- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Skripta - Průřezové charakteristiky
BD01 - Základy stavební mechaniky
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálnoběžku s osou
y. Obě tyto rovnoběžky se protnou na Mohrově kružnici v bodu P (pólu Mo-
hrovy kružnice). Označíme-li průsečíky Mohrovy kružnice s osou I body 1 a 2,
pak přímky P1 a P2 udávají směry hlavních os setrvačnosti, jimž přísluší hlav-
ní momenty setrvačnosti o velikostech
I
max
= I
1
= O1 = OS + ρ,
I
min
= I
2
= O2 = OS – ρ. (3.22)
Dosazením hodnot ze vztahů (3.20) a (3.21) do (3.22) získáme stejné výsledky
jako z výrazu (3.19).
Pootáčením pravoúhlých souřadnicových os v pólu P můžeme graficky určit
odpovídající hodnoty kvadratických momentů.
Otázky
1. Co jsou hlavní momenty setrvačnosti rovinného obrazce a jak se určují?
2. Co rozumíme deviačním momentem obrazce (k daným osám), jak se
stanoví, kdy je roven nule?
3.5 Poloměr a elipsa setrvačnosti
Poloměr setrvačnosti i
x
(resp. i
y
) rovinného obrazce k ose x (resp. y) je defi-
nován jako druhá odmocnina z podílu momentu setrvačnosti k příslušné ose a
plošného obsahu obrazce, tedy
A
I
i
x
x
= ,
A
I
i
y
y
= . (3.23)
Poloměr setrvačnosti má délkový rozměr (např. metr). Ze vztahů (3.23) naopak
můžeme určit momenty setrvačnosti ze součinu obsahu obrazce a čtverce po-
loměru setrvačnosti:
2
xx
iAI = , . (3.24)
2
yy
iAI =
Obr. 3.7: Poloměry setrvačnosti k rovnoběžným osám
Úpravou vztahů (3.8) s přihlédnutím k (3.23) získáme vztah mezi poloměry
setrvačnosti k mimotěžištní a těžištní ose
222
cii
t
xx
+= , . (3.25)
222
dii
t
yy
+=
- 22 (34) -
Kvadratické momenty rovinných obrazců
Poloměry setrvačnosti obrazce k jeho hlavním osám nazýváme hlavní polomě-
ry setrvačnosti a hlavním centrálním osám pak přísluší hlavní centrální polo-
měry setrvačnosti.
Setrvačné vlastnosti rovinného obrazce umístěného v souřadnicové soustavě
x, y k počátku o graficky vyjadřuje elipsa setrvačnosti. Získáme ji tak, že uva-
žujeme v počátku o různé pravoúhlé dvojice os setrvačnosti s odpovídajícími
momenty setrvačnosti a poloměry setrvačnosti. Vedeme-li rovnoběžky s osami
setrvačnosti ve vzdálenosti příslušného poloměru setrvačnosti (obr.3.8), obalí
tyto přímky křivku, která je elipsou setrvačnosti pro bod o. Elipsa setrvačnosti
má v souřadnicové soustavě x, y rovnici
A
DII
xyDyIxI
xyyx
xyyx
2
22
2
−
=−+ . (3.26)
Obr. 3.8: Elipsa setrvačnosti obrazce pro bod o
Hlavní osy elipsy jsou hlavními osami setrvačnosti x
0
, y
0
obrazce a příslušné
hlavní poloosy a, b elipsy jsou představovány hlavními poloměry setrvačnosti,
pro něž platí vztahy
A
I
ia
x
max
0
== ,
A
I
ib
y
min
0
== . (3.27)
Elipsa setrvačnosti sestrojená pro těžiště obrazce se nazývá centrální elipsa
setrvačnosti a její poloosy tvoří hlavní centrální poloměry setrvačnosti.
3.6 Polární moment setrvačnosti
Vztáhneme-li moment setrvačnosti rovinného obrazce k libovolnému bodu o
v rovině obrazce (obr. 3.9), jedná se o tzv. polární moment setrvačnosti (patří
rovněž mezi kvadratické momenty).
