- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálsin2 x + 3sinxcosx dx na
parenleftbigg
0, pi2
parenrightbigg
;
f)
integraldisplay 1
cosx−2sinx + 5 dx na R.
6 Integrace iracion´aln´ıch funkc´ı.
Opˇet odliˇs´ıme dva z´akladn´ı typy integr´al˚u iracion´aln´ıch funkc´ı.
23
6.1 Typ integraltext R
parenleftbigg
x, q1
radicalbigg
ax+b
cx+d,
q2
radicalbigg
ax+b
cx+d,...,
qm
radicalbigg
ax+b
cx+d
parenrightbigg
dx.
Necht’ R je racion´aln´ı funkce m + 1 promˇenn´ych. Uvaˇzujme funkci
R
x, q1
radicalBigg
ax + b
cx + d,
q2
radicalBigg
ax + b
cx + d,...,
qm
radicalBigg
ax + b
cx + d
,
kde a, b, c, d ∈ R, pˇriˇcemˇz ad−bc negationslash= 0.
Integraci funkc´ı tohoto typu lze pˇrev´est na integraci funkc´ı racion´aln´ıch v promˇenn´e
t. Vyjdeme-li ze vztahu
ax + b
cx + d = t
s,
kde s je nejmenˇs´ı spoleˇcn´y n´asobek ˇc´ısel q1, q2,...,qm, dostaneme
x = dt
s −b
a−cts.
Pˇr´ıklad 6.1. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci
1
x
radicalBigg
4x + 1
x−1
na intervalu (1,∞).
ˇReˇsen´ı.
integraldisplay 1
x
radicalBigg
4x + 1
x−1 dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
4x+1
x−1 = t
2 x = t2+1
t2−4
dx = −10t(t2−4)2dt
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
= −10
integraldisplay t2
(t2 + 1)(t2 −4) dt = 2
integraldisplay parenleftbigg
− 1t2 + 1 + 1t + 2 − 1t−2
parenrightbigg
dt
= 2ln
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsinglet + 2
t−2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle−2arctg t + c
= 2ln
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
radicalBig4x+1
x−1 + 2radicalBig
4x+1
x−1 −2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle−2arctg
radicalBigg
4x + 1
x−1 + c.
Pˇr´ıklad 6.2. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci
√x− 3√x
x 4√x + x 3√x
na intervalu (0,∞).
24
ˇReˇsen´ı.
integraldisplay √x− 3√x
x 4√x + x 3√x dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
x = t12
dx = 12t11 dt
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle = 12
integraldisplay t6 −t4
t15 + t16t
11 dt = 12
integraldisplay t2 −1
t + 1 dt
= 12
integraldisplay
(t−1)dt = 6t2 −12t + c = 6 6√x−12 12√x + c.
6.2 Typ integraltext R(x,√px2 + qx + r) dx.
Necht’
R(u,v) = P(u,v)Q(u,v)
je racion´aln´ı funkce dvou promˇenn´ych u, v a p, q, r ∈ R, p negationslash= 0. Uvaˇzujme integr´al
integraldisplay
R(x,
radicalBig
px2 + qx + r) dx .
Pokud m´a polynom px2 + qx + r
• dvojn´asobn´y re´aln´y koˇren, pak jde o integraci racion´aln´ı funkce;
• dva r˚uzn´e re´aln´e koˇreny, pak m˚uˇzeme pˇrev´est integr´al na integr´al typu
integraldisplay
R
x, q1
radicalBigg
ax + b
cx + d,
q2
radicalBigg
ax + b
cx + d,...,
qm
radicalBigg
ax + b
cx + d
dx;
• komplexn´ı koˇreny, pak tento pˇr´ıpad snadno pˇrevedeme jednoduch´ymi ´upravami
a line´arn´ı substituc´ı na n´asleduj´ıc´ı tvar:
integraldisplay
R(x,√1 + x2)dx,
kter´y d´ale m˚uˇzeme poˇc´ıtat s pouˇzit´ım:
(a) Eulerovy substituce
x = t
2 −1
2t , dx =
t2 + 1
2t2 dt,
kter´a pˇrevede dan´y integr´al na integr´al z racion´aln´ı funkce (substituce se
nˇekdy p´ıˇse ve tvaru √1 + x2 = t−x);
(b) goniometrick´e substituce
x = tgt, dx = 1cos2 tdt,
kter´a pˇrevede dan´y integr´al na integr´al z funkce R(cost,sint);
25
(c) hyperbolick´e substituce
x = sinht, dx = coshtdt, nebo x = cosht, dx = sinhtdt,
kter´a pˇrevede dan´y integr´al na integr´al z funkce R(cosht,sinht). Ve
vˇsech v´yˇse uveden´ych pˇr´ıpadech pouˇz´ıv´ame Vˇetu 3.2 (Druh´a substituˇcn´ı
metoda).
