- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálFourierova řada periodické funkce
Uvažme periodickou funkci se základní periodou a se základním kmitočtem
. V této kapitole ukážeme, že tuto funkci je možno psát ve tvaru řady
kde pro koeficienty této řady platí
kde je libovolný časový okamžik. Koeficienty mohou být jak reálná tak i komplexní čísla- záleží na funkci . Tato řada se nazývá komplexní Fourierova řada (J.B.J.Fourier, 1768-1830, francouzský matematik). Vyskytují se v ní jak kladné tak i záporné frekvence (viz komplexní exponenciální signál v předchozí kapitole).
Výraz (rovnice) určuje hodnoty jednotlivých koeficientů v závislosti na funkci . Soubor koeficientů se nazývá spektrum signálu a představuje amplitudy jednotlivých harmonických složek tohoto signálu. Koeficient reprezentuje stejnosměrnou složku signálu .
Výraz (rovnice) pro koeficienty lze snadno odvodit. Vynásobme řadu (rovnice) výrazem ED Equation.3 a integrujme v intervalu kde je libovolný časový okamžik. Obdržíme
kde bylo zaměněno pořadí integrace a sumace. Nyní lze využít vlastnosti ortogonality komplexních exponenciální funkcí (rovnice). Použijeme-li tohoto vztahu zůstane ze všech členů řady na pravé straně rovnice (rovnice) jen jeden člen, a to ten, pro který platí tj. člen a bude tedy platit
.
Po záměně za již z tohoto výrazu přímo vyplývá vztah (rovnice) pro koeficient . Počátek integrace byl zvolen libovolně. Často se užívá nebo . Potom výraz pro hledané koeficienty má tvar
Příklad
Uvažme periodickou funkci sestávající z periodického opakování obdélníkových impulsů s jednotkovou amplitudou. Perioda opakování je a šířka impulsu je . Základní kmitočet tohoto signálu je . Situace je znázorněna v levé části obr.
Obr. Pravoúhlé impulsy (vlevo) a jejich spektrum (vpravo)
Určeme koeficienty Fourierovy řady. Pro nultý koeficient (stejnosměrná složka) platí
.
Pro ostatní koeficienty (amplitudy harmonických složek) platí
kde jsme použili Eulerových vztahů (rovnice). Fourierova řada funkce potom bude
kde koeficienty jsou dány vztahy (rovnice) a (rovnice).
Bude-li číselně potom
a pro číselnou hodnotu koeficientů bude platit
Koeficienty Fourierovy řady funkce jsou zobrazeny v pravé části obr. Dodadímeli číselné hodnoty koeficientů do řady (rovnice) obdržíme
Použijeme-li nyní Eulerových vztahů (rovnice) potom bude
Z tohoto výrazu je patrno, že funkce je superpozicí stejnosměrné složky (koeficient ) a kosinusových složek s patřičnými amplitudami. Vezmeme-li v řadě (rovnice) jen ko
Vloženo: 28.05.2009
Velikost: 2,82 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2024 unium.cz