- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálliže tkx ωθ −= , potom s narůstajícím časem x rovněž roste (při konstantní fázi)⇒
hřeben vln se pohybuje ve směru narůstajícího x (doprava).
• Pro tkx ωθ += , potom s narůstajícím časem x se stává menší (při konstantní fázi)⇒
hřeben vln se pohybuje ve směru snižujícího se x (doleva).
Matematické upřesnění:
ftxtx πλπθ 22),( −= = konst. (jakýkoliv stálý úhel),
z toho ftkonstx λπλ += ..2 .
Rychlost pevného bodu vlny
ffdtdxrychlost λλ =+== 0 .
Víme, že ve vakuu je rychlost rovna rychlosti světla c ≅ 3.108 m.s-1 a v materiálu s indexem
lomu n je rychlost = c/n.
Ve vakuu
fc 0λ= nebo fc=0λ .
V materiálu
nfcn 01 λλ == .
Vlnové číslo pro vakuum
0
0
2
λ
π=k
Vlnové číslo pro látku nkk 02 == λπ .
Užitím těchto vztahů upravíme Snellův zákon
xλα =sin a x´sin λβ =
z toho vidíme, že
´sinsin1 λ βλα ==x .
Protože víme n0λλ = a ´´ 0nλλ =
zjistíme, že
π/2 θ
βλαλ sin´sin
00
nn =
a po úpravě dostaneme Snellův zákon lomu βα ´sinsin nn = .
3. Vlnový vektor a směr šíření vlnění
Předchozí případ byl řešen pro vlnění v jednom směru podél přímky. Pro případ 3D
musíme uvažovat vlnění v prostoru daném Kartézským souřadným systémem.
Řešení pomocí vektorů
Místo vlnového čísla k budeme uvažovat vlnový vektor kr .
Pro vlnový vektor platí: velikost vlnového vektoru je rovna vlnovému číslu
λπ2==kkr .
Harmonická vlna, která má směr vlnového vektoru může být popsána rovnicí
( )trkAtr ωψ −= rrr sin),( , kde
n
n´
čáry znázorňující
obrysy stejné fáze
θ
θ
λ
θ´
θ´
x
k
kx
ky
kz
zkyjxir rrrr ++=
je polohový vektor bodu v Kartézských souřadnicích x, y, z.
zyx rrr ,, vektory určené jako součin jednotkového vektoru v příslušné ose a velikosti zkyjxi rrr ,, .
Skalární součin vektorů
zkykxkrk zyx ++=rr. .
Příklad:
pro vlnový vektor kr bodů ve směru osy x xkik rr = a 0, =zy kk . Potom xkrk x=rr.
a ( )txkAtr x ωψ −= sin),(r .
Tato vlna putuje podél osy x (viz. obrázek, kde obdélník (čerchovanou čarou) představuje
rovinu, kde je konstantní fáze. Tzn., že pokud je rovnice platná pro všechny y a z hodnoty při
stejném x má rovina konstantní fázi txkx ωθ −= .
Podobný příklad, za předpokladu, že vlnový vektor kr má směr ležící v rovině x-y,
yx kjkik
rrr += a tedy ykxkrk
yx +=
rr.
Amplituda vlnění (okamžitý stav)
( )tykxkAtr yx ωψ −+= sin),(r .
Vlnění probíhá v tomto případě v rovině x-y podél směru daného úhlem φ.
4. Vlnění příčné a podélné
Celý náš život je obklopen vlnami. Některé můžeme vidět, některé slyšet a vnímat je
tedy očima nebo ušima jako světlo a zvuk.
Vlnění v makroskopickém světě:
• vlny na vodě – jsou produkovány větrem, loděmi v pohybu, přílivem,
• zvukové vlny – vznikají kmitáním částic prostředí, rychlým pohybem těles v určitém
prostředí, zpravidla ve vzduchu,
y
z
x
y
z
k
x
y
z
k
x
y
xφ
k =ksiny φ
k =kcosx φ
• seismické vlny – vznikají při pohybu zemských desek, zemětřesení,
• vlnění strun – případně dalších objektů např. mostů,
Vlnění v mikroskopickém světě:
• částice v látce , která je z nich složena (elektrony, protony, neutrony, atd.) se chovají jako
vlny,
• vhodně excitované atomy a molekuly produkují elektromagnetické vlnění (rádiové vlny,
mikrovlny, IČ, VIS, UV, rtg, gama).
Všechny tyto vlnové fenomény mohou být popsány harmonickou vlnou.