Polární moment setrvačnosti je definován vztahem
∫
=
A
o
ArI d
2
, (3.28)
kde r je vzdálenost plošného elementu dA = dx dy od daného bodu o, přičemž
platí vztah
222
yxr += .
- 23 (34) -
Průřezové charakteristiky
Po jeho dosazení do (3.28) obdržíme
. (3.29)
∫∫∫
+=+=+=
AAA
yxo
IIAxAyAyxI ddd)(
2222
Rovnice (3.29) dokládá, že polární moment setrvačnosti I
o
rovinného obrazce
k bodu o je roven součtu dvou axiálních momentů setrvačnosti I
x
a I
y
ke dvěma
libovolným vzájemně kolmým osám x a y, procházejícím bodem o. Podle prv-
ního invariantu momentů setrvačnosti (3.20) není velikost polárního momentu
I
o
závislá na směrech vzájemně kolmých os x, y, vedených vyšetřovaným bo-
dem o.
Obr. 3.9: Obecný rovinný obrazec
3.6.1 Polární momenty ke dvěma libovolným bodům
Známe-li polární moment setrvačnosti k některému bodu o
1
o
I
1
roviny obrazce
(obr. 3.10), můžeme pomocí něj stanovit polární moment setrvačnosti I
o
k libovolnému jinému bodu o. Vzdálenost diferenciálního elementu r určíme ze
vztahu
2
1
2
1
2
)()( cydxr +++= , (3.30)
a po dosazení do (3.28) získáme
[] AdcdUcUIAcydxI
yxo
A
o
)(22d)()(
222
1
2
1
111
++++=+++=
∫
.(3.31)
Obr. 3.10: Polární momenty setrvačnosti
- 24 (34) -
Kvadratické momenty rovinných obrazců
V případě, že bod o
1
je těžištěm obrazce, budou mít statické momenty v (3.31)
nulové hodnoty a vztah se zjednoduší na tvar
, (3.32)
222
)( ApIAdcII
tto
+=++=
kde p je vzdálenost bodů o a o
1
podle výrazu
22
dcp += .
Rovnice (3.32) je analogická Steinerově větě (3.8) a slovně ji lze vyjádřit: Po-
lární moment setrvačnosti rovinného obrazce k libovolnému bodu roviny ob-
razce je roven polárnímu momentu setrvačnosti obrazce k jeho těžišti, zvětše-
nému o součin obsahu obrazce a čtverce vzdálenosti obou bodů.
3.7 Kvadratické momenty složených obrazců
V praxi se velmi často vyskytují průřezy složené z geometricky jednoduchých
částí, u nichž známe (viz např. tabulku 3.1) polohu těžiště a kvadratické mo-
menty příslušné jeho vlastním těžištním osám. Aplikací principu superpozice
účinků a transformačních vztahů (3.8) a (3.10) můžeme napsat pro výsledné
kvadratické momenty složeného rovinného obrazce k osám x, y vztahy
∑∑ ∑
== =
+=+==
n
i
n
i
n
i
iixiiixixx
yAIcAIII
it
11 1
22
,,
)()( ,
∑∑ ∑
== =
+=+==
n
i
n
i
n
i
iiyiiiyiyy
xAIdAIII
it
11 1
22
,,
)()( ,
∑∑
=
+=+==
n
i
n
i
iiiyx
n
i
iiiiyxixyxy
yxADdcADDD
iitt
1
,,
)()( , (3.33)
kde značí
i
A obsah i-tého dílčího obrazce,
it
xix
II =
,
,
it
yiy
II =
,
, kvadratické momenty i-tého dílčího
obrazce k jeho vlastním těžištním osám x
iitt
yxiyx
DD =
,
t,i
= x
i
, y
t,i
= y
i
, rovnoběžným
s osami x, y,
c
i
= y
i
, d
i
= x
i
souřadnice těžišť dílčích obrazců v souřadnicové soustavě
x, y.
U otvoru nebo odstraňované části v rámci celého složeného obrazce se pro
plošný obsah i kvadratické momenty uvažuje záporné znaménko.
