- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálMATEMATIKA2
Sb rkaœloh
RNDr.EditaKolÆłovÆ
STAVMATEMATIKY
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 1
vod
Dostalijstedorukousb rkupł kladøkpłednÆ„ceMatematika2.Tatosb rkajedopln n m
textuMatematika2.Navazujenateoretick v kladlÆtkyztØtoknihy.ZÆrove jsemseale
sna ilauvØstdotØtosb rkyv„echnydøle itØvzorce,kterØpłiłe„en pł kladøvyu vÆm,
abystepoprostudovÆn pł slu„n chkapitolzknihyMatematika2mohlisb rkupou vat
isamostatn .Jezdeładapł kladøłe„en chdetailn ,udal„ chjsouuvedenØv sledky,
pł padn radyanÆvody.
Studijn jednotkyjsounavr enytak,abyobsahovalylÆtku,kterÆspoluœzcesouvis ,
ajemo nØjepochopitanastudovatnajednoujakocelek.
PłedpoklÆdÆm, ejsteu œsp „n zvlÆdlipłedm tMatematika1,ovlÆdÆtezÆklady
diferenciÆln hoaintegrÆln hopoŁtufunkcejednØprom nnØ,diferenciÆln poŁetfunkce
v ceprom nn chamÆtezÆkladn poznatkyoładÆch.
2 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Obsah
1 DiferenciÆln rovniceprvn hołÆdu 3
1.1 ZÆkladn pojmy . ... .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 3
1.2 SeparovatelnØdiferenciÆln rovnice. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 6
1.3 LineÆrn diferenciÆln rovniceprvn hołÆdu ... .. .. .. .. .. ... .. 8
2 DiferenciÆln rovnicevy„„ hołÆdu 11
2.1 Homogenn diferenciÆln rovnicevy„„ hołÆdu . .. .. .. .. .. ... .. 11
2.2 Nehomogenn diferenciÆln rovnicevy„„ hołÆdu .. .. .. .. .. ... .. 14
3 Funkcekomplexn prom nnØ 21
3.1 Komplexn Ł sla . ... .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 21
3.2 Funkcekomplexn prom nnØ . .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 24
3.3 Derivacefunkcekomplexn prom nnØ,Cauchy-Riemannovypodm nky. .. 26
4 IntegrÆlfunkcekomplexn prom nnØ 30
4.1 IntegrÆlkomplexn funkcepomoc parametrizacekłivky.. .. .. ... .. 30
4.2 CauchyøvvzorecaCauchyovav ta .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 35
5 Teorierezidu 38
5.1 Laurentovałada . ... .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 38
5.2 SingulÆrn bodykomplexn funkce,reziduovÆv ta . .. .. .. .. ... .. 40
6 LaplaceovaintegrÆln transformace 44
6.1 De niceavlastnostiLaplaceovytransformace . .. .. .. .. .. ... .. 44
6.2 Zp tnÆLaplaceovatransformace.. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 47
6.3 e„en diferenciÆln chrovnicLaplaceovoutransformaci .. .. .. ... .. 50
6.4 LaplaceovyobrazykoneŁn chimpulsø .. ... .. .. .. .. .. ... .. 53
7 Fourierovyłady 55
7.1 De niceavlastnostiFourierovyłady . .. ... .. .. .. .. .. ... .. 55
8 Z-transformace 62
8.1 De niceavlastnostiZ-transformace.. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 62
8.2 Zp tnÆZ-transformace . .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 64
8.3 e„en diferenŁn chrovnicpomoc Z-transformace . .. .. .. .. ... .. 65
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 3
STUDIJN˝JEDNOTKA
DIFERENCI`LN˝ROVNICEPRVN˝HO `DU
C lestudijn jednotky. KtØtostudijn jednotcepotłebujeteznÆtdiferenciÆln ain-
tegrÆln poŁetfunkcejednØprom nnØ.ZaŁÆtekjekrÆtk œvoddoteoriediferenciÆln ch
rovnic.ProcviŁ tesizÆkladn pojmyjakodiferenciÆln rovnice,obecnØłe„en ,partikulÆrn
łe„en .PotomsenauŁ tełe„itdvatypyrovnicprvn hołÆdu:separovatelnoualineÆrn .Na
koncitØtojednotkynajdeterøznØœlohy,kdesimø etevyzkou„et,zdadokÆ etejednotlivØ
typyrovnicnejenłe„it,aletakØodseberozli„it.