Co je ),( txψ pro každé vlnění?
Obecně je možné konstatovat, že průběh vlnové amplitudy ψ je dán podélným nebo příčným
uspořádáním ke směru šíření.
Příčné vlnění –
Příklady příčného vlnění – vlny na vodě, na struně, světlo.
Podélné vlnění –
Příklady podélného vlnění – zvukové vlny, seismické vlny, kmitání pružiny.
Na obrázku je patrné zhuštění a zředění částic ve směru šíření vlnění.
Vlnění z pohledu fyzikální optiky
Okamžitá amplituda ψ světelné vlny představuje pole, ve kterém působí elektrické a
magnetické síly generované nabitými částicemi. Pole se nazývá elektromagnetické a z toho
vyplývá pojem elektromagnetická vlna.
Existuje analogie mezi polem elektromagnetickým a gravitačním.
čas t1
ψ(x,t1)
čas t2 x
čas t1
ψ(x,t1)
x
čas t2
5. Intenzita světelného vlnění
Doposud jsme vyjadřovali harmonické vlnění pojmem vlnové amplitudy. Ve
skutečnosti, je výhodnější popsat schopnost vlnění přenášet energii (informaci) pomocí
intenzity vlnění.
Intenzita světelného vlnění:
veličina určující množství energie přenesené vlněním jednotkovou plochou za jednotku času:
=
==
2
2
.. m
W
S
P
plochačas
Energie
St
WI ψ .
Plocha je měřená v rovině orientované kolmo ke směru šíření.
Intenzita popsaná tímto způsobem je nazývána také jako okamžitá intenzita, protože
poskytuje intenzitu světelné vlny v daném místě.
K tomu by bylo třeba velmi rychlé detekce.
Frekvence vlnění
0λ
cf = ,
pro c = 3.108 m/s, např. vlnová délka červeného světla 0λ = 600 nm,
f = 5.1014 Hz (hřeben vlny uplyne za 2.10-15 sekundy).
Proto je výhodnější vyjadřovat časovou střední hodnotu intenzity světelného vlnění.
Všechny praktické metody detekce světla (včetně našich očí, fotografického filmu, CCD
prvků, polovodičových detektorů apod. produkují signál úměrný druhé mocnině amplitudy
vlny ),( txψ , nebo intenzity I(x,t) zprůměrované přes mnoho period času světelné vlny.
Časová střední hodnota intenzity je značena
2ψ=I .
Závorky značí, že veličina uvnitř je "průměrována" v delším časovém intervalu ve srovnání s
periodou světelné vlny T = 1/f.
Nalezení časové střední hodnoty
n txtxtxtxtx n),(...),(),(),(),( 321 ψψψψψ ++++= .
z obrázku je patrné, že každé kladné hodnotě odpovídá stejně velká záporná hodnota ⇒
časová střední hodnota amplitudy harmonické vlny = 0
1 m
1 m
0),( =txψ .
Postupujme podobně u časové střední hodnoty intenzity
n txtxtxtxtxI n),(...),(),(),(),(
2
3
2
2
2
1
2
2 ψψψψψ ++++== .
Z obrázku je zřejmé, že časová střední hodnota intenzity je rovna 2
2A
.
Vyjádření časové střední hodnoty intenzity harmonické vlny
2)(cos),(
2)(sin),(
2
222
2
222
AtkxAtxI
AtkxAtxI
=−==
=−==
ωψ
ωψ
.
Příklad:
Časová střední hodnota intenzity rovinné vlny s amplitudou A je 2
2
2 m
WA .
(pro detektor o ploše 1 m2 dostaneme výkon 1 W).
A
0
t
ψ(t)
-A
+ +
- -t t t1 2 3 tN
0
t
ψ(t)
t t t1 2 3 tN
A2
A /22
Interference vlnění
1. Superpozice (skládání) harmonických vln
V případě, že současně existují dvě a více vlnění, celková amplituda je dána součtem
jejich jednotlivých okamžitých amplitud
...),(),(),(),( 321 +++= txtxtxtx ψψψψ
Pro pochopení principu superpozice vlnění předpokládejme pro jednoduchost situaci v čase t
= 0.
• Superpozice vln se stejnou vlnovou délkou
Vlnění ve fázi – nejjednodušší případ 2 superponujících vln – případ, kdy obě vlny
mají stejnou λ i počáteční fázi
)cos()( 11 kxAx =ψ a )cos()( 22 kxAx =ψ
)cos()()()()( 2121 kxAAxxx +=+= ψψψ
Graficky součet dvou vlnění ve fázi
V obecném případě 2 vlny mohou mít různou počáteční fázi – rozfázovaná vlnění.