Pˇr´ıklad 6.3. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci
1
(x + 4)√x2 + 3x−4.
ˇReˇsen´ı. Funkce je definovan´a na mnoˇzinˇe (−∞,−4) ∪ (1,∞). Uvaˇzujme interval
(1,∞) a pouˇzijeme Vˇetu 3.2. Pak
integraldisplay 1
(x + 4)√x2 + 3x−4 dx =
integraldisplay 1
(x + 4)2
radicalBigx−1
x+4
dx
=
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
t =
radicalBigx−1
x+4 x =
4t2+1
1−t2
dx = 10t(1−t2)2 dt
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
=
integraldisplay (1−t2)2
25t ·
10t
(1−t2)2 dt
= 25
integraldisplay
dt = 25t = 25
radicalBigg
x−1
x + 4 + c.
Integr´aly typu integraldisplay
Ax + B√
ax2 + bx + c dx,
kde A, B, a, b, c ∈ R, A negationslash= 0, a negationslash= 0, lze ˇreˇsit v´yhodnˇe tak, ˇze je pˇrevedeme
na souˇcet integr´al˚u
K
integraldisplay fprime(x)
f(x) dx + L
integraldisplay 1
radicalBig
f(x)
dx,
kter´e jiˇz snadno vypoˇcteme.
Pˇr´ıklad 6.4. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci
x−1√
1−2x−x2.
26
ˇReˇsen´ı.
integraldisplay x−1
√1−2x−x2 dx = −12
integraldisplay −2x−2
√1−2x−x2 dx−2
integraldisplay 1
radicalBig
2−(x + 1)2
dx
= −√1−2x−x2 −2arcsin x + 1√2 + c,
kde x ∈ (−1−√2,−1 +√2).
Pˇr´ıklad 6.5. Vypoˇctˇete integr´al
integraldisplay x + 2
√x2 + 2x + 2 dx na R.
ˇReˇsen´ı.
integraldisplay x + 2
√x2 + 2x + 2 dx =
integraldisplay x + 2
radicalBig
(x + 1)2 + 1
dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
x + 1 = u
dx = du
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
=
integraldisplay u + 1
√1 + u2 du =
integraldisplay u
√1 + u2 du +
integraldisplay 1
√1 + u2 du
= I1 + I2,
kde
I1 =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
1 + u2 = s2
udu = sds
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle =
integraldisplay
ds = s = √1 + u2 = √x2 + 2x + 2;
I2 = ln(u +√1 + u2) = ln(x + 1 +√x2 + 2x + 2).
Celkem dost´av´ame
integraldisplay x + 2
√x2 + 2x + 2 dx = √x2 + 2x + 2 + ln(x + 1 +√x2 + 2x + 2) + c
pro x ∈ R.
Pˇr´ıklad 6.6. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci
1√
1 + x2
na R.
27
ˇReˇsen´ı. Zvol´ıme Eulerovu substituci podle bodu (a), kde t ∈ (0,∞) a pouˇzijeme
Vˇetu 3.2.
integraldisplay 1
√1 + x2 dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
x = t
2 −1
2t
dx = t
2 + 1
2t2 dt
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
=
integraldisplay 1
radicalBig
1 + (t2−1)24t2
· t
2 + 1
2t2 dt
=
integraldisplay 1
radicalBig
(t2+1)2
4t2
· t
2 + 1
2t2 dt =
integraldisplay 1
t dt = lnt
= ln
parenleftBig
x +√1 + x2
parenrightBig
+ c.
Pˇr´ıklad 6.7. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci
√1 + x2
na R.
