejnomˇern´a odchylka.)
Chceme-li definovat pojem vzd´alenosti (metriky) prvk˚u (”bod˚u“) v libovoln´e mnoˇzinˇe, je
pˇrirozen´e vych´azet z urˇcit´ych obecn´ych charakteristick´ych vlastnost´ı, kter´e m´a vzd´alenost
ch´apan´a intuitivnˇe:
1. Je pˇrirozen´e poˇzadovat, aby vzd´alenost dvou r˚uzn´ych bod˚u byla kladn´e re´aln´e ˇc´ıso
a vzd´alenost bodu od sebe sam´eho byla rovna nule.
2. Stejnˇe pˇrirozen´y je poˇzadavek, aby vzd´alenost mˇeˇren´a od bodu p k bodu q byla
stejn´a jako vzd´alenost mˇeˇren´a od bodu q k bodu p.
3. Koneˇcnˇe je rozumn´e, aby v definici metriky figuroval jeˇstˇe poˇzadavek, kter´y by
vystihoval tu skuteˇcnost, ˇze vzd´alenost bodu p od bodu q se nem˚uˇze zmenˇsit t´ım,
ˇze bychom ji mˇeˇrili ”oklikou“ pˇres bod r. Tento poˇzadavek je zn´am z element´arn´ı
geometrie, kde se vyskytuje v t´eto podobˇe: Souˇcet d´elek dvou stran v troj´uheln´ıku
nen´ı nikdy menˇs´ı neˇz d´elka tˇret´ı strany (tzv. troj´uheln´ıkov´a nerovnost).
Po tomto ´uvodu k problematice metriky m˚uˇzeme vyslovit definici, kde budou matematicky
formulov´any zm´ınˇen´e poˇzadavky kladen´e na vzd´alenost.
Vybran´e partie z matematiky 7
Definice 1.1 Necht’P je mnoˇzina. ˇRekneme,ˇzeρje metrika vP, jestliˇze kaˇzd´e uspoˇr´adan´e
dvojici (p,q) bod˚u z P je pˇriˇrazeno pr´avˇe jedno re´aln´e ˇr´ıslo ρ(p,q) (tj. ρ je re´aln´a funkce
na P ×P) tak, ˇze pro libovoln´e body p,q,r ∈P plat´ı:
(M1) ρ(p,q) > 0, je-li pnegationslash= q; ρ(p,p) = 0 (pozitivnost metriky)
(M2) ρ(p,q) = ρ(q,p) (symetrie metriky)
(M3) ρ(p,q) ≤ρ(p,r) +ρ(r,q) (troj´uheln´ıkov´a nerovnost)
Mnoˇzinu P spolu s metrikou ρ naz´yv´ame metrick´ym prostorem, jejˇz oznaˇcujeme (P,ρ).
Prvky mnoˇzinyP naz´yv´ame body metrick´eho prostoru (P,ρ); ˇc´ısloρ(p,q) naz´yv´ame vzd´alenost´ı
(nˇekdy t´eˇz odchylkou) bod˚u p,q.
V t´eˇze mnoˇzinˇe P m˚uˇze b´yt definov´ano nˇekolik metrik ρ,σ,τ,.... Pak je tˇreba rozliˇsovat
pˇr´ısluˇsn´e metrick´e prostory (P,ρ),(P,σ),(P,τ),....
Pˇr´ıklady metrick´ych prostor˚u
1) Re´aln´a osa R. V mnoˇzinˇe vˇsech re´aln´ych ˇc´ısel definujme metriku ρ pˇredpisem
ρ(x,y) = |x−y|, x,y ∈R.
Je zˇrejm´e, ˇze ρ m´a vlastnosti (M1), (M2), (M3).
2) Rozˇs´ıˇren´a re´aln´a osa R∗. V mnoˇzinˇe R∗ = R ∪ {−∞,∞} definujme metriku ω
pˇredpisem
ω(x,y) = |arctgx−arctgy|, x,y ∈R∗,
kde arctg(+∞) = lim
x→∞arctgx =
pi
2 , arctg(−∞) = limx→−∞arctgx = −
pi
2 .
Podm´ınky (M1), (M2), (M3) jsou opˇet splnˇeny. Vzd´alenostω(x,y) je patrn´a z obr´azku 1.2.
(x,y)
yx
w
-p/2
p/2
Obr´azek 1.2: Metrika v R∗.