1 DiferenciÆln rovniceprvn hołÆdu
1.1 ZÆkladn pojmy
ObyŁejnÆdiferenciÆln rovnice|rovnice,vn sevyskytujederivaceneznÆmØfunkce
jednØprom nnØ.
ÆddiferenciÆln rovnice|łÆdnejvy„„ derivace,kterÆsevrovnicivyskytuje.
e„itdiferenciÆln rovnici|naj tv„echnyfunkce,kterØvyhovuj danØrovnici.
ObecnØłe„en diferenciÆln rovnicen-tØhołÆdu|łe„en ,kterØzÆvis nanrøz-
n chparametrechtakov mzpøsobem, ev„echnałe„en rovnicemø emez skat
vhodnouvolbout chtokonstant.
PartikulÆrn łe„en diferenciÆln rovnicen-tØhołÆdu|łe„en ,kterØdostanemez
obecn hołe„en konkrØtn volbouv„echnparametrø.
IntegrÆln kłivka|łe„en diferenciÆln rovnice,grafłe„en diferenciÆln rovnice.
PoŁÆteŁn œloha|problØmnaj tpartikulÆrn łe„en diferenciÆln rovnice,kterØspl uje
tzv.poŁÆteŁn podm nky.
Mø esestÆt, ediferenciÆln rovnicenemÆ ÆdnØłe„en .DiferenciÆln rovnice,snimi se
zdesetkÆte,łe„en maj .ObecnØpodm nkyproexistenciłe„en najdetevMatematice2.
4 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Pł klad1.1.1.Najd teobecnØłe„en diferenciÆln rovnicey000=18e3x+sinx:
e„en : JetoobyŁejnÆdiferenciÆln rovnicetłet hołÆdu,velmispeciÆln ,
proto epravÆstranazÆvis pouzenax: e„en dostanemepostupn mintegro-
vÆn m.
y000=18e3x+sinx ) y00=R(18e3x+sinx)dx=6e3x cosx+C1;
y0=R(6e3x cosx+C1)dx=2e3x sinx+C1x+C2:
AkoneŁn obecnØłe„en bude
y=
Z
(2e3x sinx+C1x+C2)dx=23e3x+cosx+C12x2+C2x+C3:
Proto e„loorovnicitłet hołÆdu,jsouvobecnØmłe„en tłiparametry.Do-
sazen mkonkrØtn chhodnotzakonstantyC1;C2;C3sedostanoupartikulÆrn
łe„en tØtorovnice.
Pł klad1.1.2.Najd tepartikulÆrn łe„en diferenciÆln rovnice y00 =12x3+8; kterØ
spl ujepoŁÆteŁn podm nky y(0)=0; y0(0)=1:
e„en : Jeli y00=12x3+8;potom y0=R(12x3+8)dx=3x4+8x+C1:
ObecnØłe„en budey=R(3x4+8x+C1)dx=35 x5+4x2+C1x+C2:
KonstantybudemepoŁ tatdosazen mpoŁÆteŁn chpodm nekdo ya y0:
0=y(0)=3505+4 02+C10+C2=C2; 1=y0(0)=3 04+8 0+C1=C1:
ZtØtosoustavyrovnicdostaneme C1=1; C2=0:
HledanØpartikulÆrn łe„en je y=35x5+4x2+x.
Pł klad1.1.3.Najd teintegrÆln kłivkurovnice y0= tgx;kterÆprochÆz bodem[0,1].
e„en : IntegrÆln kłivkaprochÆzej c dan mbodemjepartikulÆrn łe„en
spl uj c poŁÆteŁn podm nku y(0)=1:
y0= tgx ) y=
Z
tgxdx=
Z sinx
cosxdx=
Z ( sinx)
cosx dx=
=
Z (cosx)0
cosx dx= lnjcosxj+C:
ObecnØłe„en je y= lnjcosxj+C; x6= 2+k ; kcelØ.