ˇReˇsen´ı. Zvol´ıme hyperbolickou substituci podle bodu (c), kde t ∈ (−∞,∞).
integraldisplay √
1 + x2 dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
x = sinht t = argsinhx
dx = coshtdt
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
=
integraldisplay radicalBig
1 + sinh2 tcoshtdt =
integraldisplay
cosh2 tdt
= 12
integraldisplay
(1 + cosh2t)dt = 12
parenleftbigg
t + 12 sinh2t
parenrightbigg
= 12 (t + sinht cosht) = 12
parenleftbigg
t + sinht
radicalBig
1 + sinh2 t
parenrightbigg
= 12
parenleftBig
argsinhx + x√1 + x2
parenrightBig
= 12
bracketleftBig
ln(x +√1 + x2) + x√1 + x2
bracketrightBig
+ c.
Pozn´amka 6.1. Pˇredeˇsl´y pˇr´ıklad lze t´eˇz ˇreˇsit metodou per partes pˇri souˇcasn´em
vyuˇzit´ı v´ysledku z Pˇr´ıkladu 6.6 tohoto odstavce.
Pˇr´ıklad 6.8. Vypoˇctˇete integr´al
integraldisplay
x√1−4x−x2 dx.
28
ˇReˇsen´ı. Dan´a funkce je definovan´a pro x ∈ (−2−2√5,−2 + 2√5).
integraldisplay
x√1−4x−x2 dx = √5
integraldisplay
x
radicaltpradicalvertex
radicalvertexradicalbt
1−
parenleftBiggx + 2
√5
parenrightBigg2
dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
x+2√
5 = u
dx = √5du
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
= 5
integraldisplay
(√5u−2)√1−u2 du
= 5√5
integraldisplay
u√1−u2 du−10
integraldisplay √
1−u2 du
= 5√5I1 −10I2,
kde
I1 =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
1−u2 = s2
udu = sds
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle = −
integraldisplay
s2 ds = −13s3 = −13(1−u2)√1−u2
= − 115√5(1−4x−x2)√1−4x−x2,
I2 =
integraldisplay √
1−u2 du.
Dle Pˇr´ıkladu 3.2 pak m´ame
I2 = 12
parenleftBig
arcsinu + u√1−u2
parenrightBig
= 12
bracketleftBigg
arcsin
parenleftBiggx + 2
√5
parenrightBigg
+ x + 25 √1−4x−x2
bracketrightBigg
.
Celkem dost´av´ame
integraldisplay
x√1−4x−x2 dx
= −13
radicalBig
(1−4x−x2)3 −(x + 2)√1−4x−x2 −5arcsin x + 2√5 + c
pro x ∈ (−2−2√5,−2 + 2√5).
Pˇr´ıklad 6.9. Vypoˇctˇete integr´al
integraldisplay x5
(x2 −1)√1−x2 dx.
ˇReˇsen´ı. Integrovan´a funkce je definovan´a pro x ∈ (−1,1).
I =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
1−x2 = u2,
xdx = −udu
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle =
integraldisplay (1−u2)2
u2 dt =
1
3u
3 −2u− 1
u + c
= 13(1−x2)√1−x2 −2√1−x2 − 1√1−x2 + c
29
Cviˇcen´ı 6.1. Spoˇctˇete dan´e integr´aly na dan´ych oborech:
a)
integraldisplay √x
1 +√x dx na (0,∞);
b)
integraldisplay √x + 3√x
4√x5 − 6√x7 dx na (0,1);
c)
integraldisplay radicalBigg1 + x
1−x dx na (−1,1);
d)
integraldisplay x−3
√3−2x−x2 dx na (−3,1);
e)
integraldisplay √
x2 + 4x + 3 dx na (−1,∞);
f)
integraldisplay x
√x2 + x + 1 dx na R.
30
7 Kontroln´ı ot´azky.
• Definujte primitivn´ı funkci a neurˇcit´y integr´al a uved’te jejich z´akladn´ı vlast-
nosti.
• Zn´ate nˇejak´e neelement´arn´ı integr´aly? V ˇcem spoˇc´ıv´a jejich neelement´arnost?
• Uved’te vˇetu o integraci metodou per partes.
• ˇC´ım se liˇs´ı 1. a 2. substituˇcn´ı metoda? Zformulujte znˇen´ı odpov´ıdaj´ıc´ıch vˇet.
• Vysvˇetlete myˇslenkov´y postup v´ypoˇctu primitivn´ı funkce k parci´aln´ım zlomk˚um
tvaru Bx + C
(px2 + qx + r)k,
kde polynom ve jmenovateli m´a komplexn´ı koˇreny.