Příklad:
Předpokládejme vlnění popsaná rovnicemi
)cos()( 111 φψ += kxAx a )cos()( 222 φψ += kxAx ,
kde 1φ a 2φ jsou dvě různé počáteční fáze.
Potom )cos()cos()()()( 221121 φφψψψ +++=+= kxAkxAxxx .
Tento výraz můžeme zjednodušit pomocí goniometrického vztahu
βαβαβα sinsincoscos)cos( −=+
tedy
22221111 sin)sin(cos)cos(sin)sin(cos)cos()( φφφφψ kxAkxAkxAkxAx −+−= ,
nebo
)sin()sinsin()cos()coscos()( 22112211 kxAAkxAAx φφφφψ +−+= .
Označme si novou celkovou amplitudu A a novou celkovou fázi
2211 coscoscos φφφ AAA += a 2211 sinsinsin φφφ AAA += .
Potom
( ))sin(sin)cos(cos)( kxkxAx φφψ −= ,
nebo užitím goniometrických vztahů
A1+A2
A2
A1
λ 2λ
ψ1
ψ2
ψ3
)cos()( φψ += kxAx .
Tento vztah vypadá jednoduše, ale neznáme výslednou amplitudu
Řešení:
( ) 22222222 1sincossincos AAAA ==+=+ φφφφ
2
22
221211
22
12
22
221211
22
1
2
2211
2
2211
sincossin2sincoscoscos2cos
)sinsin()coscos(
φφφφφφφφ
φφφφ
AAAAAAAA
AAAA
+++++=
=+++=
( )
( ) ( )
( ) 22212121
2
2
2
22
22121211
2
1
22
1
cos2
sincossinsincoscos2sincos
AAAA
AAAA
+−+=
=+++++=
φφ
φφφφφφφφ
Celková amplituda tedy je
( )21212221 cos2 φφ −++= AAAAA .
Vztah pro celkovou fázi
2211
2211
coscos
sinsintan
cos
sin
φ
φφφ
φ
φ
AA
AA
A
A
+
+== .
+
+=
2211
2211
coscos
sinsinarctan
φ
φφφ
AA
AA .
Závěr:
Skládáme-li dvě libovolná vlnění, která mají stejnou vlnovou délku λ (stejné vlnové číslo),
výsledné vlnění má stejnou vlnovou délku, ale novou amplitudu a fázi.
Výsledek graficky:
• Superpozice vlnění s různou vlnovou délkou
Komplikovanější než předchozí případ.
Předpokládejme 2 vlny se stejnou amplitudou a fází (při x = t = 0), ale různou vlnovou délkou
λ1, λ2 (různými k1, k2).
)cos()( 11 xkAx =ψ a )cos()( 22 xkAx =ψ .
Potom součet
[ ])cos()cos()()()( 2121 xkxkAxxx +=+= ψψψ .
Užitím goniometrických vztahů
A
A2
A1
λ 2λ
ψ1ψ2
ψ
+
−=+
2cos2cos2coscos
2121
21
θθθθθθ
můžeme psát
+
−= xkkxkkAx
2cos2cos2)(
2121ψ ,
který ukazuje, že superpozicí dvou vlnění s různou vlnovou délkou nedostaneme jednoduchou
harmonickou vlnu.
Pokusme se interpretovat tento výsledek pro případ 2 vlnění s blízkou vlnovou délkou
211221 ,λλλλλλλ 〈〈−=∆⇒≅ .
V tomto případě
1
2
1
1
21
12
21
21 22
2
2
2
211
2
2
2 λ
π
λ
λπ
λλ
λλπ
λλ
π =≅
+=
+=+kk
a Λ=∆=∆≅
−=
−=− π
λ
λ
λ
π
λ
λπ
λλ
λλπ
λλ
π 2
2
2
2
2
2
211
2
2
2 112121
12
21
21 kk ,
1
1 .2 λ
λ
λ
∆=Λ .
Nová vlnová délka (perioda) "rázů" je delší než jednotlivé vlnové délky 21,λλ〉〉Λ .
Na základě tohoto závěru můžeme psát
Λ≅ xxAx 1
2cos2cos2)(
λ
ππψ .
V tomto vyjádření představuje první cos faktor pomalu se měnící vlnovou amplitudu,
zatímco druhý cos faktor je spojen s rychle se měnícím harmonickým vlněním, které je
blízké oběma výchozím vlněním .