DÆle1=y(0)= lnjcos0j+C=0+C: Dostalijsme, e C=1:
PotomhledanØłe„en je y=1 lnjcosxj.
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 5
Pł klad 1.1.4. Uka te, efunkce y = C1+C2x+C3e3x jeobecnØłe„en rovnice
y000 3y00=0;anajd tepartikulÆrn łe„en ,prokterØ y(0)=3; y0(0)=6; y00(0)=18:
e„en : y0=C2+3C3e3x; y00=9C3e3x; y000=27C3e3x:
Podosazen y000 3y00=27C3e3x 3 9C3e3x =0:
DÆle 3=y(0)=C1+C3; 6=y0(0)=C2+3C3; 18=y00(0)=9C3:
e„ mesoustavurovnic: C1+C3=3; C2+3C3=6; 9C3=18:
Ztoho C1=1; C2=0; C3=2:HledanØpartikulÆrn łe„en je y=1+2e3x.
Pł klad1.1.5.Uka te, efunkce y=C1(x2+1)+C2(x+(x2+1)arctgx)jeobecnØ
łe„en rovnice(x2+1)y00 2y=0;anajd tepartikulÆrn łe„en tØtorovnice,prokterØ
plat y(0)=1; y0(0)=0:
e„en : y0=C1 2x+C2
1+2xarctgx+ x2+1x2+1
=C1 2x+C2(2+2xarctgx);
y00=2C1+C2 2arctgx+ 2xx2+1 :
Podosazen dostaneme:
(x2+1)y00 2y=
2(x2+1)C1+C2 2 x2+1 arctgx+2x 2C1(x2+1) 2C2 x+ x2+1 arctgx =0:
Funkcełe„ diferenciÆln rovnici.DÆledosad mepoŁÆteŁn podm nky
1=y(0)=C1+C2 0=1 ) C1=1;
0=y0(0)=2 0 C1+2C2=2C2 ) C2=0:
HledanØpartikulÆrn łe„en je y=x2+1.
Pł klad1.1.6.Uka te, efunkce y=C1cosx+C2sinx+e2x jeobecnØłe„en rovnice
y00+y=5e2x;anajd tepartikulÆrn łe„en ,prokterÆplat
a)y(0)=6; y0(0)=6 b)y(0)=1; y0(0)= 1
c)y(0)=32; y0(0)=52 d)y( 2)=e ; y0( 2)=2e 1
e„en : a)y=5cosx+4sinx+e2x; b)y=e2x 3sinx;
c)y=12cosx+12sinx+e2x; d)y=cosx+e2x:
Pł klad1.1.7.Uka te, efunkce y=C1ex+C2xex+C3e 2x jeobecnØłe„en rovnice
y000 3y0+2y=0;anajd tepartikulÆrn łe„en rovnice,kterØspl ujepoŁÆteŁn podm nky
y(0)=0; y0(0)=1; y00(0)=11:
e„en : y= ex+4xex+e 2x
Dal„ ŁÆsttØtojednotkybudev novanÆdiferenciÆln mrovnic mprvn hołÆdu.NauŁ te
sełe„itdvatypyrovnicprvn hołÆdu.
6 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
1.2 SeparovatelnØdiferenciÆln rovnice
SeparovatelnÆdiferenciÆln rovnice|rovnice,kterÆsedÆupravitnatvar
y0=f(x) g(y):
PokudrozpoznÆteseparovatelnourovnicipostupujtepłiłe„en nÆsledovn :
1. y0 nahra tev razem dydx;
2.celourovnicivynÆsobte dx;
3.odseparujteprom nnØ,tzn.Łleny,kterØobsahuj y;płeve tenalevoustranurovnice
spolus dyaŁleny,kterØobsahuj x;płeve tenapravoustranuspolus dx;
4.integrujteob stranyposledn rovnice.