• Vysvˇetlete postup pˇri integraci racion´aln´ı funkce.
• Odvod’te rekurentn´ı vztah pro v´ypoˇcet integr´alu
integraldisplay 1
(t2 + a2)k dt.
• Co je c´ılem substituc´ı pˇri ˇreˇsen´ı integraltext R(sinx,cosx)dx?
• Jak se ˇreˇs´ı integr´aly typu integraltext sinαx·sinβxdx apod. ?
• Odvod’te, ˇcemu se rovn´a sinx, cosx pˇri substituci tg x2.
• Popiˇste postup pˇri ˇreˇsen´ı integr´al˚u tvaru
integraldisplay Ax + B
√ax2 + bx + c dx.
• Jak lze vypoˇc´ıtat integr´aly tvaru integraltext √ax2 + bx + cdx?
31
8 Autotest.
Spoˇctˇete dan´e integr´aly na dan´ych oborech:
1)
integraldisplay 3 + lnx
x 3√lnx−4 dx na
parenleftBig
0,e4
parenrightBig
;
2)
integraldisplay
e−2x sin(3x+2) dx na R;
3)
integraldisplay cos2x
cosx + sinx dx na
parenleftbigg
−pi4, 3pi4
parenrightbigg
;
4)
integraldisplay 1
√2x−x2 dx na (0,2);
5)
integraldisplay 1−2sin2 x
sin3 xcosx dx na
parenleftbigg
0, pi2
parenrightbigg
;
6)
integraldisplay (2x −3x)2
6x dx na R;
7)
integraldisplay 2lnx + 7
x
parenleftBig
ln2 x + lnx−2
parenrightBig dx na ;
8)
integraldisplay 1
x3
5
radicalBigg x
x + 1 dx na (−∞,−1);
9)
integraldisplay
cos(3x−1)cos x + 23 dx na R;
10)
integraldisplay
x2 cos2 x dx na R.
9 V´ysledky cviˇcen´ı a autotestu.
Cviˇcen´ı 2.1.
a) x
4
4 −ln|x|+
2
5x
4√x + 18 3√x + c;
b) 2
√x
45 (5x
4 −27x2 −45) + c;
c) x3
parenleftBig
2√x−3
parenrightBig
+ c;
d) x + cosx + c;
e) x−sinx2 + c;
f) tgx−x + c.
32
Cviˇcen´ı 3.1.
a) −14 ln|3−4x|+ c = −14 ln(4x−3) + c pro x ∈
parenleftbigg3
4,∞
parenrightbigg
;
b) 13cos3 x + c;
c) 13
radicalBig
(5 + x2)3 −5√5 + x2 + c;
d) 14 arcsin4 x + c;
e) 15 arctg x + 25 + c;
f) arcsin x + 23 + c.
Cviˇcen´ı 3.2.
a) xsin(4x + 3)4 + cos(4x + 3)16 + c;
b) 18(2x2 −2xsin2x−cos2x) + c;
c) xlogx− xln10 + c;
d) xarctg3x− 16 ln
parenleftBig
1 + 9x2
parenrightBig
+ c;
e) e
2x
29 (5sin5x + 2cos5x) + c;
f) −ln
2 x
2x2 −
lnx
2x2 −
1
4x2 + c.
Cviˇcen´ı 4.1.
a) 2ln
parenleftBig
x2 + 5x + 7
parenrightBig
− 22√3 arctg 2x + 5√3 + c;
b) 53 ln|x−1|+ 13 ln|x + 2|+ c;
c) x− 12x2 + ln |x
3|
|x−2| + c;
d) ln |x
2 + x + 1|
|x| + c;
e) lnx2√x2 −2x + 2 + c;
33
f) 52 ln
vextendsinglevextendsingle
vextendsingleln2 x−lnx + 1
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle+ 11√3 arctg 2lnx−1√3 + c.
Cviˇcen´ı 5.1.
a) arctg(cosx)−cosx + c;
b) −cos
2 x
2 +
2cos3 x
3 −
cos4 x
4 + c;
c) 12 cos2 x−2cosx + 3ln|cosx + 2|+ c;
d) 1√2 arctg
parenleftBiggtgx
√2
parenrightBigg
+ c;
e) 13 ln
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
tgx
tgx + 3
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle+ c;
f) 1√3 arctg 2tg
x
2 −1√
5 + c.