Na obrázku vidíme dvě harmonické vlny s přibližně stejnou vlnovou délkou a jejich
superpozici.
x
ψ1 ψ2
λ1 λ2
-A
A
0
-2A
0
2A
x
ψ=ψ +ψ1 2 Λ
2. Interference 2 rovinných světelných vlnění
V této části ukážeme vznik interferenčních proužků při skládání dvou rovinných
světelných vln.
Předpokládejme 2 rovinné vlnění popsané amplitudami
( ) ( )trkAtykxkAtyx yx ωωψ −=−+= rr .coscos),,( 111111 ,
( ) ( )trkAtykxkAtyx yx ωωψ −=−+= rr .coscos),,( 222222 .
Obě vlnění znázorněná na obrázku by mohla vypadat asi takto
Složky vlnového čísla
θθ sin;cos 1111 kkkk yx == ,
θθ sin;cos 2222 kkkk yx −== .
Mají-li vlnění stejné vlnové délky, potom
λπ221 === kkk .
Výsledná amplituda ψ je dána superpozicí
θ
θ
y
x
ψ1
ψ2λ
k x y1 = k + k1x 1y
k x y2 = k + k2x 2y
y
x
θ
k1
k1x
k1y
y x
k2
k2x
k2y
( )trkAtrkAtyx ωωψψψ −+−=+= rrrr .cos).cos(),,( 221121
a časová střední hodnota intenzity
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )trktrkAAtrkAtrkA
trkAtrkAtyxI
ωωωω
ωωψ
−−+−+−=
=−+−==
rrrrrrrr
rrrr
.cos.cos2.cos.cos
.cos(.cos(),,(
21212
22
21
22
1
2
2211
2
.
Podívejme se pečlivě na každý člen předchozího výrazu.
První dva členy jsou prosté časové střední hodnoty jednotlivých samostatných intenzit
( ) ( ) 22222221211221 2.cos;2.cos IAtrkAIAtrkA ==−==− ωω rrrr .
Třetí člen můžeme zjednodušit užitím goniometrických vztahů
( ) ( )212121 cos21cos21coscos θθθθθθ ++−=
Takže
( ) ( ) ( )
( ) trkkAA
rkkAAtrktrkAA
ω
ωω
2.cos
.cos.cos.cos2
2121
21212121
−++
+−=−−
rrr
rrrrrrr
.
Připomeňme naše znalosti o časové střední hodnotě.
První člen na pravé straně rovnice nezávisí na čase, a proto jeho průměrná hodnota je
rovna hodnotě v závorce. Druhý člen představuje jednoduchou harmonickou funkci času a
proto jeho průměrná hodnota v delším časovém intervalu je rovna 0.
Tedy
( ) ( ) ( )rkkAAtrktrkAA rrrrrrr .cos.cos.cos2 21212121 −=−− ωω .
Použitím všech stávajících závěrů můžeme pro časovou střední hodnotu spojenou s
interferencí dvou rovinných vln světla psát
( )rkkIIIII rrr ).(cos2 212121 +++= .
Pro náš případ znázorněný dříve
( )
( ))sin(cossincos... 22112121 θθθθ yxyxkykxkykxkrkrkrkk yxyx −−−+=+−+=−=− rrrrrrr
nebo ( ) ykrkk θsin2.21 =− rrr .
Je třeba upozornit, že obraz rozložení intenzity v obraze nezávisí na pozici x. Vzniklé stopy,
interferenční proužky jsou rovnoběžné se směrem x a prostorově se mění ve směru osy y.
Zvolíme-li pevnou hodnotu x a detailněji budeme sledovat změnu intenzity ve směru y,
uvidíme sinusový průběh intenzity.
vzdálenost sousedních proužků je θλθπ sin2sin == ky .
λ/2 sinθ
Kontrast proužků
definován jako poměr intenzity píku k intenzitě minima. Kontrast kolísá od 0 do 1
minmax
minmax
II
IIK
+
−= .
Pro případ 2 vlnění z předchozí části je intenzita maximální jestliže cos = 1, minimální jestliže
cos = – 1.
Tedy
2121max 2 IIIII ++=
a 2121min 2 IIIII −+= .
Kontrast potom po dosazení maximální a minimální intenzity
21
212
II
IIK
+= .
Rozbor:
Jestliže 01 =I nebo 00 minmax2 =⇒=⇒= KIII ,
je-li 10min21 =⇒=⇒= KIII .