8 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
3) Aritmetick´y n-rozmˇern´y euklidovsk´y prostor. Je to mnoˇzina Rn (mnoˇzina uspo-
ˇr´adan´ych n-tic re´aln´ych ˇc´ısel) s metrikou ρ definovanou pˇredpisem:
Necht’ p,q ∈Rn,
p = (x1,...,xn),q = (y1,...,yn), pak
ρ(p,q) =
radicaltpradicalvertex
radicalvertexradicalbt nsummationdisplay
i=1
(xi −yi)2 (1.1)
Metrika ρ definovan´a vztahem 1.1 se naz´yv´a
euklidovsk´a metrika.
Vzd´alenost ρ je v pˇr´ıpadˇe n = 2 zn´azornˇena
na obr´azku.
2
2
y
x
11 yx
q
p
(p,q)r
M´ısto euklidovsk´e metriky je nˇekdy snazˇs´ı pracovat s tˇemito metrikami:
σ(x,y) = max{|x1 −y1|,...,|xn −yn|} (1.2)
(tzv. kubick´a metrika)
τ(x,y) =
nsummationdisplay
i=1
|xi −yi| (1.3)
(tzv. oktaedrick´a metrika)
Vzd´alenosti σ a τ jsou v pˇr´ıpadˇe n = 2 zn´azornˇeny na obr´azc´ıch.
2
2
y
x
11 yx
q
p (p,q)s
2
2
y
x
11 yx
q
p (p,q)t
Obr´azek 1.3: Kubick´a metrika Obr´azek 1.4: Oktaedrick´a metrika
4) Na mnoˇzinˇe R×R definujme
α(x,y) = sin2(x−y)
Poloˇzme napˇr´ıklad x = 4pi,y = 2pi, pak α(x,y) = sin2(4pi−2pi) = 0, tedy pro xnegationslash= y plat´ı
α(x,y) = 0, coˇz je ve sporu s podm´ınkou (M1). Zobrazen´ı α nen´ı metrikou na R.
Vztahy mezi body a mnoˇzinami v Rn ˇci v jin´em metrick´em prostoru m˚uˇzeme charakteri-
zovat pomoc´ı metriky. Nˇekdy je vˇsak ´uˇcelnˇejˇs´ı (a i n´azornˇejˇs´ı) je charakterizovat pomoc´ı
Vybran´e partie z matematiky 9
okol´ı bodu. Pojmy, kter´e definujeme pomoc´ı okol´ı, se naz´yvaj´ı zpravidla topologick´e
pojmy.
S okol´ım bodu v R jste se sezn´amili v kurzu BMA1. Okol´ım bodu a ∈ R byl kaˇzd´y
otevˇren´y interval (a−r,a+r),r> 0.
Lze tak´e ps´at
(a−r,a+r) = {x∈R : ρ(x,a) 0.
Je tedy u∈ 〈0,2pi), v ∈ 〈0,pi〉.
Definuj´ıc´ı rovnice zobrazen´ı f m˚uˇzeme napsat ve tvaru
x = f1(u,v) = Rcosusinv
y = f2(u,v) = Rsinusinv (u,v) ∈M.
z = f3(u,v) = Rcosv
Odtud x2 +y2 +z2 = R2 cos2usin2v+R2 sin2usin2v+R2 cos2v =
= R2 sin2v(cos2u+ sin2u) +R2 cos2v = R2.
Tedy x2 +y2 +z2 = R2,
coˇz je implicitn´ı rovnice kulov´e plochy o polomˇeru R se stˇredem v poˇc´atku.
Geometrick´y v´yznam dan´eho zobrazen´ı je na obr´azku 1.6.
v
u
p
2p
M
f
x
z
y
R
R
R
Obr´azek 1.6: Kulov´a plocha
Pˇr´ıklad 1.3 Necht’ M ⊂R2, f = (f1,f2,f3) : M →R3, M = 〈0,2pi)×〈0,pi〉,
f(u,v) = (acosusinv,bsinusinv,ccosv),
kde a,b,c jsou obecnˇe navz´ajem r˚uzn´e kladn´e konstanty.
Je tedy opˇet u∈ 〈0,2pi), v ∈ 〈0,pi〉 a plat´ı
x = acosusinv
y = bsinusinv (u,v) ∈M.
z = ccosv
Odtud x
2
a2 +
y2
b2 +
z2
c2 = cos
2usin2v+ sin2usin2v+ cos2v = 1,
Vybran´e partie z matematiky 15
v
u
p
2p
M
f
x
z
y
c
ba
Obr´azek 1.7: Trojos´y elipsoid
coˇz je implicitn´ı rovnice trojos´eho elipsoidu, kter´y v pˇr´ıpadˇe a = b pˇrech´az´ı v rotaˇcn´ı
elipsoid s osou z (podobnˇe i pro a = c s osou y, b = c s osou x). V pˇr´ıpadˇe a = b = c
pak v kulovou plochu (sf´eru).