Cviˇcen´ı 6.1.
a) x−2√x + 2ln(√x + 1) + c;
b) 4 4√x + 6 6√x + 24 12√x + 24ln| 12√x−1|+ c;
c) 2arctg
radicalBigg
1 + x
1−x −
√1−x2 + c;
d) −√3−2x−x2 −4 arcsin
parenleftbiggx + 1
2
parenrightbigg
+ c;
e) 14 (2x + 4)√x2 + 4x + 3− 12 ln
parenleftBig
x + 2 +√x2 + 4x + 3
parenrightBig
+ c;
f) −12 ln 2x + 1 +
√x2 + x + 1
√3 +√x2 + x + 1 + c.
Autotest. 8
1) 35 3
radicalBig
(lnx−4)5 + 212 3
radicalBig
(lnx−4)2 + c;
2) −e
−2x
13 (3cos(3x + 2) + 2sin(3x + 2)) + c;
3) sinx + cosx + c;
4) arcsin(x−1) + c;
34
5) − 12tg2 x + 2tgx + ln|tgx|+ c;
6)
parenleftBig2
3
parenrightBigx
−
parenleftBig3
2
parenrightBigx
ln 23 −2x + c;
7) −12
parenleftbigg x + 2
x2 + 2x + 2 + arctg(x + 1)
parenrightbigg
+ c;
8) 54
parenleftbiggx + 1
x
parenrightbigg4/5
− 59
parenleftbiggx + 1
x
parenrightbigg9/5
+ c;
9) 320 sin 10x−13 + 316 sin 8x−53 + c;
10) 16x3 + 14x2 sin2x + 14xcos2x− 18 sin2x + c.
35
10 Studijn´ı prameny.
[1] Bourbaki, N.: Funkcii dejstvitelnovo peremennovo. Moskva 1965.
[2] Brabec, J., Hr˚uza, B.: Matematick´a anal´yza I. SNTL, Praha 1985.
[3] Danˇeˇcek, J., Dlouh´y, O., Koutkov´a, H., Prudilov´a, K., Sekaninov´a, J., Slatinsk´y, E.:
Sb´ırka pˇr´ıklad˚u z matematika I. VUT FAST Cerm, Brno 2000.
[4] Fichtengolc, G. M.: Kurz diferencialnovo i integralnovo iscislenija II. Nauka,
Moskva 1951.
[5] Milota, J.: Matematick´a anal´yza I–II. SPN, Praha 1978.
[6] Prudnikov, A. P., Bryˇckov, J. A., Mariˇcev, O. I.: Integr´aly i rjady. Nauka,
Moskva 1981.
[7] Rektorys, K. a kol.: Pˇrehled uˇzit´e matematiky I. Prometheus, Praha 1995.
[8] Schwabik, ˇS.: Integrace v R. Kurzweilova teorie. Karolinum, UK Praha 1999.
[9] ˇSkr´aˇsek, J., Tich´y, Z.: Z´aklady aplikov´akovan´e matematiky II. SNTL, Praha
1986.
[10] Ungermann Z.: Matematika a ˇreˇsen´ı fyzik´aln´ıch ´uloh. SPN, Praha 1990.
36
A Vzorov´a zad´an´ı kontroln´ıch test˚u.
Matematika, 1. semestr Zpracoval:
Test ˇc. 3 Jm´eno: ...............................................
Adresa: ..............................................
1. Vhodn´ymi ´upravami vypoˇctˇete integr´aly:
a)
integraldisplay (1−x)2
x√x dx b)
integraldisplay 1 + sin2 x + 2cos2 x
1−cos2x dx
c)
integraldisplay 1 + cos2 x·sin2 x
2
cos2 x dx d)
integraldisplay 3x4 −7x2 + 5
x2 + 1 dx
2. Vhodnou substituc´ı ˇreˇste integr´aly:
a)
integraldisplay 1
4x2 + 4x + 5 dx b)
integraldisplay 1
√4 + 6x−3x2 dx
c)
integraldisplay x
(1 + x2)3 dx d)
integraldisplay 5
x(3−5lnx) dx
3. Metodou per partes vypoˇctˇete:
a)
integraldisplay
(x−1)2 sin(2x−1)dx b)
integraldisplay
e2x ·cos3xdx
c)
integraldisplay
arcsin2 xdx d)
integraldisplay √
xln2 xdx
e)
integraldisplay √
3 + 4x−x2 dx
pˇr. 1a 1b 1c 1d 2a 2b 2c 2d 3a 3b 3c 3d 3e summationdisplay opravil(a)
max. bod˚u 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 36
z´ıs. bod˚u
Matematika, 1. semestr Zpracoval:
Test ˇc. 4 Jm´eno: ...............................................