3.7.1 Obrazec ohraničený polygonem
S využitím vztahů (2.13) pro plošné obsahy a souřadnice těžišť obou částí kaž-
dého lichoběžníku omezeného ohraničující úsečkou s koncovými body i, i+1
(obr. 2.4) určíme příslušné kvadratické momenty lichoběžníku
2
,2
3
11
3
1,
2
))((
36
1
)(
3
1
tiiiiiiiiix
yAyyxxyxxI +−−+−=
+++
,
- 25 (34) -
Průřezové charakteristiky
2
,2
3
11
2
,1
3
1,
21
))((
36
1
)(
12
1
tiiiiitiiiiiy
xAxxyyxAxxyI +−−++−=
+++
,
2211
,2
2
1
2
1,1,
)()(
72
1
0
ttiiiiittiixy
yxAyyxxyxAD +−−−+=
++
. (3.34)
Po dosazení za obsahy částí A
1,i
, A
2,i
a souřadnice těžišť x
t,1
, y
t,1
, x
t,2
, y
t,2
podle
(2.13), po úpravě a sumaci obdržíme výsledné výrazy pro kvadratické momen-
ty složeného obrazce ohraničeného polygonem ve tvaru
[]
∑
=
++++
+++−=
n
i
iiiiiiiix
yyyyyyxxI
1
3
1
2
11
23
1
))((
12
1
,
[ ]{}
∑
=
++++++
+++++−=
n
i
iiiiiiiiiiiiy
yyxyyxxyyxxxI
1
1
2
1111
2
1
)3()(2)3()(
12
1
,
[ +−+−+−=
++++
=
+∑ 1
2
1
22
1
2
1
2
1
22
1
2
)(2)3()3(
24
1
iiiiiii
n
i
iiixy
yyxxyxxyxxD
])(2
22
11 iiii
yyxx −+
++
. (3.35)
Popsaný algoritmus se hodí i pro obrazce s vnitřním otvorem, který má rovněž
tvar polygonu.
Příklad 3.1
Zadání
Stanovte momenty setrvačnosti a deviační momenty složeného obrazce
z příkladu 2.1 k jeho těžištním osám, hlavní momenty setrvačnosti, směry hlav-
ních os a poloměry setrvačnosti. Vykreslete elipsu setrvačnosti obrazce.
Obr. 3.11: Zadání příkladu 3.1
Řešení
Z příkladu 2.1 převezmeme plochy a polohy těžišť jednotlivých částí složeného
obrazce, celkovou plochu a polohu těžiště t (0,6242; 0,9512) m
a stanovíme momenty setrvačnosti a deviační momenty jednotlivých části
k těžištním osám složeného průřezu podle vztahů (3.8) a (3.10).
2
1,9573 mA=
- 26 (34) -
Kvadratické momenty rovinných obrazců
Obdélník 1
()
2
34
,1
1
1,0 1,7 1,7 0,85 0,9512 0, 42683 m
12
x
I =⋅+⋅− =
()
2
,1
1
1,0 1,7 1,7 0,5 0,6242 0,16789 m
12
y
I =⋅+⋅− =
( ) ( )
4
,1
0 1,7 0,85 0,9512 0,5 0,6242 0,02137 m
xy
D =+ ⋅ − ⋅ − =
Trojúhelník 2
()
2
34
,2
1
0,3 0,9 0,135 1,4 0,9512 0,03327 m
36
x
I =⋅+⋅− =
()
2
,2
1
0,3 0,9 0,135 0,1 0,6242 0,07148 m
36
y
I =⋅+⋅−− =
()(
22
,2
4
1
0,3 0,9 0,135 1,4 0,9512 0,1 0,6242
72
0,04489 m
xy
D =− ⋅ + ⋅ − ⋅ − − =
=−
)
Trojúhelník 3
()
2
34
,3
1
0,9 0,9 0,405 1,4 0,9512 0,09980 m
36
x
I =⋅+⋅− =
()
2
,3
1
0,9 0,9 0,405 1,3 0,6242 0,20319 m
36
y
I =⋅+⋅− =
()(
22
,3
4
1
0,9 0,9 0,405 1,4 0,9512 1,3 0,6242
72
0,13195 m
xy
D =+ ⋅ + ⋅ − ⋅ − =
=
)