Pł klad1.2.1. e„teseparovatelnoudiferenciÆln rovnici y0=1 2xy3 :
e„en : PostupujemepodlenÆvodu:1:) dydx=1 2xy3
2:) dy=1 2xy3 dx
3:)y3dy=(1 2x)dx
4:)
Z
y3dy=
Z
(1 2x)dx
ZtohopointegrovÆn dostaneme y44 +C = x x2+K; kde C a K jsou
integraŁn konstanty.Płevedeme-likonstantuCnapravoustranu,dostaneme
łe„en vetvaru y44 = x x2+K C: OznaŁ mekonstantu K C = c a
dostanemeobecnØłe„en rovnice
y4
4 =x x
2+c:
Tutoœpravuskonstantamimø eteud latpoka dØ,aprotostaŁ psÆtintegraŁn kon-
stantupouzejednou(obyŁejn jip „emedopravØstrany).
e„en ,kterÆsedostanoupłiłe„en separovatelnØrovnice,jsouobvyklevimplicitn m
tvaru. pravousen kdypodał z skatexplicitn tvarłe„en y=’(x):
Pł klad1.2.2. e„teseparovatelnoudiferenciÆln rovnici (1+y2)dx+(1+x2)dy=0:
e„en : Uprav mena (1+x2)dy= (1+y2)dxapokraŁujeme3.krokem:
1
(1+y2)dy=
1
(1+x2)dx;
Z 1
(1+y2)dy=
Z 1
(1+x2)dx;
arctgy= arctgx+C: ObecnØłe„en bude arctgx+arctgy=C:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 7
Pł klad1.2.3. e„teseparovatelnoudiferenciÆln rovnici y0tgx=y:
e„en : 1:)tgx dydx=y; 2:)tgx dy=ydx; 3:)1y dy=cosxsinx dx;
4:)
Z 1
y dy=
Z cosx
sinx dx;
Z 1
y dy=
Z (sinx)0
sinx dx:
PointegrovÆn dostaneme
lnjyj=lnjsinxj+c:
Z skanØłe„en uprav me: jyj=elnjsinxj+c =elnjsinxj ec =ec jsinxj:
OznaŁ me C= ec:Obecn takovØC 6=0:N kdymø emepłipustitiC=0;
jakovtomtopł klad .Mø emetedynapsatobecnØłe„en na„irovnicevetvaru
y=C sinx:
Pł klad1.2.4.Najd tepartikulÆrn łe„en separovatelnØdiferenciÆln rovnice
(1+ex)yy0 =ex; y(0)=p2:
e„en : 1:)(1+ex)y dydx=ex; 2:)(1+ex)ydy=ex dx;
3:)ydy= e
x
(1+ex)dx; 4:)
Z
ydy=
Z ex
(1+ex)dx:
DostalijsmeobecnØłe„en vetvaru y22 =ln(1+ex)+C:
HledÆmepartikulÆrn łe„en :
p22
2 =ln(1+e
0)+C: PotomC=1 ln2:
PartikulÆrn łe„en je y
2
2 =ln(1+e
x)+1 ln2:
Poœprav y=p2ln(1+ex)+2 ln4.
Pł klad1.2.5. e„teseparovatelnØdiferenciÆln rovnice
a)xyy0 =1 x2 b)y0 =ytgx c)y0 +
p
1 y2p
1 x2 =0
d)y0=(y 1)(y 2) e)y0 =ex+y f)(xy2+x)dx +(y x2y)dy=0
e„en : a) y22 =lnjxj x22 +c; poœprav x2+y2=lnCx2; C >0;
b)y= Ccosx; c)C=arcsinx+arcsiny,y=1; y= 1;
d)integrÆldle dypoŁ tejterozklademnaparciÆln zlomky.
e„en je lnjy 2y 1j=x+c:Poœprav y 2=Cex(y 1): Dal„ łe„en jey=1;
e)Vyu ijtevztah ex+y =exey a e y = 1ey: e„en bude ex+e y =C;
f)12ln(y2+1)=12lnjx2 1j+c: Poœprav y2+1=C(x2 1):
8 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
1.3 LineÆrn diferenciÆln rovniceprvn hołÆdu
LineÆrn diferenciÆln rovniceprvn hołÆdu|rovnice,kterÆsedÆupravitnatvar
y0+f(x) y=g(x): (LR)
Homogenn lineÆrn dif.rovniceprvn hołÆdu|rovnicetvaruy0+f(x) y=0:
Metodavariacekonstanty| metoda na łe„en nehomogenn lineÆrn diferenciÆln
rovnice1.łÆdu,płikterØsenejdł vmetodouseparaceprom nn chnajdełe„en
homogenn rovnice
y0+f(x) y=0:
Totołe„en seuprav natvary=C F(x).PotomsepłedpoklÆdÆ, eC=C(x);tj.