Adresa: ..............................................
1. Vypoˇctˇete integr´aly racion´aln´ıch funkc´ı:
a)
integraldisplay x3 −1
4x3 −x dx b)
integraldisplay x
x3 −1 dx
c)
integraldisplay x2 −2x−7
x4 + 2x2 −8x + 5 dx
2. Vhodn´ymi substitucemi ˇreˇste integr´aly:
a)
integraldisplay x + 1
x√x−2 dx b)
integraldisplay
3
radicalBigg
x + 1
x−1 ·
1
(x + 1)(x−1) dx
c)
integraldisplay 2x−10
√1 + x−x2 dx d)
integraldisplay 2−sinx
2 + cosx dx
e)
integraldisplay 1
sin5 x·cos5 x dx
pˇr. 1a 1b 1c 2a 2b 2c 2d 2e summationdisplay opravil(a)
max. bod˚u 4 4 4 4 4 4 4 4 32
z´ıs. bod˚u
Vloženo: 15.12.2009
Velikost: 337,51 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BA02 - Matematika II
Reference vyučujících předmětu BA02 - Matematika II
Podobné materiály
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - skripta
- BA01 - Matematika I - skripta
- BB01 - Fyzika - skripta
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta
- BC01 - Stavební chemie - skripta
- BC02 - Chemie stavebních látek - skripta
- BC03 - Chemie a technologie vody - skripta
- BD02 - Pružnost a pevnost - skripta
- BD04 - Statika II - skripta
- BE01 - Geodézie - skripta
- BF01 - Geologie - skripta
- BF02 - Mechanika zemin - skripta
- BF03 - Zakládání staveb - skripta
- BF05 - Mechanika hornin - skripta
- BG01 - Dějiny architektury a stavitelství - skripta
- BH03 - Pozemní stavitelství II (S) - skripta
- BH05 - Pozemní stavitelství III - skripta
- BH07 - Nauka o budovách I - skripta
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta
- BH11 - Požární bezpečnost staveb - skripta
- BH51 - Počítačová grafika (S) - skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - skripta
- BH55 - Poruchy a rekonstrukce - skripta
- BI01 - Stavební látky - skripta
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - skripta
- BI52 - Diagnostika stavebních konstrukcí (K) - skripta
- BJ01 - Keramika - skripta
- BJ02 - Keramika – laboratoře - skripta
- BJ04 - Technologie betonu I - skripta
- BJ07 - Izolační materiály - skripta
- BJ08 - Kovové a dřevěné materiály - skripta
- BJ09 - Technologie stavebních dílců - skripta
- BJ10 - Lehké stavební látky - skripta
- BJ11 - Technická termodynamika - skripta
- BJ12 - Technologie montovaných staveb - skripta
- BJ13 - Speciální izolace - skripta
- BJ14 - Speciální keramika - skripta
- BJ16 - Maltoviny II - skripta
- BJ51 - Maltoviny (M) - skripta
- BJ52 - Maltoviny - laboratoře (M) - skripta
- BJ53 - Těžba a úpravnictví surovin (M) - skripta
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - skripta
- BL04 - Vodohospodářské betonové konstrukce - skripta
- BL05 - Betonové konstrukce I - skripta
- BL06 - Zděné konstrukce (S) - skripta
- BL09 - Betonové konstrukce II - skripta
- BL11 - Předpjatý beton - skripta
- BL12 - Betonové mosty I - skripta
- BL13 - Vybrané stati z nosných konstrukcí budov - skripta
- BM01 - Pozemní komunikace I - skripta
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta
- BM52 - Praktické aplikace v pozemních komunikacích - skripta
- BO02 - Prvky kovových konstrukcí - skripta
- BO03 - Dřevěné konstrukce (A,K) - skripta
- BO04 - Kovové konstrukce I - skripta
- BO07 - Kovové a dřevěné konstrukce - skripta
- BP02 - Stokování a čištění odpadních vod - skripta
- BP03 - Vodárenství - skripta
- BP04 - Čistota vod - skripta
- BP05 - Odpadové hospodářství - skripta
- BP06 - Projekt vodní hospodářství obcí - skripta
- BP51 - Inženýrské sítě (V) - skripta
- BP56 - Rekonstrukce vodohospodářských sítí - skripta
- BT01 - TZB II - skripta
- BT02 - TZB III - skripta
- BT03 - Technická zařízení budov (E) - skripta
- BT51 - TZB I (S) - skripta
- BU01 - Informatika - skripta
- BV03 - Ceny ve stavebnictví I - skripta
- BV04 - Finance - skripta
- BV05 - Ekonomika investic - skripta
- BV07 - Právo - skripta
- BV08 - Projektové řízení staveb I - skripta
- BV09 - Řízení jakosti I - skripta
- BV10 - Financování stavební zakázky - skripta
- BV11 - Informační technologie systémová analýza - skripta