θ
θ
y
x
ψ1
ψ2λ
0 y
I
I
I
max
min
Oba extrémní případy jsou znázorněny na obrázku.
3. Youngův pokus (interference vlnění na dvou štěrbinách)
Youngův pokus má historický význam, protože prokázal vlnovou povahu světla.
Význam pro optiku je však více než historický, protože je možné na něm ukázat interferenci,
difrakci a koherenci světla.
Uspořádání experimentu je patrné z obrázku:
• Bodový zdroj světla osvětluje dvě úzké štěrbiny na neprůhledném stínítku a výsledek
interference je vidět na stínítku.
• První apertura A zajišťuje, že světelná vlnění přicházející na apertury A1 a A2 mají stejnou
(blízkou) fázi. Tento vzájemný vztah fází obou vlnění se nazývá koherence (stupeň
koherence).
• Skutečnost, že světlo z bodového zdroje (malého otvoru) se rozšiřuje do okolí je dáno
difrakcí světla).
• Dvě velmi úzké štěrbiny A1 a A2 (produkující cylindrickou vlnu) vytvoří interferencí na
stínítku proužky.
A
A1
A2
I
interferenční proužky
stínítko
0 y
I
I1
0 y
I
4
Mezi světlými proužky (maxima intenzity) jsou tmavé oblasti (minimum intenzity).
Interferenční maximum, tzv. konstruktivní interference a interferenční minimum tzv.
destruktivní interference závisí na fázovém rozdílu obou vlnění.
Při interferenci dvou vlnění, každý proužek ve výsledném obrazci odpovídá násobku
dráhového rozdílu mezi dvěma vlněními.
Podmínka vzniku interferenčního maxima (konstruktivní) interference
λmPAPA =∆≡− 21 (m – celé číslo)
Podmínka vzniku interferenčního minima (destruktivní) interference
λ
+=∆≡−
2
1
21 mPAPA .
Při velké vzdálenosti stínítka od štěrbin ( as〉〉 ), potom θsina≅∆ ,
navíc pro malé úhly můžeme položit sy≅≅ θθ tansin .
S použitím těchto závěrů najdeme polohu interferenčních maxim (světlé proužky)
asmym λ≅ ,
vzdálenost maxim
asyyy mm λ≅−=∆ +1 .
konstruktivní
interference
I
destruktivní
interference
y
I
konstruktivní
interference
y
A2
A1
a θθ
∆
y =00
y1
y-1
∆ψ=λs/a
Interference na tenkých vrstvách
1. Odraz a průchod světelného vlnění na rozhraní dvou prostředí
Pro stanovení množství prošlého a odraženého světla na rozhraní mezi dvěma
materiály s různými indexy lomu, musíme světlo brát jako polarizovanou elektromagnetickou
vlnu.
Pro jednoduchost mohou být některé užitečné výsledky odvozeny od případu
jednoduché harmonické vlny.
Předpokládejme světelné vlnění s amplitudou iψ , které dopadá na rovinné rozhraní.
Amplitudu odraženého vlnění označme rψ a amplitudu prošlého vlnění v látce o indexu lomu
n´ označme tψ .
Koeficient odrazivosti
i
rr
ψ
ψ≡ ,
koeficient propustnosti
i
tt
ψ
ψ≡ .
r´, t´ – odpovídající koeficienty odrazivosti a propustnosti vlnění v látce.
Dopadající, odražené a propuštěné vlnění může být nahrazeno paprsky, jak je patrné
na obrázcích.
Analogie při změně směru – zjistíme, kolik světla se šíří z opačné strany.
Obecně platí, že 2 paprsky dopadající z jedné i druhé strany produkují odražené a
prošlé paprsky.
Musí platit
iii rtt ψψψ 2´ += a ii trtr ψψ += ´0 .
vydělením obou vztahů iψ získáme Stokesovy vztahy určující souvislost mezi koeficientem
odrazu a propustnosti světelného vlnění na rozhraní dvou dielektrik.
tt´ = 1 – r2 a r´= -r .
n
n´
ψi ψ ψ
r i= r
ψ ψt i= t
n
n´
ψi rψ
i
tψi
n
n´
r´(t tψi), (rψi)
rψi
tψi
t´(t rψi), (rψi)
Druhý vztah vyjadřuje – prochází-li světlo rozhraním v jednom směru, je odraženo
stejné množství světla, prochází-li světlo směrem opačným.
Kolik světla je odraženo a propuštěno pro dané hodnoty n a n´?