Kruh 4
()
4
2
4
,4
0,3
0, 2827 1, 2 0,9512 0,02386 m
4
x
I
π⋅
=+⋅− =
()
4
2
4
,4
0,3
0, 2827 0,5 0,6242 0,01072 m
4
y
I
π⋅
=+⋅− =
()( )
4
,4
0 0,2827 1,2 0,9512 0,5 0,6242 0,00874 m
xy
D =+ ⋅ − ⋅ − =−
Kruhová část 4 tvoří otvor, proto i v tomto příkladu budeme v následujících
sumách členy odpovídající této části odečítat. Celkové momenty setrvačnosti
a deviační moment složeného obrazce určíme podle vztahů (3.33)
,1 ,2 ,3 ,4
4
0, 42683 0,03327 0,09980 0,02386 0,53604 m
t
xxx x x
III II=++−=
=++−=
,1 ,2 ,3 ,4
4
0,16789 0,07148 0, 20319 0,01072 0, 43184 m
t
yyy y y
III I I=++−=
=++−=
- 27 (34) -
Průřezové charakteristiky
() ()
,1 ,2 ,3 ,4
4
0,02137 0,04489 0,13195 0,00874 0,11717 m
tt
x y xy xy xy xy
DDDDD=++−=
=+−+− =
Hlavní momenty setrvačnosti k hlavním osám určíme ze vztahu (3.18)
()
()
2
2
max,min
2
2
1
4
22
0,53604 0, 43184 1
0,53604 0, 43184 4 0,11717
22
it
tt t
xy
xy xy
II
IIID
+
=±++=
+
++⋅
44
max min
0,61216 m ; 0,35571 mII==
Směr hlavních os určíme ze vztahu (6.15)
0
2
20,11717
tg 2 2, 2489
0, 43184 0,53604
tt
tt
xy
yx
D
II
α
⋅
== =−
−−
Tomu odpovídají dva úhly
00
33,014 a 56,986α α=− ° = °,
které určují polohu osy x
0
a y
0
, ke kterým jsou vztaženy hlavní momenty setr-
vačnosti. Protože deviační moment k původním těžištním osám složeného ob-
razce je kladný, prochází osa setrvačnosti, jíž přísluší maximální moment setr-
vačnosti, druhým a čtvrtým kvadrantem viz obr. 3.12.
Poloměry setrvačnosti určíme podle vztahů (3.23) a (3.27)
0,53604
0,5233 m
1,9573
t
t
x
x
I
i
A
== =
0,43184
0,4697 m
1,9573
t
t
y
y
I
i
A
== =
max
max
0,61216
0,5592 m
1,9573
I
i
A
== =
min
min
0,35571
0, 4263 m
1,9573
I
i
A
== =
Pomocí vypočtených poloměrů setrvačnosti sestrojíme elipsu setrvačnosti (viz
obr. 3.13).
- 28 (34) -
Kvadratické momenty rovinných obrazců
Obr. 3.12: Hlavní centrální osy setrvačnosti
Obr. 3.13: Elipsa setrvačnosti
Shrnutí
Pro účely budoucí statické analýzy prutových konstrukcí byly zaveden a osvět-
len pojem kvadratických momentů rovinných obrazců. Definovali jsme pojmy
momenty setrvačnosti a deviační momenty jednoduchých obrazců. Zabývali
jsme se pak jejich transformacemi k posunutým (Steinerova věta) a
k pootočeným souřadným osám, abychom analyticky i graficky (Mohrova
kružnice) mohli vyšetřit hlavní, resp. hlavní centrální momenty setrvačnosti.
Pojednáno bylo také o poloměru a elipse setrvačnosti. Byl definován i polární
moment setrvačnosti.