- BV12 - Marketing ve stavebnictví - skripta
- BV13 - Projekt – Stavební podnik - skripta
- BV14 - Projekt - Projektové řízení staveb - skripta
- BV51 - Pracovní inženýrství (E) - skripta
- BW01 - Technologie staveb I - skripta
- BW02 - Technologie stavebních prací II - skripta
- BW04 - Technologie staveb II - skripta
- BW05 - Realizace staveb - skripta
- BW06 - Stavební stroje - skripta
- BW51 - Technologie stavebních prací I (E) - skripta
- BZ01 - Stavební právo - skripta
- BZ03 - Sociální komunikace - skripta
- CD03 - Pružnost a plasticita - skripta
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - skripta
- BA02 - Matematika II - Skripta
- BA06 - Matematika I/1 - Skripta z jiných VŠ
- BA06 - Matematika I/1 - Skripta
- BA07 - Matematika I/2 - Skripta
- BB01 - Fyzika - Skripta fyzika
- BC01 - Stavební chemie - Skripta
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta
- BD03 - Statika I - Skripta
- BE01 - Geodézie - Skripta Geodézie
- BF02 - Mechanika zemin - Skripta
- BF51 - Zakládání staveb (V) - Skripta
- BG01 - Dějiny architektury a stavitelství - Skripta
- BH02 - Nauka o pozemních stavbách - Skripta
- BH51 - Počítačová grafika (S) - Skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Skripta do cvičení
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Skripta
- BI52 - Diagnostika stavebních konstrukcí (K) - Skripta
- BJ52 - Maltoviny - laboratoře (M) - Skripta
- BJ53 - Těžba a úpravnictví surovin (M) - Skripta
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - Skripta
- BO01 - Konstrukce a dopravní stavby - Skripta
- BO02 - Prvky kovových konstrukcí - Skripta
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Skripta - Hydraulika a hydrologie
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Skripta
- BS01 - Vodohospodářské stavby - Skripta
- BT51 - TZB I (S) - Skripta
- BU01 - Informatika - Skripta
- BV01 - Ekonomie - Ekonomie skripta
- BV02 - Základy podnikové ekonomiky - Přednášky, skripta, podklady
- BV51 - Pracovní inženýrství (E) - Skripta
- BW51 - Technologie stavebních prací I (E) - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BA06/07 - Matematika - Matematika-skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Vodorovné konstrukce - skripta
- BA01 - Matematika I - Skripta - Diferenciální počet I, Derivace funkce
- BA01 - Matematika I - Skripta - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce
- BA01 - Matematika I - Skripta - Reálná funkce jedné reálné proměnné
- BA01 - Matematika I - Skripta - Vektorový počet a jeho aplikace
- BA01 - Matematika I - Skripta - Základy lineární algebry
- BA04 - Matematika III - Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika, Základy testování hypotéz
- BA04 - Matematika III - Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika - Základy teorie odhadu
- BA02 - Matematika II - Skripta - Reálná funkce dvou a více proměnných
- BA02 - Matematika II - Skripta - Určitý integrál
- BA02 - Matematika II - Skripta - Dvojný a trojný integrál
- BA02 - Matematika II - Skripta - Křivkové integrály
- BA02 - Matematika II - Skripta - Obyčejné diferenciální rovnice
- BA02 - Matematika II - Skripta - Obyčejné diferenciální rovnice II
- BE02 - Výuka v terénu z geodézie - Skripta - polohopis
- BE02 - Výuka v terénu z geodézie - Skripta - výškopis
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta - Základní pojmy a předpoklady
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta - Složené případy namáhání prutů, stabilita a vzpěrná pevnost tlačených porutů
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta - Teorie namáhání prutů
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Silové soustavy
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Průřezové charakteristiky
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Staticky určité prutové konstrukce I
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Staticky určité prutové konstrukce II
- BJ15 - Technologie betonu II - skripta