konstantazÆvis nax;ałe„en lineÆrn rovnicehledÆmevetvaru
y=C(x) F(x):
PłedpoklÆdan tvarłe„en sedosad dodiferenciÆln rovnice(LR).Vzniknerovnice
typuC0(x)= (x).ZtohosevypoŁ tÆkonkrØtn funkceC(x).
Pł klad1.3.1. e„telineÆrn diferenciÆln rovnici y0+2xy=e x2:
e„en : Nejdł vvyłe„ mehomogenn rovnici y0+2xy=0:
y0= 2xy; dydx= 2xy; 1y dy= 2xdx;
Z 1
y dy=
Z
2xdx; lnjyj= x2+c:
PotłebujemevyjÆdłit y; aprotomus medÆlupravovat:
jyj=e x2+c; jyj=e x2 ec; y=C e x2; kdeC= ec:
Na„lijsmeobecnØłe„en lineÆrn homogenn rovnice y0+2xy =0:ObecnØ
łe„en lineÆrn nehomogenn rovnicebudemehledatvetvaruy=C(x) e x2:
AbychommohliurŁitC(x);mus medosaditdodiferenciÆln rovnice,aktomu
mus menejdł vyderivovat.
y=C(x) e x2; y0=C0(x) e x2+C(x) e x2 ( 2x):
Podosazen dostanemepodm nkuproC0(x):
C0(x) e x2+C(x) e x2( 2x)+2x C(x) e x2 =e x2:
C0(x) e x2 =e x2; C0(x)=1:
ZtohointegrovÆn mdostaneme, e C(x)=R1dx=x+K:
Zb vÆu jenomdosaditzaC(x).HledanØobecnØłe„en bude
y=C(x) e x2 =(x+K) e x2=K e x2+x e x2:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 9
Pł klad1.3.2. e„telineÆrn diferenciÆln rovnici y0 xy1+x2 =x; y(0)=2:
e„en : y0= xy1+x2;
Z 1
y dy=
1
2
Z 2x
1+x2 dx:
lnjyj=12ln(1+x2)+c=lnp1+x2+c; potom y=C p1+x2:
Variacekonstanty:y=C(x) p1+x2; y0=C0(x) p1+x2+C(x) xp1+x2:
Podosazen : C0(x)p1+x2=x; C0(x)= xp1+x2; C(x)=
Z x
p1+x2 dx:
Substituce1+x2=t2vedenaC(x)=p1+x2+K:
ObecnØłe„en danØrovnicejey=K p1+x2+x2+1:
Dosad mepoŁÆteŁn podm nku: 2=y(0)=K p1+1=K+1:
Ztoho K=1 ahledanØpartikulÆrn łe„en bude y=p1+x2+x2+1:
Pł klad1.3.3.Najd teobecnØłe„en rovnice xy0+y ex =0:
e„en : Rovnicenen vetvarulineÆrn diferenciÆln rovnice.Nejdł vjimu-
s meupravit.Płevedemeex napravoustranuapakcelourovnicivyd l mex.