- 29 (34) -
Průřezové charakteristiky
Tab. 3.1: Geometrické charakteristiky rovinných obrazců
- 30 (34) -
Kvadratické momenty rovinných obrazců
Tab. 3.1: Geometrické charakteristiky rovinných obrazců (pokračování)
- 31 (34) -
Průřezové charakteristiky
Tab. 3.1: Geometrické charakteristiky rovinných obrazců (pokračování)
- 32 (34) -
Studijní prameny
4 Studijní prameny
4.1 Seznam použité literatury
[1] Kadlčák, J., Kytýr, J. Statika stavebních konstrukcí I. Základy stavební
mechaniky. Staticky určité prutové konstrukce. Druhé vydání. VUTI-
UM, Brno 2000
[2] Novotná, H., Cais, S., Ptáček, M. Teoretická mechanika. SNTL/ALFA,
Praha 1983
4.2 Seznam doplňkové studijní literatury
[3] Halliday, D., Resnick, R. a Walker, J. Fyzika. VUTIUM, Brno 2000
[4] Juliš, K., Brepta, R. Mechanika I. Statika a kinematika. Technický prů-
vodce 65. SNTL, Praha 1986
[5] Meriam, J. L. Engineering Mechanics. Statics and Dynamics. John Wi-
ley & Sons, New York 1978
[6] Cais, S. Statika stavebních konstrukcí – Dějiny stavební mechaniky.
Doplňková skripta. ČVUT, Praha 1991
4.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny
[7] http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians
- 33 (34) -
Průřezové charakteristiky
Poznámky
- 34 (34) -
Vloženo: 15.12.2009
Velikost: 710,13 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BD01 - Základy stavební mechaniky
Reference vyučujících předmětu BD01 - Základy stavební mechaniky
Podobné materiály
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - skripta
- BA01 - Matematika I - skripta
- BB01 - Fyzika - skripta
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta
- BC01 - Stavební chemie - skripta
- BC02 - Chemie stavebních látek - skripta
- BC03 - Chemie a technologie vody - skripta
- BD02 - Pružnost a pevnost - skripta
- BD04 - Statika II - skripta
- BE01 - Geodézie - skripta
- BF01 - Geologie - skripta
- BF02 - Mechanika zemin - skripta
- BF03 - Zakládání staveb - skripta
- BF05 - Mechanika hornin - skripta
- BG01 - Dějiny architektury a stavitelství - skripta
- BH03 - Pozemní stavitelství II (S) - skripta
- BH05 - Pozemní stavitelství III - skripta
- BH07 - Nauka o budovách I - skripta
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta
- BH11 - Požární bezpečnost staveb - skripta
- BH51 - Počítačová grafika (S) - skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - skripta
- BH55 - Poruchy a rekonstrukce - skripta
- BI01 - Stavební látky - skripta
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - skripta
- BI52 - Diagnostika stavebních konstrukcí (K) - skripta
- BJ01 - Keramika - skripta
- BJ02 - Keramika – laboratoře - skripta
- BJ04 - Technologie betonu I - skripta
- BJ07 - Izolační materiály - skripta
- BJ08 - Kovové a dřevěné materiály - skripta
- BJ09 - Technologie stavebních dílců - skripta
- BJ10 - Lehké stavební látky - skripta
- BJ11 - Technická termodynamika - skripta
- BJ12 - Technologie montovaných staveb - skripta
- BJ13 - Speciální izolace - skripta
- BJ14 - Speciální keramika - skripta
- BJ16 - Maltoviny II - skripta
- BJ51 - Maltoviny (M) - skripta
- BJ52 - Maltoviny - laboratoře (M) - skripta
- BJ53 - Těžba a úpravnictví surovin (M) - skripta
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - skripta
- BL04 - Vodohospodářské betonové konstrukce - skripta
- BL05 - Betonové konstrukce I - skripta
- BL06 - Zděné konstrukce (S) - skripta
- BL09 - Betonové konstrukce II - skripta
- BL11 - Předpjatý beton - skripta
- BL12 - Betonové mosty I - skripta
- BL13 - Vybrané stati z nosných konstrukcí budov - skripta
- BM01 - Pozemní komunikace I - skripta
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta
- BM52 - Praktické aplikace v pozemních komunikacích - skripta
- BO02 - Prvky kovových konstrukcí - skripta
- BO03 - Dřevěné konstrukce (A,K) - skripta
- BO04 - Kovové konstrukce I - skripta
- BO07 - Kovové a dřevěné konstrukce - skripta