Geometrick´y v´yznam zobrazen´ı f je na obr´azku 1.7.
Pˇr´ıklad 1.4 Necht’ M ⊂R2, f = (f1,f2,f3) : M →R3, M = 〈0,∞)×〈0,2pi),
f(u,v) = (aucosv,businv,u2),
kde a,b jsou obecnˇe
Vloženo: 28.05.2009
Velikost: 2,82 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BVPA - Vybrané partie z matematiky
Reference vyučujících předmětu BVPA - Vybrané partie z matematiky
Podobné materiály
- BFSL - Finanční služby - Skripta
- BPC1 - Počítače a programování 1 - Skripta Počítače a programování
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analaogové el.obvody-lab.cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody- počítačová a laboratorní cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody-počítačová cvičení
- BAEY - Analogové elektronické obvody - Skripta Analogové el.obvody
- BASS - Analýza signálů a soustav - Signály a systémy skripta
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Dskrétní signály a diskrétní systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy 2.část
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta Spojité systémy
- BASS - Analýza signálů a soustav - Skripta
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a testování el.systémů
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Diagnostika a zkušebnictví
- BDIZ - Diagnostika a zkušebnictví - Skripta Speciální diagnostika
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnický seminář
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1 - Laboratorní a počítačová cvičení
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Elektrotechnika 1
- BEL1 - Elektrotechnika 1 - Skripta Technická dokumentace
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta elektrotechnika II
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2006
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta laboratorní cvičení 2008
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Skripta počítačové cvičení 200
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Analýza el. obvodů programem
- BELF - Elektrické filtry - Skripta Elektrické filtry
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektotechnické materiály a výrobní procesy
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - lab. cvičení
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Skripta Materiály v elektrotechncie
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky - Laboratorní cvičení
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2002
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky 2007
- BESO - Elektronické součástky - Skripta Elektronické součástky
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Fyzikální seminář
- BFY1 - Fyzika 1 - Skripta Průvodce studia předmětu Fyzika 1
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta kmity
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Optika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta termofyzika
- BFY2 - Fyzika 2 - Skripta Vlny
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematický seminář
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1 Počítačová cvičení Maple
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 1
- BMA1 - Matematika 1 - Skripta Matematika 3
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta matematický seminář
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta Matematika I
- BMA2 - Matematika 2 - Skripta Matematika II
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Matematika 3
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Sbírka Matematika 3
- BMFV - Měření fyzikálních veličin - Skripta Měření fyz.veličin - návody do lab.cvičení
- BMPS - Modelování a počítačová simulace - Skripta Modelování a počítačová simulace- Počítačová cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD Laboratorní cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část materiály v elektrotechnice
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část Technická dokumentace - počítačová a konstrukční cvičení
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Skripta MTD část technická dokumentace
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Měření v elektrotechnice - Lab.cviceni -skripta
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Meření v elektrotechnice- návody k lab. cvič.
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - lab.cvičení II
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Skripta Měření v elektrotechnice - laboratorní cvičení
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Skripta 2008
- BPC2 - Počítače a programování 2 - Stará skripta
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - Skripta
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Blažek 1975
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Elektr.přístroje část II
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Lab.cv. Vysoké napětí
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napěti el.stroje
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Skripta Vysoké napětí část I.
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Učitelská skripta laboratoře
- BPIS - Praktikum z informačních sítí - skripta
- BESO - Elektronické součástky - nová skripta
- AMA2 - Matematika 2 - skripta
- BEKE - Ekologie v elektrotechnice - Něco ze zkoušek, skripta atd..
- BRR2 - Řízení a regulace 2 - Skripta Řízení a regulace 2
- BVPM - Vybrané partie z matematiky - BVPM - skripta k předmětu
- BEPO - Etika podnikání - BEPO (XEPO) - Skripta
- BNAO - Návrh analogových integrovaných obvodů - Skripta BNAO 2010
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - BEVA 2 skripta - přednášky a sbírka úloh.zip
- BMPT - Mikroprocesorová technika - BMPT 2011 zadani PC cviceni + skripta s ucivem
- ABSN - Biosenzory - Skripta
- ALDT - Lékařská diagnostická technika - Skripta
- BMVA - Měření v elektrotechnice - Skripta BMVA
- MTOC - Theory of Communication - Teorie sdělování-skripta
- BASS - Analýza signálů a soustav - Matlab vybrané klávesové zkratky atd.
- BVPA - Vybrané partie z matematiky - Vybrané partie z matiky
- BMA1 - Matematika 1 - Scriptum matematiky
Copyright 2024 unium.cz