Dostaneme
y0+yx=e
x
x:
Tatorovniceu
Vloženo: 28.05.2009
Velikost: 394,60 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BMA2 - Matematika 2
Reference vyučujících předmětu BMA2 - Matematika 2
Podobné materiály
- BEMC - Elektromagnetická kompatibilita - Elektromag.kompatibilita- sbírka příkladů a testů
- BMA3 - Matematika 3 - Skripta Sbírka Matematika 3
- BMA3 - Matematika 3 - Staré materiály- přednášky, sbírka, zkouška
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Sbírka příkladů
- AMA2 - Matematika 2 - sbírka
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - BEVA 2 skripta - přednášky a sbírka úloh.zip
- BMA1 - Matematika 1 - Sbírka úloh
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - LABORATORNÍ_ÚLOHA_1-BEVA
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - LABORATORNÍ_ÚLOHA_2-BEVA
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - LABORATORNÍ_ÚLOHA_3-BEVA
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - LABORATORNÍ_ÚLOHA_3-graf
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - LABORATORNÍ_ÚLOHA_3.1-graf
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - LABORATORNÍ_ÚLOHA_4-BEVA
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - LABORATORNÍ_ÚLOHA_4-graf
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - LABORATORNÍ_ÚLOHA_5-BEVA
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - LABORATORNÍ_ÚLOHA_5-graf
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - LABORATORNÍ_ÚLOHA_6-BEVA
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - LABORATORNÍ_ÚLOHA_6-graf
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - LABORATORNÍ_ÚLOHA_7-BEVA
- BEVA - Elektromagnetické vlny, antény a vedení - LABORATORNÍ_ÚLOHA_7-graf
- BVMT - Vysokofrekvenční a mikrovlnná technika - - MT uloha 4
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - uloha 3
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - uloha1
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - uloha2
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - uloha4
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - uloha4
- MKVE - Kvantová a laserová elektronika - uloha5
- MSSY - Senzorové systémy - lab_uloha.č.1
- MSSY - Senzorové systémy - lab_uloha.č.5
- MSSY - Senzorové systémy - lab_úloha_1
- BRMK - Rádiové a mobilní komunikace - měření obrázky úloha3
- BRMK - Rádiové a mobilní komunikace - měření obrázky úloha8
- BRMK - Rádiové a mobilní komunikace - měření obrázky úloha9
- BASS - Analýza signálů a soustav - Úloha 1
- BASS - Analýza signálů a soustav - Úloha 2
- BASS - Analýza signálů a soustav - Úloha 3
- BASS - Analýza signálů a soustav - Úloha 4
- BASS - Analýza signálů a soustav - Úloha 5
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Úloha 1
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Úloha 3
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Úloha 4
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Úloha 5
- BEMV - Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - Úloha č.3 Elektrotechnické materiály a výrobní procesy
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Úloha č.1
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Úloha č.2
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Úloha č.3
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Úloha č.4
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Úloha č.6
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Úloha č.7
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Úloha č.8
- BMVE - Měření v elektrotechnice - Úlohy 1 až 8
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Úloha L2 - Tepelné relé
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Úloha L3
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Úloha L4
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Úloha N1
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Úloha Zapínání obvodu střídavého proudu
- BVNP - Vysoké napětí a elektrické přístroje - Úloha Zotavené napětí
- BDOM - Digitální obvody a mikroprocesory - Úlohy 1-7
- BMTD - Materiály a technická dokumentace - Zadání konstrukčních úloh a pokyny pro zpracování
- BRR1 - Řízení a regulace 1 - Zadání 1.úlohy 09
- BRR1 - Řízení a regulace 1 - Zadání 3.úlohy sudý týden
- BRR1 - Řízení a regulace 1 - Zadání 4.úlohy sudý týden
- BPC1 - Počítače a programování 1 - IVIG - Uloha 5
- BPC1 - Počítače a programování 1 - IVIG - Uloha 6
- BPC1 - Počítače a programování 1 - IVIG - Uloha 8
- BESO - Elektronické součástky - úloha2
- BESO - Elektronické součástky - úloha3
- BESO - Elektronické součástky - úloha3
- BPC2 - Počítače a programování 2 - cvičení 5 - ulohy 1-3
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - úloha 5A
- BFY1 - Fyzika 1 - uloha28_test
- MMAT - Maticový a tenzorový počet - Skript pro výpočty domácích úloh
- MMAT - Maticový a tenzorový počet - Skript pro Mathcad pro počítání domácích úloh
- MMAT - Maticový a tenzorový počet - Skript pro Mathcad pro počítání domácích úloh
- MSDS - Směrové a družicové spoje - MSDS úloha 5 program a odborný článek 2014
- MSMK - Systémy mobilních komunikací - MSMK_ÚLOHA č. 5 Fyzická vrstva 2014
- BEL2 - Elektrotechnika 2 - Úloha 3A - výpočotvá tabulka
Copyright 2024 unium.cz