- BP02 - Stokování a čištění odpadních vod - skripta
- BP03 - Vodárenství - skripta
- BP04 - Čistota vod - skripta
- BP05 - Odpadové hospodářství - skripta
- BP06 - Projekt vodní hospodářství obcí - skripta
- BP51 - Inženýrské sítě (V) - skripta
- BP56 - Rekonstrukce vodohospodářských sítí - skripta
- BT01 - TZB II - skripta
- BT02 - TZB III - skripta
- BT03 - Technická zařízení budov (E) - skripta
- BT51 - TZB I (S) - skripta
- BU01 - Informatika - skripta
- BV03 - Ceny ve stavebnictví I - skripta
- BV04 - Finance - skripta
- BV05 - Ekonomika investic - skripta
- BV07 - Právo - skripta
- BV08 - Projektové řízení staveb I - skripta
- BV09 - Řízení jakosti I - skripta
- BV10 - Financování stavební zakázky - skripta
- BV11 - Informační technologie systémová analýza - skripta
- BV12 - Marketing ve stavebnictví - skripta
- BV13 - Projekt – Stavební podnik - skripta
- BV14 - Projekt - Projektové řízení staveb - skripta
- BV51 - Pracovní inženýrství (E) - skripta
- BW01 - Technologie staveb I - skripta
- BW02 - Technologie stavebních prací II - skripta
- BW04 - Technologie staveb II - skripta
- BW05 - Realizace staveb - skripta
- BW06 - Stavební stroje - skripta
- BW51 - Technologie stavebních prací I (E) - skripta
- BZ01 - Stavební právo - skripta
- BZ03 - Sociální komunikace - skripta
- CD03 - Pružnost a plasticita - skripta
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - skripta
- BA02 - Matematika II - Skripta
- BA06 - Matematika I/1 - Skripta z jiných VŠ
- BA06 - Matematika I/1 - Skripta
- BA07 - Matematika I/2 - Skripta
- BB01 - Fyzika - Skripta fyzika
- BC01 - Stavební chemie - Skripta
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta
- BD03 - Statika I - Skripta
- BE01 - Geodézie - Skripta Geodézie
- BF02 - Mechanika zemin - Skripta
- BF51 - Zakládání staveb (V) - Skripta
- BG01 - Dějiny architektury a stavitelství - Skripta
- BH02 - Nauka o pozemních stavbách - Skripta
- BH51 - Počítačová grafika (S) - Skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Skripta do cvičení
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Skripta
- BI52 - Diagnostika stavebních konstrukcí (K) - Skripta
- BJ52 - Maltoviny - laboratoře (M) - Skripta
- BJ53 - Těžba a úpravnictví surovin (M) - Skripta
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - Skripta
- BO01 - Konstrukce a dopravní stavby - Skripta
- BO02 - Prvky kovových konstrukcí - Skripta
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Skripta - Hydraulika a hydrologie
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Skripta
- BS01 - Vodohospodářské stavby - Skripta
- BT51 - TZB I (S) - Skripta
- BU01 - Informatika - Skripta
- BV01 - Ekonomie - Ekonomie skripta
- BV02 - Základy podnikové ekonomiky - Přednášky, skripta, podklady
- BV51 - Pracovní inženýrství (E) - Skripta
- BW51 - Technologie stavebních prací I (E) - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BA06/07 - Matematika - Matematika-skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Vodorovné konstrukce - skripta
- BA01 - Matematika I - Skripta - Diferenciální počet I, Derivace funkce
- BA01 - Matematika I - Skripta - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce
- BA01 - Matematika I - Skripta - Reálná funkce jedné reálné proměnné
- BA01 - Matematika I - Skripta - Vektorový počet a jeho aplikace
- BA01 - Matematika I - Skripta - Základy lineární algebry
- BA04 - Matematika III - Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika, Základy testování hypotéz
- BA04 - Matematika III - Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika - Základy teorie odhadu
- BA02 - Matematika II - Skripta - Reálná funkce dvou a více proměnných
- BA02 - Matematika II - Skripta - Určitý integrál
- BA02 - Matematika II - Skripta - Neurčitý integrál
- BA02 - Matematika II - Skripta - Dvojný a trojný integrál
- BA02 - Matematika II - Skripta - Křivkové integrály