Uvažujme případ kolmého dopadu světla
´´nn nnr +−= a ´2 nn nt +=
Diskuse:
Jestliže n > n´ potom r > 0,
je-li n < n´ potom r < 0 (koresponduje se Stokesovým zákonem r´= -r ).
Proč na olejové skvrně a mýdlové bublině najdeme barevné spektrum?
Vysvětlení: mění se tloušťka vrstvy oleje (mýdlové bubliny) a různé vlnové délky vedou ke
vzniku interferenčních maxim při četných reflexích v různých místech povrchu.
n
n´
ψι rψi
tψi
vzduch
olej
voda
zdroj bílého světla
červená zelená modrá
zelená
modrá
červená
modrá
červená
zelená
zd
roj
bí
léh
o s
vě
tla
vzduch vzduch
mýdlový
roztok
modrá
zelená
červená
gravitace
Interferometry
1. Michelsonův interferometr
Optické interferometry jsou kombinací částečně a plně odrazných zrcadel a čoček,
které formují výsledný obraz interferenčních obrazů.
Pomocí interferometrů můžeme měřit:
• vlastnosti optických prvků, které vkládáme do interferometrů (nebo jsou samy jejich
součástí),
• vlnové vlastnosti světla procházejícího interferometrem.
Pravděpodobně nejznámější interferometr je Michelsonův interferometr (1881).
Použití MI:
• poskytl experimentální ověření speciální teorie relativity,
• přispěl k objevu hyperjemné struktury energetických hladin atomů,
• změřil přílivové efekty Měsíce na Zemi,
• umožnil užití vlnové délky jako mezinárodního standardu metru.
Uspořádání MI:
• osvětlení rozlehlým zdrojem,
• polopropustné zrcadlo,
• dvě odrazná zrcadla,
• čočka fokusující obraz na stínítko.
Interference v MI je analogií interference v tenké vrstvě. K této analogii dospějeme,
pokud si představíme zrcadla uspořádaná na jedné optické ose, jak je to znázorněno na
obrázku. Tloušťka vrstvy mezi zrcadly – T.
Podmínka pro vznik interferenčního maxima
θλ cos20 Tm = .
Ve standardním MI pozorujeme na stínítku interferenční kroužky. Proč?
Vysvětlení – z obrázku vidíme, že podél libovolné přímky (průměru) d na rozlehlém zdroji S,
světlo, které vychází z libovolného bodu p
Vloženo: 25.04.2009
Velikost: 1,27 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Reference vyučujících předmětu FY2BP_KMV - Kmity, vlny, optikaPodobné materiály
- MA2BP_PAL2 - Algebra a aritmetika 2 - Skripta
- SP2BP_PPS1 - Patopsychologie 1 (psychopatologie) - Skripta Patopsychologie
- SZ7BP_DUP1 - Nástin dějin pedagogiky a úvod do pedagogiky - Skripta Dejiny_skoly_a_pedagogiky
- SZ7BP_DUP1 - Nástin dějin pedagogiky a úvod do pedagogiky - Skripta Uvod_do_pedagogiky
- SZ7BP_DUP1 - Nástin dějin pedagogiky a úvod do pedagogiky - Skripta
- SZ7BP_PsDV - Psychologie duševního vývoje - Skripta VyvojovaPsychologie_xx
- SZ7BP_SoPs - Sociální psychologie - Skripta socialni_psychologie
- SZ7BP_SP1P - Speciální pedagogika 1 - Skripta
- SZ7BP_UvPs - Úvod do psychologie - Skripta pyschologie
- SZ7BP_UvPs - Úvod do psychologie - Uvod do psychologie-skripta
- TE2BP_MTDR - Materiály a technologie - dřevo a plasty - Skripta drevo
- TE2BP_MTDR - Materiály a technologie - dřevo a plasty - Skripta plasty
- Ze2BP_GOP3 - Geografie obyvatelstva a sídel - Skripta GEOGRAFIE_OBYVATELSTVA_A_SIDEL
- SZ2BP_UFI - Úvod do filosofie - Skripta UVOD_DO_FILOSOFIE
- SZ2BP_UFI - Úvod do filosofie - Uvod do filozofie-skripta
- MA2BP_PAL1 - Algebra a aritmetika 1 - skripta od Horáka
- MA2BP_PAL1 - Algebra a aritmetika 1 - skripta od Horáka
- FY2BP_KMV - Kmity, vlny, optika - Optika_priklady
Copyright 2024 unium.cz