- BJ01 - Keramika - miniskripta
- BJ05 - Základy technologických procesů - skripta
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - skripta M01
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - skripta M02
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - skripta M03
- BH07 - Nauka o budovách I - skripta M01
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M01
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M02
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M03
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M04
- BA05 - Operační výzkum - Skripta
- GE10 - Mapování I - skripta GPS
- BV53 - Stavební podnik - Skripta - stavební podnik
- BV06 - Podnikový management I - Skripta
- BF05 - Mechanika hornin - skripta 1
- BF05 - Mechanika hornin - skripta 2
- BF05 - Mechanika hornin - skripta 3
- BF05 - Mechanika hornin - skripta4
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO1
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO2
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO3
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO4
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO5
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO1
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO2
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO3
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO4
- BU01 - Informatika - SKRIPTA - operačné systémy
- BU01 - Informatika - SKRIPTA - počítačové siete
- BU01 - Informatika - SKRIPTA - technologie internetu
- BA03 - Deskriptivní geometrie - skripta
- BF01 - Geologie - podklady do cvičení + skripta
- BS05 - Vodní hospodářství krajiny II - Skripta
- BS03 - Nádrže a soustavy - Skripta
- BS04 - Vodní hospodářství krajiny I - Skripta
- BR06 - Hydrotechnické stavby I - Skripta
- BR07 - Hydrotechnické stavby II - Skripta
- BF05 - Mechanika hornin - skripta M1
- BF05 - Mechanika hornin - skripta m2
- BF05 - Mechanika hornin - skripta M3
- BF05 - Mechanika hornin - skripta M4
- BV05 - Ekonomika investic - Errata - skripta
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Skripta do cvicení
- CV14 - Ekonomické nástroje řízení stavební výroby - skripta
- CH54 - vybrané statě ze stavební fyziky - skripta
- BZ03 - Sociální komunikace - skripta
- BZ03 - Sociální komunikace - skripta1
- BH04 - Pozemní stavitelství II (E) - skripta
- BH04 - Pozemní stavitelství II (E) - skripta
- CZ54 - Inženýrská pedagogika - skripta
- BC01 - Stavební chemie - Spoznámkované 4 moduly skripta
- BA02 - Matematika II - Skripta
- 0V4 - Základy podnikové ekonomiky - Přednášky, materíály, skripta, prostě vše
- BV012 - Veřejné stavební investice 1 - Skripta BV012
- BA02 - Matematika II - Neurčitý integrál
- BA01 - Matematika I - BA01-Matematika_I--M07-Neurcity_integral
- GA04 - Matematika II - GA04-Matematika II M01-Neurčitý integrál
- BA02 - Matematika II - Přehled základních integrálů
- BA02 - Matematika II - Tabulka s integrály 1
- BA02 - Matematika II - Tabulka s integrály 2
- BA07 - Matematika I/2 - Integrály
- BA07 - Matematika I/2 - Základní typy integrálu
- BA02 - Matematika II - Určitý integrál
- BA02 - Matematika II - Trojny integral priklady
- BA02 - Matematika II - Trojny integral priklady
- BA02 - Matematika II - Trojny integral priklady
- BA02 - Matematika II - Trojny integral priklady
- BA02 - Matematika II - Aplikace křivkového integrálu
- BA01 - Matematika I - BA01-Matematika_I--M08-Urcity_integral
- 0B1 - Fyzika (1) - derivace_integraly_strucne
- BA02 - Matematika II - BA02-Matematika II M01-Dvojný a trojný integrál
- BA02 - Matematika II - BA02-Matematika II M02-Křivkové integrály
- GA04 - Matematika II - GA04-Matematika II M02-Určitý integrál
- GA05 - Matematika III - GA05-Matematika III M01-Dvojný a trojný integrál
- GA05 - Matematika III - GA05-Matematika III M02-Křivkové integrály
- BA02 - Matematika II - Krivkový integrál
- BA07 - Matematika I/2 - Integrály - 45 vypočítaných příkladů
Copyright 2024 unium.cz