- BA02 - Matematika II - Skripta - Obyčejné diferenciální rovnice
- BA02 - Matematika II - Skripta - Obyčejné diferenciální rovnice II
- BE02 - Výuka v terénu z geodézie - Skripta - polohopis
- BE02 - Výuka v terénu z geodézie - Skripta - výškopis
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta - Základní pojmy a předpoklady
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta - Složené případy namáhání prutů, stabilita a vzpěrná pevnost tlačených porutů
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta - Teorie namáhání prutů
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Silové soustavy
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Staticky určité prutové konstrukce I
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Staticky určité prutové konstrukce II
- BJ15 - Technologie betonu II - skripta
- BJ01 - Keramika - miniskripta
- BJ05 - Základy technologických procesů - skripta
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - skripta M01
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - skripta M02
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - skripta M03
- BH07 - Nauka o budovách I - skripta M01
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M01
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M02
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M03
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M04
- BA05 - Operační výzkum - Skripta
- GE10 - Mapování I - skripta GPS
- BV53 - Stavební podnik - Skripta - stavební podnik
- BV06 - Podnikový management I - Skripta
- BF05 - Mechanika hornin - skripta 1
- BF05 - Mechanika hornin - skripta 2
- BF05 - Mechanika hornin - skripta 3
- BF05 - Mechanika hornin - skripta4
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO1
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO2
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO3
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO4
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO5
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO1
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO2
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO3
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO4
- BU01 - Informatika - SKRIPTA - operačné systémy
- BU01 - Informatika - SKRIPTA - počítačové siete
- BU01 - Informatika - SKRIPTA - technologie internetu
- BA03 - Deskriptivní geometrie - skripta
- BF01 - Geologie - podklady do cvičení + skripta
- BS05 - Vodní hospodářství krajiny II - Skripta
- BS03 - Nádrže a soustavy - Skripta
- BS04 - Vodní hospodářství krajiny I - Skripta
- BR06 - Hydrotechnické stavby I - Skripta
- BR07 - Hydrotechnické stavby II - Skripta
- BF05 - Mechanika hornin - skripta M1
- BF05 - Mechanika hornin - skripta m2
- BF05 - Mechanika hornin - skripta M3
- BF05 - Mechanika hornin - skripta M4
- BV05 - Ekonomika investic - Errata - skripta
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Skripta do cvicení
- CV14 - Ekonomické nástroje řízení stavební výroby - skripta
- CH54 - vybrané statě ze stavební fyziky - skripta
- BZ03 - Sociální komunikace - skripta
- BZ03 - Sociální komunikace - skripta1
- BH04 - Pozemní stavitelství II (E) - skripta
- BH04 - Pozemní stavitelství II (E) - skripta
- CZ54 - Inženýrská pedagogika - skripta
- BC01 - Stavební chemie - Spoznámkované 4 moduly skripta
- BA02 - Matematika II - Skripta
- 0V4 - Základy podnikové ekonomiky - Přednášky, materíály, skripta, prostě vše
- BV012 - Veřejné stavební investice 1 - Skripta BV012
- BD01 - Základy savební mechaniky - M02-Průřezové charakteristiky
- BD01 - Základy savební mechaniky - BD01-Základy stavební mechaniky M02-Průřezové charakteristiky
- BF02 - Mechanika zemin - Směrné normové charakteristiky jemnozrnných zemin
- BF02 - Mechanika zemin - Směrné normové charakteristiky písek a štěrk
Copyright 2024 unium.cz